2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(五)A(江西省专用)

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(江西专用)2013年高考数学二轮复习阶段评估5 新人教版

专题阶段评估(五)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析： k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值X 围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 答案： B2．(2012·某某二测)已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( )A ．4 B.14C ．－14D ．－4解析：双曲线的方程可化为x 2－y 2－1m＝1，由已知条件可得－1m ＝2，故m ＝－14. 答案： C3．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4y B ．x 2＝－4y C ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：由题意得c ＝5＋4＝3， ∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，故选D. 答案： D4．(2012·某某调研)圆x 2＋y 2－ax ＋2＝0与直线l 相切于点A (3,1)，则直线l 的方程为( )A ．2x －y －5＝0B ．x －2y －1＝0C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －4＝0解析：由已知条件可得32＋12－3a ＋2＝0，解得a ＝4，此时圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心为C (2,0)，半径为2，则直线l 的方程为y －1＝－1k AC(x －3)＝－x ＋3，即x ＋y －4＝0，故应选D.答案： D5．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A 、C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)．故选B.答案： B6．(2012·某某质检)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0，又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r ，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案： C7．(2012·某某二检)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，渐近线分别为l 1、l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是( )A. 5 B ．2C.3D. 2解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，b a x 0，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．根据题意得－b a ·b ax 0x 0＋c ＝－1，－b a ＝ba x 0x 0－c ，消去x 0后，得b 2＝3a 2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝2，故选B.答案： B8．已知点A ，B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足OA →·OB →＝0，则点O 到直线AB 的距离等于( )A.2B. 3 C ．2D ．2 2解析：由OA →·OB →＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，因此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到直线AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x⇒x ＝ 2.故选A.答案： A9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，交双曲线右支于点P ，切点为E ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( )A.10B.105C.102D. 2 解析：如图所示，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，由题意，知OE ⊥PF ，|OE |＝a 2，又因为OE →＝12(OF →＋OP →)，所以E 为PF中点，所以|OP |＝|OF |＝c ，|EF |＝c 2－a 24.所以|PF |＝2c 2－a 24.又因为|OF |＝|OF ′|，|EF |＝|PE |，所以PF ′∥OE ，|PF ′|＝2|OE |＝a . 因为|PF |－|PF ′|＝2a ，所以2c 2－a 24－a ＝2a ，即c ＝102a ，故e ＝c a ＝102. 答案： C10．(2012·某某八校二联)记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：设圆心为C ，半径为r ，当点A ，P 在圆C 外时，可得|PA |＝|PC |－r ，即|PC |－|PA |＝r ，轨迹可以是双曲线的一支；当点A 在圆C 内且A 不是圆心，点P 也在圆内时，可得r －|PC |＝|PA |，即|PA |＋|PC |＝r ，轨迹可以是椭圆；当点A 是圆心时，|PA |＝12r ，轨迹可以是圆．答案： D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．(2012·某某模考)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2k ＋2＋y 2k ＋1＝1(k ＞－1)的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．解析：由椭圆定义有4a ＝8⇒a ＝2，所以k ＋2＝a 2＝4⇒k ＝2，从而b 2＝k ＋1＝3，c2＝a 2－b 2＝1，所以e ＝c a ＝12.答案： 1212．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________________．解析： y 2＝4x ，焦点F (1,0)， ∴圆心O (0,1)．O 到4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，则圆半径r 满足r 2＝12＋32＝10，∴圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 答案： x 2＋(y －1)2＝1013．(2011·某某卷)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b2＝12c ＝4a 2＋b 2＝c2，解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3c ＝2，所以所求离心率e ＝c a ＝21＝2.答案： 214．已知k ∈R ，则直线y ＝k (x －1)＋2被圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0截得的弦长的最小值为________解析：因为直线y ＝k (x －1)＋2过定点A (1,2)，而该点与圆心(1,1)的距离为1，已知当定点A (1,2)为弦的中点时，其弦长最短，其值为2r 2－d 2＝22－1＝2.答案： 215．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5，∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取最小值－2.答案：－2三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)16．(12分)已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，某某数k 的值．解析： (1)设圆心C (a ，a )，半径为r . 因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2，所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos〈OP →，OQ →〉＝－2，且OP →与OQ →的夹角为∠POQ ，所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0. 17．(12分)(2012·某某某某三模)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解析： (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n ，将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1，设∠AOB ＝2θ，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45，又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.18．(12分)(2012·某某二测)已知对称中心为坐标原点的椭圆C 1与抛物线C 2：x 2＝4y 有一个相同的焦点F 1，直线l ：y ＝2x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点．(1)求直线l 的方程；(2)若椭圆C 1经过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＝4y消去y ，得x 2－8x －4m ＝0，∵直线l 与抛物线C 2只有一个公共点， ∴Δ＝82＋4×4m ＝0，解得m ＝－4. ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)∵抛物线C 2的焦点为F 1(0,1)，依题意知椭圆C 1的两个焦点的坐标为F 1(0,1)，F 2(0，－1)设椭圆C 1的方程为y 2a 2＋x 2a 2－1＝1(a >1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2a 2＋x 2a 2－1＝1消去y ，得(5a 2－4)x 2－16(a 2－1)x ＋(a 2－1)(16－a 2)＝0.(*)由Δ＝162(a 2－1)2－4(5a 2－4)(a 2－1)(16－a 2)≥0，得a 4－4a 2≥0(a 2＞0且a 2－1＞0)，解得a 2≥4.∴a ≥2，∴e ＝1a ≤12，当a ＝2时，e max ＝12，此时椭圆C 1的方程为y 24＋x23＝1.把a ＝2代入方程(*)，解得x ＝32.又y ＝2x －4，∴y ＝－1，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1. 19．(12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的两点，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)试判断命题：“△AOB 的面积为定值”是否为真命题？并说明理由．解析： (1)由题意，知2b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，由m·n ＝0，得x 21－y 214＝0，又点A (x 1，y 1)在椭圆上，故x 21＋y 214＝1，解得|x 1|＝22，|y 1|＝2，△AOB 的面积S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|×2|y 1|＝1.②当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋2kmx ＋m 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4，由m·n ＝0，得x 1x 2＋y 1y 24＝0，即x 1x 2＋kx 1＋mkx 2＋m4＝0，整理得2m 2＝k 2＋4.△AOB 的面积S ＝12·|m |1＋k 2·|AB | ＝12|m |x 1＋x 22－4x 1x 2＝|m |4k 2－4m 2＋16k 2＋4＝|m |8m 2－4m 22m 2＝1. 所以△AOB 的面积为定值1.20．(13分)(2012·某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解析： (1)由题意得a 2－b 2＝1，b ＝1，则a ＝2， ∴椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由图可得直线l 的斜率存在且不为零，则可设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋b ，消去y 整理得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，Δ1＝16k 2b 2－8(b 2－1)(2k 2＋1)＝16k 2＋8－8b 2＝0，即b 2＝2k 2＋1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，消去y 整理得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，Δ2＝(2kb －4)2－4k 2b 2＝16－16kb ＝0，即kb ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝2k 2＋1， ①kb ＝1. ②由②得b ＝1k 代入①得1k2＝2k 2＋1，即2k 4＋k 2－1＝0.令t ＝k 2，则2t 2＋t －1＝0，解得t 1＝12或t 2＝－1(舍)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，b ＝－ 2.∴l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 21．(14分)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M .(1)求椭圆C 的方程；(2)求直线l 的方程以及点M 的坐标；(3)是否存在过点P 的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解析： (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k x －2＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(3)若存在直线l 1满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程，得(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0. 所以k 1＞－12.x 1＋x 2＝8k 12k －13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21. 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k ＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。

2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十)A(江西省专用)

专题限时集训(二十)A[第20讲复数、算法与推理证明](时间：30分钟)1．在复平面内，复数i －1i的共轭复数的对应点在( ) A ．第二象限 B ．第一象限C ．第三象限D ．第四象限2．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋bi＝1＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝32，b ＝123．给出如图20－1所示的程序框图，那么输出的数是( )A ．2 450B ．2 550C ．5 150D ．4 900图20－14．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数5．若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则复数a ＋bi ＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．－1－2iD ．1－2i6．如图20－2是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )图20－2A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97．如图20－3是一个程序框图，则输出结果为( )图20－3A ．22－1B ．2 C.10－1 D.11－1图20－48．阅读如图20－4所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．0B ．1＋ 2C ．1＋22D.2－19．将棋子摆成如图20－5的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5＝( )图20－5A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 01110．设i 为虚数单位，则1－i ＋i2－i3＋i4－…＋i20＝________________________________________________________________________.11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr2，观察发现S′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr2，三维测度(体积)V ＝43r3，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的三维测度为V ＝8πr3，猜想其四维测度W ＝________．。

2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(十三)(江西省专用)

专题限时集训(十三)[第13讲空间向量与立体几何](时间：45分钟)1．若两点的坐标是A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．(1，5)D ．[1，25]2．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R)，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．如图13－1，三棱锥A －BCD 的棱长全相等，E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )图13－1 A.36 B.32 C.336 D.124．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝AC →·AD →＝AB →·AD →＝0，则△BCD是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形5．a ，b 是两个非零向量，α，β是两个平面，下列命题正确的是( )A ．a ∥b 的必要条件是a ，b 是共面向量B ．a ，b 是共面向量，则a ∥bC ．a ∥α，b ∥β，则α∥βD ．a ∥α，b β，则a ，b 不是共面向量6．若a ⊥b ，a ⊥c ，l ＝αb ＋β c(α，β∈R)，m ∥a ，则m 与l 一定( )A ．共线B ．相交C ．垂直D ．不共面7．已知平面ABC ，点M 是空间任意一点，点M 满足条件OM →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则直线AM( )A ．与平面ABC 平行B ．是平面ABC 的斜线C ．是平面ABC 的垂线D ．在平面ABC 内8．如图13－2，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，棱AB ，BC ，BB1两两垂直且长度相等，点P 在线段A1C1上运动，异面直线BP 与B1C 所成的角为θ，则θ的取值范围是( )图13－2A.