2020最新高考数学三角函数专项训练
三角函数恒等变换—小题狂刷2020年高考数学(理)(含解析)
狂刷15三角恒等变换1．若2cos()12απ+=，则sin(2)3απ-= A ．79- B ．59- C ．59D ．792．已知tan 3α=，则cos(2)2απ+= A ．45-B ．35- C ．35D ．453．若π1cos()42θ-=，则sin2θ= A ．12-B ．3-C ．12D ．324．已知点(3,4)--在角α的终边上，则cos2sin 2αα+=A ．3125-B ．1725 C ．1725-D ．31255．已知4sin 5α=-，且α是第四象限角，则πsin()4α-的值为 A ．210B ．325 C ．7210D ．256．已知2cos()48απ+=-，则sin2α= A ．58-B ．916- C ．916D ．587．若π1sin()63α-=，则2πcos(2)3α+=A ．79B ．79-C 7D ．78．函数23()sin )2f x x x π=-的最小正周期是 A ．4πB ．2π C ．πD ．2π9．若sin 2cos αα=，且(,)2απ∈π，则tan 2α的值是 A 3B ．3-C 3D ．3-10．函数23()sin )([0,])23f x x x x ππ=+-∈的值域是 A ．[1,1]- B ．1[,1]2-C ．3[0,]2D ．13[,]2211．函数2()2coscos()122x f x x π=--+的最小值为 A ．22 B ．12 C ．22D ．12+12．若51cos()cos()12124ααππ+-=-，则=+αα2cos 2sin 3 A ．3B ．1C ．1-D ．3-13．函数1()2cos()12f x x =π+-的最小正周期为______________． 14．已知cos(300)2cos αα+︒=，则tan α=______________． 15．若4sin()65x π-=，则sin(2)6x π+=______________． 16．22tan7.5tan153(sin 7.5cos 7.5)tan15tan7.5︒⋅︒︒-︒=︒-︒______________．17．已知πtan()24α+=-，则1sin2cos2αα-=______________．18．22π(sincos )2sin ()2242ααα++-的值等于 A ．2sin α+B ．2C ．π22sin()4α+-D ．(π22in )s 4α+19．函数()3sin 3cos f x x x =+的最大值为A 3B ．2C ．3D ．420．已知函数2lg(54)y x x =++的零点为1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=A ．53 B ．53-C ．52D ．52-21．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角π4α+的终边经过点(2)-，则sin cos αα+=A ．63B ．63-C 23D ．2322．已知向量(cos ,2)α=-a ，(sin ,1)α=b ，若∥a b ，则πtan()4α-=A ．3-B ．3C ．13D ．13-23．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(4,3)P -，则2πcos(2)3α+= A ．725- B ．725 C ．825D ．825-24．平面直角坐标系xOy 中，角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34(,)55A ，将其终边绕O 点逆时针旋转3π4后与单位圆交于点B ，则B 的横坐标为 A ．2B ．72C ．32D ．4225．若,αβ均为锐角，25sin 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β=A ．255B ．525 C 2525D ．2526．已知324αππ<<，若5sin()4απ+=，则sin(2)4απ-= A ．210-B ．210-C ．210D ．21027．已知(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，若cos2tan 1sin2βαβ=-，则A ．2αβπ+=B ．4αβπ+=C ．4αβπ-=D ．22αβπ+=28．若ABC △的内角,A B 满足sin 2cos()sin BA B A=+，则tan B 的最大值为 A 3B 3C 2D 2 29．若1sin2,2θ=则2πcos ()4θ+=______________． 30．若3sin25α=，(,)42αππ∈，则2sin(2)2cos cos 44ααππ++=______________． 31．函数2()sin(2)sin 23f x x x π=++，(0,)2x π∈的值域为______________． 32．已知228x y +=，则x y +的最大值为______________．33．当函数cos(10)cos(70),(0,180)y x x x =+︒++︒∈︒︒取得最小值时，x =______________．34．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 55C 33D 25536．【2016年高考全国Ⅲ卷理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=A ．6425B ．4825 C ．1D ．162537．【2016年高考全国Ⅱ卷理数】若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−72538．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是______________． 39．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α=______________．40．【2016年高考浙江卷】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______________，b =______________．41．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=______________．42．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】函数23()sin 34f x x x =-(π[0,]2x ∈)的最大值是______________． 43．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=______________． 44．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan()4αα=-+，则πsin(2)4α+的值是______________．1．若2cos()123απ+=，则sin(2)3απ-= A ．79- B ．59- C ．59D ．79【答案】B【解析】由题可得2225sin(2)cos(2)2cos ()12()1361239αααπππ-=+=+-=⨯-=-， 故选B ．2．已知tan 3α=，则cos(2)2απ+= A ．45-B ．35- C ．35D ．45【答案】B【解析】由题可得222π2sin cos 2tan 63cos(2)sin22sin cos 1tan 195αααααααα+=-=-=-=-=-+++． 故选B ． 3．若π1cos()42θ-=，则sin2θ= A ．12-B ．3-C ．12D ．32【答案】A 【解析】因为π1cos()42θ-=， 所以22πππ11sin2cos(2)cos[2()]2cos 12()124422()θθθθ=-=-=--=⨯-=-． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．由三角函数的诱导公式，化简得2πππsin2cos(2)cos[2()]2cos 124()4θθθθ=-=-=--，即可求解． 4．已知点(3,4)--在角α的终边上，则cos2sin 2αα+=A ．3125- B ．1725 C ．1725-D ．3125【答案】B【解析】因为点(3,4)--在角α的终边上，所以4sin 5α=-，3cos 5α=-， 所以cos2sin 2αα+=22343172cos 12sin cos 2()12()()55525ααα-+=⨯--+⨯-⨯-=． 故选B ． 5．已知4sin 5α=-，且α是第四象限角，则πsin()4α-的值为 A ．210B ．325 C ．7210D ．25【答案】C【解析】由同角三角函数基本关系式可得2243cos 1sin 1()55αα=-=--=， 结合两角差的正弦公式可得πππ23472sin()sin cos cos sin ()44455ααα-=-=+=故选C ．【名师点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，两角差的正弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．首先求得cos α的值，然后结合两角和差正余弦公式求解πsin()4α-的值即可． 6．已知2cos()48απ+=-，则sin2α= A ．58-B ．916-C ．916D ．58【答案】B 【解析】因为52cos()48απ+=-，所以22529cos(2)2cos ()12(124816ααππ+=+-=⨯--=，所以9sin 216α=-．故选B ． 7．若π1sin()63α-=，则2πcos(2)3α+=A ．79B ．79-C 7D ．7【答案】B【解析】∵ππππ1sin()cos[()]cos()62633ααα-=--=+=， ∴22ππ17cos(2)2cos ()1213399αα+=+-=⨯-=-． 故选B ．8．函数23()sin )2f x x x π=-的最小正周期是 A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】C【解析】易得231cos 23()sin )222x f x x x x π-=-=+ 311sin 2cos 2222x x =-+=1sin(2)62x π-+，其最小正周期22T π==π． 故选C ．9．若sin 2cos αα=，且(,)2απ∈π，则tan 2α的值是 A 3B ．3-C ．33D ．33-【答案】B【解析】由sin 2cos αα=可得sin 22sin cos cos αααα==， 因为(,)2απ∈π，所以cos 0α≠，所以1sin 2α=，所以56απ=， 所以5tan 2tan tan()tan 3333απππ==-=-=-． 故选B ．10．函数23()sin cos(2)([0,])223f x x x x ππ=+-∈的值域是 A ．[1,1]- B ．1[,1]2-C ．3[0,]2D ．13[,]22【答案】C【解析】由题可得231cos 2331()sin )22cos 2222x f x x x x x x π-=+-==-+11sin(2)262x π=-+，当[0,]3x π∈时，2[,]662x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]62x π-∈-， 所以13sin(2)[0,]622x π-+∈．故选C ． 11．函数2()2coscos()122x f x x π=--+的最小值为 A ．22 B ．12 C ．22D ．12+【答案】A【解析】由题可得()cos sin 22)24f x x x x π=-+=++，所以函数()f x 的最小值为22， 故选A ． 12．若51cos()cos()12124ααππ+-=-，则=+αα2cos 2sin 3 A ．3 B ．1 C ．1-D ．3-【答案】C【解析】由题可得5cos()cos()cos()cos()cos()sin()1212121221212ααααααπππππππ+-=++-=++11sin(2)264απ=+=-，即1sin(2)62απ+=-32cos 22sin(2)16αααπ+=+=-， 故选C ．13．函数1()2cos()12f x x =π+-的最小正周期为______________．【答案】2【解析】由题可得函数()f x 的最小正周期为22π=π． 14．已知cos(300)2cos αα+︒=，则tan α=______________．【答案】3【解析】由cos(300)2cos αα+︒=可得cos(60)2cos αα-︒=，所以13cos sin 22αα+=2cos α，即33sin cos 22αα=，所以tan 3α=． 15．若4sin()65x π-=，则sin(2)6x π+=______________． 【答案】725-【解析】由题可得2247sin(2)cos(2)cos(2)12sin ()12()6336525x x x x ππππ+=-+=-=--=-⨯=-． 16．22tan7.5tan153(sin 7.5cos 7.5)tan15tan7.5︒⋅︒︒-︒=︒-︒______________．【答案】2- 【解析】原式tan7.5tan153cos15tan15tan7.5︒︒=︒︒-︒sin7.5sin153cos15sin153cos15sin7.5︒︒=︒=︒︒︒2sin(6015)2sin 452=-︒-︒=-︒=【名师点睛】利用弦切互化法和两角差的正弦公式把tan7.5tan15tan15tan7.5︒︒︒-︒化为sin15︒，再利用二倍角公式把22sin 7.5cos 7.5︒-︒化为cos15-︒，最后利用辅助角求值． 利用三角变换公式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把1看成22sin cos αα+．（3）升幂降幂法：即利用二倍角公式2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂，利用221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==降幂． （4）辅助角公式：即利用22cos sin sin()a x b x a b x φ+=++来整合三角函数式． 17．已知πtan()24α+=-，则1sin2cos2αα-=______________． 【答案】12-【解析】因为2221sin2(sin cos )cos sin 1tan cos2cos sin cos sin 1tan αααααααααααα----===-++， 又因为πtan 1tan()241tan ααα++==--，所以1sin21cos22αα-=-． 【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．18．22π(sincos )2sin ()2242ααα++-的值等于 A ．2sin α+B ．2C ．π22sin()4α+-D ．(π22in )s 4α+【答案】B 【解析】2222ππ(sincos )2sin ()sin +2sin cos cos 1cos[2()]2242222242αααααααα++-=⋅++-- π1sin 1cos()1sin 1sin 22αααα=++--=++-=．故选B ．【名师点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式化简计算，属基础题．利用二倍角公式和诱导公式化简计算即可．19．函数()3sin 3cos f x x x =+的最大值为A 3B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可知31π()3sin 323(cos )23)26f x x x x x x =+=+=+， π1sin()16x -≤+≤Q ，π2323)236x ∴-≤+≤故函数()3sin 3cos f x x x =+的最大值为3 故选C ．【名师点睛】利用该公式22()sin cos )f x a x b x a b x ωωωϕ=+++可以求出： ①函数()f x 的最小正周期2π||ω；②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）； ③值域：2222[,]a b a b -++； ④对称轴及对称中心（由ππ,2x k k ωϕ+=+∈Z 可得对称轴方程，由π,x k k ωϕ+=∈Z 可得对称中心横坐标）．20．已知函数2lg(54)y x x =++的零点为1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=A ．53B ．53-C ．52D ．52-【答案】C【解析】由2lg(54)0y x x =++=可得2541x x ++=，2530x x ++=， 所以12125,3x x x x +=-=，所以121255tan()1132x x x x αβ+-+===--．故选C ．【名师点睛】本题考查两角和正切公式以及根与系数的关系，考查基本求解能力．先求函数零点得零点关系，再根据两角和正切公式求结果．21．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角π4α+的终边经过点(2)-，则sin cos αα+=A 6B ．6C ．233D ．33-【答案】C【解析】因为πsin cos 2sin()4ααα+=+，角π4α+的终边经过点(2)-，所以πsin()4α+=2226(1)(2)=-+62sin cos 32αα+==． 故选C ．22．已知向量(cos ,2)α=-a ，(sin ,1)α=b ，若∥a b ，则πtan()4α-=A ．3-B ．3C ．13D ．13-【答案】A【解析】因为向量(cos ,2)α=-a ，(sin ,1)α=b ，∥a b ，所以cos 2sin 0αα+=，所以1tan 2α=-，所以πtan tanπ4tan()3π41tan tan 4ααα--==-+⋅． 故选A ．【名师点睛】（1）由∥a b 可得两向量坐标之间的关系cos 2sin 0αα+=，化简可得1tan 2α=-，进而根据两角差的正切公式可求得πtan()4α-的值．（2）平面向量平行应注意两个结论：①数量关系（共线向量定理）：若∥a b （≠0b ），则λ=a b ；②若∥a b ，1122(,),(,)x y x y ==a b ，则12210x y x y -=．23．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(4,3)P -，则2πcos(2)3α+=A ．725- B ．725 C ．825D ．825-【答案】A【解析】将角α的终边按顺时针方向旋转π6后所得的角为π6α-， 则由三角函数的定义可得22π3sin()65(4)3α-==-+，所以22πππcos(2)cos(2)[12sin ()][12336ααα+=--=---=--⨯237()]525-=-． 故选A ．24．平面直角坐标系xOy 中，角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34(,)55A ，将其终边绕O 点逆时针旋转3π4后与单位圆交于点B ，则B 的横坐标为 A ．210-B ．7210-C ．324-D ．425-【答案】B【解析】设A 点处对应的角度为α，B 点处对应的角度为β， 由题意可得3cos 5α=，4sin 5α=，且3πcos cos()4B x βα==+， 由两角和的余弦公式可得3π3π3π72cos()cos cos sin sin 44410ααα+=-=-， 即B 的横坐标为72．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义及其应用，两角和差正余弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．由题意结合三角函数的定义和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果．