§8.5 电势与电场强度的关系
电场强度与电势的关系
电场有两个宏观性质
1.对引入其中的电荷有力的作用； 2.对运动电荷做功。
场强 高斯定理 静电场是有通量源场
功与路径无关（环流定理） 静电场是保守场（有势场）
一、等势面 电势相等的空间各点所组成的面
1）沿等势面移动电荷，电场力不作功
A12 qV1 V2 0
2）等势面处处与电场线正交
结论：电场线指向电势降落的方向
二、场强与电势的微分关系
V1 V2 dV E dl Edl cos
E cos dV
dl
E
dl
1
2
V1 V2 V1 du
dV dl
为电势函数沿
dl
方向经单位长度时的变化，即
电势沿 dl 方向的空间变化率。
电场中某点场强沿某一方向的分量等于电势沿此方向的 空间变化率的负值。
4 0 R 2 x 2
利用电场强度与电势梯度的关系
E V
V
Q
4 o R2 x2
dQ
r
R
0
xP
x
Ex
V x
4 0
xQ x2 R2
3 2
有对称性可得： E y Ez 0
E Ex i Ey j Ez k
4 0
xQ x2 R2
3 2
i
2）方法二（场强叠加原理）
dQ
E
4 0
x2 R2
3 2
Q
4 0 R 2 x 2
பைடு நூலகம்
例 设有一均匀带电直线段长度为L，总电荷量为q，求其延
长线上一点P电势和电场强度。
P
a
P’
dE
x’
dx’
r
x
电势和电场强度的计算
电势为零时， 电场强度也不
一定为零
电势的计算实例
计算方法：利用电 势的定义式和电场 强度的关系式进行 计算
实例1：点电荷电 场的电势计算
实例2：匀强电场 的电势计算
实例3：电势与电 场强度的关系
Part Two
电场强度的计算
定义和单位
电场强度是描述电场中电场力性质的物理量，表示电场中单位点电荷所受的力。 电场强度的单位是牛/库或牛/米，符号为N/C或N/m。 在国际单位制中，电场强度的单位是伏/米或伏/米^2，符号为V/m或V/m^2。 电场强度是矢量，具有方向性，其方向与正电荷所受的电场力方向相同。
在非匀强电场中，电场强度与电势的 关系较为复杂，一般需要通过积分来 求解。
在静电场中，电场强度与电势的关系 可以通过高斯定理和环路定理来推导。
电场强度的计算实例
计算点电荷产生的电场强度 计算匀强电场中的电场强度 计算带电平行板间的电场强度 计算带电圆环产生的电场强度
Part Three
电势和电场强度的 关系
单位：在国际单位制中，电势的单位是伏 特（V），简称伏。
计算公式
电势的定义式：φ=E/q 电势的计算公式：φ=kQ/r 电势的计算公式：φ=∫E·dl 电势的计算公式：φ=Uab
电势与电场强度的关系
电势与电场强 度是描述电场 性质的两个重
要物理量
电场强度越大， 电势越高
电场强度为零 时，电势不一
计算公式
电场强度E的定义式：E=F/q 点电荷场强公式：E=KQ/r² 匀强电场场强公式：E=U/d 平行板电容器间的场强公式：E=U/s
电场强度与电势的关系
电场强度是描述电场中力的性质的物 理量，而电势是描述电场中能的性质 的物理量。
电场强度与电势
电场强度与电势
电场强度（E）和电势（V）是描述电场特性的两个重要参数。
电场强度是指单位正电荷在某点所受到的力的大小。
它的方向与力的方向相同，单位是牛顿/库仑（N/C）。
电势是指单位正电荷从无穷远处移动到某点所需的功。
它的单位是伏特（V）。
电势是标量量，它描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在以下关系：
1. 电场强度为负梯度电势：E = -∇V
这个公式表示电场强度是电势的负梯度，其中∇是梯度算子。
2. 电场强度和电势的关系：E = -dV/dr
这个公式表示电场强度是电势对位置的导数，其中dV/dr表示电势对位置的变化率。
3. 电场强度和电势的关系：V = -∫E·dl
这个公式表示电势是电场强度积分后的结果，其中∫E·dl表示电场强度沿路径l的线积分。
在一维情况下，电势和电场强度之间的关系可以通过上述公式进行计算。