π3≤θ≤π2 B ．0<θ≤π2C.π3≤θ<π2 D ．0<θ≤π3 9．设a1＝2i －j ＋k ，a2＝i ＋3j －2k ，a3＝－2i ＋j －3k ，a4＝3i ＋2j ＋5k(其中i ，j ，k 是两两垂直的单位向量)．若a4＝λa1＋μa 2＋νa 3，则实数组(λ，μ，ν)＝________．10．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →＝________．11．如图13－3，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A1B1C1D1，点M 是线段DC1上的动点，则点M 到直线AD1距离的最小值是________．图13－312．已知四棱锥A －BCDE ，AC ⊥平面BCDE ，且四边形BCDE 为正方形，AC ＝6，BC ＝8.(1)求证：平面ACD ⊥平面ADE ；(2)求二面角D －AE －B 的余弦值．图13－413．如图13－5所示的七面体是由三棱台ABC—A1B1C1和四棱锥D－AA1C1C对接而成，四边形ABCD是边长为2的正方形，BB1⊥平面ABCD，BB1＝2A1B1＝2.(1)求证：平面AA1C1C⊥平面BB1D；(2)求二面角A－A1D－C1的余弦值．图13－514．如图13－6，四边形ABCD中(图13－6(1))，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝5，AB＝AD＝ 2.将△ABD沿直线BD折起，使二面角A－BD－C为60°(如图13－6(2))．(1)求证：AE⊥平面BDC；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(3)求点B到平面ACD的距离．图13－6。

2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：作业解析(湖南省专用)

专题限时集训(一)A【基础演练】1．A [解析] 依题意得P ＝{x ∈Z|x2<2}＝{－1，0，1}，故∁UP ＝{2}． 2．D [解析] 依题意得A ＝{－1，0，1}，因此集合A 的子集个数是23＝8. 3．B [解析] 根据特称命题的否定得命题綈p 应为：任意x ∈0，π2，sinx ≠12.4．B [解析] 因为当a·b>0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；又命题q 是假命题，例如f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x≤0，－x ＋2，x>0.综上可知，“p 或q”是假命题．【提升训练】5．B [解析] 由x －2x ＋3<0得－3<x<2，即M ＝{x|－3<x<2}；由|x －1|≤2得－1≤x≤3，即N ＝{x|－1≤x≤3}．所以M∩N ＝[－1，2)．6．B [解析] 依题意p 且q 为真命题，则p ，q 都为真命题．若p 为真命题，则m<0；若q 为真命题，则m≥－2.所以p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围为[－2，0)．7．B [解析] 当c ＝－1时，由函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x≥1，x －1，x<1的图像可以得出其是增函数；反之，不一定成立，如取c ＝－2.所以“c ＝－1”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件．8．A [解析] 由“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”得2lgy ＝lgx ＋lgz ，则有y2＝xz(x>0，y>0，z>0)，y 是x ，z 的等比中项；反过来，由“y 是x ，z 的等比中项”不能得到“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”，例如y ＝1，x ＝z ＝－1.于是，“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的充分不必要条件．9．C [解析] 命题p 等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a<－12；若p 假q 真，则－4<a<4.故实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．10．任意x ∈R ，x>1且x2≤4 [解析] 因为特称命题p ：存在x0∈M ，p(x0)的否定为綈p ：任意x ∈M ，綈p(x)，所以题中命题的否定为“任意x ∈R ，x>1且x2≤4”．11．{5，6} [解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B ∩(∁UA)＝{5，6}．12．①④ [解析] 对于①，“存在x0∈R ，2x0>3”的否定是“任意x ∈R ，2x ≤3”，所以①正确；对于②，注意到sin π6－2x ＝cos2x ＋π3，因此函数y ＝sin2x ＋π3sin π6－2x ＝sin2x ＋π3²cos2x ＋π3＝12sin4x ＋2π3，其最小正周期为2π4＝π2，所以②不正确；对于③，注意到命题“函数f(x)在x ＝x0处有极值，则f′(x 0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x ＝x0处无极值，则f′(x 0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，f(x)无极值但当x0＝0时，f′(x 0)＝0，故③不正确；对于④，依题意知，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x ，所以④正确．综上所述，其中正确的说法是①④. 专题限时集训(一)B 【基础演练】1．C [解析] 依题意得∁RA ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{y|y≥0}，所以(∁R A)∩B ＝{x|0≤x≤1}． 2．A [解析] 依题意得M ＝{x|x≥－a}，N ＝{x|1<x<3}，则∁UN ＝{x|x≤1，或x≥3}．又M∩(∁UN)＝{x|x ＝1，或x≥3}，所以－a ＝1，求得a ＝－1.3．C [解析] 由p ∨q 为真，得p ，q 至少一个为真，此时不能得綈p 为假；由綈p 为假，得p 为真，此时p ∨q 为真．因此“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的必要不充分条件．故选C. 4．D [解析] 对于A ，命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此选项A 不正确；对于B ，由x ＝－1得x2－5x －6＝0，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分条件，选项B 不正确；对于C ，命题“存在x0∈R ，使得x20＋x0－1<0”的否定是：“任意x ∈R ，使得x2＋x －1≥0”，因此选项C 不正确；对于D ，命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”是真命题，因此它的逆否命题也为真命题，选项D 正确．【提升训练】5．A [解析] 依题意得A ＝{x|－5<x<6}．由cos πx 3＝12得πx 3＝2k π±π3，即x ＝6k±1，k∈Z.令－5<6k ＋1<6得－1<k<56.又k ∈Z ，则k ＝0，故x ＝1；令－5<6k －1<6得－23<k<76，又k∈Z ，则k ＝0或k ＝1，故x ＝－1或x ＝5.于是，A∩B ＝{－1，1，5}．6．D [解析] 因为任意x ∈R ，2x2＋2x ＋12＝2x ＋122≥0，所以p 为假命题；当x ＝3π4时，sin 3π4－cos 3π4＝22＋22＝2，所以q 为真命题，则綈q 是假命题．7．C [解析] 依题意得f(x)＝a2x2＋2(a·b)x ＋b2，由函数f(x)是偶函数，得a·b ＝0，又a ，b 为非零向量，所以a ⊥b ；反过来，由a ⊥b 得a·b ＝0，f(x)＝a2x2＋b2，函数f(x)是偶函数．综上所述，“函数f(x)＝(ax ＋b)2为偶函数”是“a ⊥b”的充要条件．8．B [解析] 注意到⊙O1与⊙O4无公共点，⊙O2与⊙O3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B)的个数是4.9．C [解析] 依题意得f(4＋x)＝f(x)＝f(－x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．因此，当f(0)<0时，不能得到函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点；反过来，当函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点时，结合该函数的性质分析其图像可知，此时f(0)<0.综上所述，f(0)<0是函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点的必要不充分条件．10．ab ＝a2＋b2 [解析] 由A∩B 只有一个元素知，圆x2＋y2＝1与直线x a －yb ＝1相切，则1＝aba2＋b2，即ab ＝a2＋b2. 11．必要不充分 [解析] 设向量a ，b 的夹角为θ，则由题意知，当a·b ＝|a|·|b|cos θ>0时，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2；若a 与b 的夹角为锐角，即θ∈0，π2.因为⎝⎛⎭⎫0，π2 ⎣⎡⎭⎫0，π2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．12．(－∞，－1]∪[0，＋∞) [解析] 若对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－16<a<0；若对于任意实数x ，都有x2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a2－4<0，即－1<a<1.