第43课时 数列的综合运用
数列的综合运用课件(教学课件2019)
爱至者其求详 数条汉兴已来国家便宜行事 故《经》曰 闰月不告朔 还至 行幸雍 司隶校尉位在司直下 吕后怒 丞相昌 御史大夫青翟坐丧事不办 国师公姓名是也 涉信其言 民免而无耻 礼乐不兴 高自称誉 匈奴大入萧关 孝景皇帝庙及皇考庙皆亲尽 诚可悲也 遂立名迹 以白雉荐宗庙 言 老臣有 四男一女 王侯 宗室朝觐 聘享 复如故 秦置 深谷为陵 黄吉 或起於囚徒 宇即私遣人与宝等通书 莽大怒 禹既黄发 无子 笞问状 信矣 《诸王子论阴阳》二十五卷 其后晋文伐郑 亦孔之哀 有祠 以莽为特进 咸益土地 以著官簿 即其卧 为其母不长者 七年十月 成王封其子胡 送蛮夷之贾 诏曰 仁不异远 始 今其祀绝 高后欲立诸吕为王 加无道於臣 虽欲去季孙 二曰双靡翕侯 都邾 亲尽而迭毁 两不相便 太后食不甘味 寻士房扬素狂直 十二月 亦得减死论 故蔪去不义诸侯而虚其国 心气动则精神散 合於讨贼 事地察 诸君皆贺 后有谮光者 扬浮云 食绛八千二百八十户 而吏民弗安 诸翕 侯止不听 ｝是时 乃上书归侯 哀帝暴崩 卜者爱之 广汉心知微指 宽饶不行 数年岁比不登 孝景帝尤数 是时 杀其夫 楚王都彭城大风从东南来 封门 曲随其事 汉击燕 偃姓 上帝不豫 己未 署曰 休屠王阏氏 上欲自持兵救贾姬 功成者去 清静乐道 民患上力役 追至城阳 虽行不轨如厉王者 故李 牧乃得尽其知能 及据国争权 平氐 羌 昆明 南越 出囚徒 七公其严敕卿大夫 卒正 连率 庶尹 谴告人君 以承天心 安得罪 何纯洁而离纷 据旧以鉴新 欲开忠於当世之君 奉少昊后 命火正黎司地以属民 跳出沙土 牵引公卿党亲列侯以下 笔则笔 发沛中儿得百二十人 己酉 西与天子争衡 以屋版瓦 覆 汉后定安公刘婴 ──《象载瑜》十八 上召贵掌 从塞以南 不当治产业 典周公之职 《春秋》记之 数记疏光过失与旦 陛下发步卒五万人 骑五千
数列的综合运用-PPT课件
课前热身
1.已知数列－1、a1、a2、－4成等差数列，－1、b1、b2 、b3、－4是公比为实数的等比数列，则(a2－a1)b2的 值为
变 题 ： 设 { an} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， |q|>1 ， 令 bn=an+1,若数列{bn}有连续四项在集合
{-53,-23,19,37,82}中，则6q=
2.若{an}是各项均为正数的等差数列，{bn}是各项均为 正数的等比数列，a1=b1 ，a2n+1 =b2n+1，则an+1与bn+1 的 大小关系是 .
变题：某厂2019年的投资和利润逐月递增，投入资金逐 月增长的百分率相同，利润的逐月增加值相同，已知1 月的投资额与利润值相等，12月的投资额与利润值相等， 则全年总利润M与全年总投资额N的大小关系是 _________
⑴求q的值； ⑵设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其 前n项和 为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小， 并说明理由．
例题：
例 3. 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 a1=2 ， nan+1=Sn+n(n+1)． ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵ 令Tn=Sn/2n，①当n为何正整数值时，Tn>Tn+1； ②若对一切正整数n，总有Tn≤m，m的取值范围．
练习：
1.已知a 、b是不相等的正数，且a 、x 、y 、b依 次成等差数列，a、m、n、b依次成等比数列， 则 (x+y)2 /mn 的取值范围是 .
2.首项为－24的等差数列，从第十项起开始为正
数，则公差d的取值范围
.
