2016-2017学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷
【中小学资料】广东省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试精彩试题(含解析汇报)
实用标准广东省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值范围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。
广东省实验中学高一数学上学期期末考试试题(含解析)
广东省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值范围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。
2017-2018学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x∈Z|x（x-3）≤0}，N={x|ln x＜1}，则M∩N=（）A. B. C. 1， D. 2，2.直线3x+y+1=0的倾斜角是（）A. B. C. D.3.计算其结果是（）A. B. 1 C. D. 34.已知四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=6，CD=8，EF=5，则AB与CD所成角的度数为（）A.B.C.D.5.直线在y轴上的截距是（）A. B. C. D.6.已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，使得a⊥α，a⊥β；②存在两条平行直线a，b，使得a∥α，a∥β，b∥α，b∥β；③存在两条异面直线a，b，使得a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β．其中可以推出α∥β的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是（）'A. B. C. D.8.经过点（2，1）的直线l到A（1，1），B（3，5）两点的距离相等，则直线l的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对9.（理）已知函数的图象与函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0），如果x0≥2，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.10.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A. B. C. D.11.若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线2x+（1-a）y+2=0与直线ax-3y-2=0平行，则a=______．14.如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为3，则它的侧棱长为______．15.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为______．16.已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l的方程为2x-y+1=0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与l垂直的直线的方程；（Ⅱ）求与l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线的方程．18.已知函数（1）讨论并证明函数f（x））在区间（0，+∞）的单调性；（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，三角形ABC为等腰直角三角形，AC=BC=，AA1=1，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）二面角B1-CD-B的平面角的大小．20.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA=2ED=2．（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求直线CD与平面PCE所成角的正弦值．21.如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．22.已知二次函数f（x）满足：f（0）=f（4）=4，且该函数的最小值为1．（1）求此二次函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为A=[m，n]．（其中0＜m＜n）．问是否存在这样的两个实数m，n，使得函数f（x）的值域也为A？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．（3）若对于任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[1，2]使得＜，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合M={x∈Z|x（x-3）≤0}={x∈Z|0≤x≤3}={0，1，2，3}，N={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，则M∩N={1，2}．故选：A．解不等式化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题目．2.【答案】C【解析】解：直线3x+y+1=0的斜率为：，直线的倾斜角为：θ，tan，可得θ=120°．故选：C．求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：原式=+-lg5+|lg2-1|=+-lg5-lg1+1=1，故选：B．根据对数的运算法则和指数幂的运算性质计算即可．本题考查了对数的运算法则和指数幂的运算性质，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：如图取BC的中点P，连接PF，PE，则PF∥CD，PE∥AB，∴∠FPE（或补角）是AB与CD所成的角，∵AB=6，CD=8，∴PF=4，PE=3，而EF=5∴∠FPE=90°，故选：D．取BC的中点P，连接PF，PE，则PF∥CD，PE∥AB，则∠FPE是AB与CD所成的角，在三角形FPE中求出此角即可．本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：令x=0，得：-=1，解得y=-b2．故选：B．要求直线与y轴的截距，方法是令x=0求出y的值即可．此题比较容易，是一道基础题．学生只需知道截距的定义就可求出．6.【答案】B【解析】解：当α、β不平行时，不存在直线a与α、β都垂直，∴a⊥α，a⊥β⇒α∥β，故①正确；对②，∵a∥b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α时，α、β位置关系不确定②不正确；对③，异面直线a，b．∴a过上一点作c∥b；过b上一点作d∥a，则a与c相交；b 与d相交，根据线线平行⇒线面平行⇒面面平行，正确对④，∵γ⊥α，γ⊥β，α、β可以相交也可以平行，∴不正确．故选：B．根据垂直于同一直线的两平面平行，判断①是否正确；利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系，判断②是否正确；借助图象，分别过两平行线中一条的二平面位置关系部确定，判断③的正确性；根据垂直于同一平面的两平面位置关系部确定来判断④是否正确．本题考查面面平行的判定．通常利用线线、线面、面面平行关系的转化判定．7.【答案】B【解析】解：由已知作出梯形ABCD是直角梯形，如右图：∵按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，∴直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=A′D′=2，BC=B′C′=4，AB=2A′B′=2，过D作DE⊥BC，交BC于E，则DE=AB=2，EC=BC-AD=4-2=2，∴直角梯形DC边的长度为：=2．故选：B．由已知直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=A′D′=2，BC=B′C′=4，AB=2A′B′=2，由此能求出直角梯形DC边的长度．本题考查直角梯形中斜边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜二测画法的合理运用．8.