于是命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是真命题时有a ∈(－1，0)，则命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是假命题时a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．专题限时集训(二)A 【基础演练】1．D [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log3x ≠0，解得x>0且x≠1，故函数定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．2．C [解析] 函数是偶函数，只能是选项C 中的图像．3．C [解析] 依题意，因为5≥4，4≥4，所以f(5)＝f(5－1)＝f(4)＝f(4－1)＝f(3)，而3<4，所以f(3)＝23＝8.4．B [解析] 因为3a ＝5b ＝A ，所以a ＝log3A ，b ＝log5A ，且A>0，于是1a ＋1b ＝logA3＋logA5＝logA15＝2，所以A ＝15. 【提升训练】 5．B [解析] 由loga2<0得0<a<1，f(x)＝loga(x ＋1)的图像是由函数y ＝logax 的图像向左平移1个单位得到的，故为选项B 中的图像．6．A [解析] 由条件知，0<a<1，b<－1，结合选项，函数g(x)＝ax ＋b 只有A 符合要求． 7．D [解析] 依题意得，方程f(x2－2x －1)＝f(x ＋1)等价于方程x2－2x －1＝x ＋1或x2－2x －1＝－x －1，即x2－3x －2＝0或x2－x ＝0，因此所有解之和为3＋1＝4. 8．A [解析] 依题意，f(27)＝11＋2713＝11＋3＝14，则f(f(27))＝f 14＝⎪⎪⎪⎪log414－1－2＝|－1－1|－2＝0.9．B [解析] 由f(x ＋3)＝－1f （x ），得f(x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f(x)，知6为该函数的一个周期，所以f(107.5)＝⎝⎛⎭⎫6³18－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－1f ⎝⎛⎭⎫52＝－1f ⎝⎛⎭⎫－52＝－1－10＝110. 10．C [解析] 当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x －1)＋(1－2－x)＝0；当x<0时，－x>0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x －1)＝0；当x ＝0时，f(0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f(－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增． 11．－12 [解析] 依题意，f(m)＝12，即em －1em ＋1＝12.所以f(－m)＝e －m －1e －m ＋1＝1－em 1＋em ＝－em －1em ＋1＝－12.12.⎣⎡⎭⎫32，3 [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a>0，a>1，（3－a ）·1－a≤loga1，即⎩⎪⎨⎪⎧a<3，a>1，a≥32，解得32≤a<3.13．②③④ [解析] 根据单函数的定义可知故命题②、④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题．专题限时集训(二)B 【基础演练】1．C [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，1－lg （x ＋2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x ＋2≤10，解得－2<x≤8，故函数定义域为(－2，8]．2．B [解析] y ＝－1x 是奇函数，A 错误；y ＝e|x|是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确；y ＝－x2＋3是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y ＝cosx 是偶函数且在(0，＋∞)上有时递增，有时递减，D 错误．3．C [解析] 依题意，由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(1＋x)，即函数f(x)的对称轴为直线x ＝1，结合图形可知f 12<f 13<f(0)＝f(2)．4．C [解析] 由f(x)·g(x)为偶函数排除①④，当x→＋∞时，f(x)·g(x)→－∞，排除②，故为③.【提升训练】5．C [解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x<0，画出函数f(x)的图像，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．6．D [解析] 依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3. 7．B [解析] 依题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，即30－2×0＋a ＝0，求得a ＝－1.又当x<0，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(3－x ＋2x ＋a)＝－3－x －2x ＋1，于是f(－2)＝－32－2×(－2)＋1＝－4. 8．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x→0时，x sinx →1，当x→π时，x sinx →＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图像．9．D [解析] 依题意得，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，－x ＋1，0<x<2，x －3，x≥2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x－1)和y ＝t(|t|<1)的图像(如图)，由图像知方程f(x －1)＝t(|t|<1)所有根的和s 的取值范围是(2，4)．10．8 [解析] 依题意，若a>0，则f(a)＝log2a ＝3，求得a ＝8；若a≤0，则f(a)＝－2a ＝3，此时无解．于是a ＝8.11．－14 [解析] 由对任意t ∈R ，都有f(t)＝f(1－t)，可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t ＋1)＝－f(t)，进而得到f(t ＋2)＝－f(t ＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，即函数y ＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f －32＝f 12＝－14.所以f(3)＋f －32＝0＋－14＝－14.12．①②④ [解析] 依题意，令x ＝－2得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，所以①正确；根据①可得f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，由于偶函数的图像关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f(x)图像的一条对称轴，所以②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8，10]上单调递减，所以③不正确；由于函数f(x)的图像关于直线x ＝－4对称，故如果方程f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8，所以④正确．13．②④ [解析] 对于①，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x ＋sinx ≥x －1，因此存在函数g(x)＝x －1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④. 专题限时集训(三) 【基础演练】1．B [解析] 依题意，因为f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－12＝1－12＝12>0，所以函数f(x)的零点x0∈(1，2)．2．B [解析] 依题意，由所给出的函数图像可求得函数解析式为h ＝20－5t(0≤t≤4)，对照选项可知图像应为B.故选B.3．C [解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v ＝t2－12满足．故选C.4．B [解析] 在同一坐标系内画出函数y ＝3cos π2x 和y ＝log2x ＋12的图像，可得交点个数为3.【提升训练】5．B [解析] 分析选项中所给图像，只有B 两侧的函数值是同号的，所以不能用二分法求解．故选B.6．B [解析] 记F(x)＝x3－12x －2，则F(0)＝0－12－2＝－4<0，F(1)＝1－12－1＝－1<0，F(2)＝8－120＝7>0，所以x0所在的区间是(1，2)．故选B.7．C [解析] 设CD ＝x ，依题意，得S ＝x(16－x)(4<x<16－a)，所以Smax ＝f(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧64（0<a≤8），a （16－a ）（8<a<12），对照图像知，C 符合函数模型对应的图像．故选C. 8．C [解析] 由已知f(2)＝2a ＋b ＝0，可得b ＝－2a ，则g(x)＝－2ax2－ax ，令g(x)＝0得x ＝0或x ＝－12，所以g(x)的零点是0或－12，故选C.9．D [解析] 由对任意的x ∈R 都有f(x ＋1)＝f(x －1)知f(x)＝f(x ＋2)，即函数y ＝f(x)的周期为2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x)(x ∈[－1，3])和y ＝m(x ＋1)的图像(如图)，要使函数g(x)＝f(x)－mx －m 恰有四个不同零点，则0<m≤14.10．