25．若,αβ均为锐角，25sin 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β=A ．255B ．525 C 2525D ．25【答案】B【解析】∵α为锐角，252sin α=α＞45°且5cos α=， ∵3sin()5αβ+=，且13225＜ππ2αβ∴+＜＜，∴4cos()5αβ+=-， 则cos β=cos[（α+β）−α]=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α45355555525=-⨯+⨯= 故选B ．【名师点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．利用角的等量代换，β=α+β−α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 26．已知324αππ<<，若5sin()4απ+=，则sin(2)4απ-= A ．210-B ．210-C ．210D ．210【答案】C【解析】因为5sin()4απ+=10sin cos αα+=， 两边同时平方可得212sin cos 5αα+=，所以3sin 25α=-， 因为324αππ<<，所以322αππ<<，所以4cos 25α=-， 所以sin(2)4απ-=222cos 2)210αα-=， 故选C ．27．已知(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，若cos2tan 1sin2βαβ=-，则A ．2αβπ+=B ．4αβπ+=C ．4αβπ-=D ．22αβπ+=【答案】C【解析】因为222222cos2cos sin 1tan 1tan tan()1sin2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1tan 4ββββββββββββββ--+π====+-+-+--，所以tan tan()4αβπ=+，又(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，所以4αβπ=+，即4αβπ-=， 故选C ．28．若ABC △的内角,A B 满足sin 2cos()sin BA B A=+，则tan B 的最大值为 A ．33B ．32 C ．22D ．24【答案】A【解析】在ABC △中，因为sin 0,sin 0A B >>，所以sin 2cos()2cos 0sin BA B C A=+=->，即cos 0C <，所以角C 为钝角，且sin 2sin cos B A C =-，又由sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， 所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=-，即cos sin 3sin cos A C A C =-，所以tan 3tan C A =-，所以2tan tan 2tan tan tan()1tan tan 13tan A C AB AC A C A+=-+=-==-+213tan tan A A+3323≤=， 当且仅当13tan tan A A =，即3tan A =时等号成立，即tan B 3故选A ．【名师点睛】本题主要靠考查了同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正弦、正切函数的公式，以及基本不等式的运用，其中熟练掌握基本关系式和三角恒等变换的公式，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题．由条件求得cos 0C <，确定C 为钝角，利用诱导公式及三角函数的内角和定理、三角函数恒等变换的公式，化简求得tan 3tan C A =-，代入利用基本不等式即可求解．29．若1sin2,2θ=则2πcos ()4θ+=______________． 【答案】14【解析】1sin 22θ=Q ，2π1π1sin 21cos ()[1cos(2)]42224θθθ-+=++==． 【名师点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．根据二倍角公式和诱导公式化简即可． 30．若3sin25α=，(,)42αππ∈，则2sin(2)2cos cos 44ααππ++=______________． 【答案】0【解析】因为(,)42αππ∈，所以2(,)2απ∈π，所以24cos21sin 25αα=--=-， 所以sin(2)4απ++221cos 22cos cos cos 2)242ααααπ+=+ 222342sin2222()0222552αα=++=-+=． 31．函数2()sin(2)sin 23f x x x π=++，(0,)2x π∈的值域为______________． 【答案】3(,1]2-【解析】由题可得函数213()sin(2)sin 2sin 2cos 2sin 2322f x x x x x x π=++=-++ 312sin 2sin(2)23x x x π=+=+， 因为(0,)2x π∈，所以42333x πππ<+<， 所以3sin(2)13x π<+≤， 故函数()f x 的值域为3(． 32．已知228x y +=，则x y +的最大值为______________．【答案】4【解析】因为228x y +=，所以设x =2sin ,2cos y αα=，所以x +y =π22(sin cos )4sin()4ααα+=+，所以x +y 的最大值为4． 故答案为4．【名师点睛】（1）本题主要考查三角换元和三角恒等变换，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）本题的解题关键是三角换元，设x =22sin ,22cos y αα=，即得x +y =2(sin cos )αα+，再利用辅助角公式化简即得最大值，大大提高了解题效率．33．当函数cos(10)cos(70),(0,180)y x x x =+︒++︒∈︒︒取得最小值时，x =______________．【答案】140︒【解析】cos(10)cos(70)cos(10)cos(1060)y x x x x =+︒++︒=+︒++︒+︒13cos(10)cos(10)10)2x x x =+︒++︒-+︒33cos(10)10)2x x =+︒-+︒ 31030)x =+︒+︒340)x =+︒，∴cos(10)cos(70),(0,180)y x x x =+︒++︒∈︒︒取得最小值时，140x =︒．【名师点睛】本题考查了三角函数的化简，观察两角的关系，熟练掌握三角公式是解题关键．将x +70°拆成（x +10°）+60°使用两角和的正弦公式展开合并化简即可．34．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 55C ．33D ．255【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .(0,),cos 02αααααπ∴⋅=∈∴>Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 36．【2016年高考全国Ⅲ卷理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】方法1：由tan α=sinαcosα=34，cos 2α+sin 2α=1，得{sinα=35cosα=45或{sinα=−35cosα=−45，则sin 2α=2sin αcos α=2425，则cos 2α+2sin 2α=1625+4825=6425．方法2：cos 2α+2sin 2α=2222cos 4sin cos 14tan 64cos sin 1tan 25ααααααα++==++．故选A ． 【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．37．【2016年高考全国Ⅱ卷理数】若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−725【答案】D 【解析】由题可得2237cos[2()]2cos ()12()144525ααππ-=--=⨯-=-， 又cos[2()]cos(2)sin 242αααππ-=-=，所以7sin 225α=-，故选D ． 38．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是______________． 【答案】π2【解析】函数2()sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2． 【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式、三角函数的最小正周期公式，属于基础题．将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可．39．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α=______________． 【答案】75【解析】由题可得11tan()tan 7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---． 【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．40．【2016年高考浙江卷】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______________，b =______________． 21【解析】22cos sin 22)14x x x π+=++，所以2, 1.A b == 【名师点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照sin()Αx ωϕ+可得Α和b 的值．41．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=______________．【答案】−12【解析】因为sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，所以(1−sinα)2+(−cosα)2=1，∴sinα=12，cosβ=12，所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12×12−cos 2α=14−1+sin 2α=14−1+14=−12．42．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】函数23()sin 34f x x x =-(π[0,]2x ∈)的最大值是______________． 【答案】1 【解析】由题可得222313()1cos 3cos 3(cos )144f x x x x x x =--=-++=-+， 因为π[0,]2x ∈，所以cos [0,1]x ∈， 当3cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．43．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=______________． 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos αβ=-=（或22cos cos βα=-=），所以2227cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-． 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z ．44．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan()4αα=-+，则πsin(2)4α+的值是______________． 【答案】210【解析】由tan tan tan (1tan )2πtan 1tan 13tan()41tan αααααααα-===-+++-， 得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=或1tan 3α=-． πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444ααα+=+ 2222222sin cos cos sin (sin 2cos 2)()22sin cos αααααααα+-=+=+ 2222tan 1tan ()tan 1ααα+-=+， 当tan 2α=时，上式22222122()22110⨯+-==+ 当1tan 3α=-时，上式22112()1()2233[]1210()13⨯-+--==-+ 综上，π2sin(2)4α+=． 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题．由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可．。
2020高考—三角函数(解答+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文18)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC △的面积；（2）若sin A C ，求C .2. （20全国Ⅱ文17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．3.（20全国Ⅱ理 17）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．4.（20新高考Ⅰ17）在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5.(20天津16)（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．6.(20浙江18)（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 0b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．7.（20江苏16）（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．8.（20全国Ⅱ理21）(12分)已知函数f (x )= sin 2x sin2x ．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明: 33()f x ≤； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn ．9.(20北京17)（本小题13分）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案：1.解：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．3．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+4．解：方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．5．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 113A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．6.（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.7.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯8．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为()3fπ=，最小值为()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故|()|f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x xx =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．9.。
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2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R .（ 1）求函数 yf ( x) 的对称中心；6（ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且f (B6 ) b c， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 22a【解析】f ( x) 1 cos2 x1 cos2( x) cos(2 x) cos2 x6313 sin 2x cos 2xcos2x223sin 2x1cos2x sin(2 x 6 ) . 22（1）令 2xk （ k Z ），则 xk（ kZ ），6212所以函数 yf ( x) 的对称中心为 (k,0) k Z ；212（2）由 f (B)b c，得 sin( B ) bc ，即 3 sin B 1cos B b c ，262a6 2a 2 2 2a整理得 3a sin B a cos B b c ，由正弦定理得：3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，又因为 sin B0 ，所以 3 sin A cos A1，即sin( A1 ，6 )2由 0A，得A5 ，6 66所以 A，即 A3 ，6 6又 ABC 的外接圆的半径为3 ，所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得222222232(b c) 2abc2bc cos A bcbc (b c)3bc (b c)(b c)44，即 ，当且仅当 bc 时取等号，所以周长的最大值为 9.2.【河北衡水】 已知函数 f x2a sin x cosx2b cos 2 x c a 0,b 0 ，满足 f 0 ，且当 x0,时， f x 在 x 取得最大值为 5.26 2（ 1）求函数 f x 在 x0, 的单调递增区间；（ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且2 22 f C3，求a2b 2c 2 的取值范围 .2ab c【解析】（1）易得 f x5sin 2x 5，整体法求出单调递增区间为0, ， 2 ,；3 666 3 （2）易得 C，则由余弦定理可得 a2b 2c 2 2a 2 2b 2 ab2 b a 1，3a 2b 2c 2aba bbsin 2 A3 1 1由正弦定理可得sin B 3，所以asin Asin A2tan A2 ,22a 2b 2c 23,4 .a2b2c2rcos x, 1 r( 3 sin x,cos 2x) ， xR ，设函数3.【山东青岛】 已知向量 a， b 2r rf ( x) a b .（ 1）求 f(x)的最小正周期；（ 2）求函数 f(x)的单调递减区间；（ 3）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值 . 2【解析】f (x) cos x, 1( 3 sin x,cos 2x) 23 cos x sin x 1cos2x 23sin 2 x 1cos 2x2 2cos sin 2x sin cos 2x6 6sin 2x.6（1）f ( x)的最小正周期为T 2 2，即函数f ( x) 的最小正周期为.2（2）函数y sin(2 x ) 单调递减区间：62k 2x 32k ， k Z ，2 6 2得：k x 5 k ， k Z ，63∴所以单调递减区间是3 k ,5k ， k Z .6（3）∵0 x ，2∴2x 5.6 6 6 由正弦函数的性质，当 2x6 2 ，即 x 时， f (x) 取得最大值1.3当x x 0 f (0) 1，即时，，6 6 2当 2x6 5 ，即 x2时， f21 ，6 2∴ f (x) 的最小值为1. 