湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中2014学年高一下学期期中联考 数学试题 含答案

(含答案)一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1. 等比数列}{n a 中，如果5a 5=，8a 25=，则2a 等于 （ ）B.C.5D.12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若cos cos a cA C=，则△ABC 的形状是 （ ） A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 3. 在等差数列{a n }中, 若357911200a a a a a ++++=, 则5342a a -的值为（ ） A. 80 B. 60 C. 40 D. 204. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A cos C ＋sin C cos A ＝12 ，且a ＞b ，则∠B 等于 ( ) A. 5π6 B. 2π3 C. π3 D. π6 5. 已知首项为1的等比数列{a n }是摆动数列, S n 是{a n }的前n 项和, 且425S S =, 则数列{na 1}的前5项和为 （ ）A.31B.1631 C.1116D. 116.在△ABC 中, 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2a =, b+c=7, cosB=14-, 则c = （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,D 为垂足，AD 在ABC ∆的外部，且BD : CD :AD=2:3:6，则tan BAC ∠= （ ）A. 1B. 17C. 15D. 578.等差数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为S ，T ，R ，则 （ ） .A ()22S T S T R +=+ .B 3()R T S =- .C 2T S R = .D 2S R T += 9. 已知数列{n a }中，1a =21，n n a a =+1+2312++n n （n )+∈N ，则数列{n a }的通项公式为 （ ）A.11+=n a n B. 21212++-+=n n n a n C. 1n n a n =+ D. 12n n a n +=+10.已知函数()sin cos =+f x m x n x ，且()6f π是它的最大值，(其中m 、n 为常数且0≠mn )给出下列命题：①()3f x π+是偶函数； ②函数()f x 的图象关于点8(,0)3π对称；③3()2-f π是函数()f x 的最小值；④3m n =. 其中真命题有 ( )A. ①②③④B.②③C. ①②④D.②④第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡上) 11.sin105cos105的值为 .12. 数列｛n a ｝中，5,2,2121==-=++a a a a a n n n ，则5a 为___________.13.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若32,2ABC b c S ∆===，则A=__________.14. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为35,24n n a n b n =+=+，则它们的公共项按从小到大的顺序组成的新数列{}n c 的通项公式为___________.15. 将正奇数排成如下图所示的三角形数阵（第k 行有k 个奇数），其中第i 行第j 个数表示为ij a (i,j ∈N *).例如4215a =,若ij a =2013,则i-j=______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（本题满分12分） 已知3cos()cos sin()sin 5α-ββ-α-ββ=-，(,)2πα∈π，求sin(2)3πα+的值．17.（本题满分12分）在△ABC 中，已知 A B >,且tan A 、tan B 是方程26510x x -+=的两个根.（1）求tan A 、tan B 、tan()A B +的值;（2）若AB △ABC 的面积.18. （本题满分12分）如图，小岛A 的周围3.8海里内有暗礁.一艘渔船从B 地出发由西向东航行，观测到小岛A 在北偏东75°，继续航行8海里到达C 处，观测到小岛A 在北偏东60°.若此船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？19.（本题满分12分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2nn n a b =的前n 项和为n T ，求n T .20.（本题满分13分）已知函数2()2sin ()234f x x x π=--，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分）在等比数列.,,64,65,}{*15371N n a a a a a a a n n n ∈<==++且中 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前5项的和5S ；（3）若n n a a a T 242lg lg lg +⋅⋅⋅++=，求T n 的最大值及此时n 的值.2013—2014学年度下学期高一期中考试数学试题 参考答案一．选择题 1---10 DAADC ABBCD 二．填空题 11.1-412. 19 13. 233ππ或 14. 62n c n =+ 15. 28三．解答题16． 解：由33cos()cos sin()sin cos 55α-ββ-α-ββ=-⇒α=- ···················· 2分 又由(,)2πα∈π及22sin cos 1x x +=得4sin 5α= ·············································· 4分所以4324sin 22sin cos 2()5525α=αα=⨯⨯-=- ············································· 6分2222347cos 2cos sin ()()5525ααα=-=--=-·············································· 8分s i n (2)s i n 2c o s c o s 2s i n333241733()(252252πππ∴α+=α+α=-⨯+- ··················································· 12分17、解：（1）由所给条件，方程26510x x -+=的两根11tan ,tan 23A B ==.………2分 ∴tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-………………………………………………………………4分1123111123+==-⨯……………………………………………………………………………… 6分（或由韦达定理直接给出）(2)∵ 180=++C B A ,∴)(180B A C +-=.由（1）知，tan tan()1C A B =-+=-，∵C为三角形的内角，∴sin C =分 ∵，1tan ,2A =A为三角形的内角，∴sin A =， 由正弦定理得：sin sin AB BCC A= 襄州一中 枣阳一中 宜城一中 曾都一中∴.5BC ==分 由1tan 3B =∴sin B =∴1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅1122==………………………………12分 （亦可由其它边角关系求） 18解法1在ABC ∆中，000000907515,9060150B C =-==+=,所以015A =.……4分 又已知BC=8，所以AC=8. ……8分 过点A 作AD ⊥BC,垂足为D,在直角三角形ACD 中，01sin 30842AD AC ==⨯=＞3.8 ……11分 所以此船继续前行没有触礁的危险 . ……12分解法2 过点A 作AD ⊥BC,垂足为D,由已知，BC=8，∠BAD=75°, ∠CAD=60°…4分在直角三角形ABD 中，0tan tan 75BD AD BAD AD =∠=，在直角三角形ACD 中，同法可得0tan tan 60CD AD CAD AD =∠=,……………8分所以BC=BD-CD=0(tan75tan60)AD -，所以0084tan 75tan 60AD ==-＞3.8 ……………………11分所以此船继续前行没有触礁的危险 . ………………………………12分 19. 解：（1）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，……2分由成等差数列得，=，即136+ ……3分 解得11a =，故21n a n =-； ……6分 （2）211(21)()222nn n n n a n b n -===-， 12311111()3()5()(21)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ① ①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，② ……8分①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯11111(1)11222(21)()122123121222n n n n n n +-+-=⨯---⨯--=-- …… 10分 ∴4212333222n n n nn n T -+=--=-． …… 12分20.解：(1)2()2sin ()234cos(2)222f x x x x x ππ=-+-=--+- ………………1分2sin 222cos(2)26x x x π=--=+- ………………3分27,(2),42636x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ………………4分所以当7266x ππ+=，即2x π=时，m ()2ax f x = …………5分当26x ππ+=，即512x π=时，min ()4f x =- ………………6分(2) 方程()f x m =仅有一解，则函数()2cos(2)26f x x π=+-在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的图像与函数()g x m =的图像仅有一个交点。