3 [解析] 由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3，4)内，由此可得k ＝3.故填3.11．(0，1) [解析] 画出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x>0，－x2－2x ，x≤0的图像(如图)，由函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，结合图像得0<m<1.故填(0，1)．12．解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m ∈R ，m<－12，m>－56.∴－56<m<－12.(2)抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m2－4（2m ＋1）≥0，f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，0<－m<1，得－12<m≤1－ 2.(这里0<－m<1是因为对称轴x ＝－m 对应的－m 应在区间(0，1)内过) 13．解：(1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x2＋1＝1x ＋1x∈⎝⎛⎦⎤0，12，即t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. (2)当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，记g(t)＝|t －a|＋2a ＋23，则g(t)＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t≤a ，t ＋a ＋23，a<t≤12.∵g(t)在[0，a]上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a ，12上单调递增，且g(0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g(0)－g ⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14. 故M(a)＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a≤14，g （0），14<a≤12，即M(a)＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a≤14，3a ＋23，14<a≤12.∴当且仅当a≤49时，M(a)≤2.故当0≤a≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．14．解：(1)当m ＝2，x ∈[1，2]时， f(x)＝x·(x －1)＋2＝x2－x ＋2＝x －122＋74.∵函数y ＝f(x)在[1，2]上单调递增，∴f(x)max ＝f(2)＝4，即f(x)在[1，2]上的最大值为4.(2)函数p(x)的定义域为(0，＋∞)，函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，即m ＝lnx －x|x －1|有解，令h(x)＝lnx －x|x －1|. 当x ∈(0，1]时，h(x)＝x2－x ＋lnx.∵h ′(x)＝2x ＋1x －1≥22－1>0当且仅当2x ＝1x 时取“＝”，∴函数h(x)在(0，1]上是增函数，∴h(x)≤h(1)＝0.当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x ＋lnx.∵h′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x2＋x ＋1x ＝－（x －1）（2x ＋1）x <0，∴函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)<h(1)＝0，∴方程m ＝lnx －x|x －1|有解时，m≤0，即函数p(x)有零点时，m 的取值范围为(－∞，0]．专题限时集训(四)A 【基础演练】1．B [解析] 对于B ，由a3>b3知a>b ，而ab>0，由不等式的倒数法则知1a <1b .故选B.2．D [解析] 由1x <12，得1x －12<0，即2－x 2x <0，于是不等式转化为x(x －2)>0，解得x<0或x>2.故选D.3．B [解析] a·b ＝4x －4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ≥29x ²3y ＝232x ＋y ＝232＝6(当2x ＝y ＝1时取等号)．4．B [解析] 作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(－2，2)时，截距z 取得最小值，即zmin ＝2³(－2)＋2＝－2.【提升训练】5．A [解析] 依题意，由a ＋d ＝b ＋c 得a2＋2ad ＋d2＝b2＋2bc ＋c2；由|a －d|<|b －c|得a2－2ad ＋d2<b2－2bc ＋c2.于是得bc<ad.故选A.6．A [解析] 依题意，a2<1＋x 对任意正数x 恒成立，则a2≤1，求得－1≤a≤1.7．C [解析] 依题意，当x>0时，不等式为lnx ≤1，解得0<x≤e ；当x≤0时，不等式为ex ≤1，解得x≤0.所以不等式的解集为(－∞，e]．故选C.8．A [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域，则此平面区域为△ABC ，且A(2，0)，B(0，1)，C(2，1)，于是，S ＝12³2³1＝1.故选A.9．B [解析] 由a>0，b>0且直线x －y ＝－1与2x －y ＝2的交点为(3，4)，得当x ＝3，y ＝4时，z 取得大值，3a ＋4b ＝7，所以3a ＋4b ＝3a ＋4b ²3a ＋4b 7＝97＋167＋127b a ＋a b ≥257＋127³2b a ²a b ＝257＋247＝7. 10．(1，＋∞) [解析] 依题意，当a ＝0时，不成立；当a≠0时，要使不等式ax2＋2x ＋a>0的解集为R ，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝4－4a2<0，解得a>1.故填(1，＋∞)．11．8 [解析] 依题意，设货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v ＋16×v202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ²16v400＝216＝8.故填8. 12．8 [解析] 依题意，函数y ＝a2x －4＋1(a>0且a≠0)过定点A(2，2)，又A 在直线x m ＋yn ＝1，所以2m ＋2n ＝1.于是m ＋n＝2m ＋2n (m ＋n)＝4＋2n m ＋2mn≥4＋22n m ²2mn＝8. 13.⎣⎡⎦⎤34，43 [解析] 根据指数函数的性质，可知函数f(x)＝mx ＋1＋1(m>0，m≠1)恒过定点(－1，2)．将点(－1，2)代入2ax －by ＋14＝0，可得a ＋b ＝7.由于(－1，2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a2＋b2≤25.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝7，a2＋b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.这说明点(a ，b)在以A(3，4)和B(4，3)为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34，43.专题限时集训(四)B【基础演练】1．D [解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D.2．D [解析] ∵am ＋bn ＋c<0，b<0，∴n>－a b m －cb .∴点P 所在的平面区域满足不等式y>－a b x －cb，a>0，b<0.∴－ab>0.故点P 在该直线的上侧，综上知，点P 在该直线的左上方．3．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x2＋y2＋2xyxy ≥2xy ＋2xyxy＝4.故选D.4．D [解析] 依题意，不等式f(x0)>1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x0≤0，12x0>1或⎩⎨⎧x0>0，x0>1，解得x0<0或x0>1.故选D.【提升训练】5．C [解析] 因为0<x<1，所以1＋x>2x ＝4x>2x ，所以只需比较1＋x 与11－x 的大小．因为1＋x －11－x ＝1－x2－11－x ＝x2x －1<0，所以1＋x<11－x.故选C.6．B [解析] 依题意知，－12和13是一元二次方程ax2＋bx ＋2＝0的两根，且a<0，则⎩⎨⎧－12＋13＝－ba ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.于是，不等式2x2＋bx ＋a<0即是2x2－2x －12<0，解得－2<x<3.故选B.7．C [解析] 依题意，函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图像过点A(3，7)，则a ＝4.于是，f(x)＝x＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6.故选C.8．A [解析] 作出满足条件的可行域，由图可知，当z ＝x ＋ay ，取得最大值的最优解有无数个时，－1a ＝－2，解得a ＝12.于是目标函数z ＝x ＋12y 经过点(1，2)时，z 得最小值为2.故选A.9．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x2＋y2≤4.由图形知，不等式组表示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝12³π³22＝2π.10．k ≤2 [解析] 依题意，不等式x2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，则x2－1>k(x －1)对x ∈(1，2)恒成立，所以k<x ＋1对x ∈(1，2)恒成立，即k≤1＋1＝2.11．6 [解析] 如图，依题意，S ＝12²2a ²a ＝a2＝4，所以a ＝2.