2 平面简谐波

质点的振动速度， 质点的振动速度，加速度
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
5
平面简谐波
二 波函数的物理含义
1 x一定， 变化 一定， t 令 ′ =
2πx + y = Acosωt λ
y
o
x
8
平面简谐波
3 x、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播. 即不同时刻的波形，体现了波的传播
y
O
u
x
9
平面简谐波
4 沿 x轴方向传播的波动方程 如图， 如图，设 O 点振动方程为
yO = Acos(ωt +)
x P 点振动比O点超前了 t = u
平面简谐波
一
平面简谐波的波函数
轴正方向传播， 设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
yO = Acos(ωt +)
u
P
y
A
x
A
O
x
1
ห้องสมุดไป่ตู้
平面简谐波
yO = Acos(ωt +)
yO表示质点O 在 t 时刻离开平衡位置的距离 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上 P 点(坐标 x ), P 点比 O 点的 x 振动落后 t = , P 点在 t 时刻的位移是 O 点
y
A
u
P x
x
A
O
10
平面简谐波
故P点的振动方程（波动方程）为： 点的振动方程（波动方程）
x y = yo (t + t) = Acos[ω(t + ) +] u
对波动方程的各种形式， 应着重从 对波动方程的各种形式 ， 物理意义上去理解和把握. 物理意义上去理解和把握 从实质上看：波动是振动的传播 从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播 从形式上看：波动是波形的传播.
15
平面简谐波
例2 一平面简谐波以速度 u = 20 m s 沿直线传播， 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A = 3 ×102 cos(4 π t ) ; ( y, t 单位分别为 ，s). 单位分别为m， 为坐标原点，写出波动方程； ) 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； ) 的简谐运动方程； (3)求传播方向上点 、D 的简谐运动方程； )求传播方向上点C 两点间的相位差. (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差. )
λ = 10 m
xC xD
λ
22 = 2π = 4.4π 10
9m
u
8m C B 5m
λ = 10 m
D
oA
x
21
y A = 3 × 10 λ cos( 4 π t ) = 10 m
5m 9m
2
oA
D
x
20
平面简谐波
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差 )
y A = (3 ×10 m) cos(4 π s )t xB xC 8 B C = 2π = 2π = 1.6π λ 10
2
1
C D = 2π
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
17
平面简谐波
为坐标原点， (2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程 ) 2 y A = 3 × 10 cos( 4 π t ) 5 xB x A =π = 2π B A = 2π 10 λ
B =π
y B = 3 ×10 cos(4 π t + π) t x 2 ) + π] (m) y = 3 ×10 cos[2 π( 0.5 10
2π
λ
x +
y
O
则 y = Acos(ωt +′)
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系） 点处质点的振动方程（ 的关系）
y ( x ,t ) = y ( x ,t + T ) （波具有时间的周期性） 波具有时间的周期性）
6
平面简谐波
波线上各点的简谐运动图
7
平面简谐波
2πx + 2 t一定 x变化 y = Acosωt λ （定值） 令 ′′ = ωt + = C 定值） 2πx +′′ 则 y = Acos λ 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 时刻的波形（ 的关系） 的位移 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
u 时刻的位移， 在 t t 时刻的位移，由此得
y
A
u
P
x
A
O
x
2
平面简谐波
yP = yO (t t) = Acos[ω(t t ) + φ]
x = Acosωt + u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 为波传播方向上任一点， 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 具有一般意义， 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程. 面简谐波的波函数，又称波动方程
t x y = A cos[ 2π ( ) + ] T λ
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平面简谐波
t x y = A cos[ 2π ( ) + ] T λ t=0 x=0
π y y = 0, v = > 0 = 2 t t x π y = cos[ 2 π ( ) ] (m) 2 .0 2 .0 2
O
v A
y ω
2
u
8m C B
y A = 3 × 10 λ cos( 4 π t ) = 10 m
5m 9m
2
oA
D
x
19
平面简谐波
点 D 的相位落后于点 A AD 2 ) y D = 3 × 10 cos(4πt 2 π λ 9 2 = 3 × 10 cos(4πt π) (m) 5
λ = 10 m
u
8m C B
11
平面简谐波
轴正方向传播， 例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A = 1.0 m， = 2 .0 s， = 2.0 m. 在 t = 0 T λ 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 ( )波动方程； ) 波形图； 运动. 运动 求： 1)波动方程；(2)t = 1 . 0 s波形图； (3) x = 0.5 m 处质点的振动规律并作图 处质点的振动规律并作图. ) 解 (1) 写出波动方程的标准式 )
-1
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
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平面简谐波
为坐标原点， (1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程 )
A = 3 ×102 m T = 0.5 s = 0
λ = uT = 10 m
t x y = A cos[ 2π ( ) + ] T λ t x 2 y = 3 × 10 cos 2 π ( ) (m) 0 .5 10
2
u
8m C 5m A 9m D
oB
x
18
平面简谐波
(3) 写出传播方向上点 、D的运动方程 ) 写出传播方向上点C 的运动方程 的相位比点A 点C 的相位比点 超前
yC = 3 × 10
2
cos( 4 π t + 2 π
AC
λ
)
13 = 3 × 10 cos( 4 π t + π ) (m) 5
时刻波形图
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平面简谐波
(3) x = 0.5 m 处质点的振动规律并作图 ) t x π y = 1.0 cos[2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x = 0 .5 m 处质点的振动方程
y = cos[π t π ] (m)
y
3 4 1.0
y/m
3 *
4 2 * 1.0 * 2.0 * t / s 0 O 2 * -1.0*1 1 ω x = 0 .5 m 处质点的振动曲线
3
平面简谐波
2π = 2πν 和 λ = uT 利用 ω = T 可得波动方程的几种不同形式： 可得波动方程的几种不同形式：
x y = Acosωt + u t x = Acos2π + T λ 2πx = Acosωt + λ
4
平面简谐波
波函数
x y = A cos[ω (t ) + ] u
13
平面简谐波
(2)求 t = 1 . 0 s 波形图 ) t x π y = 1.0 cos[ 2 π ( ) ] 2 .0 2 .0 2 π y = 1 .0 cos[ π x ] 2 t = 1 .0 s = sin πx (m) 波形方程
y/m
1.0
0
2.0
t = 1 .0 s
x/m
-1.0