在三维情况下，电势和电场强度之间的关系需要考虑电场的分布情况，并使用泊松方程或拉普拉斯方程进行计算。
总之，电场强度描述了电场中的力的大小和方向，而电势描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在一定的关系，可以通过公式进行计算。
8.5电场强度与电势梯度的关系
E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU
U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E
1
4 0
dq r3
r
sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U
1
4 0
dq r
U LE dl
3 E U
U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律
高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3
E
ds
1
dv
s
0 v
l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
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定义电势梯度
学习电场中电势与电场强度的计算
学习电场中电势与电场强度的计算电场是物理学中的一个重要概念，它描述了电荷受到的力和电势的分布情况。
在学习电场的过程中，我们需要掌握电势和电场强度的计算方法。
一、电势的计算电势是描述电荷周围电场状态的物理量，它是用来衡量电荷所具有的能量。
在电场中，电势的计算可以通过以下公式进行：V = k * Q / r其中，V表示电势，k表示库仑常数，Q表示电荷大小，r表示距离。
通过这个公式，我们可以计算出电荷点周围的电势大小。
需要注意的是，电势是一个标量量，它没有方向性。
因此，我们可以简单地将电势看作是一个点的属性，而不需要考虑具体的方向。
二、电场强度的计算电场强度是描述电荷周围电场状态的物理量，它是用来衡量电荷对其他电荷施加的力的大小。
在电场中，电场强度的计算可以通过以下公式进行：E = k * Q / r^2其中，E表示电场强度，k表示库仑常数，Q表示电荷大小，r表示距离。
通过这个公式，我们可以计算出电荷点周围的电场强度大小。
需要注意的是，电场强度是一个矢量量，它具有方向性。
因此，在计算电场强度时，我们需要考虑具体的方向。
三、电势与电场强度的关系电势和电场强度之间存在着一定的关系。
根据电场的定义，电场强度是电势在空间上的梯度。
也就是说，电场强度的方向是电势下降最快的方向。
具体来说，电场强度的方向是从高电势指向低电势的。
这是因为电势表示了单位正电荷在电场中所具有的能量，而电场强度表示了单位正电荷所受到的力。
因此，电势越高，电场强度越大。
在计算电场强度时，我们可以利用电势的概念。
根据电场强度的定义，我们可以将电场强度表示为电势的负梯度。
也就是说，电场强度的大小可以通过电势的变化率来计算。
四、电势与电场强度的应用电势和电场强度的计算方法在物理学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述电荷之间的相互作用，解释电场中的运动规律，以及计算电场中的能量分布等。
例如，在电场中，电荷受到的力可以通过电场强度进行计算。
根据库仑定律，电荷之间的力与电场强度成正比。
电势差与电场强度的关系
• 【反思总结】 应用U＝Ed求两点间的电势差， 一定要正确理解“d”是两点间沿电场方向的距 离，而求某点的电势，我们是通过求这点与电 势零点的电势差实现的，由U＝Ed计算其数值， 电势的正负由该点与电势零点的电势高低比较 而定．
• 【跟踪发散】 1－1：平行的带电金属板A、B间是 匀强电场．如右图所示，两板间距离是5 cm，两板间 的电压是60 V.
