《创新设计》2014届高考数学人教版A版(文科)第一轮复习方案课时作业：第49讲 圆锥曲线的热点问题
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习配套word版文档：第二篇 第2讲 函数的单调性与最值.pptx
＋4，得 x>－1，选 B.
法二 设 g(x)＝f(x)－2x－4，则 g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)
－2>0，g(x)在 R 上为增函数．由 g(x)>0，即 g(x)>g(－1)．∴x>－1，选 B.
答案 B 3．(2012·浙江)设 a>0，b>0.
A. 若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a>b B. 若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a<b C. 若 2a－2a＝2b－3b，则 a>b
(i)当 a<0，b>0 时，23x>－2ab， 解得 x>log23－2ab； (ii)当 a>0，b<0 时，23x<－2ab， 解得 x<log23－2ab. 6．(13 分)(2012·潍坊一模)已知函数 f(x)在(－1,1)上有定义，f12＝－1，当且仅当 0<x<1 时，f(x)<0，且对任意 x、y∈(－1,1)都有 f(x)＋f(y)＝f1x＋＋xyy，试证明： (1)f(x)为奇函数；
学海无 涯
第 2 讲 函数的单调性与最值
A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)
1．(2013·长沙一模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是
( )．
A．y＝x2
B．y＝|x|＋1
C．y＝－lg|x|
D．y＝2|x|
解析 对于 C 中函数，当 x>0 时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且
学海无 涯
(2)f(x)在(－1,1)上单调递减． 证明 (1)函数 f(x)的定义域为(－1,1)， 再由 f(x)＋f(y)＝f1x＋＋xyy， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0， 令 y＝－x，得 f(x)＋f(－x)＝f1x－－xx2＝f(0)＝0， ∴f(x)＝－f(－x)，即 f(x)为奇函数． (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减．令 0<x1<x2<1，则 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝ x2－x1 f1－x 1x2. ∵0<x1<x2<1，∴x2－x1>0,1－x1x2>0， 即1x－2－x2xx11>0. 又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0， ∴x2－x1<1－x 2x1，∴0< 1x－2－x2xx11<1. 由题意，知 f1x－2－x1xx21<0，即 f(x2)<f(x1)， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，又 f(x)为奇函数且 f(0)＝0， ∴f(x)在(－1,1)上单调递减. 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见
[精品]【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学
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抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[解析]
由约束条件x3－x＋4y5＋y－3≤250≤，0， x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示．
抓住2个考点
突破3个考向
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由x3＝x＋1， 5y－25＝0，
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【训练3】 (2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植 面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植 黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
解得
A1，252
.
由xx＝ －14， y＋3＝0， 解得 C(1,1)，
由x3－x＋4y5＋y－3＝ 25＝0，0， 解得 B(5,2)．
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Hale Waihona Puke (1)∵z＝yx＝yx－ －00.
∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率．
观察图形可知 zmin＝kOB＝25.
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【训练 2】 (2012·陕西)设函数 f(x)＝－ln 2xx，－x1＞，0x，≤0， D 是 由 x 轴和曲线 y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的 封闭区域，则 z＝x－2y 在 D 上的最大值为________． 解析 由题知在点(1,0)处的切线的斜率
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x＋y－1≥0， 【训练 1】 若不等式组x－1≤0，
ax－y＋1≥0a为常数
面区域的面积等于 2，则 a 的值为
创新设计高考数学人教A版理一轮复习配套
第4讲平面向量应用举例[最新考纲]1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．2．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．3．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．4．向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.学生用书第76页1．向量与其他数学知识的交汇(1)已知△ABC 中，BC 边最长，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为钝角三角形．(×)(2)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是矩形．(×) (3)(2014·贵州调研改编)在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.(√) 2．平面向量在物理中的应用(4)作用于同一点的两个力F 1和F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2大小为19.(√)(5)已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为2.(√) [感悟·提升]1．一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算． 2．两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.考点一 向量在平面几何中的应用【例1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.(2)(2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．审题路线 (1)法一：把向量AE →与BD →分别用基底AD →，AB →表示． 法二：建立平面直角坐标系?求向量AE →，BD →的坐标．(2)把向量AC →与BE →分别用基底AB →，AD →表示?利用AC →·BE →＝1整理?建立关于|AB →|的一元二次方程?解得|AB →|.解析 (1)法一 AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2＝22－12×22＝2.法二 以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)．则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (1,2)．∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)．从而AE →·BD →＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.(2)由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝1，即AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.①因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°，所以AB →·AD →＝12|AB →|，因此①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1，解得|AB →|＝0(舍去)或12，所以AB 的长为12. 答案 (1)2 (2)12规律方法 用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．【训练1】 (1)(2014·杭州质检)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →＝( )．(2)在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比值是( )．解析 (1)建立如图平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12.∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－14，∴AC →＝(3，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫334，－14，∴AC →·AE →＝3×334＝94.(2)由已知可得PC →＝2AP →，∴P 是线段AC 的三等分点(靠近点A )， 易知S △PAB ＝13S △ABC ，即S △PAB ∶S △ABC ＝1∶3.答案 (1)D (2)A考点二 向量在三角函数中的应用【例2】 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝?sin β＋cos β?2＋?4cos β－4sin β?2 ＝17－15sin 2β≤4 2. 又当β＝k π－π4(k ∈Z )时，等号成立， 所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16，得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .规律方法 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【训练2】 (2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解 (1)由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2， 即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π， 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6. 学生用书第77页【例3】 (2013·湖南卷)已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 2＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值为13－43(此时x 0＝0)，故PE →·PF →的最小值为12－4 3.规律方法 向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ?a ·b ＝0；a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法．【训练3】 已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32?y －b ?，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y 3.把a ＝－x2代入①，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．所以动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题．创新突破5——破解平面向量与圆的交汇问题【典例】 (2013·湖南卷改编)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0?.若向量c 满足|c －a －b |＝1?，则|c |的最大值为________． 突破1：根据条件?转化到平面直角坐标系中．突破2：把条件?坐标化．突破3：把坐标化后的式子配方整理可得到圆的方程． 突破4：利用圆的知识求|c |max .解析 建立如图所示的直角坐标系，由题意知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量， ∴可设OA →＝a ＝(1,0)，OB →＝b ＝(0,1)，OC →＝c ＝(x ，y )． ∴c －a －b ＝(x －1，y －1)， ∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即点C (x ，y )的轨迹是以M (1,1)为圆心，1为半径的圆． 