2因此， f (x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是1 .2 224.【浙江余姚】已知函数 f ( x) sin x sin x cos( x ) .（ 1）求函数 f(x)的最小正周期；（ 2）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值．2【解析】（ 1） 由题意得 f ( x) sin 2 x sin x cos x6sin 2 xsin x( 3 cos x 1sin x)2 23sin 2x3sin x cos x223(1 cos 2x)3sin 2x443 ( 1sin 2x3cos2x)3 2 2243sin( 2x) 32 34f (x) 的最小正周期为（ 2） x0, ，22x23 3 3当 2x，即 x0时， f ( x) min0 ；33当 2x5 时， f ( x) max2 3 33，即 x4212综上，得 x0时， f ( x) 取得最小值，为 0；当 x5 2 3 3时， f ( x) 取得最大值，为4125.【山东青岛】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b cos A 3a c ．3（ 1）求 cosB ；（ 2）如图， D 为 △ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中， D 2 B ，且 AD 1， CD3 ， BC 6 ，求 AB 的长．【解析 】解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A3sin Asin C ，3又 C( A B) ，所以 sin B cos A3sin Asin( A B) ，3故 sin B cos A3sin Acos B cos Asin B ，sin A3所以 sin Acos B3sin A ，3又 A(0, ) ，所以 sin A30 ，故 cos B3（2） QD 2 B ， cos D2cos 2 B 113又在ACD 中， AD 1， CD 3∴由余弦定理可得 AC2AD2CD22AD CD cosD 19 2 3 ( 1) 12 ，3∴ AC2 3 ，在 ABC 中， BC6 ， AC 2 3 ， cosB3，3∴由余弦定理可得 AC2AB 2 BC 2 2 AB BCcosB ，即 12 AB 2 6 2 AB63 ，化简得 AB 2 2 2 AB 6 0 ，解得 AB 3 2 ．3故 AB 的长为 32 ．6. 【江苏泰州】如图，在△ABC 中，ABC，2ACB， BC 1.P 是△ ABC 内一点，且BPC.3 2（1）若ABP，求线段AP的长度；6（2）若APB 2，求△ ABP 的面积 .3【解析】（1）因为PBC ，所以在 Rt PBC 中，6BPC ， BC 1，PBC3 ，所以 PB 1 ，2 2在 APB 中，ABP ， BP 13 ，所以， AB6 2AP2 AB 2 BP2 2AB BP cos PBA3 1 2 13 37，所以 AP 7 ；4 2 2 4 2（2）设PBA ，则PCB ，在 Rt PBC 中，BPC ， BC 1，2PCB ，所以 PB sin ，在 APB 中，ABP ， BP sin ， AB 3 ，APB 2，3由正弦定理得：sin 3 1sin3cos1sinsin sin 2 2 2 23 3sin 3 cos ，又 sin 2 cos2 1 sin2 32 7SABP 1AB BP sin ABP 1 3 sin 2 3 3 .2 2 148.【辽宁抚顺】已知向量m sin x,1 ， n cos x,3， f x m n4 4（ 1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；（ 2）令 h xf x6，求 h(x)的单调递减区间；（ 3）若 m // n ，求 f(x)的值．【解析】（1） f xm nsin x4cos x341sin 2 x4 3 1sin 2x231cos2x 3222所以 f x 的最小正周期 T ，对称轴为 xk , kZ2对称中心为k ,3 , kZ42（2） h xf x1 cos2 x 32 36令2k2x32k , kZ 得k x6k ,k Z3所以 h x 的单调减区间为3k ,k ,k Z6（3）若 m // n ，则 3sinxcos x即 tan x13444tan x 2f x1cos2x 3 1sin 2 x231 sin2 x cos 2 xcos x2 sin 2 xcos 2 322 x1 tan2 x 1 332 tan 2 x 31109.【辽宁抚顺】已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ， x R ．（ 1）求函数 f x 的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（ 2）若 f x 06，x 0, 2 ，求 cos 2x 0 的值．54【解析】（ 1） 由 f(x)＝ 2 3 sin xcos x ＋ 2cos 2x － 1，得 f(x)＝ 3 (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3 sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x ，6所以函数 f(x)的最小正周期为π0 x , 2 x6 7 , 1 sin 2 x 12 6 6 2 6所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为2，最小值为－ 12（ 2）由（1）可知f(x0)＝2sin 2 x6又因为 f(x0 )＝6，所以 sin 2 x6＝3 .5 5由 x0∈, ，得 2x0＋∈ 2,74 2 6 3 6从而 cos 2 x0 ＝ 1 sin 2 2 x06 ＝－46 5所以 cos 2x0＝ cos 2 x06 6 ＝ cos 2x0 cos ＋ sin 2x06sin6 6 6＝3 4 31010.【广西桂林】已知f x 4sin 24 x sin x cosx sin x cosx sin x 1 . 2（ 1）求函数 f x 的最小正周期；（ 2）常数0 ，若函数 y f x 在区间, 2上是增函数，求的取值2 3范围；（ 3）若函数 g x 1 f 2 x af x af x a 1在,的最大值为2 2 4 22，求实数的值 .【解析】（1）f x 2 1 cos x sin x cos2 x sin 2 x 1 22 2sin x sin x 1 2sin 2 x 1 2sin x .∴ T 2 .（2） f x 2sinx .由 2kx 2k2kx2k2 得, k Z ，222 ∴ fx 的递增区间为2k2, 2k, k Z2∵ fx 在,2上是增函数，23∴当 k0 时，有2, 22,.320,∴, 解得 03242 22 ,3∴ 的取值范围是0,3.4（3） gx sin 2x a sin xa cos x 1 a 1.2 令 sin xcos x t ，则 sin 2x1 t2 .112a21 2att2aa∴ y 1 ta 1at2 t4a .222∵ t sin x cos x2 sin x，由x 得x，4 42244∴ 2 t 1 .①当a2 ，即 a2 2 时，在 t2 处 y max2 1 a 2 .22由21 a2 2 ，解得 a8 8 2 2 12 2 （舍去 ).22 2 1 7②当2 a 1，即2 2 a2 时， y maxa 21 a ，由 a 21a 22424 2得 a 2 2a 8 0 解得 a2 或 a 4 （舍去） .③当a1，即a 2 时，在 t 1处y max a 1 ，由a1 2 得a 6.2 2 2综上， a 2 或 a 6 为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ ABC 是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖．．．．．（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民3营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .（1）若水上观光通道的端点 E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道 EF 的长度最短？并求出其最短长度 .【解析】（1）在等腰ABC 中，过点 C 作 CH AB 于 H ，在 Rt ACH 中，由 cosAH AH 240 ， AB 80 ，CAB ，即，∴ AHAC 60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等.∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ，∴AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C ），∴ AE 40， AF 60，在AEF 中，EF 2 AE 2 AF 2 2 AE AF cos CAB 402 602 2 40 60 2 200 ，3∴ EF 2000 20 5 米.即水上观光通道EF 的长度为20 5米.（2）由（ 1）知，AE AF 100 ，设 AE x ，AF y ，在AEF 中，由余弦定理，得EF 2 x2 y2 2x y cos CAB x2 y 24xy x y10xy .23 3∵ xy x y 2 1002 10 502 2 502 .502，∴EF22 3 350 6∴EF，当且仅当x y取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为50 6米.312.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3 ， AD4 .点P为材料ABCD 内部一点，PE AB 于 E ， PF AD 于 F ，且 PE1 ，PF 3 .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN 150 ，点M、N分别在边AB，AD上.（ 1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最小值 .【解析】（1）在直角NFP 中，因为 PF 3 ，FPN ，所以 NF 3 tan ，所以 S NAP 1NA PF 1 1 3 tan 3 ，2 2在直角 MEP 中，因为 PE 1，EPM3，所以MEtan，3所以 S AMP1AM PE 1 3 tan31，2 2所以 SSNAPSAMP3tan1tan33 ，0, .2 23（2）因为S 3 1 tan33 tan3，tan2 33tan2 13 tan22令 t 13 tan，由0, ，得 t1,4，3所以S3 3t24t 4 3 t 43 3 t4 3 23 ，2 3t 2 3t 323t33当且仅当t2 3233 时，即 tan时等号成立，3此时，AN 2 3233，Smin3 ，答：当AN 2 3AMPN 的面积 S 最小，最小值为 233 时，四边形材料.313.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中， ABC3AD ，， AB4AB=1.uuur uuur3 ，求 △的面积；（ 1）若 AB BCABCg（ 2）若 BC 2 2 ， AD 5 ，求 CD 的长度 .【解析】uuur uuur3 ，所以 uuur uuur，（1）因为 AB BCBAgBC 3guuur uuurABC3 ，即 BA BC cosABC 3 ， AB 1 ，所以 1 uuur3 uuur3 2 ，又因为BC cos 3，则 BC44 1 uuur uuur ABC 3所以 S ABC AB BC sin .2 2（2）在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2AB 2 BC 2 2 AB BC cos31 8 21 2 22 13 ，42解得： AC 13 ，在ABC 中，由正弦定理得：ACBC2 13sin ABC sin，即sin BAC，BAC13所以 cos CADcosBACsin BAC2 13 ，213在ACD 中，由余弦定理得：CD 2AD 2 AC 2 2AD AC cos CAD ，即 CD3 2 .14.【山东栖霞】 已知函数 f xA sin xA 0,0,的部分图象222如图所示， B ， C 分别是图象的最低点和最高点，BC4 .4（1）求函数 f(x)的解析式； （2）将函数y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到3原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 yg x 的图象，求函数 yg 2 x 的单调递增区间 .13【解析】（1）由图象可得：3 T 5 ( ) ，所以 f (x) 的周期 T .4 12 3于是2，得2 ，C 524 A 22又 B， A ， ， A ∴ BC 4 ∴ A 1，12 1224又将 C (5,1) 代入 f (x)sin(2 x) 得， sin(2 5) 1，1212所以 25=2k，即=2k( k R ) ，1223由2 得， ，23∴ f (x)sin(2 x) .3（2）将函数 yf (x) 的图象沿 x 轴方向向左平移个单位长度，3得到的图象对应的解析式为：y sin(2 x) ，3再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为 g( x)sin( x3 ) ，cos(2x2 )22(x13y g ( x) sin 3 )22由 2k22k， kZ 得, kx k ， k Z ,2x336∴函数 yg 2 ( x) 的单调递增区间为 k,k (kZ ) .3615.【山东滕州】 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A 0, 0,) 的部分图象如 2图所示 .（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）把函数 y f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y g (x) 的图象，求611关于 x 的方程 g ( x) m(0 m 2) 在 x [,] 时3 3所有的实数根之和 .【解析】2（1）由图象知，函数 f ( x) 的周期T，故 2 .T点 (, A) 在函数图象上，6∴ Asin(26) A，∴ sin(3) 1，解得：3 2k2， k Z ，即2k6， k Z ，又2 ，从而.6点 (0,1) 在函数图象上，可得：Asin(2 0 ) 1 ，6∴ A 2 .故函数 f (x) 的解析式为： f ( x) 2sin(2 x ) .6 （2）依题意，得g (x) 2sin( x ) .3∵ g( x) 2sin( x ) 的周期T ，3∴ g( x) 2sin( x ) 在 x [11] 内有2个周期. ,3 3 3令x3 k ， k Z ，2解得 x k ， k Z ，6即函数 g (x) 2sin( x ) 的对称轴为 x k ， k Z .3 6又 x [3 ,11 ] ，则 x3[0,4 ] ，3所以 g(x) m(0 m 2) 在 x [ , 11 ] 内有4个实根，3 3不妨从小到大依次设为x i (i 1,2,3, 4) .则x1x2 ， x3 x4 13 ，2 6 2 6故 g( x) m(0 m 2) 在x [3 ,11 ] 时所有的实数根之和为：3x1 x2 x3 x4 14. 3。
三角函数(学生版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编
专题五三角函数--2020-2023高考真题数学专题分类汇编真题卷题号考点考向2023新课标1卷8三角恒等变换给值求值15三角函数的性质及应用余弦型函数的零点问题2023新课标2卷7三角恒等变换给值求值16三角函数的图象与性质由部分图象求解析式、求函数值2022新高考1卷6三角函数的性质及应用求三角函数的解析式、求函数值2022新高考2卷6三角恒等变换三角求值9三角函数的图象与性质求三角函数的单调区间、对称轴、极值点、求切线方程2021新高考1卷4三角函数的性质及应用求三角函数的单调区间2021新高考2卷6三角恒等变换给值求值2020新高考1卷10三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式15三角函数的应用三角函数解决实际问题2020新高考2卷11三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式16三角函数的应用三角函数解决实际问题【2023年真题】1.（2023·新课标I卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin6αβ=，则cos(22)αβ+=()A.79 B.19 C.19- D.79-2.（2023·新课标II 卷第7题）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=()A.38- B.18-+ C.34- D.14-3.（2023·新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4.（2023·新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π=.【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=()A.1B.32C.52D.36.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则()A.tan()1αβ+=-B.tan()1αβ+=C.tan()1αβ-=- D.tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则()A.()f x 在5(0,12π单调递减B.()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点C.直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D.直线32y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是()A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+()A.65-B.25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+()A.sin ()3x π+B.sin (2)3x π- C.cos (2)6x π+D.5cos (2)6x π-11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，cm A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为__________2.【答案解析】1.（2023·新课标I 卷第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+=即2221cos(22)12sin ()12(.39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2.（2023·新课标II 卷第7题）解：221511cos 36114sin ()sin 222816424ααα+----=====⇒=故选：.D 3.（2023·新课标I 卷第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<，得2 3.ω<故答案为：[2,3).4.（2023·新课标II 卷第16题）解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-23()sin(4.32f πππ=-=-5.（2022·新高考I 卷第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++=所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin( 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos44ππαβαβ=+++，cos )sin 44ππαβαβ+=+故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故22sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=-7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）解：由题意得：24()sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减;选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点;选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(2)32x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为3(0)2y x -=--，即3.2y x =-8.（2021·新高考I 卷第4题）解：由22262k x k πππππ-+-+，得222,33k xk k Z ππππ-++∈，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A 9.（2021·新高考I 卷第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C 10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误;解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC 11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得22OJ AJ x ==，252OL JK x ==-，272DL DK LK DK OJ x =-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==，253252x -=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