【答案】C【解析】解：当直线l的斜率不存在时，直线x=2显然满足题意；当直线l的斜率垂存在时，设直线l的斜率为k，则直线l为y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0，由A到直线l的距离等于B到直线l的距离得：=，化简得：-k=k-4或k=k-4（无解），解得k=2，所以直线l的方程为2x-y-3=0，综上，直线l的方程为2x-y-3=0或x=2．故选：C．分两种情况考虑，当直线l的斜率不存在时，得到直线x=2显然满足题意；当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，根据已知点的坐标表示出直线l 的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出A到直线l的距离和B到直线l的距离，让两距离相等即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．学生做题是容易把斜率不存在的情况遗漏，做题时应注意这点．9.【答案】D【解析】解：由已知中函数的图象与函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象交于点P （x0，y0），由指数函数的性质，若x0≥2则0＜y0≤即0＜log a x0≤由于x0≥2故a＞1且≥x0≥2故a≥16即a的取值范围为[16，+∞）故选：D．由已知中函数的图象与函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0），如果x0≥2，我们根据指数不等式的性质，求出y0的范围，进而结合点P （x0，y0）也在函数y=log a x的图象上，再由对数函数的性质，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，其中根据指数函数的性质求出y0的范围，及由对数函数的性质，构造关于a的不等式，都是解答本题的关键．10.【答案】C【解析】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，=π×（）3=．则V球故选C．球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题意：函数在区间（0，1）上的值域为（0，+∞），所以，∴，∴实数m的取值范围是（0，1）．故选：A．此题考查的是函数最值得问题．在解答时应先将函数在区间（0，1）上的值域求出，即可得到关于m的不等关系，从而问题即可获得解答．此题考查的是函数最值得问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及函数的性质和解不等式的方法．值得同学们体会反思．12.【答案】A【解析】解：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，设线段AB1上的切点为E，AC1∩面A1BD=O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E记为r，则，，由O1E∥O2F知，则圆柱的高为，．故选：A．由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，即可得出结论．本题考查圆柱侧面积的最大值，考查旋转体，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵直线2x+（1-a）y+2=0与直线ax-3y-2=0平行，∴≠，解得a=3．故答案为：3．利用直线平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.【答案】6【解析】解：连结O′A′，OA，过A′作A′E⊥OA，交OA于点E，∵正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为3，∴AE=-=3，A′E=3，∴它的侧棱长AA′==6．故答案为：6．连结O′A′，OA，过A′作A′E⊥OA，交OA于点E，分别求出AE，A′E，由此能求出它的侧棱长．本题考查正四棱台的侧棱长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正四棱台的性质的合理运用．15.【答案】【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥A-BCD，其中底面三角形BCD为等腰直角三角形，BC=CD=1，三棱锥的高为1．∴该三棱锥的体积为V=．故答案为：．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥A-BCD，其中底面三角形BCD为等腰直角三角形，BC=CD=1，三棱锥的高为1，再由棱锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.【答案】[1，2]【解析】解：当-1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1-x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（-1）=2，令f（x）=0，解得x=，令f（x）=x|x-1|=2，解得x=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴k≤，当k≤x≤a时，f（x）=x|x-1|=，∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0函数在右端点的函数值为f（2）=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴1≤a≤2故答案为：[1，2]当-1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1-x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（-1）=2，当k≤x≤a时，f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0，函数在右端点的函数值为f（2）=2，结合图象即可求出a的取值范围．本题考查分段函数的问题，根据函数的单调性求出函数的值域是关键，属于中档题17.【答案】解：（Ⅰ）设与直线l：2x-y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m=0，解得m=-7．∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y-7=0；（Ⅱ）设与直线l：2x-y+1=0平行的直线l2的方程为：2x-y+c=0，∵点P（3，0）到直线l2的距离为．∴=，解得c=-1或-11．∴直线l2方程为：2x-y-1=0或2x-y-11=0【解析】（Ⅰ）设与直线l：2x-y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A（3，2）代入解得m即可；（Ⅱ）设与直线l：2x-y+1=0平行的直线l2的方程为：2x-y+c=0，由于点P（3，0）到直线l2的距离为．可得=，解得c即可得出本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调增．证明：任取0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-）-（x2-）=（x1-x2）（1+），∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0∴（x1-x2）（1+）＜0∴f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）上单调增；（2）原不等式等价于2mx--＜0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，整理得，2mx2-m-＜0对任意的x∈[1，+∞）恒成立若m＞0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1，+∞）时，必有大于0的函数值，∴m＜0，且2m-m-＜0，∴m＜0，且＜0，∴m＜-1．【解析】（1）利用单调性的定义，根据步骤：取值，作差，变形，定号下结论，即可得到结论；（2）原不等式等价于2mx--＜0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，等价于2mx2-m-＜0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，从而可得m＜0，且2m-m-＜0，进而可求实数m的取值范围．本题重点考查函数的单调性，考查函数恒成立问题，依据单调性的定义，正确转化是解题的关键．19.