而|c |＝x 2＋y 2，∴|c |的最大值为|OM |＋1， 即|c |max ＝2＋1. 答案2＋1 [反思感悟] 平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．本题采用了“形化”与“数化”的结合，利用坐标运算将问题转化为圆的知识解决． 【自主体验】1．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2 OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →＝( )． C ．3 D ．23解析 由2 OA →＋AB →＋AC →＝0，得2 OA →＋OB →－OA →＋OC →－OA →＝0，即OB →＝－OC →，即O ，B ，C 三点共线，BC 为△ABC 外接圆的直径，故∠BAC ＝90°.又|OA →|＝|AB →|，得B ＝60°，所以C ＝30°，且|CA →|＝3(如图所示)． 所以CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos 30°＝3×2×32＝3.答案 C2．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝x OA →＋y OB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析法一 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－12，32， 设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)， 由OC →＝x OA →＋y OB →， 得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.法二 依题意，|OC →|＝1，则|OC →|2＝1， 又OC →＝xOA →＋yOB →，|OA →|＝|OB →|＝1， <OA →，OB →>＝120°，∴x 2·OA →2＋y 2·OB →2＋2xyOA →·OB →＝1，因此x 2＋y 2＋2xy cos 120°＝1，xy ＝x 2＋y 2－1. ∴3xy ＝(x ＋y )2－1≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4. ∴x ＋y 的最大值是2. 答案 2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )． A ．1 B ．－1 C. 3 解析 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ， 而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 答案 A2．(2014·南昌模拟)若|a |＝2sin 15°，|b |＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是( )． C ．2 3解析 a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝8sin 15°cos 15°×32＝4×sin 30°×32＝3. 答案 B 3.(2013·哈尔滨模拟)函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB→＝( )．A ．4B ．6C ．1D ．2 解析 由条件可得B (3,1)，A (2,0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B4．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )． A ．－π6 B ．－π3解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. 答案 D5．(2014·安庆二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，若4aBC →＋2bC A →＋3cAB →＝0，则cos B ＝( )．A ．－1124 D ．－2936解析 由4aBC →＋2bC A →＋3cAB →＝0，得4aBC →＋3cAB →＝－2bC A →＝－2b (BA →－BC →)＝2bAB →＋ 2bBC →，所以4a ＝3c ＝2b .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 24＋49b 2－b 22·b 2·23b ＝－1124.答案 A 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析 由题意知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2， 即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →) ＝AB →2＝2?c ＝|AB →|＝ 2.答案 27．(2014·南通一调)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则BA →·BC →|BC →|＝________.解析 易知满足|AB →＋AC →|＝|BC →|的A ，B ，C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A为直角，于是BA →·BC →|BC →|＝|BA →|·cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.答案 128．(2013·东北三校一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC →＝________. 解析 依题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0， 于是有cos A ＝13，sin A ＝1－cos 2A ＝223，又S △ABC ＝12·bc sin A ＝12bc ×223＝2，所以bc ＝3，BA →·AC →＝bc cos(π－A )＝－bc cos A ＝－3×13＝－1.答案 －1 三、解答题9．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程． 解 设M (x 0，y 0)，N (x ，y )．由MA →＝2AN →，得 (1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎨⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .∵点M (x 0，y 0)在圆C 上，∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.10．(2014·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ，∵c ＝2，∴k ＝1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )．解析 由题意，得OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使直线OA 与圆相切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D. 答案 D2．(2014·北京东城区期末)已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为( )． 3 C ．3 3 3 解析如图所示，CD →＝AD →－AC →＝12AD →－AB →，∴CD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →－AB →2，即3＝14AD →2＋AB →2－AD →·AB →，∵|AD →|＝|AB →|，∴54|AD →|2－|AD →||AB →|cos 60°＝3，∴|AD →|＝2. 又BC →＝AC →－AB →＝12AD →，∴|BC →|＝12|AD →|＝1，∴|BC →|2＋|CD →|2＝|BD →|2，∴BC ⊥CD .∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×22×sin 60°＋12×1×3＝32 3，故选B.答案 B二、填空题3．(2014·苏锡常镇二调)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a 与b 的夹角大小为________．解析 |a |＝2，|b |＝1，|a ＋x b |≥|a ＋b |对一切实数x 恒成立，两边平方整理得x 2＋2a ·b x －2a ·b －1≥0对一切实数x 恒成立，所以(2a ·b )2＋4(2a ·b＋1)≤0，即(a ·b ＋1)2≤0，所以a ·b ＝－1，故cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－22，又<a ，b >∈[0，π]，所以<a ，b >＝3π4，即a ，b 的夹角是3π4.答案3π4三、解答题4．(2014·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x4 ＝32sin x2＋1＋cosx 22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，32.方法强化练——平面向量 (对应学生用书P283)(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，即a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得，m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 答案 A2．(2013·德州一模)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( )．A ．－6B ．－23D ．14解析 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23.答案 C3．(2013·浙江五校联考)已知|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，则|a ＋2b |＝( )． A ．9 B ．3 C ．1 D ．2解析 由|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝1， ∴4a ·b ＝4，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝5＋4＝9， ∴|a ＋2b |＝3. 答案 B4．(2014·郑州一模)已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )．A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．63解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝0，即－2＋3m －4＝0，解得m ＝2 3. 答案 B5．(2014·长春一模)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )．解析 a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12.所以<a ，b >＝π3.答案 B6．(2013·潮州二模)已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1,2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( )． A ．－1 B ．0 C.12解析 a ⊥b ?a ·b ＝0，即1－2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝0. 答案 B7．(2014·成都期末测试)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则有( )． ＝2OD → ＝OD →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即OB →＋OC →＝2OD →＝2AO →，所以OD →＝AO →，即O 为AD 的中点． 答案 B8．(2013·潍坊一模)平面上有四个互异点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．无法确定 解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0， 得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. 所以|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 是等腰三角形． 答案 B9．(2013·兰州一模)在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AB ，AC 的边长分别为2,1，∠BAC ＝60°.则AG →·BG →＝( )． A ．－89 B ．－109 D ．－5－39解析 由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，所以BC ＝3，∠ACB ＝90°，将直角三角形放入直角坐标系中，如图所示，则A (0,1)，B (－3，0)，所以重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，13，所以AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－23，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，13，所以AG →·BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫233，13＝－89. 