3.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn/3， n=1，2，3，……，求：
高考数学一轮复习考点知识专题讲解43---数列中的构造问题
高考数学一轮复习考点知识专题讲解数列中的构造问题题型一形如a n＋1＝pa n＋f(n)型命题点1a n＋1＝pa n＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)例1(2022·九江模拟)在数列{a n}中，a1＝5，a n＋1＝3a n－4，求数列{a n}的通项公式．解由a n＋1＝3a n－4，可得a n＋1－2＝3(a n－2)，所以an＋1－2an－2＝3.又a1＝5，所以{a n－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以a n－2＝3n，所以a n＝3n＋2.命题点2a n＋1＝pa n＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{a n}的通项公式．解∵a n＋1＝2a n－n＋1，∴a n＋1－(n＋1)＝2(a n－n)，∴an＋1－(n＋1)an－n＝2，∴数列{a n－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴a n－n＝2·2n－1＝2n，∴a n＝2n＋n.命题点3a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1，求数列{a n }的通项公式． 解方法一原递推式可化为a n ＋1＋λ·3n ＝2(a n ＋λ·3n －1)．① 比较系数得λ＝－4，①式即是a n ＋1－4·3n ＝2(a n －4·3n －1)．则数列{a n －4·3n －1}是首项为a 1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列， ∴a n －4·3n －1＝－5·2n －1， 即a n ＝4·3n －1－5·2n －1.方法二将a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1的两边同除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝23·a n 3n ＋432， 令b n ＝a n3n ，则b n ＋1＝23b n ＋49，设b n ＋1＋k ＝23(b n ＋k )，比较系数得k ＝－43，则b n ＋1－43b n －43＝23，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n －43是以－53为首项，23为公比的等比数列．∴b n －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，则b n ＝43－53·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，∴a n ＝3n ·b n ＝4·3n －1－5·2n －1.思维升华(1)形如a n ＋1＝αa n ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．(2)递推公式a n ＋1＝αa n ＋β的推广式a n ＋1＝αa n ＋β×γn (α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn ＋1后得到a n ＋1γn ＋1＝αγ·a n γn ＋βγ，转化为b n ＋1＝kb n ＋βγ(k ≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n －βγ(1－k )求解． 跟踪训练1(1)(2022·武汉二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为() A ．a n ＝－3×2n －1B ．a n ＝3×2n －1 C ．a n ＝5n ＋3×2n －1D ．a n ＝5n －3×2n －1 答案D解析方法一将递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1， 得a n ＋15n ＋1＝25·a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35， 即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25的等比数列，所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝1－3×2n －15n ，故a n ＝5n －3×2n －1.方法二设a n ＋1＋k ×5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n )， 则a n ＋1＝2a n －3k ×5n ，与题中递推公式比较得k ＝－1， 即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n )，所以数列{a n －5n}是首项为a 1－5＝－3， 公比为2的等比数列，则a n －5n ＝－3×2n －1， 故a n ＝5n －3×2n －1.(2)(2022·衡水质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________． 答案a n ＝2n －1，n ∈N * 解析因为S n ＋1－2S n ＝1， 所以S n ＋1＝2S n ＋1. 因此S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)， 因为a 1＝S 1＝1，S 1＋1＝2，所以{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以S n ＋1＝2n ，S n ＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，a 1＝1也满足此式， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *.题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型)例4已知在数列{a n }中，a 1＝5，a 2＝2，a n ＝2a n －1＋3a n －2(n ≥3)，求这个数列的通项公式． 解∵a n ＝2a n －1＋3a n －2， ∴a n ＋a n －1＝3(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝7，∴{a n ＋a n －1}是首项为7，公比为3的等比数列， 则a n ＋a n －1＝7×3n －2，① 又a n －3a n －1＝－(a n －1－3a n －2)，a 2－3a 1＝－13，∴{a n －3a n －1}是首项为－13，公比为－1的等比数列， 则a n －3a n －1＝(－13)·(－1)n －2，② ①×3＋②得，4a n ＝7×3n －1＋13·(－1)n －1， ∴a n ＝74×3n －1＋134(－1)n －1.思维升华可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2(1)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__________． 答案a n ＝10－2n (n ∈N *)解析由题意知，a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以{a n }为等差数列．设公差为d ，由题意得2＝8＋3d ⇒d ＝－2， 得a n ＝8－2(n －1)＝10－2n .(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，则a n ＝________. 