【答案】证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，设BC1∩B1C=E，则E为BC1的中点，连接ED∵D为AB的中点，∴ED∥AC又∵ED⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．解：（2）∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，又∵BB1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴BB1⊥CD，又AB∩BB1=B，∴CD⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1∴CD⊥B1D，CD⊥AB，∴∠B1DB为二面角B1-CD-B的平面角∵三角形ABC中，AB=2，∴BD=1，在Rt△B1BD中，，∴∠B1BD=45°，∴二面角B1-CD-B的平面角的大小为45°.【解析】（1）设BC1∩B1C=E，连接ED，则ED∥AC，由此能证明AC1∥平面CDB1．（2）推导出CD⊥AB，BB1⊥CD，从而CD⊥平面ABB1A1，进而CD⊥B1D，CD⊥AB，∠B1DB为二面角B1-CD-B的平面角，由此能求出二面角B1-CD-B 的平面角的大小．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．∵O，F分别为AC，PC的中点，∴OF∥PA，且，∵DE∥PA，且，∴OF∥DE，且OF=DE，∴四边形OFED为平行四边形，∴OD∥EF，即BD∥EF，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD∥EF，∴EF⊥平面PAC，∵FE⊂平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE．（2）因为直线PC与平面ABCD所成角为45°，所以∠PCA=45°，所以AC=PA=2，所以AC=AB，故△ABC为等边三角形，设CD的中点为M，连接AM，则AM⊥CD，设点D到平面PCE的距离为h1，点P到平面CDE的距离为h2，则由V D-PCE=V P-CDE，得（*）因为ED⊥面ABCD，AM⊂面ABCD，所以ED⊥AM，又AM⊥CD，CD∩DE=D，∴AM⊥面CDE；因为PA∥DE，PA⊄平面CDE，DE⊂面CDE，所以PA∥面CDE，所以点P到平面CDE的距离与点A到平面CDE的距离相等，即，因为，，所以△ ，又S△CDE=1，代入（*）得，所以，所以CD与平面PCE所成角的正弦值为．【解析】（1）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．证明OD∥EF，即BD∥EF，推出PA⊥BD，BD⊥AC．得到BD⊥平面PAC，EF⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面PCE．（2）设CD的中点为M，连接AM，则AM⊥CD，设点D到平面PCE的距离为h1，点P到平面CDE的距离为h2，通过V D-PCE=V P-CDE，转化推出点P到平面CDE的距离与点A到平面CDE的距离相等，然后利用三角形的面积求解CD 与平面PCE所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．21.【答案】解：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱．将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为2a，斜高为3a的正四棱锥．（2）∵正四棱柱的底面边长为2a，高为a，∴其体积，又∵正四棱锥的底面边长为2a，高为，∴其体积．∵＞，即＞，＞，∴V1＞V2，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大．【解析】（1）由题意分别把两个正方形剪开如图所示，得到一个正四棱住与一个正四棱锥；（2）分别求出正四棱柱与正四棱锥体积，作差比较大小．本题考查棱柱、棱锥及棱台的体积，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．22.【答案】解：（1）依题意，可设f（x）=a（x-2）2+1，因f（0）=4，代入得，所以（2）假设存在这样的m，n，分类讨论如下：①当m＜n≤2时，依题意，即两式相减，整理得，代入进一步得，产生矛盾，故舍去；②当m＜2＜n时，依题意m=f（2）=1若n＞3，f（n）=n，解得或舍去若2＜n≤3，，产生矛盾，故舍去③当2≤m＜n时，依题意，即解得，产生矛盾，故舍去；综上：存在满足条件的m，n，其中m=1，n=4．（3）依题意：＞，由（1）可知，f（x1）max=4，x1∈[0，3]即＞在[1，2]上有解；整理得：＞，∈，有解又，∈，，当x=2时，有y min=2；依题意：a＞2．【解析】（1）设f（x）=a（x-2）2+1，由f（0）=4，求出a值，可得二次函数f（x）的解析式；（2）分①当m＜n≤2时，②当m＜2＜n时，③当2≤m＜n时，三种情况讨论，可得存在满足条件的m，n，其中m=1，n=4．（3）若对于任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[1，2]使得，即，进而得到答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。
2015-2016学年广东省实验中学高一上学期期末考试数学
2015-2016学年广东省实验中学高一上学期期末考试数学一、选择题（共10小题；共50分）1. 若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 A. 4 cm2B. 2 cm2C. 4π cm2D. 1 cm22. 设P是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP，则 A. P，A，C三点共线B. P，A，B三点共线C. P，B，C三点共线D. 以上均不正确3. 角α的终边上有一点P m,5，且cosα=m13，m≠0，则sinα= A. 513B. −513C. 1213或−1213D. 513或−5134. 函数f x=−tan2x−tan x1+tan x的奇偶性为 A. 既奇又偶函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 奇函数5. 已知θ为第一象限角，设a=3,−sinθ ，b=cosθ,3，且a⊥b，则θ一定为 A. π3+kπk∈Z B. π6+2kπk∈ZC. π3+2kπk∈Z D. π6+kπk∈Z6. 下列结论中，一定正确的有 个①AB−AC=BC；② a⋅b⋅c=a⋅ b⋅c；③a⋅c=b⋅c，则a=b；④若e1，e2是平面内的一组基底，对于平面内任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对．A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个7. 若cosθ<0，且cosθ−sinθ=θ是 A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角8. 已知sinα=−45，π<α<3π2，则cosα2的值为 A. 55B. −55C. 255D. −2559. 已知点O是△ABC所在平面内一点，且OC 2+AB2=OB2+AC2=OA2+BC2，则点O是△ABC的 A. 垂心B. 外心C. 内心D. 重心10. 函数y=log12sin2x+π4的单调递减区间为 A. −π4+kπ,kπ ，k∈Z B. π8+kπ,3π8+kπ ，k∈ZC. −3π8+kπ,π8+kπ ，k∈Z D. −π8+kπ,π8+kπ ，k∈Z二、填空题（共5小题；共25分） 11. 1+tanπ121−tanπ12的值为______．12. 如图，若 AB =a ，AC =b ，BD =3DC ，则向量 AD 可用 a ，b表示为______．13. 已知 sin α+β =12，sin α−β =13，则 tan αtan β= ______．14. 课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：a ⋅b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影b cos ⟨a,b ⟩ 的乘积．运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路．例如：边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 是正六边形内的一点（含边界），则 AP⋅AB 的取值范围是______．15. 