答案 A10．(2014·皖南八校第三次联考)已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 边上的动点(可以与A 或B 重合)，则DE →·CD →的最大值是( )．A ．1 C ．0 D ．－1解析 建立直角坐标系如图所示，设E (x,0)，x ∈[0,1]，则D (0,1)，C (1,1)，B (1,0)，所以DE →·CD →＝(x ，－1)·(－1,0)＝－x ，当x ＝0时取得最大值0. 答案 C 二、填空题11．(2013·济南模拟)若a ＝(1，－2)，b ＝(x,1)，且a ⊥b ，则x ＝________. 解析 由a ⊥b ，得a ·b ＝x －2＝0，∴x ＝2. 答案 212．(2013·昆明期末考试)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2,0)，则向量a ，b 的夹角为________．解析 a ＝(1,1)，b ＝(2,0)，∴|a |＝2，|b |＝2，∴cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝222＝22，∴<a ，b >＝π4.答案π413．(2014·杭州质检)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则AB →·CD →＝________.解析 AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝2×1－2×3cos 30°＝－1. 答案 －114．(2014·湖南长郡中学、衡阳八中联考)已知G 1，G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→＝________(用e 1，e 2，e 3表示)． 解析 由A 1A 2→＝A 1G 1→＋G 1G 2→＋G 2A 2→＝e 1 ①，B 1B 2→＝B 1G 1→＋G 1G 2→＋G 2B 2→＝e 2 ②，C 1C 2→＝C 1G 1→＋G 1G 2→＋G 2C 2→＝e 3 ③，且G 1，G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，所以A 1G 1→＋B 1G 1→＋C 1G 1＝0，G 2A 2→＋G 2B 2→＋G 2C 2→＝0，将①②③相加得G 1G 2→＝13(e 1＋e 2＋e 3)． 答案13(e 1＋e 2＋e 3) 三、解答题15．(2013·漯河调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )．(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值． 解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .① 又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋?cos θ－1?24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.16．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2 x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.17．(2013·银川调研)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.18．(2014·太原模拟)已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)(x ∈R )．(1)求f (x )的周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．解 (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，∵y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上单调递减， ∴令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π.∴A ＝π3. ∵AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc,7＝(b ＋c )2－18，b ＋c ＝5， 又b ＞c ，∴b ＝3，c ＝2.。
《创新设计》2014届高考数学人教版A版(文科)第一轮复习方案课时作业：第41讲_直线、平面垂直的判定与性质
课时作业(四十一)[第41讲直线、平面垂直的判定与性质](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线2．P A垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()①平面P AB⊥平面PBC；②平面P AB⊥平面P AD；③平面P AB⊥平面PCD；④平面P AB⊥平面P AC.A．①②B．①③C．②③D．②④3．在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，真命题是()A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④能力提升5．[2012·北京东城区模拟] 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的为()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，n∥β6．[2012·沈阳、大连联考] 设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，且l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′8．给出命题：(1)在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．39．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是()①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.A．①②B．②③C．③④D．①④10．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一) 11．如图K41－1所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)图K41－112．已知P是△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的________心．13．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________．14．(10分)[2012·乌鲁木齐测验] 如图K41－2所示，三棱锥P－ABC中，P A＝PB＝PC＝3，CA ＝CB ＝2，AC ⊥BC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点B 到平面P AC 的距离．图K41－215．(13分)[2012·广东卷] 如图K41－3所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .图K41－3难点突破16．(12分)[2012·太原模拟] 如图K41－4，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 1上的点，且满足D 1P →＝λP A →(λ>0)．(1)当λ＝1时，求证：DP ⊥平面ABC 1D 1；(2)当λ变化时，三棱锥D －PBC 1的体积是否为定值？若是，求出其体积；若不是，请说明理由．图K41－4课时作业(四十一)【基础热身】1．C[解析] 可以有无数条．2．A[解析] 易证BC⊥平面P AB，则平面P AB⊥平面PBC，又AD∥BC，故AD⊥平面P AB，则平面P AD⊥平面P AB，因此选A.3．B[解析] A显然不对，C，D中的直线有可能在平面α内．故选B.4．D[解析] 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．【能力提升】5．B[解析] 根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面β内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．6．C[解析] 由线面垂直的判定定理知，由于已知两直线a，b不一定相交，充分性不成立；由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故应为必要不充分条件．7．B[解析] 连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.8．B[解析] (1)错；(2)正确；(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要条件，命题错误；(4)只有当异面直线a，b垂直时可以作出满足要求的平面，命题错误．9．A[解析] m∥α，n∥α，m，n可能平行、相交或异面，故③错；α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α⊥β，所以④错．10．充分不必要[解析] 若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.11．DM⊥PC(或BM⊥PC等)[解析] 连接AC，则BD⊥AC，由P A⊥底面ABCD，可知BD⊥P A，∴BD⊥平面P AC，则BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.12．垂[解析] 如图所示，P A⊥PB，P A⊥PC，所以P A⊥平面，又PH⊥平面ABC，所以AE⊥BC.即H是△ABC高的交点，所以H一定是△ABC的垂心．13．②③④⇒①或①③④⇒②[解析] 由题意可构造出四个命题(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.只有(3)(4)是正确的．14．解：(1)证明：取AB的中点O∵P A＝PB，∴PO⊥AB.又∵CA＝又PO ∩CO ＝O ，∴AB ⊥平面POC ，而PC ⊂平面POC ， ∴PC ⊥AB .(2)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，∴AB ＝2，OC ＝OA ＝1. 在△P AB 中，P A ＝PB ＝3，OA ＝1，∴PO ＝ 2.在△POC 中，PO ＝2，OC ＝1，PC ＝3，故PO 2＋OC 2＝PC 2， ∴PO ⊥OC .又∵PO ⊥AB ，AB ∩OC ＝O ，∴PO ⊥平面ABC .在△P AC 中，AC 边上的高为h ＝（3）2－⎝⎛⎭⎫222＝102.由于V P －ABC ＝V B －P AC ，设点B 到平面P AC 的距离为x ， 则13·12·CA ·CB ·PO ＝13·12·CA ·h ·x ， ∴x ＝CB ·PO h ＝2105.故点B 到平面P AC 的距离为2105.15．解：(1)证明：由于AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 故AB ⊥PH .又因为PH 为△P AD 中AD 边上的高， 故AD ⊥PH .∵AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)由于PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，故E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH＝12. 又因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，故S △BCF ＝12·FC ·AD ＝12×1×2＝22.因此V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212.(3)证明：如图，过E 作EG ∥AB 交P A 于G ，连接DG . 由于E 为PB 的中点，所以G 为P A 的中点． 因为DA ＝DP ，故△DP A 为等腰三角形， 所以DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面∴AB ⊥DG .又∵AB ∩P A ＝A ，AB ⊂平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴DG ⊥平面P AB .又∵GE 綊12AB ，DF 綊12AB ，∴GE 綊DF .所以四边形DFEG 为平行四边形，故DG ∥EF . 于是EF ⊥平面P AB . 【难点突破】16．解：(1)证明：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面AA 1D 1D ，又AB ⊂平面ABC 1D 1，∴平面ABC 1D 1⊥平面AA 1D 1D ，∵λ＝1时，P 为AD 1的中点，∴DP ⊥AD 1，又∵平面ABC 1D 1∩平面AA 1D 1D ＝AD 1， ∴DP ⊥平面ABC 1D 1.(2)三棱锥D －PBC 1的体积恒为定值．易证四边形ABC 1D 1∴AD 1∥BC 1，又P 为线段AD 1上的点， ∴△PBC 1的面积为定值，即S △PBC 1＝12×2×1＝22.又∵CD ∥平面ABC 1D 1，∴点D 到平面PBC 1的距离为定值，即h ＝22， ∴三棱锥D －PBC 1的体积为定值，且VD －PBC 1＝13×22×22＝16.即无论λ为何值，三棱锥D －PBC 1的体积恒为定值16.。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习配套word版文档：第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理.pdf
＝3＋ 3，故选 A.