2020高考数学专项复习《三角函数10道大题》(带答案)
4 2 ) 三角函数1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x +（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期；) -1.6（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.6 42、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3+ sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R .（Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值.4 43、已知函数 f (x ) = tan(2x +),4（Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期；⎛ ⎫（II ）设∈ 0, ⎪ ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小⎝ ⎭4、已知函数 f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x.sin x（1） 求 f (x ) 的定义域及最小正周期；（2） 求 f (x ) 的单调递减区间.5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2x .24（I ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（ II ） 设 函 数 1g (x ) 对 任 意 x ∈ R ， 有g (x + 2 = g (x ) ， 且 当x ∈[0, ] 时 ， 2g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式.22 ) )3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x -称轴之间的距离为 ，2) +1（A > 0,> 0 ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对 6（1）求函数 f (x ) 的解析式；（2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值.2 27、设 f ( x ) = 4cos( ωx -π)sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0.6（Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域（Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间⎡- 3π ,π⎤上为增函数，求 的最大值.⎣⎢ 2 2 ⎥⎦8、函数 f (x ) = 6 cos 2x + 23 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为 图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且∆ABC 为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域；8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5，且 x 0 ∈(- 10 2, ) ，求 f (x 0 1) 的值.3 39、已知 a , b , c 分别为∆ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0（1）求 A ；（2）若 a = 2 ， ∆ABC 的面积为 ；求b , c .10、在 ∆ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ．＝ 2，sin B ＝ 53(Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求∆ ABC 的面积．3 2 2 ) max+ = - (x )答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为 f (x ) = 4 cos x sin(x + 1) -1 = 4 cos x ( sin x + cos x ) -1622= 3 sin 2x + 2 cos 2 x -1 = 3 sin 2x + cos 2x = 2 s in(2x +，所以 f (x ) 的最小正周期为.62（Ⅱ）因为- ≤ x ≤ 6 4 ，所以- ≤ 2x + ≤ 6 6 3 .于是，当2x + = 6 2 ，即 x =6时， f (x ) 取得最大值 2；当2x + = - 6 6 ，即 x = - 时， f (x ) 取得最小值－1.62、【解析】 （1）2f (x )= sin (2x + )+sin(2x - )+2cos x -1 = 2 s in 2x cos + cos 2x = 2 sin(2x + )3 3 3 42函数 f (x ) 的最小正周期为T = =23 （2） - ≤ x ≤ ⇒ - ≤ 2x + ≤ ⇒ - ≤ sin(2x +4 4 4 4 4 2 4) ≤ 1 ⇔ -1 ≤ f (x ) ≤当 2x + = (x = ) 时 ， 4 2 8 f (x )min = -1f (x ) = ， 当 2x = - 时 ， 4 4 4【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (x +) 的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.k【精讲精析】（I）【解析】由2x +≠ + k , k ∈ Z ， 得 x ≠ + , k ∈ Z . 4 2 8 2k为 .2所以 f (x ) 的定义域为{x ∈ R | x ≠ + 8 2, k ∈ Z } ， f (x ) 的最小正周期（II）【解析】由 f ( ) = 2 cos 2, 得tan(+2) = 2 cos 2,42) ) )1 sin(+ 4 = 2(cos2 - s in 2 ), cos(+整理得4 sin + coscos - sin= 2(cos + sin )(cos - sin ). 21 1 因为∈(0, ) ，所以sin + cos ≠ 0.因此(cos - s in ) 4= ,即sin 2= .2 2由∈(0, ) ，得2∈(0, ) .所以2= ,即= .4 2 6 124、解（1）： sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k(k ∈ Z ) 得：函数 f (x ) 的定义域为{x x ≠ k , k ∈ Z }f (x ) =(sin x - cos x ) sin 2x= (sin x - cos x ) ⨯ 2 cos xsin x= sin 2x - (1+ cos 2x ) = 2 sin(2x --14 2得： f (x ) 的最小正周期为T = = ；2（2）函数 y = sin x 的单调递增区间为[2k - , 2k + 2 2](k ∈ Z )3则2k - ≤ 2x - ≤ 2k + ⇔ k - ≤ x ≤ k +2 4 2 8 8得： f (x ) 的单调递增区间为[k - , k ),(k , k + 3](k ∈ Z )8 85、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.【 解 析 】1 1f (x ) = cos(2x + + sin 2 x = 1 cos 2x - 1 sin 2x + 1 (1- cos 2x )2 4 2 2 2= - sin 2x ， 2 22（I ）函数 f (x ) 的最小正周期T = =21 1（II ）当 x ∈[0, ] 时， g (x ) = - f (x ) = sin 2x2 当 x ∈[-2 21 1 sin 2x 当 x ∈[-, - ) 时， (x +) ∈[0, )2 2 g (x ) = g (x +) = sin 2(x +) = 2 2sin 2x⎧- 1 sin 2x (x ≤ 0) - ≤ ⎪ 22 得函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式为 g (x ) = ⎨ .⎪ sin 2x (-≤ x <⎩⎪ 2 22 ) ) , 0] 时， (x + ) ∈[0, ] g (x ) = g (x + ) = 1 sin 2(x + ) = - 1 2 2 2 2 2 2 23 ⎢ ⎥ 6、【解析】（1）∵函数 f ( x ) 的最大值是 3，∴ A +1 = 3，即 A = 2 .∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴最小正周期T =，∴= 2 .2故函数 f ( x ) 的解析式为 f (x ) = 2 s in(2x -) +1.61（2）∵ f ( ) = 2 s in(- 2) +1 = 2 ，即sin(- 6 ) = ，6 2∵ 0 << ，∴ - <- < ，∴- = ，故= .2 6 63 6 6 3⎛ 3 1⎫ 7、解：（1） f ( x ) = 4 2 cos x + 2 sin x ⎪⎪s in x + cos 2x ⎝ ⎭= 2 3 sin x cos x + 2 sin 2 x + cos 2 x - sin 2 x =3 sin 2x +1因-1 ≤ sin 2x ≤ 1，所以函数 y = f ( x ) 的值域为⎡1- 3,1+ 3⎤⎣⎦⎡ ⎤（2）因 y = sin x 在每个闭区间 ⎢⎣2k - 2 , 2k + 2 ⎥⎦ (k ∈ Z ) 上为增函数，故 f ( x ) = 3 sin 2x +1 (> 0) 在每个闭区间⎡ k - 4 , k + ⎤(k ∈ Z ) 上 4为增函数.⎡ 3 ⎤⎡ kk ⎤⎣⎦依题意知⎢- , ⎥ ⊆ ⎢ -, + ⎥ 对某个 k ∈ Z 成立，此时必有 k = 0 ，于是 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 4 4⎦⎧- 3≥ -⎪ 2 41 1⎨⎪ ≤⎩ 2 4，解得≤ ，故的最大值为 . 6 6 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得： f (x ) = 6 cos2x+ 23 cos x - 3(> 0)=3cosωx+ 3 sin x = 2 3 s in(x + )3又由于正三角形 ABC 的高为 2 ，则 BC=42 所以，函数 f (x )的周期T = 4 ⨯ 2 = 8，即= 8，得= 4所以，函数 f (x )的值域为[-2 3,2 3] .......................... 6 分 （Ⅱ）因为 f (x 0 ) =853，由（Ⅰ）有1 - ( 4)2 57 6 53 1 c os 2A5 561f (x ) = x 08 3x 0 42 3sin( 4 + ) =3 ， 即sin( 54 + ) = 35 由 x 0∈（- 10 2x 0 + ∈ (-，），得( ) , )3 34 3 2 2所以，即 x 0 3 cos( 4 + ) = =3 5 故 f (x + 1) = x 0= x 0 + + 02 3sin( = 4 x 0 + + ) 2 4 33sin[( ) ] 4 3 4x 0 2 3[sin( 4 + ) cos 3 4 + cos( 4 + ) s in3 4 = 2 3( 4⨯ 2 + 3 ⨯ 2 )5 2 5 2=12 分9..解：（1）由正弦定理得：a cos C + 3a sin C -b -c = 0 ⇔ sin A c os C - 3 sin A sin C = sin B + sin C⇔ sin A cos C + 3 sin A sin C = sin(a + C ) + sin C⇔ 3 sin A - cos A = 1 ⇔ sin( A - 30︒ ) = 12⇔ A - 30︒ = 30︒ ⇔ A = 60︒（2） S = bc sin A = ⇔ bc = 4 ， 2a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos A ⇔ b + c = 410. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A 2 0，∴sin A ＝ ，＝ ＞33又2 sin C ．35 cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝5 cos C ＋3整理得：tan C ＝ 5 ．(Ⅱ) 由图辅助三角形知： sin C ＝． 又由正弦定理知：a sin A c ，sin C故c 3 ． (1)b 2c 2 a 2 2对角 A 运用余弦定理：cos A ＝2bc ． (2) 3 解(1) (2)得： b 3 or b ＝ 3 (舍去)． ∴∆ ABC 的面积为：S ＝ 5． 3 2。
2020年高考试题三角函数汇编【题目+答案版】
2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③(5)【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt=2，则ttt2t=______；tan(t−t4)=______．(6)【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．(7)【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt中，角A、B、C的对边分别为a、b、t.已知t=3，t=√2，t=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ttt=−45，求tan∠ttt的值．(8)【2020全国高考I卷(理)第16题】如图，在三棱锥t−ttt的平面展开图中，tt=1，tt=tt=，AB AC，AB AD，ttt=，则ttt=__________．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．(10) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．(11) 【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t (t )=sin tt ，t >0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．(12) 【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，t .已知t =2√2，t =5，t =√13． (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值；(3)求sin (2t +t4)的值．(13) 【2020全国高考I 卷（文）第18题】∆ttt 的内角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t ，已知t =150∘．（1）若a =√3c ，b =2√7，求∆ABC 的面积；（2）若sinA +√3sinC =√22，求C ．(14) 【2020全国高考II 卷（理）第16题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(1) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．(15) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．（16）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√3；8(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t．4t【答案】2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22解：∵sin (t+t3)=12sin t+√32cos t，∴sin t+sin (t+t3)=32sin t+√32cos t=√3sin (t+t6)=1得sin (t+t6)=√33故选：B．(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：t=t(t)=ttttt+tttt，则t(−t)=−ttttt−tttt=−t(t)，∴t(t)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，当t=t时，t=t(t)=ttttt+tttt=−t<0，故排除B，故选：A．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题．