• 这就是匀强电场中的电势差与电场强度的关系，其中 d为移动电荷的始末位置沿电场线方向的距离，即匀 强电场中两等势面间的距离．
• 2．方向关系：场强的方向就是电势降低最快的方 向．
• 由于电场线跟等势面垂直，只有沿电场线方向，单位 长度上的电势差才最大，也就是说电势降落最快的方 向为电场强度的方向．但电势降落的方向不一定是电 场强度方向．
电势差与电场强度的关系
一、电势差与电场强度的关系式 1．大小关系：U＝Ed 或 E＝Ud 推导过程如下： 如右图所示，在匀强电场中，把一点电荷 q 从 A 移到 B，则 电场力做功为：WAB＝qUAB.另外，由于是匀强电场，电荷所受电 场力为恒力，其对电荷做功也可由求功公式直接求解，WAB＝ F·sAB·cos θ＝qE·AB ·cos θ＝qEd. 两式相比较，得： E＝UdAB或 UAB＝Ed
解析： 沿 z 轴负方向观察，M、N、P 三点的位置如右图 所示，其中 P 与它在 Oxy 平面内的投影点 P′重合．由题意知 φp＝φp′，分别过 O、P′作 MN 的垂线，垂足分别为 A、B 点， 由几何知识可知 BM ＝34 MN ，因为 E·MN ＝1 V，所以 UBM＝ E·BM ＝E·34 MN ＝34 V．φM＝0，故 正确．
(1)从变形公式E＝
U d
可以看出，电场强度越大，说明沿
电场强度与电势能的关系
电场强度与电势能的关系1.电场强度的定义电场强度是指单位正电荷所受到的力的大小。
它是描述电场中电荷受力情况的物理量。
电场强度的方向与电荷正负性相反，即正电荷会沿着电场强度的方向受力，而负电荷则沿相反方向受力。
2.电势能的定义电势能是指单位电荷在电场中具有的能量。
它是描述电荷在电场中的位置和状态的物理量。
电势能的大小取决于电荷的量和电场的性质，包括电荷之间的距离和电场的强度等因素。
3.电场强度与电势能的关系电场强度和电势能之间存在一种基本的数学关系，即电场强度是电势能的负梯度。
换句话说，电场强度是电势能对位置的梯度的相反数。
4.电场强度的梯度电场强度的梯度表示了电势能随位置变化的快慢程度。
梯度的方向是电势能增加最快的方向，梯度的大小表示了电势能的变化率。
在数学上，电场强度的梯度可以用矢量微分算符（∇）表示。
5.电场强度和电势能的数学关系数学上，电场强度（E）和电势能（V）之间的关系可以通过以下公式表示： E = -∇V 其中，E是电场强度矢量，V是电势能。
公式中的负号表示电场强度是电势能梯度的相反数。
6.解释关系的意义这个公式的意义在于，电场强度可以通过电势能的梯度来确定。
如果我们知道电势能在不同位置的分布情况，我们就可以利用该公式计算出电场强度在这些位置的数值。
反过来，如果我们知道电场强度的分布情况，我们也可以通过积分计算出电势能在不同位置的数值。
总结：电场强度与电势能之间存在着紧密的数学关系，即电场强度是电势能的负梯度。
这个关系的意义在于，我们可以通过电势能的梯度确定电场强度的数值，或者通过电场强度的分布来计算电势能的数值。
这种关系在电场的研究和应用中具有重要的意义。
电场与电势的关系
电场与电势的关系电场和电势是电学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将详细介绍电场与电势的概念及其关系，并探讨它们在电学领域中的应用。
一、电场的概念电场是一个具有电性的空间区域，在这个区域内，存在着电荷粒子产生的力的作用。
我们可以用电场强度来描述电场的特性，电场强度的方向是电荷粒子受力的方向。
电场可以由点电荷、电偶极子或者更复杂的电荷分布产生。
二、电势的概念电势是描述电场中各点的特性的物理量，表示单位正电荷在电场中所具有的能量。
电势通常用电势能来表示，单位为伏特（V）。
电势是标量，它的大小只与电场强度有关，与电荷的正负无关。
在电场中，电势沿着电场强度的方向是递减的。
三、电场与电势的关系电场和电势之间存在着一种紧密的数学关系，可以用数学公式来描述。
假设电场强度为E，电势为V，电荷为q，则电场与电势的关系可以用以下公式表示：E = -▽V其中，▽表示对位置的梯度算子运算。
这个公式表明，电场强度的负梯度等于电势。
也就是说，在电场中，电势的变化率等于电场强度的相反数。
通过这个公式，我们可以根据电场强度的分布来计算电势，或者根据电势的分布来推导电场强度。
四、电场与电势的应用电场和电势在电学领域中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 静电力：电场强度和电势能直接影响电荷之间的相互作用力。
在静电学中，我们可以利用电场和电势的概念来计算电荷的受力情况。
2. 电容器：电容器是电学中常见的元件之一，它的电容量与电场强度和电势之间有关。
利用电场和电势的概念，我们可以研究电容器的特性，并设计出具有特定功能的电容器。
3. 静电场分析：通过计算电势分布或电场强度分布，我们可以对静电场进行分析，并了解电场的特性。
这对于电荷的运动、场景的设计等方面都有着重要的应用价值。
4. 电势能转化：电场和电势能之间存在着密切的关系。
我们可以通过改变电场或电势的分布，来实现电势能的转化。
例如，利用电势差将电势能转化为动能，在电场中进行电能的传输等。
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当θ＝0 时，即沿等势面的法向方 ＝ 向 V 的空间变化率的取最大值： 的空间变化率的取最大值：
定义：电势梯度 定义：
即：
沿
方向的分量等于V 方向的分量等于V
沿该方向的空间变化率的负值 !