已知函数 f x =cos2x + x ，在下列四个命题中：①函数的表达式可以改写为 f x =2cos 2x −π3 ；②当 x =kπ+π6 k ∈Z 时，函数取得最大值为 2；③若 x 1≠x 2，且 f x 1 =f x 2 =0，则 x 1−x 2=kπ2（ k ∈Z 且 k ≠0 ）；④函数 f x 的图象关于直线 x =2π3对称．其中正确命题的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分） 16. 已知函数 f x =cos x−3π2 ⋅sin 5π2+x cos −x−π，g x = 2x −π4．（1）化简 f x ；（2）利用“五点法”，按照列表-描点-连线三步，画出函数 g x 一个周期的图象； （3）函数 g x 的图象可以由函数 f x 的图象经过怎样的变换得到?17. 已知 a =1， b = 3．（1）若 a ，b 的夹角为 π6，求 a −b ； （2）求 a +b 及 a ⋅b 的取值范围； （3）若 a −3b ⋅ 2a +b =12，求 a 与 b 的夹角 θ .18. 已知 tan α=−13，α∈ π2,π ．（1）化简sin 2α−cos 2α1+cos 2α，并求值．（2）若 β∈ π2,π ，且 cos α+β =−1213，求 sin α+β 及 cos β 的值．19. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻2:005:008:0011:0014:0017:0020:0023:00水深米7.5 5.0 2.5 5.07.5 5.0 2.5 5.0经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f t=A sinωt+φ+b A,ω>0,φ<π2来描述．（1）根据以上数据，求出函数f t=A sinωt+φ+b的表达式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内\（\left（0：00\thicksim24：00\right）\）何时能进入港口然后离开港口?每次在港口能停留多久?20. 已知向量a=sin x,1，b=4,−2，函数f x=a⋅b，x∈R．（1）求函数f x的解析式；（2）设gθ=f2θ−π4，当θ∈π8,3π4时，gθ−k=0有解，求实数k的取值范围；（3）设 x=f xa2，求函数 x的值域．21. 已知函数f x对任意实数x均有f x=kf x+2，其中k为常数.（1）若k=−1，函数f x是否具有周期性?若是，求出其周期；（2）在（1）的条件下，又知f x为定义在R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f x=12x，则方程f x=−12在区间0,2016上有多少个解?（写出结论，不需过程）（3）若k为负常数，且当0≤x≤2时，f x=x x−2，求f x在−3,3上的解析式，并求f x的最小值与最大值．答案第一部分1. D2. A3. A4. C5. B6. D7. C8. B9. A 10. D第二部分11. 312. 14a+34b13. 514. −12,3 215. ①②③④第三部分16. （1）f x=−sin x⋅cos x−cos x=sin x．（2）列表、画图如下：2x−πππ3π2πx π83π85π87π89π8f x020− 20（3）把f x的图象向右平移π4个单位，再把横坐标变为原来的12倍，最后把纵坐标变为原来的2倍；或先把横坐标变为原来的12倍，再向右平移π8个单位，最后把纵坐标变为原来的2倍．17. （1）因为a，b的夹角为π6，所以a⋅b=a⋅b⋅cosπ6=32，所以a−b 2= a−b2=a2+b2−2a⋅b=1+3−3=1，所以a−b=1．（2）由a−b≤a+b≤a+b得a+b∈3−1,3+1，由a⋅b≤a⋅b得a⋅b∈0,3．（3） a−3b⋅2a+b=12，所以2a2−5a⋅b−3b2=12．又a=1，b=3，所以a⋅b=−32．所以cosθ=a ⋅ba b =−32．因为θ∈0,π，所以θ=5π6．18. （1）sin2α−cos2α1+cos2α=2sinαcosα−cos2α2cos2α=tanα−12=−56．（2）因为α∈π2,π ，β∈π2,π ，所以α+β∈π,2π．又cosα+β=−1213，所以α+β∈ π,3π2．所以sinα+β=− 1−cos2α+β=−513，由tanα=−13，α∈π2,π ，得sinα=1010,cosα=−31010．cosβ=cosα+β−α=cosα+βcosα+sinα+βsinα= −12⋅ −310−5⋅10=3110130.19. （1）由表格知f max=7.5，f min=2.5，A=f max−f min2=52，b=f max+f min2=5．T=12，所以ω=2πT =π6，即f t=52sinπ6t+φ +5．当t=2时，π6⋅2+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π6+2kπ,k∈Z，又φ<π2，所以φ=π6．所以f t=52sinπ6t+π6+5．（2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，所以当时f t≥6.25就可以进港.令52sinπ6t+π6+5≥6.25，得sinπ6t+π6≥12．所以π6+2kπ≤π6t+π6≤5π6+2kπ，解得12k≤t≤4+12k，又t∈0,24，故k=0时，t∈0,4；k=1时，t∈12,16，即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．20. （1）f x=a⋅b=4sin x−2．（2）gθ=f2θ−π4=4sin2θ−π4−2．π8≤θ≤3π4，所以π4≤2θ≤3π2，所以0≤2θ−π4≤5π4，所以−22≤sin2θ−π4≤1，所以−22−2≤4sin2θ−π4−2≤2．gθ−k=0有解，即k=gθ有解，故k∈ −22−2,2．（3） x=a ⋅ba2=4sin x−21+sin2x，x∈R．解法一：设 t =4sin x −2，则 sin x =t +24，t ∈ −6,2 ．x =k t =16t t 2+4t +20．当 t =0 时，k t =0；当 t ≠0 时，k t =16t +20t+4，其中 t +20t +4 在 −6,−2 5 递增，在 −2 5,0 递减，在 0,2 递减． 所以 t +20t+4∈ −∞,4−4 5 ∪ 16,+∞ ，从而 x ∈ −1− 5,1 ． 解法二：设 y =4sin x−21+sin 2x，得 y sin 2x −4sin x +y +2=0，令 f t =yt 2−4t +y +2，其中 t =sin x ∈ −1,1 ． 当 y =0 时，t =12∈ −1,1 ，即有解．当 y ≠0 时，由 t ∈ −1,1 时 f t =0 有解，得①f −1 f 1 ≤0，或② y >0,f −1 ≥0,f 1 ≥0, 2y ≤1,16−4y y +2 ≥0，或③y <0,f −1 ≤0,f 1 ≤0, 2y ≤1,16−4y y +2 ≥0.解①得 −3≤y ≤1，解②，无解，解③得 −1− 5≤y ≤−3，从而 x ∈ −1− 5,1 ． 21. （1） 因为 f x +2 =−f x ，所以 f x +4 =−f x +2 =− −f x =f x ， 所以 f x 是以 4 为周期的周期函数．（2） f x =−12 在 0,2016 上共有 504 个解．（3） 若 x ∈ 0,2 ，则 x +2∈ 2,4 ，f x +2 =1kf x =1kx x −2 =1kx +2 −2 x +2 −4 ，所以当 x ∈ 2,4 时，f x =1k x −2 x −4 ．若 x ∈ −2,0 ，则 x +2∈ 0,2 ，所以 f x +2 = x +2 x +2 −2 =x x +2 ． 所以 f x =kf x +2 =kx x +2 ． 若 x ∈ −4,−2 ，则 x +2∈ −2,0 ，所以 f x +2 =k x +2 x +2 +2 =k x +2 x +4 ．所以 f x =kf x +2 =k 2 x +2 x +4 ，因为 2,3 ⊂ 2,4 ， −3,−2 ⊂ −4,−2 ，所以当 x ∈ −3,3 时，f x = k 2 x +2 x +4 ,x ∈ −3,−2,kx x +2 ,x ∈ −2,0 ,x x −2 ,x ∈ 0,2 ,1kx −2 x −4 ,x ∈ 2,3 . 可知，当 x ∈ −3,3 时，最大值和最小值必在 x =−3 或 x =−1 或 x =1 或 x =3 处取得（可画图分析）．因为 f −3 =−k 2，f −1 =−k ，f 1 =−1，f 3 =−1k ， 所以当 −1<k <0 时，y max =f 3 =−1k ，y min =f 1 =−1； 当 k =−1 时，y max =f −1 =f 3 =1，y min =f −3 =f 1 =−1；当k<−1时，y max=f−1=−k，y min=f−3=−k2．。