答案 A
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3．在 Rt△ABC 中，C＝90°，且 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足 a＋b＝cx，则 实数 x 的取值范围是________．
解析
a＋b sin A＋sin B x＝ c ＝ sin C ＝sin A＋cos A＝
A＝23，sin B＝ 5cos C. (1)求 tan C 的值；
(2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积． 解 (1)因为 0＜A＜π，cos A＝23，
得 sin A＝
1－cos2A＝
5 3.
又 5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
＝
5 3 cos
至 E，使 AE＝1，连结 EC、ED，则 sin∠CED＝( )．
3 10 A. 10
10 B. 10
5 C. 10
5 D. 15
解析 依题意得知，CD＝1，CE＝ CB2＋EB2＝ 5，DE＝ EA2＋AD2＝ 2，
cos∠CED＝CE2＋2CEED·E2－DCD2＝3 1010，所以 sin∠CED＝ 1－cos2∠CED＝ 1100，
∴sin A＝asibn B＝ 23× 13＝12，
∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝12×1×
3＝
3 2.
答案 C
4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC＝ 7，BC＝2，B＝60°，则 BC 边上的高等于 ( )．
3 A. 2
33 B. 2
3＋ 6 C. 2
3＋ 39 D. 4
解析 设 AB＝c，BC 边上的高为 h.
学海无涯
第 6 讲 正弦定理和余弦定理
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第二篇第8讲函数与方程
第 8 讲 函数与方程A 级 基础演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1．函数 f(x)＝sin x －x 零点的个数是 ()．A ．0B ． 1C ． 2D ． 3解析 f ′ (x)＝cos x －1≤0，∴f(x)单调递减，又 f(0)＝0，∴则f(x)＝ sin x －x 的零点是唯一的． 答案 B2．(2013 ·泰州模拟 )设 f(x)＝e x ＋x －4，则函数 f(x)的零点位于区间 ()． A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析 ∵f(x)＝e x ＋x －4，∴f ′ (x)＝e x ＋ 1>0，∴函数 f(x)在 R 上单调递增． 对于 A 项， f(－1)＝e －1＋ (－1)－ 4＝－ 5＋e －1<0，f(0)＝－ 3<0，f(－1)f(0)>0，A 不 正确，同理可验证 B 、 D 不正确．对于 C 项，∵f(1)＝ e ＋ 1－ 4＝e －3<0， f(2) ＝e 2＋ 2－ 4＝ e 2－2>0，f(1)f(2)<0，故选 C.答案 C． ·石家庄期末 ) 函数 f(x)＝2 x－ 2－a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a 3 (2013 x的取值范围是()．A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析 由条件可知 f(1)f(2)<0，即 (2－2－ a)(4－ 1－ a)<0，即 a(a －3)<0，解之得 0<a<3.第 1 页共 8 页答案 C4．(2011 ·东山 )已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x) ＝ x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间 [0,6]上与 x 轴的交点的个数为( )．A ．6 B． 7 C． 8 D． 9解析当 0≤ x<2 时，令 f(x)＝x3－＝，得x ＝或＝x 0 x 1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为 2，可知 y＝ f(x)在[0,6)上有 6 个零点，又f(6)＝f(3× 2)＝f(0)＝ 0，∴f(x)在[0,6] 上与 x 轴的交点个数为7.答案 B二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )x2，x≤0，g(x)＝f(x)－x－a，若函数 g(x)有两个零点，5．已知函数 f(x)＝f x－1 ， x>0，则实数 a 的取值范围为 ________．解析设 n 为自然数，则当n<x≤ n＋ 1 时， f(x)＝(x－ n－ 1)2，则当 x>0 时，函数 f(x)的图象是以 1 为周期重复出现．而函数y＝x＋a 是一族平行直线，当它过点 (0,1)(此时 a＝ 1)时与函数 f(x)的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数 a 的取值范围为a<1.答案(－∞， 1)x＋1，x≤0，6．函数 f(x)＝则函数 y＝f[f(x)]＋ 1 的所有零点所构成的集合为log2x，x>0，________．解析本题即求方程f[f(x)] ＝－ 1 的所有根的集合，先解方程f(t)＝－ 1，即t≤0，t>0， 1 1或log2t＝－ 1，得 t＝－ 2 或 t＝2.再解方程 f(x)＝－ 2 和 f(x)＝2.t＋1＝－ 1第 2 页共 8 页x ≤0， x>0，x ≤0， x>0，即或和1 或 1 x ＋1＝－ 2log2x ＝－ 2 x ＋1＝2log2x ＝ 2.1 1 得 x ＝－ 3 或 x ＝ 4和 x ＝－ 2或 x ＝ 2.1 1答案 － 3，－ 2，4， 2三、解答题 (共 25 分 )17．(12 分 )设函数 f(x)＝ 1－ x (x>0)． (1)作出函数 f(x)的图象；1 1(2)当 0<a<b ，且 f(a)＝ f(b)时，求 a ＋ b 的值； (3)若方程 f(x)＝ m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围．解 (1)如图所示．1(2)∵f(x)＝ 1－ x1 x－1，x ∈ 0，1] ， ＝11－ x ，x ∈ 1，＋∞ ，故 f(x)在 (0,1]上是减函数，而在 (1，＋∞ )上是增函数， 由 0<a<b 且 f(a)＝f(b)，111 1得 0<a<1<b ，且 a －1＝1－b ，∴ a ＋b ＝2. (3)由函数 f(x)的图象可知，当0<m<1 时，方程 f(x)＝m 有两个不相等的正根．8．(13 分 )已知函数 f(x)＝ x 3 ＋2x 2 －ax ＋ 1.(1)若函数 f(x)在点 (1， f(1))处的切线斜率为 4，求实数 a 的值； (2)若函数 g(x)＝ f ′(x)在区间 (－1,1)上存在零点，求实数 a 的取值范围．解 由题意得 g(x)＝ f ′ (x)＝3x 2 ＋4x － a.(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，∴ a＝3.第 3 页共 8 页1 (2)法一①当 g(－ 1)＝－ a－1＝0，a＝－ 1 时，g(x)＝f′(x)的零点 x＝－3∈(－1,1)；7②当 g(1)＝7－a＝ 0，a＝7 时， f′ (x)的零点 x＝－3?(－ 1,1)，不合题意；③当 g(1)g(－ 1)<0 时，－ 1<a<7；＝4× 4＋ 3a ≥0，－1<－2，43<1④当时，－3≤ a<－1.g 1 >0，g －1 >04综上所述， a∈ －3，7 .法二 g(x)＝f′(x)在区间 (－1,1)上存在零点，等价于 3x2＋4x＝a 在区间 (－1,1)上有解，也等价于直线 y＝a 与曲线 y＝3x2＋4x 在(－1,1)有公共点．作图可得4a∈ －3， 7 .或者又等价于当x∈(－1,1)时，求值域．2＋4x＝ 3 x＋2 2 4 4.a＝3x3 －∈ －，7 3 3B 级能力突破 (时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 )1．(2011 ·陕西 )函数 f(x)＝x－ cos x 在[0，＋∞ )内( )．A ．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析令 f(x)＝0，得x＝cos x，在同一坐标系内画出两个函数 y＝x与 y＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x＝cos x 只有一个解．∴函数 f(x)只有一个零点．第 4 页共 8 页答案 B2．(2012 ·辽宁 )设函数 f(x)(x∈ R)满足 f(－x)＝ f(x)， f(x)＝f(2－ x)，且当 x∈[0,1]时， f(x)＝x3又函数g(x)＝π ，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－1，3上的. |xcos( x)|2 2零点个数为( )．A ．5 B． 6 C． 7D． 8解析由题意知函数 y＝f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时， f(x)＝x3，则当－ 1≤ x≤0 时，f(x)＝－ x3，且 g(x)＝|xcos(x)|π，所以当 x＝0 时，f(x)＝ g(x)．当1 3 2x≠0 时，若 0<x≤2，则 x ＝xcos( x)π，即 x＝|cos πx|.同理可以得到在区间－1， 0 ，1， 1 ，1，3上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得2 2 2关系式等号两边函数的图象，如图所示，有 5 个根．所以总共有 6 个．答案 B二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )3．已知函数 f(x)满足 f(x＋1)＝－ f(x)，且 f(x)是偶函数，当 x∈[0,1] 时， f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k 有4 个零点，则实数k 的取值范围为________．