(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2解：∵2tan t−tan (t+t4)=2tan t−tan t+11−tan t=7，∴2tan t(1−tan t)−(tan t+1)=7−7tan t，整理得(tan t−2)2=0，∴tan t=2，故选D．(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．(5) 【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt =2，则ttt2t =______；tan (t −t4)=______． 【答案】−35 13【解析】解：tttt =2，则ttt2t =cos 2t −sin 2t cos 2t +sin 2t=1−tan 2t 1+tan 2t =1−41+4=−35．tan (t −t4)=tttt −tan t41+ttttttt t4=2−11+2×1=13． 故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．(6) 【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是______．解：因为函数t =3ttt (2t +t4)的图象向右平移t6个单位长度可得t (t )=t (t −t6)=3ttt (2t −t 3+t 4)=3ttt (2t −t12)，则t =t (t )的对称轴为2t −t12=t2+tt ，t ∈t ，即t =7t 24+tt2，t ∈t ，当t =0时，t =7t24， 当t =−1时，t =−5t24， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是t =−5t24， 故答案为：t =−5t 24．(7) 【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、t .已知t =3，t =√2，t =45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ttt =−45，求tan ∠ttt 的值．【答案】解：(1)因为t =3，t =√2，t =45°.，由余弦定理可得：t =√t 2+t 2−2tttttt =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得t tttt =ttttt ，所以tttt =t t⋅ttt45°=√2√5⋅√22=√55，所以tttt =√55；(2)因为cos ∠ttt =−45，所以sin ∠ttt =√1−cos 2∠ttt =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得tttt =√1−sin 2t =2√55，所以在三角形ADC 中，sin ∠ttt =sin (∠ttt +∠t )=sin ∠tttttt ∠t +cos ∠tttttt ∠t =2√525，因为∠ttt ∈(0,t2)，所以cos ∠ttt =√1−sin 2∠ttt =11√525，所以tan ∠ttt =sin ∠ttt cos ∠ttt=211．(8) 【2020全国高考I 卷(理)第16题】如图，在三棱锥t −ttt 的平面展开图中，tt =1，tt =tt =，AB AC ，ABAD ，ttt =，则ttt =__________．解：由已知得tt =√2tt =√6， ∵t 、E 、F 重合于一点，∴tt =tt =√3，tt =tt =√6， ∴ △ttt 中，由余弦定理得，∴tt =tt =1， ∴在△ttt 中，由余弦定理得．故答案为．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． (10) 【答案】16 132(11) 【解析】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ， 设D(x 0,3√32)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．(12) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．【答案】解：(1)∵2t sin t =√3t ， ∴2sin t sin t =√3sin t ， ∵sin t ≠0， ∴sin t =√32， ，∴t =t3，(2)∵△ttt 为锐角三角形，t =t3， ∴t =2t3−t ，，△ttt 为锐角三角形，，，解得， ，，∴cos t+cos t+cos t的取值范围为(√3+12,32 ]．【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．(1)根据正弦定理可得sin t=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．(13)【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t(t)=sin tt，t>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．【答案】解：(1)由于t(t)的周期是4t，所以t=2t4t =12，所以t(t)=sin12t．令sin12t=12，故12t=2tt+t6或2tt+5t6，整理得t=4tt+t3或t=4tt+5t3．故解集为{t|t=4tt+t3或t=4tt+5t3，t∈t}．(2)由于t=1，所以t(t)=sin t．所以t(t)=sin2t+√3sin(−t)sin(t2−t)=1−cos2t2−√32sin2t=−√32sin2t−12cos2t+12=12−sin(2t+t6)．由于t∈[0,t4]，所以t6≤2t+t6≤2t3．故−1≤−sin(2t+t6)≤−12，故−12≤t(t)≤0．所以函数t(t)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt中，角A，B，C所对的边分别为a，b，t.已知t=2√2，t=5，t=√13．(1)求角C的大小；(2)求sin A的值；(3)求sin(2t+t4)的值．【答案】解：(1)由余弦定理以及a=2√2，b=5，c=√13，则cosC=a2+b2−c22ab =2×22×5=√22，∵C∈(0,π)，∴C=π4；(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA= asinCc=2√2×√22√13=2√1313；(3)由a<c，及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，则sin2A=2sinAcosA=2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A=2cos2A−1=513，∴sin(2A+π4)=√22(sin2A+cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(1)根据余弦定理即可求出C的大小；(2)根据正弦定理即可求出sin A的值；(3)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．(14)【2020全国高考I卷（文）第18题】∆ttt的内角t,t,t的对边分别为t,t,t，已知t=150∘．（1）若a=√3c，b=2√7，求∆ABC的面积；（2）若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得t2=t2+t2−2tt cos t，即28=3t2+t2−2√3t2cos150∘，解得t=4，所以t=4√3，所以t△ttt=12tt sin t=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为t=180∘−t−t=30∘−t，所以sin t+√3sin t=sin(30∘−t)+√3sin t=12cos t+√32sin t=sin(30∘+t)=√22，因为t>0°，t>0°，所以0°<t<30°，所以30°<30°+t<60°，所以30°+t=45°，所以t=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．(15) 【2020全国高考II 卷（理）第17题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(2) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．【答案】解：(1)在▵ttt 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ，由正弦定理得，t 2−t 2−t 2=tt ，即t 2+t 2−t 2=−tt ， 由余弦定理得，cos t =t2+t 2−t 22tt =−12，因为0<t <t ，所以t =2t 3． (2)由(1)知，t =2t3，因为tt =3，即t =3，由余弦定理得，t 2=t 2+t 2−2tt cos t ，所以9=t 2+t 2+tt =(t +t )2−tt ， 由基本不等式可得tt ≤(t +t )24，所以9=(t +t )2−tt ≥34(t +t )2,所以t +t ≤2√3(当且仅当t =t =√3时取得等号)， 所以▵ttt 周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题． (1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．(16) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】【解答】解：(1)∵cos2(t2+t)+cos t=54，化简得cos2t−cos t+14=0，解得cos t=12，∵t是tttt的内角，故t=t3．(2)证明：∵t−t=√33t，t=t3，由正弦定理可得sin t−sin t=√33sin t=12，又t=t−t−t=2t3−t，∴sin(2t3−t)−sin t=12，化简可得√32cos t−12sin t=12，即可得cos(t+t6)=12，又t∈(0,2t3)，得t+t6∈(t6,5t6)，故可得t+t6=t3，即t=t6，故t+t=t3+t6=t2，∴tttt是直角三角形．【解析】本题考查了正弦定理的应用以及两角和差的正余弦公式的应用，考查了诱导公式和辅助角公式，属于中档题．(1)利用诱导公式和同角的三角函数关系对已知式进行化简，得到cos t=12，再结合A为三角形的一内角，即可求出角A；(2)利用正弦定理把t−t=√33t中的边化成角，得到sin t−sin t=√33sin t=12，再结合t+t=2t3，对式子进行化简，最后结合辅助角公式以及角C的范围，求出角C，即可证得三角形为直角三角形．（17）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√38；(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t4t．【答案】解：(1)t(t)=sin2t⋅sin2t=2sin2t⋅sin t⋅cos t =2sin3t⋅cos tt′(t)=2[sin2t(3cos2t−sin2t)]=2sin2t⋅(√3cos t+sin t)⋅(√3cos t−sin t)=−8sin2t⋅sin(t+t3)⋅sin(t−t3)所以对于f’(t)有：当t∈(0,t3)时，t′(t)>0；当t∈[t3,23t]时，t′(t)≤0；当t∈(2t3,t)时t′(t)>0。
2023-2024学年高考数学三角函数专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。
2020高考—三角函数(选择+填空+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文7)．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22.(20全国Ⅰ理9)．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5B ．23C ．13D 53.（20全国Ⅱ理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.（20全国Ⅲ文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12B 3C ．23D 2 5.（20全国Ⅲ文11）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．56.（20全国Ⅲ文12）．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 7.（20全国Ⅲ理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238.（20全国Ⅲ理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．29.（20新高考Ⅰ10）．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -10.(20天津8)．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③11.(20浙江4)．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是12.(20北京9)．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.(20北京10)．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sintan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 14. （20全国Ⅱ文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 15.（20全国Ⅲ理）16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16.(20浙江13)．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．17.（20江苏8）．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．18.（20江苏10）．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．19.(20北京14)．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．B 11.A 12. C 13. A14.1915．②③ 16.31,53- 17．13 18．524x π=- 19.2π。
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练含答案解析
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1 （1）点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为________． 【答案】（1）A （2）－34【解析】(1)设Q 点的坐标为(x ，y)， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 题型二 三角函数的图象及应用例1已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭：，则下面结正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】（1） 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 【易错点】函数图像水平方向平移容易出错 【思维点拨】平移变换理论 (1)平移变换:①沿x 轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y 轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换:①沿x 轴伸缩时,横坐标x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标y 不变); ②沿y 轴伸缩时,纵坐标y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.例2函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）.【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当x =π时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 21cos 2y =>-，排除A.故选C.【易错点】函数图形判断通过过排除法 【思维点拨】例3函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3【答案】A【解析】 (1)因为T 2＝11π12－5π12，所以T ＝π.又T ＝2πω(ω>0)，所以2πω＝π，所以ω＝2.又2×5π12＋φ＝π2＋2kπ(k ∈Z )，且－π2<φ<π2，故φ＝－π3.【易错点】求φ时，容易忽略讨论k 【思维点拨】题型三 三角函数性质例1 （1）已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<|φ|<π2)为奇函数，且函数y ＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求f(π6)的值；(2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．【答案】（1）f(π6)＝2sin π3＝3（2）[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )．【解析】（1）f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ) ＝2[12sin(ωx ＋φ)＋32cos(ωx ＋φ)]＝2sin(ωx ＋φ＋π3)．因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋π3)＝0，又0<|φ|<π2，可得φ＝－π3，所以f(x)＝2sin ωx ，由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2sin 2x. 因此f(π6)＝2sin π3＝ 3.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f(x －π6)的图象，所以g(x)＝f(x －π6)＝2sin[2(x －π6)]＝2sin(2x －π3)．当2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2(k ∈Z )，即kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k ∈Z )时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )．【易错点】 【思维点拨】题型四三角函数范围问题例1函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ． 【答案】1【解析】()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令cos x t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，则当t =时，()f x 取最大值1． 