广东省实验中学高一上学期期末考试数学试卷含答案
8.若 ， ， ， 均为锐角，且 ，则 的值为
A. B. C. D.
9.下列给出的关系式中正确的是
A. B.若 ∥ , ∥ ,则 ∥
C. ∥ ⇒ 在 上的投影为| |D. ( )•( )=0
10.幂函数y＝xa，当a取不同 正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么 ＝（）
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
3.已知 ，则 等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为tanθ=3，
∴ =
故选B．
4.如图，若 ， ， ， 是线段 靠近点 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的表达式并其对称轴;
(3)若方程f(x)=m(m>0)在 时,有两个不同实数根x1,x2,求实数m的取值范围,并求出x1+x2的值.
20.已知幂函数 在 上单调递增，又函数 .
（1）求实数 的值，并说明函数 的单调性；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21.如图一块长方形区域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在边AD的中点O处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF始终为 ,设∠AOE= ,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.
(1)当0≤ 时,写出S关于 的函数表达式;
2015-2016第1学期省实高一期末考
广东实验中学2015—2016学年（上）高一级模块考试数 学本试卷共4页．满分为150分，考试用时120分钟．考试不允许使用计算器． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．2πcm 2 B ．2 cm 2 C ．4πcm 2 D ．4 cm 2 2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2=+，则（ ）A ．P 、A 、C 三点共线B ．P 、A 、B 三点共线C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确3．角α的终边上有一点)5,(m P ，且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α=（ ） A ．135 B ．135- C ．1312或1312- D ．135或135-4．函数xx x x f tan 1tan tan )(2+--=的奇偶性为（ ）A ．既奇又偶函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇函数5．已知θ为第一象限角，设)sin ,3(θ-=，)3,(cos θ=，且⊥，则θ一定为（ ） A ．)(3Z k k ∈+ππB ．)(26Z k k ∈+ππC ．)(23Z k k ∈+ππD ．)(6Z k k ∈+ππ6．下列结论中，一定正确的有（ ）个.①=- ②()()⋅⋅=⋅⋅ ③=⋅=⋅则,④若21,e e 是平面内的一组基底，对于平面内任一向量，使2211e e a λλ+=的实数21,λλ有无数对 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 7．若0cos <θ，且θθθ2sin 1sin cos -=-，那么θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．已知54sin -=α，23παπ<<，则2cos α的值为（ ）A ．55B ．55-C ．552D ．552-9．已知点O 是ABC ∆AC OB AB OC +=+=+，则点O 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心 10．函数12πlog sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减．区间为（ ） A ．πππ4k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z ，， B ．π3πππ88k k k ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦Z ，，C ．3ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ，， D ．ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ，，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．12tan112tan1ππ-+的值为_____________.12．如图，若AB a =，AC b =，3BD DC =，则向量AD 可用a ，b 表示为___________. 13．已知21)sin(=+βα，31)sin(=-βα，则βαtan tan =___________. 14． 课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：b a ⋅等于a a 与在><b a b ,的乘积. 运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路. 例如：边长为1的正六边形ABCDEF 中，点P 是正六边形内的一点（含边界），则⋅的取值范围是_____________. 15．已知函数x x x f 2sin 32cos )(+=，在下列四个命题中：①函数的表达式可以改写为)32cos(2)(π-=x x f ；②当6ππ+=k x （Z k ∈）时，函数取得最大值为2；③若21x x ≠，且0)()(21==x f x f ，则)0(221≠∈=-k Z k k x x 且π； ④函数)(x f 的图象关于直线32π=x 对称； 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知函数)cos()25sin()23cos()(πππ--+⋅-=x x x x f ，=)(x g )42sin(2π-x（1）化简)(x f ；（2）利用“五点法”，按照列表-描点-连线三步，画出函数)(x g 一个周期．．．．的图象； （3）函数)(x g 的图象可以由函数)(x f 的图象经过怎样的变换得到？17．（本题满分12分）1=3=， （1）若a ，b 的夹角为6πb a ； （2+⋅的取值范围； （3）若21)2()3(=+⋅-b a b a ，求与的夹角θ.18．（本题满分11分）已知31tan -=α,),2(ππα∈. （1）化简ααα2cos 1cos 2sin 2+-，并求值.（2）若),2(ππβ∈，且1312)cos(-=+βα，求)sin(βα+及βcos 的值.19．（本题满分12分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：)2,0,(πϕω<>A 来描述.（1） 根据以上数据，求出函数b t A t f ++=)sin()(ϕω的表达式；（2） 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0:00~24:00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？20．（本题满分14分）已知向量)2,4(),1,(sin -==b x a ，函数b a x f ⋅=)(，R x ∈. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）设)42()(πθθ-=f g ，当∈θπ3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，0)(=-k g θ有解，求实数k 的取值范围； （3）设()2||a x h =，求函数)(x h 的值域.21．（本题满分14分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+，其中k 为常数. （1）若1-=k ，函数)(x f 是否具有周期性？若是，求出其周期;（2）在（1）的条件下，又知)(x f 为定义在R 上的奇．函数，且当10≤≤x 时，x x f 21)(=，则方程21)(-=x f 在区间]2016,0[上有多少个解？（写出结论，不需过程） （3）若k 为负．