解析依题意得f(x＋ 2)＝－ f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以 2 为周期的函数． g(x)＝f(x)－kx－ k在区间 [－ 1,3]内有 4 个零点，即函数 y＝f(x)与 y＝k(x＋1)的图象在区间 [ －1,3]内有 4 个不同的交点．在坐标平面内画出函数 y ＝f(x)的图象 (如图所示 )，注意到直线 y＝k(x＋1)恒过点 (－ 1,0)，由题及图象可1知，当 k∈ 0，4时，相应的直线与函数y＝f(x)在区间 [－1,3] 内有 4 个不同的第 5 页共 8 页1交点，故实数 k 的取值范围是0，4 .1答案0，44．若直角坐标平面内两点 P， Q 满足条件：① P、Q 都在函数 f(x) 的图象上；② P、Q 关于原点对称，则称点对 (P、Q)是函数 f(x)的一个“友好点对” (点对 (P、Q)与点对 (Q ， P) 看作同一个“友好点对” ) ．已知函数 f(x) ＝2x2＋4x＋1，x<0，2 则 f(x)的“友好点对”的个数是 ________．x，x≥0，e解析设 P(x， y)、Q(－ x，－ y)(x>0)为函数 f(x)的“ 友好点对”，则2 2 2 y＝e，－ y＝2(－ x) ＋4(－ x)＋1＝2x －x4x＋1，∴2 2－＋＝，在同一坐标系中作函数＋2x4xx 1 0e2 2y1＝e x、y2＝－ 2x＋4x－ 1 的图象， y1、y2 的图象有两个交点，所以f(x)有 2 个“友好点对”，故填 2.答案 2三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )设函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a>0， a， c∈ R)．(1)设 a>c>0.若 f(x)>c2－2c＋a 对 x∈[1 ，＋∞ )恒成立，求 c 的取值范围；(2)函数 f(x)在区间 (0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？a＋ c 解(1)因为二次函数 f(x)＝ 3ax2－2(a＋c)x＋c 的图象的对称轴为 x＝3a，由a＋c 2a 2条件 a>c>0，得 2a>a＋ c，故3a <3a＝3<1，即二次函数 f(x)的对称轴在区间[1，＋∞ )的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞ )内是增函数．若f(x)>c2－ 2c＋a 对 x∈ [1，＋∞ )恒成立，则 f(x)min＝ f(1)>c2－ 2c＋a，即 a－c>c2－ 2c＋a，得 c2－c<0，第 6 页共 8 页所以 0<c<1.(2)①若 f(0) f(1)·＝c·(a－c)<0，则c<0，或 a<c，二次函数 f(x)在 (0,1)内只有一个零点．②若 f(0)＝c>0，f(1)＝ a－ c>0，则 a>c>0.因为二次函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋ c 的图象的对称轴是 x＝a＋c而a＋c ＝3a .f 3a －a2＋ c2－ac<0，3aa＋ c a＋ c所以函数 f(x)在区间 0，3a和3a ，1 内各有一个零点，故函数 f(x)在区间(0,1)内有两个零点．6．(13 分 )已知二次函数 f(x)＝x2－ 16x＋q＋3.(1)若函数在区间 [ －1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数 t(t≥0)，当 x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间 D，且区间 D 的长度为12－ t(视区间 [a， b] 的长度为 b－a)．解(1)∵函数 f(x)＝ x2－16x＋q＋3 的对称轴是 x＝ 8，∴f(x)在区间 [ －1,1]上是减函数．f 1 ≤ 0，∵函数在区间 [ － 1,1] 上存在零点，则必有即f －1 ≥0，1－ 16＋q＋3≤0，∴－ 20≤q≤12.1＋ 16＋q＋3≥0，(2)∵0≤ t<10， f(x)在区间 [0,8] 上是减函数，在区间 [8,10] 上是增函数，且对称轴是 x＝8.①当 0≤t≤ 6 时，在区间 [t,10]上， f(t)最大， f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即 t2－ 15t＋52＝0，解得 t＝15±17，∴ t＝15－ 17 2 2；②当 6<t≤8 时，在区间 [t,10]上， f(10)最大， f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得 t＝8；③当 8<t<10 时，在区间 [t,10]上， f(10)最大， f(t)最小，第7 页共 8 页∴f(10)－f(t)＝12－ t，即 t2－17t＋72＝ 0，解得 t＝8,9，∴t＝9.15－17综上可知，存在常数t＝，8,9 满足条件 .特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容 .第8 页共 8 页。
《创新设计》2014届高考数学人教版A版(文科)第一轮复习方案课时作业：第19讲_函数y=Asin(ωx+φ)的图象与
课时作业(十九) [第19讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身 1．[2012·安徽卷] 要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象平移( )A ．(向左)1个单位B ．(向右)1个单位C ．(向左)12个单位D ．(向右)12个单位2．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π在区间⎡⎤－π，π上的简图是( )图4．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2能力提升 5．[2012·浙江卷] 把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )图K19－26．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZB.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZC.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z7．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图K19－3所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C －3K19－48．[2012·山西四校联考] 如图K19－4所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω等于( )A ．8 B.π8 C.π4 D.π29．[2012·北京东城区模拟] 向量a ＝12，3sin x ，b ＝(cos2x ，cos x )，f (x )＝a·b ，为了得到函数y ＝f (x )的图象，可将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度10．[2012·济南模拟] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________________．11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图K19－5所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________．12．已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________．13．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－5π12，0；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22； ③若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β. 其中所有真命题的序号是________．14．(10分)[2012·广东名校联考] 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－2cos x .(1)先列表再用“五点法”画出函数f (x )在0，5π3的简图；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，f (A )＝1，a ＝3，b ＋c ＝3(b >c )，求b ，c 的长．15．(13分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，且函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，－1.(1)求ω和φ的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f π4－x ，求函数g (x )的单调递增区间．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．课时作业(十九)【基础热身】1．C [解析] 因为y ＝cos ()2x ＋1＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以只需要将函数y ＝cos2x 的图象向左移动12个单位即可得到函数y ＝cos ()2x ＋1的图象．2．C [解析] 将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象与原图象重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C. 3．