【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值 【思维点拨】 例2函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .【解析】2()21f x +=【易错点】【思维点拨】辅助角公式运用 例3【2017年Ⅲ】函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）. A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A 【解析】11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选A. 【易错点】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！【思维点拨】题型五三角函数求值问题 例1已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .【解析】由tan 2sin 2cos ααα==得 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=.因为0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5α=，sin 5α=.因为cos cos cos sin sin 44αααππ⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭，所以cos 4525210πα⎛⎫-=+⨯= ⎪⎝⎭. 【易错点】【思维点拨】例2（1）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（2）sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．-B C ．12- D ．12【答案】（1）A （2）12【解析】（1）由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或3sin 5α=-， 4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A（2）原式=1sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302+=+==【易错点】 【思维点拨】例3已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32,（2）f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减【解析】 (1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos xsin x －32(1＋cos 2x)＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x≤5π12时， f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x≤2π3时， f(x)单调递减．综上可知，f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 【易错点】【思维点拨】解答技巧，方法策略等 题型六 简单的三角恒等变换 例1(2018·新疆第二次适应性检测)cos10(13tan 30)cos50︒+︒︒的值是________．【答案】2【解析】依题意得cos 10°1＋3tan 10°cos 50°＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin 10°＋30°cos 50°＝2sin 40°sin 40°＝2.【易错点】【思维点拨】解答技巧，方法策略等 例2已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．【答案】（1）-3（2）1【解析】(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.【易错点】 【思维点拨】解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 例3若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【答案】A【解析】选A ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2且cos 2α＝－255，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4. 【易错点】 【思维点拨】对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数较好．【巩固训练】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终边上一点，且sin θ=则y = . 【答案】-8.【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tanθ1＋tanθ＝12，得tanθ＝13，∴sinθcosθ＝sinθcosθsin 2θ＋cos 2θ＝tanθtan 2θ＋1＝1319＋1＝310.故填310. 2. (1)已知tan α＝2，求值： ①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝13，求sin θ－cos θ的值．【答案】(1)①-1②1(2)173【解析】(1)①2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)∵sin θ＋cos θ＝13，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝19，∴sin θcos θ＝－49.∵θ∈(0，π)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，θ， ∴sin θ>0>cos θ，sin θ－cos θ>0.由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋89＝179，得sin θ－cos θ＝173.3.若cos(π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－53B ．－23C ．－13D ．±23【答案】B【解析】cos (π－α)＝－cos α＝53，∴cos α＝－53. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－532＝23， ∴sin (π＋α)＝－sin α＝－23，故选B ．题型二 三角函数图像1.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( A ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移 π12个单位 D ．向左平移π4个单位【答案】A【解析】因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象. 2.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f(x 1)＝f(x 2)，则f(x 1＋x 2)＝( )A ．1B ．12C ．22D ．32【答案】D【解析】 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x ＋φ). 将⎝⎛⎭⎫－π6，0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0. 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f(x 1)＝f(x 2)，∴x 1＋x 22＝π12， ∴x 1＋x 2＝π6，∴f(x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32，故选D ． 3.已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性. 【答案】(1) ω＝1(2) f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减.【解析】 (1)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1． (2)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x≤π2时，f(x)单调递减. 综上可知，f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减. 题型三 三角函数性质1. 已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,2]【答案】A【解析】由π2<x<π，ω>0得，ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4.又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A ．2.设函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减 【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数一个周期为－2π，A 项正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 项正确；f(x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f(x ＋π)＝0，所以C 项正确；函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 项不正确，故选D ．3.已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin xcos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4对称C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数①的图象【答案】C【解析】函数①y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，②y ＝22·sin xcos x ＝2sin 2x ，由于①的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称，②的图象不关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称，故A 项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x ＝－π4对称，故B 项不正确；由于这两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数，故C 项正确；将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，而y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，故D 项不正确，故选C ．题型四三角函数范围问题1.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .【答案】3√32【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x -2.令f'(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π.因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f (π3)=3√32,f (5π3)=-3√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3√32.2.已知y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，求y 的最大值与最小值之和． 【答案】238【解析】 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x) ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故函数的最大值与最小值的和为2＋78＝238.3.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称. (1)求ω，φ的值； (2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π2，求f(x)的最大值与最小值， 【答案】(1)ω＝23.(2) ⎣⎡⎦⎤3kπ－3π2，3kπ，k ∈Z (3) 函数f(x)的最大值为1，最小值为0. 【解析】(1)因为f(x)＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f(x)＝cos ωx.因为图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称， 所以ω×34π＝π2＋mπ，m ∈Z ，ω＝23＋4m3，又0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f(x)＝cos 23x ，由－π＋2kπ≤23x≤2kπ，且 k ∈Z 得，3kπ－3π2≤x≤3kπ，k ∈Z ，所以函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤3kπ－3π2，3kπ，k ∈Z . (3)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3， 当23x ＝0时，即x ＝0，函数f(x)的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f(x)的最小值为0.题型五三角函数求值问题 1.设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A ．3π4B ．5π4C ．7π4D ．5π4或7π4【答案】 C【解析】∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4. 2.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值. 【答案】（1）f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－2π3，2kπ＋π3(k ∈Z )（2） 【解析】 (1)f(x)＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6，（2）43－310由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1，因此2π3ω＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.由2kπ－π2≤x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，得2kπ－2π3≤x≤2kπ＋π3(k ∈Z )， 所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－2π3，2kπ＋π3(k ∈Z ). (2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x 2， 由g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.3.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值. 【答案】－3＋23 【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－33－⎝⎛⎭⎫1－13＝－3＋23. 题型六 简单的三角恒等变换1.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0【答案】选D【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝－⎝⎛⎭⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.2.计算cos 10°－3cos －100°r(1－sin 10°)＝________(用数字作答)．【答案】2【解析】cos 10°－3cos －100°r(1－sin 10°)＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2sin 40°＝2sin10°＋30°r(2sin 40°)＝2.3.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.【答案】π3【解析】由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.。
高考数学模拟题汇编《三角函数》专项练习题-带答案