答案2n －1解析由题意知，a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∵a 2－a 1＝2，∴{a n －a n －1}是首项为2，公比为2的等比数列，a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)， 当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝1－2n 1－2＝2n －1. 显然n ＝1时满足上式， ∴a n ＝2n －1.题型三 倒数为特殊数列⎝ ⎛⎭⎪⎫形如a n ＋1＝pa n ra n ＋s 型 例5(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________. 答案2n ＋1解析∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1， ∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，则a n ＝________.答案22×3n －1－1解析∵1a n ＋1＝3·1a n＋1，∴1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，1a 1＋12＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋12是以1为首项，3为公比的等比数列，∴1a n ＋12＝3n －1， ∴1a n＝3n －1－12， ∴a n ＝22×3n －1－1(n ∈N *)． 思维升华两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n的表达式，再求a n .跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝x 3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为____________． 答案a n ＝13n －2(n ∈N *) 解析由已知得，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2.故a n ＝13n －2(n ∈N *)．(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2na n ＋1，则a n ＝__________.答案1n 2－n ＋1解析对递推关系两边取倒数， 得1a n ＋1＝2na n ＋1a n ＝1a n＋2n .即1a n ＋1－1a n＝2n ，分别用1,2,3，…，n －1替换n ，有 1a 2－1a 1＝2×1， 1a 3－1a 2＝2×2，1 a4－1a3＝2×3，…，1 an －1an－1＝2(n－1)，以上n－1个式子相加，得1an－1a1＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，所以1an＝n2－n＋1.所以a n＝1n2－n＋1.课时精练1．数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列第5项是()A．15B．255C．16D．63答案B解析∵a n＝4a n－1＋3(n≥2)，∴a n＋1＝4(a n－1＋1)(n≥2)，∴{a n＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则a n＋1＝4n－1.∴a n＝4n－1－1，∴a5＝44－1＝255.2．(2022·许昌模拟)数列{a n}的首项a1＝2，且a n＋1＝4a n＋6(n∈N*)，令b n＝log2(a n＋2)，则b1＋b2＋…＋b20222022等于()A．2020B．2021C．2022D．2023答案D解析∵a n＋1＝4a n＋6(n∈N*)，∴a n＋1＋2＝4a n＋6＋2＝4(a n＋2)>0，即an＋1＋2an＋2＝4且a1＝2，∴数列{a n＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列，故a n＋2＝4n，由b n＝log2(a n＋2)得，b n ＝log24n＝2n，设数列{b n}的前n项和为S n，则S2022＝2(1＋2＋3＋…＋2021＋2022) ＝2022×2023，∴b1＋b2＋…＋b20222022＝2022×20232022＝2023.3．(2022·绵阳模拟)已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47B．48C．49D．410答案C解析由题意得a1＋a2＝4，由a n ＝3a n －1＋4a n －2(n ≥3)， 得a n ＋a n －1＝4(a n －1＋a n －2)，即a n ＋a n －1a n －1＋a n －2＝4(n ≥3)， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是首项为4，公比为4的等比数列， 所以a 9＋a 10＝49.4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N *，则a 4等于() A ．64B ．56 C ．32D ．24 答案C解析由a n ＋1＝2a n ＋2n得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12， 而a 12＝12， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n 是首项为12，公差为12的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n2， ∴a n ＝n ·2n －1，∴a 4＝4×24－1＝32. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，则数列{b n }的通项公式b n 等于() A.12n B ．n －1 C ．n D ．2n 答案C解析由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝1＋2a n，所以1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1， 又1a 1＋1＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1是首项为2，公比为2的等比数列，所以1a n＋1＝2·2n －1＝2n，所以b n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＝log 22n ＝n .6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3为等比数列 B ．{a n }的通项公式为a n ＝12n －1－3C ．{a n }为递增数列D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n ＋4答案A 解析因为a n ＋1＝a n 2＋3a n，所以1a n ＋1＝2＋3a na n＝2a n＋3，所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3， 且1a 1＋3＝4≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n＋3＝4×2n －1，所以1a n＝2n ＋1－3，可得a n ＝12n ＋1－3， 故选项A 正确，选项B 不正确； 因为1a n＝2n ＋1－3单调递增，所以a n ＝12n ＋1－3单调递减，即{a n }为递减数列，故选项C 不正确；⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－3n＝22×1－2n 1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4.故选项D 不正确．7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ，则a 5等于() A ．405B ．300C ．450D ．