分析可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(2，2)时，zmax ＝2×2＋2＝6.12．2＋22 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t ，则两直角边长|AB|＝|OA|＝22t ，所以22t ＋22t －t 2＝1，求得t ＝22－1＝22＋2，即 tmin ＝2＋22.专题限时集训(五)【基础演练】1．C [解析] 将点(2，3)分别代入曲线y ＝x3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3，2k ＋b ＝3.又k ＝y′|x ＝2＝(3x2－3)|x ＝2＝9，所以b ＝3－2k ＝3－18＝－15.故选C.2．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2＋2x ＋m ，因为f(x)是R 上的单调函数，二次项系数a ＝3>0，所以Δ＝4－12m≤0，解得m≥13.3．C [解析] 对f(x)求导得f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，则f(x)在区间[－1，0]上递增，在区间[0，1]上递减，因此函数f(x)的最大值为f(0)＝2.故选C. 4．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝x2＋c ＋(x －2)·2x.又因为f′(2)＝0，所以4＋c ＋(2－2)×4＝0，所以c ＝－4.于是f′(1)＝1－4＋(1－2)×2＝－5.故选A. 【提升训练】5．D [解析] ∵s(t)＝t2＋3t ，∴s′(t)＝2t －3t2，则机器人在t ＝2时的瞬时速度为s′(2)＝2×2－322＝134(m/s)．故选D. 6．B [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝2ax ，因为f(x)在区间(－∞，0)内是减函数，则f′(x)<0，求得a>0，且此时b ∈R.故选B.7．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2－3≥－3，∴f(x)上任意一点P 处的切线的斜率k≥－3，即tan α≥－3， ∴0≤α<π2或2π3≤α<π.8．D [解析] 由于AB 的长度为定值，只要考虑点C 到直线AB 的距离的变化趋势即可．当x 在区间[0，a]变化时，点C 到直线AB 的距离先是递增，然后递减，再递增，再递减，S′(x)的图像先是在x 轴上方，再到x 轴下方，再回到x 轴上方，再到x 轴下方，并且函数在直线AB 与函数图像的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D 中的图像符合要求．9．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3mx2＋2nx.依题意⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－m ＋n ＝2，①f′（－1）＝3m －2n ＝－3，②解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以f ′(x)＝3x2＋6x ＝3x(x ＋2)．由此可知f(x)在[－2，0]上递减，又已知f(x)在[t ，t ＋1]上递减，所以[－2，0]⊇[t ，t ＋1]，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－2，t ＋1≤0，解得－2≤t≤－1.故选C.10．(1，e) [解析] 设切点坐标为(x0，y0)，对f(x)＝ex 求导，得f ′(x)＝ex ，所以f′(x 0)＝ex0＝e ，即x0＝1.又y0＝f(x0)＝ex0＝e ，所以切点坐标为(1，e)．11．－13 [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝－3x2＋2ax ，由函数在x ＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a ＝3.于是f(x)＝－x3＋3x2－4，f ′(x)＝－3x2＋6x ，由此可得f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f(m)min ＝f(0)＝－4.又∵f ′(x)＝－3x2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时，f′(n)min ＝f(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.12．－2，23 [解析] ∵f ′(x)＝3x2＋1>0恒成立，∴f(x)是R 上的增函数．又f(－x)＝－f(x)，∴y ＝f(x)是奇函数．由f(mx －2)＋f(x)<0得f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，∴mx －2<－x ，即mx－2＋x<0在m ∈[－2，2]上恒成立．记g(m)＝xm －2＋x ，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）<0，g （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2＋x<0，2x －2＋x<0，求得－2<x<23.13．解：(1)f′(x)＝1k (x2－k2)e xk>0，当k>0时，f(x)的增区间为(－∞，－k)和(k ，＋∞)，f(x)的减区间为(－k ，k)，当k<0时，f(x)的增区间为(k ，－k)，f(x)的减区间为(－∞，k)和(－k ，＋∞)． (2)当k>0时，f(k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有任意x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e .当k<0时，由(1)有f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e ，所以任意x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 等价于f(－k)＝4k2e ≤1e⇒－12≤k<0.综上，k 的范围为－12，0.14．解：(1)令f ′(x)＝1x －ax2＝0，得x ＝a.当a≥e 时，函数f(x)在区间(0，e]是减函数，f(x)min ＝ae；当0<a<e 时，函数f(x)在区间(0，a]是减函数，[a ，e]是增函数f(x)min ＝lna. 综上所述，当0<a<e 时，f(x)min ＝lna ；当a≥e 时，f(x)min ＝ae .(2)由(1)可知，a ＝1时，函数f(x)在x1∈(0，e)的最小值为0，所以g(x)＝(x －b)2＋4－b2.当b≤1时，g(1)＝5－2b<0不成立；当b≥3时，g(3)＝13－6b<0恒成立；当1<b<3时，g(b)＝4－b2<0，此时2<b<3.综上可知，满足条件的实数b 的取值范围为{b|b>2}． 15．解：(1)由f(x)＝lnx －ax ，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x ＋ax2.当a ＝1时，f ′(x)＝x ＋1x2>0(x>0)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)由已知，得g(x)＝ax －ax －5lnx ，其定义域为(0，＋∞)，g ′(x)＝a ＋a x2－5x ＝ax2－5x ＋ax2.因为g(x)在其定义域内为增函数，所以∀x ∈(0，＋∞)，g ′(x)≥0，即ax2－5x ＋a≥0，即a≥5xx2＋1.而5x x2＋1＝5x ＋1x≤52，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a≥52.(3)当a ＝2时，g(x)＝2x －2x －5lnx ，g′(x)＝2x2－5x ＋2x2，令g′(x)＝0，得x ＝12或x ＝2.当x ∈0，12时，g′(x)>0；当x ∈12，1时，g ′(x)<0.所以在 (0，1)上，g(x)max ＝g 12＝－3＋5ln2.而“∃x1∈(0，1)，∀x2∈[1，2]，总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在(0，1)上的最大值不小于h(x)在[1，2]上的最大值”．又h(x)在[1，2]上的最大值为max{h(1)，h(2)}．所以有⎩⎨⎧g 12≥h （1），g 12≥h （2），即⎩⎪⎨⎪⎧－3＋5ln2≥5－m ，－3＋5ln2≥8－2m ，解得m≥8－5ln2，即实数m 的取值范围是[8－5ln2，＋∞)．专题限时集训(六)A 【基础演练】1．B [解析] 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2sin15°²cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－22. 方法2：显然sin15°－cos15°<0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝12，故sin15°－cos15°＝－22. 2．C [解析] 因为1－sin2x ＝（sinx －cosx ）2＝|sinx －cosx|，又1－sin2x ＝sinx －cosx ，所以|sinx －cosx|＝sinx －cosx ，则sinx －cosx ≥0，即sinx ≥cosx.又0≤x<2π，所以π4≤x ≤5π4.3．D [解析] 由cos(x ＋y)sinx －sin(x ＋y)cosx ＝1213得sin[x －(x ＋y)]＝－siny ＝1213，所以siny ＝－1213.又y 是第四象限的角，所以cosy ＝513，于是tan y 2＝1－cosy siny ＝1－513－1213＝－23.故选D.4．－π6 [解析] 由正弦函数的性质知，正弦函数图像的对称中心是其与x 轴的交点，∴y＝2sin2x0＋π3＝0，又x0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴x0＝－π6.故填－π6.【提升训练】5．A [解析] 由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π3＝tan π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3.