高考数学模拟题汇编《三角函数》专项练习题-带答案1.（2024·天津和平区·高三上期末）已知函数()sin (0)f x x ωω=> 函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2 将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度 再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 得到的图象所表示的函数为（ ） A. ()πsin 24h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()1πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()cos2h x x = 2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><< 若函数()y f x =的部分图象如图所示 函数()()sin g x A Ax ϕ=- 则下列结论正确的个数有（ ）①将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象 ②函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称 ③函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦④若函数()()0g x θθ+≥为偶函数 则θ的最小值为7π12． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个3.（2024·天津河北区·高三上期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象 则下列命题中不正确．．．的是( ) A. 函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B. 函数()y g x =图象关于1112π=x 对称C. 函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称 D. 函数()y g x =在5(0,)12π内单调减函数.4.（2024·天津河东区·高三上期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔①()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 ①()f x 的最小正周期T π= ①()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有( )A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（2024·天津河西区·高三上期末）将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位 得到函数()y g x =的图像 若函数(y g x =）的一个极值点是π6 且在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 则ω的值为（ ）A.23B.43C.83D.1636.（2024·天津红桥区·高三上期末）已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2 ()f x 的最小正周期为π 则ω=______ ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是______.7.（2024·天津南开区·高三上期末）设函数()()3sin (0,π)f x x ωϕωϕ-><.若π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 的最小正周期大于2π 则（ ）A.17π,312ωϕ==-. B. 111π,324ωϕ== C. 2π,312ωϕ==- D. 211π,312ωϕ== 8.（2024·天津宁河区·高三上期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π12x =-对称 它的最小正周期为π 关于该函数有下面四个说法： ①()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭ ②()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 ()f x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦④把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度 可得到()f x 的图象．以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 49.（2024·天津五所重点校·高三上期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ 其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4且直线π12x =-是其一条对称轴 则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 点5π,024⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D. 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移π6个单位长度 可得到一个奇函数的图象10.（2024·天津西青区·高三上期末）将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后 得到一个偶函数的图象 则ϕ的取值不可能是（ ） A. 34π-B. 4π-C.4π D.54π 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的对称中心到对称轴的最小距离为π4将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y 轴对称 且()()12max 1f x f x -=关于函数()f x 有下列四种说法： ①π6x =是()f x 的一个对称轴 ②π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 ③()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ④若()()120f x f x == 则12π2k x x -= ()k ∈Z ． 以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 412.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）已知函数())3cos cos f x x x x =+.下列结论错误．．的是（ ） A. ()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭ B. π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 C. ()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后 再向上平移12个单位长度 可得到()f x 的图象.13.（2024·天津部分区·高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π6个单位长度 得到函数()g x 的图象 则()g x 所具有的性质是（ ） A. 图象关于直线π6x =对称 B. 图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C. ()g x 的一个单调递增区间为ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 曲线()y g x =与直线32y =的所有交点中 相邻交点距离的最小值为π6答案：1.（2024·天津和平区·高三上期末）已知函数()sin (0)f x x ωω=> 函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2 将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度 再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 得到的图象所表示的函数为（ ） A. ()πsin 24h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. ()1πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. ()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. ()cos2h x x =【答案】A 【详解】由题意得π42T = 22T ππω== 则1ω= 所以()sin f x x = 则将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度变为()πsin 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 得到的图象所表示的函数为()πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><< 若函数()y f x =的部分图象如图所示 函数()()sin g x A Ax ϕ=- 则下列结论正确的个数有（ ）①将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象 ②函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 ③函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦④若函数()()0g x θθ+≥为偶函数 则θ的最小值为7π12． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【详解】因为1311A A --=-⎧⎨-=⎩ 所以2A = 所以()()2cos 21f x x ϕ=+-．又因为()02cos 12f ϕ=-= 得3cos 2ϕ=（舍）或1cos 2ϕ=- 因为0πϕ<< 可得23ϕπ=所以()2π2cos 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度得到 ()π2π2π3π2π2cos 22cos 22sin 263323y x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故A 正确对于B 令2π2π,3x k k -=∈Z 解得ππ,32k x k =+∈Z 所以()g x 关于点()ππ,023k k ⎛⎫⎪⎝⎭+∈Z 对称当1k =-时 对称点为π,06⎛⎫-⎪⎝⎭故B 正确 对于C π32g ⎛⎫=⎪⎝⎭ π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ23g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故C 错误 对于D 函数()()0g x θθ+≥为偶函数 即()2π2sin 223g x x θθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭为偶函数 所以2ππ2π32k θ-=+ Z k ∈ 解得7ππ122k θ=+ Z k ∈ 又0θ≥ 所以当1k =-时π12θ=为最小值 故D 错误． 故选：B ．3.（2024·天津河北区·高三上期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象 则下列命题中不正确．．．的是 A. 函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B. 函数()y g x =图象关于1112π=x 对称C. 函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称 D. 函数()y g x =在5(0,)12π内单调减函数.【答案】C 【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位后得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数()g x 的对称中心横坐标为262x k πππ+=+ 即()62k x k Z ππ=+∈ C 选项错误 故选C ．4.（2024·天津河东区·高三上期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔①()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 ①()f x 的最小正周期T π= ①()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有( )A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①【答案】A 【详解】因为()30f = 所以3sin ϕ= 由于0ϕπ<< 所以3πϕ=或23π 由于图象最高点在y轴左侧 所以23ϕπ= ①不正确 因为06f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以2sin()063ππω+= 解得2,63k k ωππ+=π∈Z 64k ω=- 令1k =得2ω= 周期为π ①正确由2222,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 可得,1212k x k k 7πππ-≤≤π-∈Z 令0k =可得增区间为7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦①正确 因为3x π=时 24233x ππ+=所以3x π=不是对称轴 ①不正确 故选：A. 5.（2024·天津河西区·高三上期末）将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位 得到函数()y g x =的图像 若函数(y g x =）的一个极值点是π6 且在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 则ω的值为（ ）A.23B.43C.83D.163【答案】A 【详解】由题意得：()ππππ2sin 2sin 3636g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦又函数(y g x =）的一个极值点是π6即π6x =是函数()g x 一条对称轴所以πππππ6362k ωω++=+ 则223k ω=+（k ∈Z ） 函数 ()g x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 则函数()g x 的周期2πππ263T ω⎡⎤⎛⎫=>-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解得02ω<< 则0k = 23ω=故选：A. 6.（2024·天津红桥区·高三上期末）已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2 ()f x 的最小正周期为π 则ω=______ ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是______. 【答案】 ①. 2 ①. ππ[,]62【详解】依题意 函数22())f x a b x ωϕ=++ 222a b + 2ππω= 解得2ω=又π()26f = 则ππ22π,Z 62k k ϕ⨯+=+∈ 即πZ π2,6k k ϕ=+∈ 因此π()2sin(2)6f x x =+ 当π[0,]2x ∈时 ππ7π(2)[,]666x +∈由ππ7π2266x ≤+≤ 解得ππ62x ≤≤ 于是()f x 在ππ[,]62上单调递减所以2ω= ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是ππ[,]62.故答案为：2 ππ[,]627.（2024·天津南开区·高三上期末）设函数()()3sin (0,π)f x x ωϕωϕ-><.若π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 的最小正周期大于2π 则（ ）A.17π,312ωϕ==-. B. 111π,324ωϕ== C. 2π,312ωϕ==- D. 211π,312ωϕ== 【答案】C 【详解】由()f x 的最小正周期大于2π 可得π42T > 因为π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得5ππ3π4884=+=T 则3πT = 且0ω> 所以2π23T ω==即2()3sin 3ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭f x x 由5π25π3sin 3838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得5ππ2π122ϕ-=+k k ∈Z 则π2π12k ϕ=-- k ∈Z 且π<ϕ 可得0k = π12ϕ=- 所以23ω=π12ϕ=-.故选：C ．8.（2024·天津宁河区·高三上期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π12x =-对称 它的最小正周期为π 关于该函数有下面四个说法：①()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭ ②()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 ()f x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦④把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度 可得到()f x 的图象．以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【详解】()f x 的最小正周期为π 所以2ππω= 得2ω=由()f x 关于π12x =-对称 则ππsin 1126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以πππ,Z 62k k ϕ-+=+∈ 解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈ 又π2ϕ< 所以π3ϕ=- 所以()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于①：πππsin 01263f ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①错误对于②：由5π11π1212x ≤≤得ππ3π2232x ≤-≤ 函数sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ②正确对于③：由π02x ≤≤得ππ2π2333x -≤-≤ 函数sin y x =在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 所以()f x 的取值范围为32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③错误 对于④ 把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④正确故选：B.9.（2024·天津五所重点校·高三上期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ 其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4且直线π12x =-是其一条对称轴 则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 点5π,024⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D. 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移π6个单位长度 可得到一个奇函数的图象【答案】C 【详解】对于A 由题意可知 函数()f x 的最小正周期为ππ242T =⨯= A 错误 2π4Tω== ()()sin 4f x x ϕ=+因为直线π12x =-是函数()f x 的一条对称轴 则()ππ4πZ 122k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭得()5ππZ 6k k ϕ=+∈ 因为π2≤ϕ 则π6ϕ=- 所以 ()πsin 46f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.对B 当ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时 5πππ4666x -≤-≤ 故函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调 B 错对C()5πsin π024f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 故点5π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 C 对 对D 由题意可知 ()πππsin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦不为奇函数 D 错. 