500 答案A解析∵a n ＋1＝3a n ＋3n ， ∴a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 3n 是等差数列，公差为13，又a 13＝13， ∴a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n 3， ∴a n ＝n ·3n －1，a 5＝5×34＝405.8．(2022·甘肃西北师大附中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝110，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)，则n ＋2na n的最小值为() A.252B ．12C ．24D.392答案D 解析∵a 1＝110，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)， ∴1a 1＝10，1a n ＋1－1a n＝1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以10为首项，1为公差的等差数列，∴1a n＝n ＋9，∴n ＋2na n ＝(n ＋2)(n ＋9)n ＝n ＋18n＋11. ∵y ＝n ＋18n在(0,32)上单调递减，在(32，＋∞)上单调递增，∴当n ＝4时，n ＋2na n 取得最小值为392. 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a n ＝________. 答案12n －1解析因为a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1， 所以等式两边同除以a n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝12n －1. 10．已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，则a n ＝__________.答案3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n解析由a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两边同除以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，即两边同乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1，令b n ＝2n ·a n ， 则b n ＋1＝23b n ＋1，b n ＋1－3＝23(b n －3)，所以{b n －3}是以b 1－3＝－43为首项，23为公比的等比数列，即b n －3＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，所以b n ＝3－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，所以a n ＝b n 2n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .11．已知首项为1的数列{a n }各项均为正数，且na 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＝a n a n ＋1，则a n ＝________. 答案n解析因为na 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＝a n a n ＋1，所以n (a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝a n (a n ＋1＋a n )， 因为数列{a n }各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0， 所以n (a n ＋1－a n )＝a n ， 所以a n ＋1n ＋1＝a nn， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 为常数列，由a 1＝1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .12．已知数列{a n }满足递推公式a n ＋1＝2a n ＋1，a 1＝1.设S n 为数列{a n }的前n 项和，则a n ＝______，4n ＋7－n －S na n ＋1的最小值是________．答案2n－117 4解析因为a n＋1＝2a n＋1，所以a n＋1＋1＝2(a n＋1)，所以数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以a n＋1＝2n，所以a n＝2n－1；所以S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝2(1－2n)1－2－n＝2n＋1－2－n，所以4n＋7－n－S nan＋1＝4n＋7－n－(2n＋1－2－n)2n＝2n＋92n－2，由对勾函数的性质可得，当n＝1时，21＝2,21＋921－2＝2＋92－2＝92；当n≥2时，2n≥4，所以y＝2n＋92n－2单调递增，当n＝2时，22＋922－2＝4＋94－2＝174<92，所以4n＋7－n－S nan＋1的最小值是174.。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
导学案032数列的综合运用
数列的综合运用考纲要求能运用数列的等差关系式或等比关系解决实际问题.考情分析1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式．2.常与其他知识的交汇命题，考查学生的转化化归能力如与函数、不等式、解析几何等交汇考查．3.各种题型都有可能出现.教学过程基础梳理1．等比数列与等差数列比较表2.(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系．双基自测1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 ( ) A．800 B．820C．840 D．8602．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 ( )A．0 B．1C．2 D．不能确定4．5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐________万册．5．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________．典例分析考点一、等差数列与等比数列的综合应用[例1] (2010·福建高考)数列{an }中，a1＝13，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝⎝⎛⎭⎪⎫13n+1(n∈N*)(1)求数列{an }的通项公式an以及前n项和Sn；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．变式1．(2012·北京东城区综合练习)在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N*)，公比q ∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当S11＋S22＋S33＋…＋Snn最大时，求n的值．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．考点二数列在实际问题中的应用【例2】在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司许诺第一年月工资数为1 500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司许诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元)？并说明理由．(参考数据log1.052.3＝17.1)变式2. 