常数，且当20≤≤x 时，()(2)f x x x =-，求()f x 在[]3,3-上的解析式，并求()f x 的最小值与最大值.广东实验中学2015—2016学年(上)高一级模块考试·数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 9．A 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．3 12．1344a b + 13．5 14．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 15．①②③④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解：（1）x xxx x f sin cos cos )sin ()(=-⋅-=……4分(每对一个1分)（2）列表、画图如下：……列表2分，画图2分……9分（其中列表3分，图象2分） （3）把)(x f 的图象向右平移4π个单位，再把横坐标变为原来的21倍，最后把纵坐标变为原来的2倍；……12分（每步变换1分） 或先把横坐标变为原来的21倍，再向右平移8π个单位，最后把纵坐标变为原来的2倍17．（本小题满分12分） 解：（1）∵a ，b 的夹角为6π， ∴ ⋅＝|a |•|b |•cos 6π＝23， ……1分∴|a -b |2＝（a -b ）2 ……2分＝a 2＋b 2 -2⋅＝1＋3－3＝1， ……3分1=-b a ……4分（2b a ≤+≤-]13,13[+-∈b a ……6分≤]3,0[∈b a ……7分（3）21)2()3(=+⋅-b a b a ，2135222=-⋅-∴b b a a ．……8分又|a |＝1，|b |＝3，23-=⋅∴．……9分1cos 2a b a b θ∴==·23-． ……10分 ],0[πθ∈ ……没有此说明扣1分 65πθ=∴． ……12分18．（本题满分11分）解：（1） 6521tan cos 2cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-=-=-=+-αααααααα ……2分 6521tan cos 2cos cos sin 222-=-=-=ααααα ……4分 （2）),2(ππα∈ ，),2(ππβ∈，)2,(ππβα∈+∴又1312)cos(-=+βα，)23,(ππβα∈+∴ ……5分 135)(cos 1)sin(2-=+--=+∴βαβα ……7分由31tan -=α，),2(ππα∈，得1010sin =α，10103cos -=α ……8分 ])cos[(cos αβαβ-+= ……9分αβααβαs i n )s i n (c o s )c o s(+++= ……10分 13010311010135)10103)(1312(=⋅---= ……11分19．（本题满分12分） 解：（1）由表格知5.7max =f ，5.2min =f ， ……1分252min max =-=f f A ，52minmax =+=f f b ……2分12=T ，62ππω==∴T ， ……4分 即5)6sin(25)(++=ϕπt t f当2=t 时，ππϕπk 2226+=+⋅，解得ππϕk 26+=，又2πϕ<，6πϕ=∴ ……6分5)66sin(25)(++=∴ππt t f .（2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，所以当25.6)(≥t f 时就可以进港. ……7分令25.65)66sin(25≥++ππt ，得21)66sin(≥+ππt ……8分ππππππk t k 2656626+≤+≤+∴， ……9分 解得k t k 12412+≤≤，……10分又)24,0[∈t ，故0=k 时，]4,0[∈t ；1=k 时，]16,12[∈t ……11分 即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右. ……12分 20．（本题满分14分） 解：(1) 2sin 4)(-=⋅=x x f ……2分 (2) 2)42sin(4)42()(--=-=πθπθθf g ……3分438πθπ≤≤，2324πθπ≤≤∴，45420ππθ≤-≤∴，……4分142sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-∴πθ，2242sin 4222≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--∴πθ ……6分0)(=-k g θ有解，即)(θg k =有解，故]2,222[--∈k . ……7分(3) ()2x h ==xx 2sin 12sin 4+-，R x ∈解法一：设2sin 4-=x t ，则42sin +=t x ，]2,6[-∈t ……8分 20416)()(2++==t t tt k x h ……9分当0=t 时，0)(=t k ；当0≠t 时，42016)(++=tt t k ， ……10分其中420++t t 在]52,6[--递增，在)0,52(-递减，在]2,0(递增 ),16[]544,(420+∞--∞∈++∴ tt ……12分从而]1,51[)(--∈x h ……14分解法二：设y = =xx 2sin 12sin 4+-, 得 ysin 2x – 4sinx + y + 2 = 0 , 今 f ( t ) = yt 2 – 4t + y + 2 , 其中t = sinx ∈[ – 1 , 1]. 当y = 0时，t =21∈[ – 1 , 1]，即有解. 当y ≠ 0时，由t ∈[ – 1 , 1]时f ( t ) = 0有解, 得:①f ( – 1) f ( 1 ) ≤ 0 . 或②⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+-≤≥≥->0)2(4161|2|0)1(0)1(0y y y f f y 或③⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤≤-<0)2(4161|2|0)1(0)1(0y y y f f y解①得 – 3 ≤ y ≤ 1, 解②，无解，解③得 – 1 –5≤ y ≤– 3, 从而]1,51[)(--∈x h21．（本题满分14分） 解：（1）∵),()2(x f x f -=+)()]([)2()4(x f x f x f x f =--=+-=+∴,∴)(x f 是以4为周期的周期函数, ……2分（2）21)(-=x f 在]2016,0[上共有504个解……6分 解析：当10≤≤x 时，x x f 21)(=，∴当01≤≤-x 时，x x f x f 21)()(=--=，11,21)(≤≤-=∴x x x f当31<<x 时，121<-<-x ，)2(21)2()(--=--=∴x x f x f故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-=.31),2(21,11,21)(x x x x x f 由,21)(-=x f 得1-=x 故21)(-=x f 的所有解是41()x n n Z =-∈,令2016140≤-≤n , 则4201741≤≤n ，而,n Z ∈∴)(5041Z n n ∈≤≤,∴21)(-=x f 在]2016,0[上共有504个解.（3）若]2,0[∈x ，则]4,2[2∈+x ，]4)2][(2)2[(1)2(1)(1)2(-+-+=-==+x x kx x k x f k x f ，∴当]4,2[∈x 时，)4)(2(1)(--=x x kx f若)0,2[-∈x ，则)2,0[2∈+x ，∴)2(]2)2)[(2()2(+=-++=+x x x x x f ∴)2()2()(+=+=x kx x kf x f 若)2,4[--∈x ，则)0,2[2-∈+x ，∴)4)(2(]2)2)[(2()2(++=+++=+x x k x x k x f∴)4)(2()2()(2++=+=x x k x kf x f ，∵)2,4[)2,3[],4,2[]3,2(--⊂--⊂∴当]3,3[-∈x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈--∈+--∈++=]3,2(),4)(2(1]2,0[),2()0,2[),2()2,3[),4)(2()(2x x x kx x x x x kx x x x k x f ……10分 可知，当]3,3[-∈x 时，最大值和最小值必在3-=x 或1-=x 或1=x 或3=x 处取得.（可画图分析）∵2)3(k f -=-，k f -=-)1(，1)1(-=f ，kf 1)3(-= ……11分∴当01<<-k 时，1)1(,1)3(min max -==-==f y kf y ; ……12分当1-=k 时，;1)1()3(,1)3()1(min max -==-===-=f f y f f y ……13分当1-<k 时，2min max )3(,)1(k f y k f y -=-=-=-= .……14分。