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
当θ＝0 时，即沿等势面的法向方 ＝ 向 V 的空间变化率的取最大值： 的空间变化率的取最大值：
1. 电场线与等势面处处垂直。 . 电场线与等势面处处垂直。 2. 电场强度与电势之间的微分关系： . 电场强度与电势之间的微分关系：
电势梯度指向电势升高的方向； 电势梯度指向电势升高的方向； 指向电势升高的方向 电场强度指向电势降低的方向。 电场强度指向电势降低的方向。 指向电势降低的方向
( The end )
−q V+ = , V− = 4πε0r+ 4πε0r− q q r− − r+ ∴ Vp = V+ +V− = 4πε0 r+r−
y
p( x,y)
r− 远场：l<<r，r+r-≈r2 ，r-- r+≈l·cosθ 远场： ， r r+ r r r pee⋅⋅ r θ 1 pe ⋅ x p cos= Vp = 1 ⋅ 3 2 θ 4πε0 r 3 4πε0 rr − r + −q l + q x r r x 其中： 其中：pe = ql , pe ⋅ r = pe ⋅ r ⋅ cosθ
低的方向 !
y
p( x,y)
☻对于
分布复杂的情形，可先 分布复杂的情形， 。
求 V，再求梯度办法求 ，
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
例 求电偶极子远场中任意一点的电势和电场强度。 求电偶极子远场中任意一点的电势和电场强度。 建立坐标系如图所示。 解 建立坐标系如图所示。
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
说明
☻“－”表示电场总是指向 降 表示电场总是指向V
低的方向 !
☻对于
分布复杂的情形，可先 分布复杂的情形， 。
求 V，再求梯度办法求 ，
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
b a
+
q
点电荷
r r ∴ E⋅ dl = 0 r r E ⊥ dl r 垂直于等势面 即： E 垂直于等势面 !
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
电场强度与等势面处处垂直！ 电场强度与等势面处处垂直！
+
q
点电荷
等量异号点电荷
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
2′25′′
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电r 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
§8. 5 电势与电场强度的关系
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
一、等势面
等势面：由电势相同的点构成的面。 等势面：由电势相同的点构成的面。
Uab = Va −Vb = 0
等量同号点电荷
++ ++ + + + + +
平行板电容器
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
二、
、V 间的微分关系
即：
沿
方向的分量等于V 方向的分量等于V
沿该方向的空间变化率的负值 !
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
定义：电势梯度 定义：
☻ 为等势面的法向单位矢量。 为等势面的法向单位矢量。 ☻梯度 梯度 为矢量，指向电势 为矢量， 升高的方向。 升高的方向。
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
说明
☻ 为等势面的法向单位矢量。 为等势面的法向单位矢量。 ☻梯度 梯度 为矢量，指向电势 为矢量， 升高的方向。 升高的方向。
( 解毕 )
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
1. 电场线与等势面处处垂直。 . 电场线与等势面处处垂直。 2. 电场强度与电势之间的微分关系： . 电场强度与电势之间的微分关系：
( 解毕 )
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
例 求电偶极子远场中任意一点的电势和电场强度。 求电偶极子远场中任意一点的电势和电场强度。 建立坐标系如图所示。 解 建立坐标系如图所示。
−q V+ = , V− = 4πε0r+ 4πε0r− q q r− − r+ ∴ Vp = V+ +V− = 4πε0 r+r− ☻“－”表示电场总是指向 降 表示电场总是指向V
r E r E
r r r r Va −Vb= ∫ E⋅ dl ≈ E⋅ dl
b
等势面
即：
垂直于等势面 垂直于等势面 !
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
电场强度与等势面处处垂直！ 电场强度与等势面处处垂直！
Uab = Va −Vb = 0
r r r r E⋅ Va −Vb= ∫ E⋅ dl ≈ E⋅ dl
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
或写成： 或写成： 而：
远场：l<<r，r+r-≈r2 ，r-- r+≈l·cosθ 远场： ，
其中： 其中：
Chapter 8.作者：杨茂田 §8. 5 电势与电场强度的关系 静电场 作者：
或写成： 或写成： 而：