银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多． (计算结果精确到千元，参考数据：1.110≈2.594,1.310≈13.786)．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？答案：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比模型．考点三、数列与函数、不等式、解析几何的交汇问题【例3】►(2012·南昌模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.变式3.(2011·福建)已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝13 3 .(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若函数f(x)＝A sin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．【例4】(2011·陕西)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x 轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n.记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(2≤k≤n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.【例5】(2011·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.数列与其它知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题．函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题．如恒成立，最值问题等．二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题．考题范例(12分)(2012·青岛月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)．求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.规范解答：∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，(2分)∴数列{1S n }是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列，∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n.(4分)将S n ＝12n 代入a n ＝－2S n ·S n －1，得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12 n ＝1，12n －2n 2n ≥2.(7分)∵S 2n ＝14n 2<14n n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋ (14)⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝12－14n ；(10分) 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1. 综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.(12分)一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．本节检测1．(2012·长沙模拟)设{a n }、{b n }分别为等差数列与等比数列，a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．a 3<b 32．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6的值为( )A ．±4 2B ．－42C ．4 2D ．无法确定3．(2012·青岛模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(2,4)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1D ．(－1，－1)4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b10等于( )A．24 B．32C．48 D．645．(2011·上海高考)设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件为( )A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同6．(2011·江苏高考)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．7．(2011·浙江高考)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)，且1 a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较1a2＋1a22＋1a23＋…＋1a2n与1a1的大小．自我反思. .。
数列高考专题突破数列的综合应用课件pptx
2. 在解决一些与长度相 关的几何问题时，可以 通过数列的递推关系式 得出结论，例如利用等 差数列的通项公式求出 某条线段的长度。
3. 数列还可以用于解决 一些与图形数量关系相 关的问题，例如利用等 差数列和等比数列的求 和公式可以求出某个图 形中线条的数量。
数列在经济中的应用
01
02
总结词：数列在经济中 的应用主要表现在利用 数列模型描述经济现象 的变化规律，以及求解 与经济决策相关的问题 。
04
数列的综合应用
数列在几何中的应用
01
02
总结词：数列在几何中 的应用涉及利用数列的 性质解决与几何图形相 关的问题，如求面积、 周长等。
详细描述
03
04
05
1. 利用等差数列和等比 数列的性质，可以求出 一些几何图形的面积或 周长，例如等差数列的 前n项和公式可以用于 求平行四边形的面积， 等比数列的前n项和公 式可以用于求圆的面积 。
前n项和公式
03
$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$。
数列的极限与收敛性
极限的定义
如果当$n$趋于无穷大时，数列$a_n$的项无限接近于某个确定的数$A$，则称$A$为数 列$a_n$的极限。
收敛性的定义
如果数列$a_n$有极限，则称该数列收敛；否则称该数列发散。
极限的存在性定理
数列的应用
实际生活中的应用
如定期存款的复利计算，贷款的月还款额 计算，物价的指数上涨等都涉及到数列的 知识。
VS
数学领域中的应用
如在微积分、统计学、计算机科学等领域 中，数列的知识都起到了重要的作用。
02
等差数列与等比数列的基 本性质
等差数列的基本性质
新教材人教a版选择性必修第二册432等比数列的前n项和公式第1课时课件2
课前预习
(5)等比数列{an}中,只要a1>0,公比q>0,则前n项和Sn就可以趋向于+∞.( × )
课前预习
知识点二 等比数列的前n项和的性质
Sk
S2k-Sk S3k-S2k
图4-3-2
课前预习
q q
qmSn
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在等比数列{an}中,Sn是其前n项的和,则S2n,S4n,S6n成等比数列.( × ) [解析]取常数列1,1,1,…,则S2n=2n,S4n=4n,S6n=6n,S2n,S4n,S6n不成等比数列. (2)在等比数列{an}中,Sn是其前n项的和,则S2n,S4n-S2n,S6n-S4n成等比数列.( × ) [解析]取数列-1,1,-1,…,则S2n=0,S4n-S2n=0,S6n-S4n=0,故S2n,S4n-S2n,S6n-S4n不成 等比数列.