2017-2018学年广东省实验中学高一数学上期末考试试题
广东实验中学2017-2018 学年（上）高一级模块考试数学
第I 卷（共60 分）
项是符合题目要求的.
A . -1
则AB 与CD 所成角的度数为（ ）
5.直线半-三=1在y 轴上的截距是（
a b
2
B . -b
6.已知〉，'■是两个不同的平面，给出下列四个条件:
①存在一条直线a ，使得
④存在一个平面 ，使得 _ :•,_[. 、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有
1.已知集合M 二「X .二Z | x(x _3) _0?，
x | In x ：：： 1 ?，贝U M I A . 「1,2?
B . ：2,3>
C . ：0,1, 2；
D . M,2, 3; 2.直线3x3y
=0 的倾斜角是（ A . 30
B . 60
C . 120
D . 150 1 1 6 -=■
3.计算(一)2
9 Io g 1 4 -ig 5 •、（lg 2）2 -lg 4 1，其结果是（ ） 4.已知四面体ABCD 中,
E ,
F 分别是 AC , 的中点，若 AB =6 , CD =8 , EF =5 ,
A . 30
B . 45 60 D . 90
D . _b ②存在两条平行直线 a ,
b ，使得 all], a / 厂：，b / r-, b / <■; ③存在两条异面直线 a ,
b ，使得 a - y. , b ~ I-' , a / / \■- , b / / ：•；
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广东省实验中学高一上学期期末考试数学试题
广东实验中学2017-2018学年（上）高一级模块考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|(3)0M x Z x x =∈-≤，{}|ln 1N x x =<，则M N =I （ ） A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}0,1,2D ．{}1,2,32.直线310x +=的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3.计算311log 2416()3lg59-+-+ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．34.已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若6AB =，8CD =，5EF =，则AB 与CD 所成角的度数为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5.直线221x ya b -=在y 轴上的截距是（ ） A ．||b B ．2b -C ．2bD ．b ±6.已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线a ，使得a α⊥，a β⊥；②存在两条平行直线a ，b ，使得//a α，//a β，//b α，//b β； ③存在两条异面直线a ，b ，使得a α⊂，b β⊂，//a β，//b α；④存在一个平面γ，使得γα⊥，γβ⊥． 其中可以推出//αβ的条件个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图''''A B C D （如图所示），其中''2A D =，''4B C =，''1A B =，则直角梯形DC 边的长度是（ ）A B ．C ．D 8.经过点(2,1)的直线l 到(1,1)A ，(3,5)B 两点的距离相等，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y --=B ．2x =C ．230x y --=或2x =D ．都不对9.已知函数1()2xy =的图象与函数log a y x =（0a >，1a ≠）的图象交于点00(,)P x y ，如果02x ≥，那么a 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C ．[8,)+∞D ．[16,)+∞10.矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．1253πB ．1256πC ．1259πD ．12512π11.若关于x 的方程2log 1mx m1=-在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(,1)(2,)-∞+∞UD ．(,0)(1,)-∞+∞U12.1111ABCD A BC D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．4D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线2(1)20x a y +-+=与直线320ax y --=平行，则a = ．14.如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为为 ．15.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．16.已知函数2log (1)1,1,()|1|,,x x k f x x x k x a -+-≤<⎧=⎨-≤≤⎩若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 的方程为210x y -+=．（1）求过点(3,2)A ，且与l 垂直的直线的方程；（2）求与l 平行，且到点(3,0)P18.已知函数1()f x x x=-． （1）讨论并证明函数()f x 在区间(0,)+∞的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，求实数m 的取值范围．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，三角形ABC 为等腰直角三角形，AC BC ==11AA =，点D 是AB 的中点．（1）求证：1//AC 平面1CDB ；（2）二面角1B CD B --的平面角的大小．20. 如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求直线CD 与平面PCE 所成角的正弦值． 21.如图，甲、乙是边长为4a 的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论． 22.已知二次函数()f x 满足：(0)(4)4f f ==，且该函数的最小值为1． （1）求此二次函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 的定义域为[],A m n =（其中0m n <<），问是否存在这样的两个实数m ，n ，使得函数()f x 的值域也为A ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．（3）若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]21,2x ∈使得122()21af x x x <+-，求a 的取值范围．广东实验中学2017-2018学年（上）高一级模块考试数学答案一、选择题1-5:ACBDB 6-10:BBCDB 11、12：AD二、填空题13.3 14.6 15.1616.[]1,2 三、解答题17.解：（1）∵直线l 的斜率为2，∴所求直线斜率为12-， 又∵过点(3,2)A ，∴所求直线方程为12(3)2y x -=--， 即270x y +-=．（2）依题意设所求直线方程为20x y c -+=， ∵点P (3,0)=1c =-或11c =-，所以，所求直线方程为210x y --=或2110x y --=． 18.解：（1）函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． 证明：任取210x x >>，则2121212112111()()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+， 因为210x x >>，所以210x x ->，12110x x +>，所以21()()0f x f x ->， 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． （2）原不等式等价于120mmx mx x--<对任意的[1,)x ∈+∞恒成立， 整理得2120mx m m--<对任意的[1,)x ∈+∞恒成立， 若0m >，则左边对应的函数开口向上，当[1,)x ∈+∞时，必有大于0的函数值； 所以0m <且120m m m--<，所以1m <-．