A [解析] 令x ＝0得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，淘汰B ，D ，由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，淘汰C ，故选A.4．A [解析] 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝0，∴cos 2π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－π6，k ∈Z .取k ＝0得|φ|的最小值为π6.【能力提升】5．A [解析] 函数y ＝cos2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y ＝cos x ＋1的图象；再将函数向左平移一个单位长度，得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1的图象；最后把函数向下平移1个单位长度即得到函数y ＝cos(x ＋1)的图象，可以看成是函数y ＝cos x 向左平移一个单位得到y ＝cos(x ＋1)的图象，可用特殊点验证函数的大致位置．6．A [解析] 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，由f (x )≥1，得2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1，即sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .7．A [解析] 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin100πt ＋π6，当t ＝1100时，I ＝－5，故选A.8．C [解析] 依题意得PM ＝PN ，PM ⊥PN ，所以△PMN 是等腰直角三角形，又斜边MN 上的高为2，因此有MN ＝4，即该函数的最小正周期的一半为4，所以2πω＝8，ω＝π4，选C.9．D [解析] 由题知，f (x )＝a·b ＝12cos2x ＋3sin x cos x ＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin2x ＋π6，为了得到函数y ＝f (x )的图象，可将y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，故选D.10．sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6 [解析] 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋（1＋1）2＝22， 解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx2＋φ.又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12.又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6.11.23 [解析] 由图象可得最小正周期为2π3.所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π2＝23.12．2sin π3x ＋2 [解析] 将f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位后得到y ＝2sin π3(x＋1)的图象，向上平移2个单位后得到y ＝2sin π3(x ＋1)＋2的图象．又因为其与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin π3(2－x ＋1)＋2＝2sin π3(3－x )＋2＝2sin π－π3x ＋2＝2sin π3x ＋2. 13．①② [解析] 对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f ⎝⎛⎭⎫－512π＝0，因此⎝⎛⎭⎫－512π，0为f (x )的对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin390°＝12＜sin60°＝32.故③为假命题，所以真命题为①②. 14．解：(1)f (x )＝2cos x cos π3＋sin x sin π3－2cos x＝3sin x ＋cos x －2cos x ＝3sin x －cos x＝232sin x －12cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.(2)∵f (A )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1，∴sin A －6＝12.∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3，由cos A ＝12＝b 2＋c 2－a22bc，即(b ＋c )2－a 2＝3bc ，∴bc ＝2，又b ＋c ＝3(b >c )，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.15．解：(1)由题可知ω＝2πT ＝2ππ＝2，又由f π2＝－1得sin2·π2＋φ＝－1，得sin φ＝1，∵0<φ<π，∴φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin2x ＋π2＝cos2x ，∴g (x )＝cos2x ＋cos π2－2x ＝cos2x ＋sin2x＝2sin2x ＋π4.令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，故函数g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．【难点突破】16．解：(1)f (x )＝12sin2ωx ＋3×1＋cos2ωx 2－32＝12sin2ωx ＋32cos2ωx ＝sin2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f (x )＝sin4x ＋π3.(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin2x －π6的图象．所以g (x )＝sin2x －π6.令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤56π.方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.∴－12<k ≤12或k ＝－1.。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第二篇第9讲函数的应用
第 9 讲函数的应用A 级基础演练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )1．(2013 ·成都调研 )在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为( )．x解析由题意可得 y＝ (1＋10.4%) .2．(2013 ·青岛月考 )某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元．一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟 )与打出电话费 s(元 ) 的函数关系如图，当打出电话 150 分钟时，这两种方式电话费相差()．40A ．10 元B．20 元C．30 元 D. 3元解析设 A 种方式对应的函数解析式为 s＝ k1t＋20，B 种方式对应的函数解析式为 s＝ k2t，1当 t＝100 时， 100k1＋ 20＝100k2，∴ k2－k1＝5，第 1 页共 8 页1t＝ 150 时， 150k2－150k1－20＝150×5－20＝ 10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元 )分别为 L1＝5.06x－2150.15x 和 L2＝2x，其中 x 为销售量 (单位：辆 )．若该公司在这两地共销售辆车，则能获得最大利润为( )．A ．45.606 万元B． 45.6 万元C．45.56 万元D． 45.51 万元解析依题意可设甲销售x 辆，则乙销售 (15－x)辆，总利润 S＝L1＋ L2，则总利润 S＝5.06x－ 0.15x2＋2(15－x) ＝－ 0.15x2＋3.06x＋ 30＝－ 0.15(x－10.2)2＋0.15× 10.22＋ 30(x≥0)，∴当 x＝10 时， Smax＝45.6(万元 )．答案 B4．(2013 ·太原模拟 )某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10 万元 )与营运年数 x(x∈ N* )为二次函数关系 (如图所示 )，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大()．A ．3 B． 4 C． 5D． 62y 解析由题图可得营运总利润y＝－(x－6)＋ 11，则营运的年平均利润x＝－ x 25＋12，－x* y≤－2 25∵x∈N ，∴x·＋12＝ 2，x x25当且仅当 x＝x，即 x＝ 5 时取“＝”．∴x＝5 时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：加密发送解密明文――→密文――→密文――→明文第 2 页共 8 页已知加密为 y＝a x－2(x 为明文， y 为密文 )，如果明文“3通”过加密后得到密文为“6，”再发送，接受方通过解密得到明文“3，”若接受方接到密文为“14，”则原发的明文是 ________．解析依题意 y＝a x－2 中，当 x＝ 3 时， y＝6，故 6＝ a3－2，解得 a＝2.所以加密为 y＝2x－ 2，因此，当 y＝14 时，由 14＝2x－2，解得 x＝ 4.答案 46．如图，书的一页的面积为 600 cm2，设计要求书面上方空出 2cm 的边，下、左、右方都空出 1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析设长为 a cm，宽为 b cm，则 ab＝600，则中间文字部分的面积 S＝ (a － 2 － 1)(b － 2) ＝ 606－ (2a ＋ 3b)≤ 606 －×＝，当且仅当2a ＝，即max＝486.2 6 600 4863b a＝ 30，b＝20 时， S答案30 cm、 20 cm三、解答题 (共 25 分 )7．