【配套K12】广东省揭西县河婆中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 文

广东省揭西县河婆中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．设集合{|U x x =是小于5的正整数}，{1,2},A =则A C U =（ ）A.{3，4，5}B. {3，4}C. {0，1，3，4}D.{0，3，4，5}2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）示，则该几何体的正视图为（ ）3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与AB 同方向的单位向量是（ ） A. 34,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4.某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n .=（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．55．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255B.255 C ．±255D.526.若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交7．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．54 B ．－32 C ．56 D ． －658．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( )A.23B.32 C ．2 D ．39．执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M 等于( )A.203 B.165 C.72 D.15810．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．12a ＋b B. a ＋12b C ．12a －b D. a －12b11.在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π412．定义区间[]21,x x 长度为12x x -，(12x x >），已知函数)0,(,1)()(f 22≠∈-+=a R a xa x a a x 的定义域与值域都是[]n ,m ，则区间[]n ,m 取最大长度时a 的值为（ ） A ．332 B ．1 或-3， C ．-1． D ．3 第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.图（3）是甲，乙两名同学5次综合测评成绩的茎叶图，则乙的成绩 ，甲乙两人中成绩较为稳定的是 .14．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 15.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________16.设直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤，下列说法正确的个数为 .①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P 不在M 中的任意一条直线上； ③存在一个圆与所有直线不相交； ④存在一个圆与所有直线相交；⑤M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；⑥对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上.三解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知34παπ<<，110tan tan 3αα+=- （1）求tan α的值；（2）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18. （本小题满分12分） 如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，点F 为PC 的中点. （1）求证：PA ∥平面BDF ； （2）求证：BD PC ⊥.图（3）2 0 1 9 8 99 8 8 3 3 7乙甲19.（本小题满分12分）．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? （参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑.）20.（本小题满分12分）已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n ), 函数f (x )＝a ·b ， 且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．21（本小题满分12分）已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，．B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．22（本小题满分12分）．已知二次函数2()21(0)g x mx mx n m =-++>在区间 [0,3]上有最大值4，最小值0. （1）求函数)(x g 的解析式； （2）设()2()g x x f x x-=.若(2)20x xf k -⋅≤在[3,3]x ∈-时恒成立，求k 的取值范围.参考答案1——5：B D A C B 6——10：D C B D A 11——12 B D 13. 87、甲； 14. π3 15.1 16.417、解：(1)由110tan tan 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1t a n 3t a n3αα=-=-或………3分，又34παπ<<，………4分 所以1tan 3α=-为所求。

………5分225sin 8sincos11cos 82222(2)2ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-=…………7分=6===-…………10分 18.解：（1）连结AC 交BD 于E ，连结EF ，点E ，F 分别为PC AC ,的中点，………1分所以EF 为CPA ∆的中位线，PA EF ∥，…………3分又⊄PA 面BDF ，⊂EF 面BDF ，所以∥PA 面BDF …………5分 （2）在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，…………7分又因为⊥PA 面ABCD ，⊂BD 面ABCD ，所以BD PA ⊥，………9分 又A AC PA = ，⊂AC PA ，面PAC ，所以⊥BD 面PAC ，…………11分 又⊂PC 面PAC ，所以PC BD ⊥.…………12分19．（1）设“选取的2组数据恰好是不相邻2天数据”为事件A ，---------1分所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为12月份的日期数）有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共有10种．---------2分事件A 包括的基本事件有：（1,3），（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,5），共有6种．---------3分所以53106)(==A P 为所求．--------4分 （2）由数据，求得11131225302612,2733x y ++++====．---------5分由公式，求得ˆˆˆ2.5,3ba y bx ==-=-．---------8分 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.53yx =-．---------9分（3）当x =10时，ˆ 2.510322,222312y=⨯-=-=<． 同理，当x =8时，ˆ 2.58317,171612y=⨯-=-=<． 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．---------12分 20.解(1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . ---------1分 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，---------3分即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.---------5分(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．---------6分由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．---------7分设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，---------8分即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，---------9分因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x . ---------10分由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ， 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z . ---------12分21．【解析】(1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，---------1分 则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，--------2分∴m ＝－43或0，---------4分∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. --------5分(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3. --------8分 (3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，---------10分 ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0. ---------12分22解：（1）∵2()(1)1g x m x m n =--++，∴函数)(x g 的图象的对称轴方程为1=x ．---------2分0m > 依题意得(1)0(3)4g g =⎧⎨=⎩ ，即10314m n m n -++=⎧⎨++=⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，---------3分 ∴12)(2+-=x x x g ． --------4分（2）∵()2()g x x f x x -=，∴()21()4g x x f x x x x-==+-．--------5分 ∵(2)20x xf k -⋅≤在[3,3]x ∈-时恒成立，即124202x x x k +--⋅≤在[3,3]x ∈-时恒成立，--------6分 ∴211()4()122x xk ≥-+在[3,3]x ∈-时恒成立，--------8 只需 2max11()4()122x x k ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭．令x t 21=，由[3,3]x ∈-得1[,8]8t ∈ 设()h t =241t t -+，∵22()41(2)3h t t t t =-+=--，∴函数()h x 的图象的对称轴方程为2t =．当8t =时，取得最大值33.---------10分∴max ()(8)33k h t h ≥== ∴k 的取值范围为[)33,+∞．---------12分。