19.解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设11BC B C E =I ， 则E 为1BC 的中点，连接ED ， ∵D 为AB 的中点，∴//ED AC ， 又∵ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ， ∴1//AC 平面1CDB ．（2）∵ABC ∆中，AC BC =，D 为AB 中点，∴CD AB ⊥， 又∵1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1BB CD ⊥，又1AB BB B =I ，∴CD ⊥平面11ABB A ，∵1B D ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，∴1CD B D ⊥，CD AB ⊥， ∴1B DB ∠为二面角1B CD B --的平面角， ∵ABC ∆中，2AB =，∴1BD =， 在1Rt B BD ∆中，11tan 1B BB BD BD∠==， ∴二面角1B CD B --的平面角的大小为45︒．20.（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ． ∵O ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴//OF PA ，且12OF PA =， ∵//DE PA ，且12DE PA =，∴//OF DE ，且OF DE =，∴四边形OFED 为平行四边形，∴//OD EF ，即//BD EF ， ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， ∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥． ∵PA AC A =I ，∴BD ⊥平面PAC ， ∵//BD EF ，∴EF ⊥平面PAC ，∵FE ⊂平面PCE ，∴平面PAC ⊥平面PCE ． （2）因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45︒， 所以45PCA ∠=︒，所以2AC PA ==， 所以AC AB =，故ABC ∆为等边三角形， 设CD 的中点为M ，连接AM ，则AM CD ⊥，设点D 到平面PCE 的距离为1h ，点P 到平面CDE 的距离为2h ， 则由D PCE P CDE V V --=，得121133PCE CDE S h S h ⋅⋅=⋅⋅（*） 因为ED ⊥面ABCD ，AM ⊂面ABCD ，所以ED AM ⊥， 又AM CD ⊥，CD DE D =I ，∴AM ⊥面CDE ；因为//PA DE ，PA ⊄平面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//PA 面CDE ，所以点P 到平面CDE 的距离与点A 到平面CDE 的距离相等，即2h AM =，因为PE EC ==PC =PCE S ∆=又1CDE S ∆=，代入（*11h =1h =，设CD 与平面PCE21.解：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a ，高为a 的正四棱柱．将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a 的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为2a ，斜高为3a 的正四棱锥．（2）∵正四棱柱的底面边长为2a ，高为a ，∴其体积231(2)4V a a a =⋅=， 又∵正四棱锥的底面边长为2a，高为h ==，∴其体积221(2)3V a =⋅=∵2212816416099-=-=>，即43>3343a >，∴12V V >， 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大． （说明：裁剪方式不唯一，计算的体积也不一定相等）22.解：（1）依题意，可设2()(2)1f x a x =-+，因(0)4f =，代入得34a =，所以2233()(2)13444f x x x x =-+=-+． （2）假设存在这样的m ，n ，分类讨论如下：当2m n <≤时，依题意，(),(),f m n f n m =⎧⎨=⎩即22334,4334,4m m n n n m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩两式相减，整理得83m n +=，代入进一步得43m n ==，产生矛盾，故舍去；当2m n <<时，依题意(2)1m f ==， 若3n >，()f n n =，解得4n =或43（舍去）； 若23n <≤，7(1)4n f ==，产生矛盾，故舍去； 当2m n ≤<时，依题意，(),(),f m m f n n =⎧⎨=⎩即22334,4334,4m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得43m =，4n =产生矛盾，故舍去.综上：存在满足条件的m ，n ，其中1m =，4n =. （3）依题意：21max 221()ax f x x +->， 由（1）可知，1max ()4f x =，[]10,3x ∈， 即2225ax x +>在[]1,2上有解； 整理得22225a x x >-+，[]21,2x ∈有解，又225y x x =-+25252()48x =--+，[]1,2x ∈，当2x =时，有min 2y =； 依题意：2a >．。
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2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=，并求出=．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得x＞且x≠1．的定义域是（，1）∪（1，+∞）．∴函数f（x）=log（2x﹣1）故选：B．2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P 到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；g′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=1，并求出=．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0），x1+x2=1，∴f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1﹣x1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当x1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则k PA==，k PB==，∴的取值范围是．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．=ab≥12，l的方程为：+=1，即4x+6y﹣24=0∴S△AOB18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）=S▱ABCD•PC=．…（3分）∴V P﹣ABCD（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A 1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A 1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A 1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+﹣2．…（3分）（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x+﹣2≥k•2x，k≤1+﹣令=t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0．…（6分）（3）由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0得|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．…（10分）。