(12 分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分 )与通话费 y( 元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y1，y2 与通话时间 x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解(1)由图象可设 y1＝ k1x＋ 29，y2＝ k2x，把点 B(30,35)， C(30,15)分别代入1 1y1，y2 得 k1＝5， k2＝2.∴y1＝1 ＋，2＝15x29 y 2x.(2)令 y1＝ y21 12 ，即x＋ 29＝ x，则 x＝96 .5 2 3第 3 页共 8 页2当 x＝ 963时， y1＝y2，两种卡收费一致；2当 x<963时， y1>y2，即使用“便民卡”便宜；2当 x>963时， y1<y2，即使用“如意卡”便宜．8．(13 分 )(2013 济·宁模拟 )某单位有员工 1 000 名，平均每人每年创造利润10 万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N * )名员工从事3x第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10 a－500万元 (a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取值范围是多少？解(1)由题意得： 10(1 000－ x)(1＋0.2x%)≥10×1 000，即x2－500x≤0，又 x>0，所以 0<x≤500.即最多调整 500 名员工从事第三产业．3x(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10 a－500 x 万元，从事原来产业3x 的员工的年总利润为10(1 000－x)(1＋ 0.2x%)万元，则 10 a－500 x≤10(1 000213x 2－x)(1＋ 0.2x%)，所以 ax－500≤ 1 000＋2x－x－500x，22x 2x 1 000所以 ax≤500＋1 000＋x，即 a≤500＋x＋1 恒成立，2 1 0002x 1 000因为500x＋x≥ 2 500×x＝4，2x 1 000当且仅当500＝x，即 x＝500 时等号成立．所以 a≤5，又 a>0，所以 0<a≤5，即 a 的取值范围为 (0,5]．B 级能力突破 (时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分)第 4 页共 8 页1．(2013 ·潍坊联考 )一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x， y剪去部分的面积为20，若 2≤x≤10，记 y＝f(x)，则 y＝f(x)的图象是( )．10解析由题意得 2xy＝ 20，即 y＝x，当 x＝2 时， y＝5，当 x＝ 10 时， y＝1 时，排除 C， D，又 2≤ x≤ 10，排除 B.答案 A2．(2011 ·湖北 )放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，t 其含量 M(单位：太贝克 )与时间 t(单位：年 )满足函数关系： M(t)＝M02－30，其中 M0 为 t＝0 时铯 137 的含量．已知t＝30 时，铯 137 含量的变化率是－10ln 2(太贝克 /年 )，则 M(60)＝()．A ．5 太贝克B． 75ln 2 太贝克C．150ln 2 太贝克D．150 太贝克t 1解析由题意 M′ (t)＝M02－30－30 ln 2，－ 1 1M′(30)＝M02 × －30ln 2＝－ 10ln 2，∴M0＝600，∴ M(60)＝600×－ 22 ＝ 150.答案 D二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )3．(2013 ·阜阳检测 )按如图所示放置的一边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动，设顶点 P(x，y)的轨迹方程是 y＝f(x)，则 y＝f(x)在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为 ________．第 5 页共 8 页解析将 P 点移到原点，开始运动，当P 点第一次回到 x 轴时经过的曲线是πππ三段首尾相接的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为4＋2＋1 ＋4＝π＋ 1.答案π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费 )；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费22.6 元，则此次出租车行驶了________km.8， 0<x≤3，解析由已知条件 y＝8＋ 2.15 x－3 ＋ 1， 3<x≤8，8＋ 2.15×5＋2.85 x－8 ＋1，x>8，由 y＝ 22.6 解得 x＝9.答案9三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )(2011 湖·南 )如图，长方体物体E 在雨中沿面P( 面积为S)的垂直方向做匀速度移动，速度为 v(v>0)，雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或 P 的平行面 (只有一个面淋雨 )的淋雨量，假设其值与 |v－ c|× S 成正比，比例系数为101；②其他面的1淋雨量之和，其值为2.记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离 d＝100，3面积 S＝2时，(1)写出 y 的表达式；(2)设 0<v≤ 10,0<c≤ 5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量 y 最少．解(1)由题意知， E 移动时单位时间内的淋雨量为3 1 100 3 1 5|v－ c|＋2，故 y＝v20|v－c|＋2＝v(3|v－ c|＋10)．20(2)由(1)知，第 6 页共 8 页当0<v≤c 时， y＝5(3c－3v＋ 10)＝5 3c＋10－15；vv5 5 10－3c当 c<v≤10 时， y＝v(3v－ 3c＋10)＝v＋15.5 3c＋10 －15，0<v≤c，v故 y＝510－3c＋15，c<v≤10.v10①当 0<c≤3时， y 是关于 v 的减函数，3c故当 v＝10 时， ymin＝20－2 .10②当3 <c≤ 5 时，在 (0，c]上， y 是关于 v 的减函数；在 (c,10]上， y 是关于 v50的增函数．故当 v＝ c 时， ymin＝c .6．(13 分)(2013 徐·州模拟 )某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150 元，草皮每平方米造价为 30 元．(1)设半圆的半径 OA＝ r(米)，设建立塑胶跑道面积S 与 r 的函数关系 S(r)；(2)由于条件限制 r∈ [30,40]，问当 r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？ (精确到元 )解(1)塑胶跑道面积22－(r－ 8)2＋×10 000－πr×2S＝π[r ] 82r80 000100＝r＋8πr－64π∵π.r2＜10 000，∴ 0＜r ＜.π(2)设运动场的造价为 y 元，y ＝×80 000＋ 8πr－ 64π＋ 30× 10 000－80 000 150r r第7 页共 8 页－8πr＋64π)＝ 300 000＋120×80 000＋8πr － 7 680 π. r80 00080 000令 f(r)＝r＋ 8πr，∵ f′ (r)＝8π－r 2 ，当r∈[30,40]时， f′ (r)＜0，∴函数 y＝300 000＋ 120×80 000＋8πr －7 680 π在[30,40]上为减函数．∴当 r r ＝40 时， ymin≈636 510，即运动场的造价最低为636 510 元.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第8 页共 8 页。
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课时作业(四十九) [第49讲 圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2012·宁德质检] 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k ＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3 2．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A ．(0，2)B ．(2，0)C ．(4，0)D ．(0，4)3．到坐标原点的距离是到x 轴距离2倍的点的轨迹方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝33x C ．x 2－3y 2＝1 D ．x 2－3y 2＝04．[2012·德化一中模拟] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(1，3)D ．(1，5)能力提升5．已知椭圆C ：x 24＋y 2b ＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1，4)B ．[1，＋∞)C ．[1，4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率是( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 67．