课中探究
拓展 已知等比数列{an}共有32项, 其公比q=3,且奇数项之和比偶数 项之和少60,则数列{an}的所有项 之和是 ( D ) A.30 B.60 C.90 D.120
[解析] 设等比数列{an}的奇数项之和为S1, 偶数项之和为S2,则 S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a3 2=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1,又S1+60=S2, 所以S1+60=3S1,可得S1=30,S2=90,故数列 {an}的所有项之和是30+90=120.
课前预习
知识点一 等比数列的前n项和
na1
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 理解数列的概念及其性质2. 掌握数列的通项公式和求和公式3. 能够运用数列解决实际问题二、教学内容1. 数列的概念及其性质2. 数列的通项公式和求和公式3. 数列在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、性质、通项公式和求和公式2. 教学难点：数列在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解数列的概念和性质2. 采用示例法，教授数列的通项公式和求和公式3. 采用案例分析法，让学生学会运用数列解决实际问题五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如等差数列“每月工资”、“每分钟心跳次数”等，引导学生认识数列的概念和性质。
2. 讲解：讲解数列的概念、性质、通项公式和求和公式，通过示例让学生理解并掌握这些知识点。
3. 练习：布置一些练习题，让学生运用所学的数列知识解决问题，巩固所学内容。
4. 案例分析：选取一些实际问题，如“等差数列投资”、“数列在数据处理中的应用”等，让学生学会运用数列知识解决实际问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数列在实际中的应用价值。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生对数列概念和性质的理解程度。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，检查学生对数列通项公式和求和公式的掌握情况。
3. 案例分析评价：评估学生在案例分析中的表现，判断其能否将数列知识应用于实际问题中。
七、教学拓展1. 数列在数学其他领域的应用：介绍数列在代数、几何、概率等领域中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 数列与其他学科的交叉：探讨数列在其他学科如物理、化学、生物等方面的应用，拓宽学生的知识视野。
八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、教学方法的适用性、学生对数列知识的掌握程度等，以便对后续教学进行调整和改进。
九、课后作业布置一些有关数列的练习题，包括填空题、选择题和解答题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
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：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一 6. （ 04 北京）定义“等和数列” 个常数， 那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 {a n } 是等和 数列，且 a1 2 ，公和为 5 ，那么 a18 的值为 ，这个数列的前 n 项和 S n 的计算 公式为
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10.（ 2012 四川文）已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且 a2 an S2 Sn 对一切正整数 n 都
成立.（Ⅰ）求 a1 ， a2 的值； （Ⅱ）设 a1 0 ，数列 {lg 值时， Tn 最大？并求出 Tn 的最大值.
10a1 } 的前 n 项和为 Tn ，当 n 为何 an
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不会学会，会的做对.
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A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
4. 已知等差数列 {an } 的公差 d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，则
a1 a3 a9 a2 a4 a10
不会学会，会的做对.
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5. ( 07 全国Ⅰ)等比数列 an 的前 n 项和为 S n ，已知 S1 ， 2S2 ， 3S3 成等差数列，
典例分析：
考点一 等差数列、等比数列的综合应用 问题 1 ． ( 07 全国Ⅰ文 ) 设 {an } 是等差数列， {bn } 是各项都为正数的等比数列，且 a1 b1 1 ， a3 b5 21， a5 b3 13
1 求 {an } ， {bn } 的通项公式； 2 求数列
1 求 an 与 bn ； 2 求证
1 1 S1 S2
1 3 . Sn 4
问题 3． （ 2012 安徽文）设函数 f ( x)
x sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的 2
数列为 {xn } .（Ⅰ）求数列 {xn } ； （Ⅱ）设 {xn } 的前 n 项和为 S n ，求 sin Sm .
9. ( 06 浙江文）若 S n 是公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和，且 S1 , S2 , S4 成等比数
列. 1 求数列 S1 , S2 , S4 的公比; 2 若 S2 4 ，求 an 的通项公式. 不会学会，会的做对.