故选A.6．C [解析] 周期T ＝2πω＝5π6－－π6＝π，解得ω＝2，令2×－π6＋φ＝0，得φ＝π3.故选C.7．C [解析] 依题意得f －15π4＝f －15π4＋3π2³3＝f 3π4＝sin 3π4＝22.故选C.8．B [解析] 依题意得f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sinx ＋π3，因为f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f π7<f π6，而c ＝f π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f π7，所以c<a<b.9．B [解析] 因为f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴直线是x ＝5π3，所以⎪⎪⎪⎪sin 5π3＋acos 5π3＝1＋a2，所以⎪⎪⎪⎪－32＋12a ＝1＋a2，即34a2＋32a ＋14＝0，求得a ＝－33.于是g(x)max ＝1＋a2＝1＋13＝233.故选B. 10.13 [解析] 依题意由sin(x ＋y)＝1得x ＋y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，所以y ＝2k π＋π2－x(k ∈Z)．于是sin(2y ＋x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2＋y ＝sin π2＋y ＝cosy ＝cos2k π＋π2－x ＝cos π2－x ＝sinx＝13.故填13. 11.74 [解析] 依题意，将函数y ＝sin ωx ＋5π6(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后，所得图像对应的函数解析式是y ＝sin ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图像与函数y ＝sin ωx ＋π4的图像重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝74－6k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ωmin＝74.故填74. 12．③④ [解析] 对f(x)＝cosxsinx ＝12sin2x ，画出函数的图像，分析知③，④是正确的．故填③，④.13．解：(1)因为f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin2x －π6，故f(x)的最小正周期为π.(2)当x ∈0，π2时，2x －π6∈－π6，5π6，所以f(x)∈－12，1，于是函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为－12，1.14．解：(1)依题意，得f(x)＝2sinxcos π6＋cosx ＋a ＝3sinx ＋cosx ＋a ＝2sinx ＋π6＋a.所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π.(2)因为x ∈－π2，π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π3.所以当x ＋π6＝－π3，即x ＝－π2时，f(x)min ＝f －π2＝－3＋a ；当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)max ＝f π3＝2＋a.由题意，有(－3＋a)＋(2＋a)＝3，解得a ＝3－1.15．解：(1)∵函数f(x)的最小正周期T ＝2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2.∵f π4＝cos2³π4＋φ＝cos π2＋φ＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f(x)＝cos2x －π3，(3)∵f(x)>22，即cos2x －π3>22，得2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，k ∈Z ，即2k π＋π12<2x<2k π＋712π，k ∈Z ，即k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z.∴所求x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z .专题限时集训(六)B【基础演练】1．B [解析] 因为sin α＝35，α是第二象限的角，所以tan α＝－34.又因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以－34＋tan β1＋34tan β＝1，求得tan β＝7.故选B.2．D [解析] 因为y ＝sinx －cosx ＝2sinx －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f(x)可以是－cosx.3．B [解析] 依题意得点P 到坐标原点的距离为sin240°＋（1＋cos40°）2＝2＋2cos40°＝2＋2（2cos220°－1）＝2cos20°.由三角函数的定义可得cos α＝sin40°2cos20°＝2sin20°cos20°2cos20°＝sin20°＝cos70°，因为点P 在第一象限，且角α为锐角，所以α＝70°.故选B.4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B.5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45³－35＝－2425.6．D [解析] 平移后得到的函数图像的解析式是f(x)＝Acosx ²sin ωx ＋π6ω＋π6，这个函数是奇函数，由于y ＝cosx 是偶函数，故只要使得函数y ＝sin ωx ＋π6ω＋π6是奇函数即可，根据诱导公式和正弦函数性质，则只要π6ω＋π6＝k π(k ∈Z)即可，即ω＝6k －1(k ∈Z)，所以ω的可能值为5.7．B [解析] 设(x ，y)为g(x)的图像上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f(x)的图像上，所以－y ＝sinπ2－x ，即g(x)＝－sin π2－x ＝－cosx.依题意得sinx ≤－cosx ，即sinx ＋cosx ＝2sinx ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B.8．A [解析] 依题意，得f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f(x)＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减．9．A [解析] 作出点P 在x 轴上的投影C ，因为函数周期为T ＝2ππ＝2，则|AC|＝14T ＝12，|PC|＝1.在Rt △APC 中，tan ∠APC ＝|AC||PC|＝12，同理tan ∠BPC ＝|BC||PC|＝32，所以tan ∠APB ＝tan(∠APC ＋∠BPC)＝12＋321－12×32＝8.故选A.10.13 [解析] 因为cos θ＝－35，且θ是第三象限角，所以sin θ＝－45.于是cos θsin θ－1＝－35－45－1＝13.故填13. 11.36565 [解析] 由已知sin (α－β)＝513，cos (α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)·sin (α－β)＝－35³1213＋－45³513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565.12．①②③⑤ [解析] 由题意得f(x)＝m2＋n2sin(x ＋φ)其中tan φ＝nm .因为f π4是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，φ＝2k π＋π4(k ∈Z)．所以f(x)＝m2＋n2sinx ＋2k π＋π4＝m2＋n2sinx ＋π4，且tan φ＝n m ＝tan2k π＋π4＝1，即nm ＝1，故f(x)＝2|m|sinx ＋π4.①fx ＋π4＝2|m|sinx ＋π4＋π4＝2|m|cosx 为偶函数，所以①正确；②当x ＝7π4时，f 7π4＝2|m|sin 7π4＋π4＝2|m|sin2π＝0，所以函数f(x)的图像关于点7π4，0对称，②正确；③f －3π4＝2|m|sin π4－3π4＝－2|m|sin π2＝－2|m|，f(x)取得最小值，所以③正确；④根据f(x)＝2|m|sinx ＋π4可得其最小正周期为2π，由题意可得P2与P4相差一个周期2π，即|P2P4|＝2π，所以④错误； ⑤由n m ＝1知，mn ＝1成立，所以⑤正确．故填①②③⑤.13．解：(1)函数f(x)＝sin2x ＋π4＋φ.又y ＝sinx 的图像的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，令2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，将x ＝π6代入，得φ＝k π－π12(k ∈Z)．∵0<φ<π，∴φ＝11π12.(2)由(1)知f(x)＝sin2x ＋7π6.由－π2≤x≤0，得π6≤2x ＋7π6≤7π6，∴当2x ＋7π6＝7π6，即x ＝0时，f(x)min ＝－12.14．解：(1)f(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋2cos2ωx＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2，∵函数f(x)的图像上两个相邻的最低点之间的距离为2π3， ∴f(x)的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝2π3(ω>0)，∴ω的值为32，∴函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2，∴函数f(x)的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z)．