过点P (－1，1)作直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为P ，则AB 所在直线的方程是( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．x ＋2y －3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝08．已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n ＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e的取值范围为( )A.22，1 B ．0，22C ．(0，1)D ．0，129．[2012·武昌调研] 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2B.522＋1C.522－2D.522－110．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1，A 2，一个虚轴端点为B ，若它的焦距为4，则△A 1A 2B 面积的最大值为________．11．抛物线y 2＝4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．12．[2012·江西六校联考] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋eb的最小值为________．13．[2012·咸阳三模] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心、右焦点、右顶点依次分别为O ，F ，G ，且直线x ＝a 2c 与x 轴相交于点H ，则|FG ||OH |最大时椭圆的离心率为________．14．(10分)[2012·金华模拟] 已知过点A (－4，0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．15．(13分)[2012·东北四校联考] 过抛物线x 2＝4y 上不同两点A ，B 分别作抛物线的切线，两切线相交于点P (x 0，y 0)，P A →·PB →＝0.(1)求y 0；(2)求证：直线AB 恒过定点；(3)设(2)中直线AB 恒过的定点为F ，若F A →·FB →＋λFP →2＝0恒成立，求λ的值．难点突破16．(12分)[2012·衡水中学调研] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P (4，0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q .课时作业(四十九)【基础热身】1．B [解析] 充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，3－k >0，k ＋1>3－k ，解得1<k <3.2．B [解析] x ＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2，0)．3．D [解析] 设点的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝2|y |，整理得x 2－3y 2＝0.4．D [解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于点(1，2)在上区域，故2>ba，所以e＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2<5，又e >1.所以所求的范围是(1，5)．【能力提升】5．C [解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.6．C [解析] 设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝y ′＝2x 0，依题意有y 0x 0＝2x 0.又y 0＝x 20＋1，解得x 0＝±1，所以b a ＝2x 0＝2，b ＝2a ，所以e ＝1＋b 2a2＝ 5.故选C.7．C [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，①x 22＋2y 22＝4，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 当x 1＝x 2时，不合题意；当x 1≠x 2时，得（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2）＝－12，③由已知x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2，y 1－y 2x 1－x 2＝k AB，所以k AB ＝12，所以所求直线方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.8．A [解析] 根据已知只能m >0，n >0，且m ＋2－n ＝m ＋n ，即n ＝1，所以椭圆的离心率为e ＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2，由于m >0，所以1>1－1m ＋2>12，所以22<e <1.9．D [解析] 由抛物线的定义，|PF |＝d 1＋1，d 1＝|PF |－1， d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1，显然当PF 垂直于直线x －y ＋4＝0时，d 1＋d 2最小．此时d 2＋|PF |为F 到直线x －y ＋4＝0的距离，为|1－0＋4|12＋12＝522，∴d 1＋d 2的最小值为522－1.10．2 [解析] 依题意，S △A 1A 2B ＝ab ≤a 2＋b 22＝c22＝2，所以△A 1A 2B 面积的最大值为2.11．y 2＝2(x －1) [解析] 抛物线焦点为F (1，0)，设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x ，y )，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)①.将y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1代入①式，得2y ·yx －1＝4，即y 2＝2(x －1)． 12.263 [解析] 已知b a＝3，此时b ＝3a 且双曲线的离心率为1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以a 2＋eb ＝a 2＋23a ≥22a 3a＝263，等号当且仅当a ＝2时成立． 13.12 [解析] 根据已知O (0，0)，F (c ，0)，G (a ，0)，H a 2c，0， 所以|FG ||OH |＝a －c a 2c＝ac －c 2a 2＝e －e 2＝－e －122＋14≤14，所以当|FG ||OH |最大时e ＝12.14．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4①，y 1＋y 2＝8＋p2②， 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)(k ≠0)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x ＋4），得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2.对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．15．解：(1)设Ax 1，x 214，Bx 2，x 224(x 1≠x 2)．由x 2＝4y 得，y ′＝x 2，所以k P A ＝x 12，k PB ＝x 22，因为P A →·PB →＝0，所以P A →⊥PB →，所以k P A ·k PB ＝x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.直线P A 的方程为y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214，①同理直线PB 的方程为y ＝x 2x 2－x 224，②由①②消去x 得y 0＝x 1x 24＝－1(x 1，x 2∈R )．(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0. 由韦达定理得x 1x 2＝－4b ， 由(1)知x 1x 2＝－4，所以b ＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝kx ＋1， 不论k 取何值，该直线恒过点(0，1)．(3)由(1)得F A →＝x 1，x 214－1，FB →＝x 2，x 224－1，P x 1＋x 22，－1，FP →＝x 1＋x 22，－2，x 1x 2＝－4.F A →·FB →＝x 1x 2＋x 214－1x 224－1＝－2－x 21＋x 224，FP →2＝（x 1＋x 2）24＋4＝x 21＋x 224＋2.所以F A →·FB →＋FP →2＝0，故λ＝1. 【难点突破】16．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14.即a 2＝43b 2.又因为b ＝61＋1＝3，所以a 2＝4，b 2＝3.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.① 设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)，直线AE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，令y ＝0，得x ＝x 2－y 2（x 2－x 1）y 2＋y 1.将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入，整理得 x ＝2x 1x 2－4（x 1＋x 2）x 1＋x 2－8.②由①得x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，代入②式整理得x ＝1.所以直线AE 与x 轴相交于定点Q (1，0)．。