故选：C. 10.（2024·天津西青区·高三上期末）将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后 得到一个偶函数的图象 则ϕ的取值不可能是（ ） A. 34π-B. 4π-C.4π D.54π 【答案】B 【详解】将()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到的图象对应的函数为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由题意得()42k k Z ππϕπ+=+∈ ①()4k k Z πϕπ=+∈当1,0,1k =-时 ϕ的值分别为34π-4π 54π所以ϕ的取值不可能是4π-.故选：B. 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的对称中心到对称轴的最小距离为π4将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y 轴对称 且()()12max 1f x f x -=关于函数()f x 有下列四种说法： ①π6x =是()f x 的一个对称轴 ②π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 ③()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ④若()()120f x f x == 则12π2k x x -= ()k ∈Z ． 以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为π4可得1π44T = 即2ππT ω== 得2ω= 将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后可得()2πsin 23f x A x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭其图象关于y 轴对称 所以()f x 偶函数 则2πππ32k ϕ-+=+ Z k ∈ 解得7ππ6k ϕ=+ Z k ∈ 由π2ϕ<可知当1k =-时 π6ϕ=符合题意由()()12max 21f x f x A -==可得12A = 因此()1πsin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于① 当π6x =时 π1ππ1sin 262662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取得最大值所以π6x =是()f x 的一个对称轴 即①正确 对于② 当π3x =-时 π12ππ1sin 032362f ⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π,03⎛⎫-⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心 即②错误 对于③ 当π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时 可得ππ7π2,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 又sin y x =在π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调 所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递增的 所以③错误 对于④ 若()()120f x f x == 由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期 所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍 由()1πsin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭周期为π可得12π2k x x -=()k ∈Z 即④正确 所以正确的个数只有①和④共2个.故选：B12.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）已知函数())3cos cos f x x x x =+.下列结论错误．．的是（ ） A. ()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭ B. π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 C. ()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后 再向上平移12个单位长度 可得到()f x 的图象.【答案】A 【详解】由题意可得：()()3sin cos cos f x x x x =+3cos21π1sin 2262+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭x x x 对于选项A ：因为5π5ππ111sin sin π1266222⎛⎫⎛⎫=++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 所以()f x 的一个对称中心为5π1,122⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故A 错误 对于选项B ：πππ1π13sin sin 6362222⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 所以π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 故B 正确 对于选项C ：因为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 则πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 且sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增 所以()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 故C 正确对于选项D ：把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后 得到πππππcos 2cos 2cos 2sin 263626⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x x x x 的图象 再向上平移12个单位长度 得到()π1sin 262⎛⎫=++= ⎪⎝⎭y x f x 的图象 故D 正确 故选：A. 13.（2024·天津部分区·高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π6个单位长度 得到函数()g x 的图象 则()g x 所具有的性质是（ ）A. 图象关于直线π6x =对称B. 图象关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称 C. ()g x 的一个单调递增区间为ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 曲线()y g x =与直线3y =的所有交点中 相邻交点距离的最小值为π6 【答案】D 【详解】由题意()ππsin 2sin 326g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A 133πππ33sin g ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以图象不关于直线π6x =对称 故A 错误 对于B 5π5ππ1sin 022163g ⎛⎫⎛⎫=+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以图象不关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称 故B 错误 对于C 当ππ,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 2π2,ππ3t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦ 由复合函数单调性可知此时()g x 单调递减 故C 错误 对于D 若()23π3sin 2g x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 则ππ22π33x k +=+或()π2π22π,Z 33x k k +=+∈ 所以曲线()y g x =与直线3y =的所有交点中 相邻交点距离的最小值为2πππ3326=-.故选：D.。
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一、选择题（本题每小题5分，共60分） 1．已知tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++，则cos()A B +的值是（ ）A． B ．C ．D ． 12±2．将函数()sin y f x A =的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数212sin y x =-, 则()f x 是 （ ）A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x3．已知钝角α的终边经过点()sin 2,sin 4P θθ，且5.0cos =θ，则α的值为（ ）A ．()1arctan2-B ．()arctan 1-C ．1arctan 2π- D ．34π4．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-和直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为1P ，2P ，3P ，…，则24P P 等于（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π5．已知函数sin()cos()22y x ππθθ=++在2x =时最大值, 则θ的一个值是 （ ） A ．4π B ．2πC ．23π D ．34π 6．若5sin()413πα-=,且(0,)2πα∈, 则cos 2cos()4απα+值为 （ ）A ．1213B ．2413C ．1113D ．23137．若)2,0[πθ∈，)sin 4,cos 3(),sin ,(cos 21θθθθ--==OP ，则12P P u u u u r的取值范围是（ ）A ．[4，7]B ．[3，7]C ．[3，5]D ．[5，6]8．如图是半径为3米的水轮,水轮圆心O 距离水面2米.已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上一点P 到水面的距离Y （米）与时间X （秒）满足函数关系式()()sin 20,0,y K x K R ωφωφ=++>>∈,则有 （ ）A ．2,315K πω== B ．15,32K ωπ== C ．2,515K πω== D ．15,52K ωπ==9．已知()()2cos f x x m ωϕ=++，恒有()()3fx f x π+=-成立，且()16f π=-，则实数m的值为( ) A ．1± B ．3±C ．－1或3D ．－3或110．已知A 是△ABC 的一个内角，且2sin cos 3A A +=，则△ABC 是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定11．函数sin cos y a x b x =-的一条对称轴方程为4x π=，则直线0ax by c -+=的倾斜角是（ ）A ．45°B ．135°C ．60°D ．120°12．已知函数)(x f y =图象如图甲，则()sin 2y f x x π=-在区间[0，π]上大致图象是（ ）二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．定义运算a b *为:()(),a a b a b b a b ≤*=>⎧⎨⎩例如，121*=,.14．电流强度I （安）随时间t I=sin()(0,0)6A t A πωω⋅+>≠的图象如图所示，则当150t =秒时，电流强度是 安.15．22[3cos 6][3sin ]22θθ-+最小值为__________. 16．已知点1122(,),(,)A x y B xy 是函数)0(sin <<-=x x y π上的两个不同点，且21x x <，试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性：①2211sin sin x x x x <；②21sin sin x x <；③sin )sin (sin 2121>+x x 221x x +；④2221sin sin xx >。
其中正确不等式的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知()[sin())]cos()222f x x x x θθθ=++⋅+.若],0[πθ∈且f(x)为偶函数，求θ的值.18．（本小题满分12分）已知：a R a a x x x f ,.(2sin 3cos 2)(2∈++=为常数） （1）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期；（2）若)(x f 在[,]66ππ-上最大值与最小值之和为3，求a 的值；（3）在（2）条件下)(x f 先按m 平移后再经过伸缩变换后得到.sin x y =求.19．（本小题满分12分）已知定义在区间]32,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称，当]32,6[ππ-∈x 时，函数)22,0,0()sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f ， 其图象如图所示. （1）求函数)(x f y =在]32,[ππ-（2）求方程()f x =.20．（本小题满分12分） 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),||5a b a b ααββ==-=r r r rx（1）求cos()αβ-的值； （2）若50,0,sin ,sin 2213ππαββα<<-<<=-且求的值.21．（本小题满分12分）已知函数()sin(),f x x x R ωϕ=+∈，(其中0ω>)的图象与x 轴在原点右侧的第一个交点为(6,0)N ,又(2)(2),(0)0f x f x f +=-<,求这个函数的解析式.22．（本小题满分14分）已知△ABC 的周长为6，,,BC CA ABu u r u u r u u r成等比数列，求（1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BA BC ⋅u u r u u r的取值范围.参 考 答 案（三）一、选择题：(1).C (2).B (3).D (4).A (5).A (6).B (7).B (8).A (9).D (10).B (11). B (12). D二、填空题：(13). [－1] ; (14).5 ; (15).27- ; (16). ①③三、解答题17．解：()[sin())]cos()222f x x x x θθθ=+++2sin()cos()()222x x x θθθ=+⋅++1sin(2)cos(2)]sin(2)23x x x πθθθ=+++=++……5分∵f(x)为偶函数。
∴()()f x f x -≡…………7分;即sin(2)sin(2)33x x ππθθ-++≡++得sin 2cos()03x πθ⋅+≡…………9分∴cos()0,3πθ+=…………11分 又[0,]θπ∈∴6πθ=.………12分 18．解：()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++Q ……2分 （1）最小正周期22T ππ==……4分 （2）[,]2[,]2[,]6633662x x x πππππππ∈-⇒∈-⇒+∈-1sin(2)126x π∴-≤+≤…6分即()21max 2330()11min f x a a a f x a =++⎧∴+=⇒=⎨=-++⎩ ……8分（3）()2sin(2)16f x x π=++π−−−−−→先向左平移12再向上平移1()2sin 2f x x=……10分(,1)12m π=-u r……12分19．解：（1）当],[326ππ-∈x 时，函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<，观察图象易得：3,1,1πϕω===A ，即时，函数)sin()(3π+=x x f ，由函数)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称得，],[6ππ--∈x 时，函数x x f sin )(-=. ∴⎪⎩⎪⎨⎧--∈--∈+=),[sin ],[)sin()(63263πππππx x x x x f .（2）当],[326ππ-∈x 时，由223)sin(=+πx 得，125124343πππππ=-=⇒=+x x x 或或； 当],[6ππ--∈x 时，由sin x -得，344x x ππ=-=-或.∴方程22)(=x f 的解集为35441212{,,,}ππππ---20. 解：（1）(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ==r rQ (cos cos sin sin ).a b αβαβ∴-=--rr……2分||a b -r rQ ……4分 3422cos().cos().55αβαβ--=∴-=即……6分（2）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<Q ……7分34cos(),sin().55αβαβ-=∴-=Q ……8分 512sin ,cos .1313ββ=-∴=Q …9分4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin ().51351365ααββαββαββ∴=-+=-+-=⋅+⋅-=…12分21. 解：Θ(2)(2)f x f x +=-∴()f x 关于2x =对称，又x 轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）∴6244T =-=,即16T = ∴28T ππω==…4分 将(6,0)N 代入()sin()8f x πϕ=+得：3sin()04πϕ+=得： 24k πϕπ=+或52()4k k Z πϕπ=+∈…8分Θ(0)0f <∴524k πϕπ=+(k ∈Z),满足条件的最小正数54πϕ=……10分∴所求解析式5()sin()84f x x ππ=+……12分22.解设,,BC CA ABu u u r u u u r u u u r 依次为,,a b c,则26,a b c b ac++==,由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥= 故有03B π<≤，又6,22a c bb +-≤=从而02b <≤…6分（1）所以11122sin sin 2sin 2223S ac B b B π==≤⋅⋅max S 8分 （2）所以22222()2cos 22a c acb ac b BA BC ac B +--+-⋅===u u u r u u u r 22(6)32(3)272b b b --==-++…12分02218b BA BC <≤∴≤⋅<u u u u r u u u u rQ ……14分。