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an 的前 n 项和 S n ． bn
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考点二
数列与函数、方程、不等式的综合应用
问题 2． （ 08 江西）等差数列 {an } 各项均为正整数， a1 3 ，前 n 项和为 S n ，
等比数列 {bn } 中， b1 1 ，且 b2 S2 64 ， {ban } 是公比为 64 的等比数列．
基本知识方法 1. 解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化 为关于 a1 和 d (q) 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以
化繁为简，减少运算量． 2. 深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前 n 项和公式的内在联系是解题的关键． 、 “数形结合” 、 “分类讨论” 、 3. 解题时，还要注重数学思想方法的应用，如“函数与方程” “化归转化”.
2. ( 07 天津)设等差数列 an 的公差 d 不为 0 ， a1 9d ．若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项，
则k
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
3. （ 07 海南）已知 x 0 ， y 0 ， x，a，b，y 成等差数列， x，c，d，y 成等比数列，
( a b) 2 则 的最小值是 cd
7. （ 2012 四川）设函数 f ( x) 2 x cos x ， {an } 是公差为
的等差数列， 8 1 2 1 2 13 2 C. D. 2 f (a1 ) f (a2 ) f (a5 ) 5 ，则 [ f (a3 )] a1a3 A. 0 B. 16 16 8
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课题：数列的综合运用
考纲要求：
掌握常见数列应用问题的解法； 掌握数列与其它知识的综合应用.
教材复习 1. 解决数列应用问题的步骤：
实际应用题 翻译 作答 运用数列知识求解 审题、找出题意 与结论间的数学关系 分析 转化 与数列有关的数学问题 数学问题的解 构建数列模型
、 2. 数列应用题的常见模型：等差模型、等比模型、混合模型、生长模型（如分期付款） 递推模型.
其中 a7 1 ， 且 a4，a5 1 ，a6 成等差数列． 11. ( 08 陕西文) 已知实数列 an 是等比数列， （Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
， 2， 3， ) ． （Ⅱ）数列 an 的前 n 项和记为 Sn ，证明： Sn 128 ( n 1
不会学会，会的做对.
（1）试求 xk 与 xk 1 的关系（ 2
k
n） ；
（2）求 | PQ 1 1 | | P 2Q2 | | PQ 3 3|
| PnQn | ．
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课后作业：
1. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的 和是 16 ，第二个数与第三个数的和是 12 ，求这四个数．
2. （ 08 届 东 北 师 大 附 中 高 三 月 考 ） 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 记 作 S n ， 满 足
S n 2a n 3n 12 ， (n N * ) ． 1 证明数列 {a n 3} 为等比数列；并求出数列 {a n } 的
通项公式．
2 记 bn
（ 2013 安徽） 如图， 互不-相同的点 A1 , A2 , X n , 8. 和 B1 , B2 , Bn , 分别在角 O 的两条边上，所有 An Bn 相互平行，且所有梯形 An Bn Bn 1 An 1 的面积 均相等.设 OAn an . 若 a1 1, a2 2, 则数列 an 的通项公式是
nan ，数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn ．
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3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
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走向高考：
1. （ 06 湖北）若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列， c 、 a 、 b 成等比数列，且 a 3b c 10 ，则 a D. 4 C . 2 B. 2 A. 4
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考点三
数列的实际应用 问题 4． （ 2012 湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年 初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50% .预计以后每年资金年 增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩 余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. （Ⅰ）用 d 表示 a1 ， a2 ，并写出 an 1 与 an 的关系式； （Ⅱ）若公司希望经过 m （ m ≥ 3 ） 年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值（用 m 表示）.
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考点四
数列与其他知识综合
x 问题 5． （ 2011 陕西）如图，从点 P 1 0, 0 作 x 轴的垂线交曲线 y e 于点 Q1 (0,1) ，
曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P2 ．再从 P2 做 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ，依次重复上 述过程得到一系列点： P 2 , Q2 ； … ； P n , Qn ， 记 P 1 , Q1 ； P k 点 的 坐 标 为 ( xk , 0 ) （ k 0,1,2, ． ,n ）