(2)y ＝f(x)的图像向右平移π8个单位长度得h(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π8＋2，再沿y 轴对称后得到g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3x －π8＋2＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8＋2，函数g(x)的单调减区间，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8单调递增区间．由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2，解得23k π－5π24≤x ≤23k π＋π8(k ∈Z)．故y ＝g(x)的单调减区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋5π24，23k π＋π8(k ∈Z)．15．解：(1)f(x)＝2sinx ＋π3cosx ＋π3－23cos2x ＋π3＝sin2x ＋2π3－3⎣⎡⎦⎤cos2x ＋2π3＋1＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3＝2sin2x ＋π3－ 3.∵－1≤sin2x ＋π3≤1，∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3，又T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤32，1，此时f(x)＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋3＝－2m ，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎨⎧2m＋3≤0，2m＋2≥0，解得－233≤m≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，－1. 专题限时集训(七)【基础演练】1．A [解析] ∵a2＋c2－b22ac ＝cosB ＝32，又0<B<π，∴B ＝π6.2．A [解析] 根据正弦定理得，2sin45°＝2sinC ，所以sinC ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C＝30°或150°.又因为A ＝45°，且AB<BC ，所以C ＝30°.3．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12absinC ＝122RsinA ²2RsinB ²sinC ＝2R2sinAsinBsinC ，将R ＝1和S ＝1代入得，sinAsinBsinC ＝12.4．D [解析] 设电视塔的高度为x ，则BC ＝x ，BD ＝3x.在△BCD 中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40xcos120°，即x2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)，或者x ＝40.故电视塔的高度为40 m. 【提升训练】5．D [解析] 根据余弦定理得b ＝32＋82－2×3×8cos60°＝7，根据正弦定理3sinA＝7sin60°，解得sinA ＝3314.6．C [解析] 由正弦定理得AB sinC ＝BCsinA，所以a ＝2sinA.而C ＝60°，所以0°<∠CAB<120°.又因为△ABC 有两个，所以asin60°<3<a ，即3<a<2.7．B [解析] 由题意得b2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a×2a2a×2a ＝34. 8．D [解析] 依题意与正弦定理得AB sinC ＝AC sinB ，即sinC ＝AB ²sinB AC ＝32，∴C ＝60°或C＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，则△ABC 的面积等于12AB ²AC ＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，则△ABC 的面积等于12AB ²AC ²sinA ＝34.所以△ABC 的面积等于32或34.9．－14 [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝csinC 可得，a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，由此设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k(k>0)．由余弦定理可得，cosC ＝a2＋b2－c22ab＝（2k ）2＋（3k ）2－（4k ）22³2k ³3k＝－14.10.6－1 [解析] 由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x ＝5，解得x ＝6－1或x ＝－6－1(舍去)．故填6－1.11.233 [解析] 由△BCD 的面积为1，可得12³CD ³BC ³sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，由余弦定理可知，cos ∠DCB ＝CD2＋BC2－BD22CD ³BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD2＋BC2－CD22BD ³BC ＝31010.由在△BCD 中，∠DBC 对应的边长最短，所以∠DBC 为锐角，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理BC sinA ＝AC sinB可得，AC ＝BC·sinBsinA＝10³101032＝233.12．解：(1)依题意，由正弦定理得sinCsinA ＝sinAcosC ，在△ABC 中，因为sinA ≠0，所以sinC ＝cosC ，得C ＝π4. (2)3sinA －cosB ＋π4＝3sinA －cos ⎣⎡⎦⎤π－（A ＋C ）＋π4＝3sinA －cos(π－A)＝3sinA ＋cosA ＝2sinA ＋π6.因为A ∈0，3π4，所以A ＋π6∈π6，11π12，于是，当sinA ＋π6＝1，A ＋π6＝π2，A ＝π3时，3s inA －cosB ＋π4取得最大值2，此时B ＝5π12.13．解：(1)∵(2b －3c)cosA ＝3acosC ，∴(2sinB －3sinC)cosA ＝3sinAcosC ，即2sinBcosA ＝3sinAcosC ＋3sinCcosA ， ∴2sinBcosA ＝3sinB. ∵sinB ≠0，∴cosA ＝32， ∵0<A<π，∴A ＝π6.(2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x.又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得 AC2＋MC2－2AC·MCcosC ＝AM2，即x2＋x 22－2x·x2²cos120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x2sin 2π3＝ 3.14．解：(1)如图所示，作PN ⊥AB ，N 为垂足，∠PQM ＝θ，∠PMQ ＝π－α，sin θ＝513，sin α＝45，cos θ＝1213，cos α＝35.在Rt △PNQ 中，PN ＝PQsin θ＝5.2×513＝2，QN ＝PQ·cos θ＝5.2×1213＝4.8.在Rt △PNM 中，MN ＝PN tan α＝243＝1.5，PM ＝PN sin α＝245＝2.5，∴MQ ＝QN －MN ＝4.8－1.5＝3.3.设游船从P 到Q 所用时间为t1 h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为t2 h ，小船速度为v1 km/h ，则t1＝PQ 13＝5.213＝26513＝25，t2＝PM v1＋MQ 66＝2.5v1＋3.366＝52v1＋120.由已知，得t2＋120＝t1，即52v1＋120＋120＝25，∴v1＝253.于是，当小船的速度为253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q 地．(2)在Rt △PMN 中，PM ＝PN sin α＝2sin α，MN ＝PN tan α＝2cos αsin α，∴QM ＝QN －MN ＝4.8－2cos αsin α.于是t ＝PM 10＋QM 66＝15sin α＋455－cos α33sin α＝1165³33－5cos αsin α＋455.∵t ′＝1165³5sin2α－（33－5cos α）cos αsin2α＝5－33cos α165sin2α，∴令t′＝0，得cos α＝533.当cos α<533时，t′>0；当cos α>533时，t′<0，又y ＝cos α在α∈0，π2上是减函数，∴当方位角α满足cos α＝533时，t 取最小值，即游客甲能按计划以最短时间到达Q 地．专题限时集训(八) 【基础演练】1．C [解析] 依题意，由a ⊥b 得a·b ＝0，即3x ＋3＝0，解得x ＝－1.故选C. 2．B [解析] 依题意，得a·b ＝|a||b|cos30°＝2sin75°²4cos75°³32＝23sin150°＝ 3.故选B.3．A [解析] 由a ∥b 得2x ＝－4，∴x ＝－2，于是a·b ＝(1，2)·(－2，－4)＝－10.故选A. 4．D [解析] 由a·(a ＋b)＝0得a·a ＋a·b ＝0，即|a|2＋|a|·|b|cos 〈a ，b 〉＝0，将已知数据代入解得，cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.故选D.【提升训练】5．C [解析] 依题意a 在b 方向上的投影为|a|cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.故选C.6．C [解析] 依题意，|a|＝1，|b|＝1，所以a·b ＝|a||b|cos60°＝12.于是|a ＋3b|＝（a ＋3b ）2＝|a|2＋6a·b ＋9|b|2＝1＋6×12＋9＝13.故选C.7．A [解析] 由题设知p·q ＝sinAsinB －cosAcosB ＝－cos(A ＋B)＝cosC.又△ABC 是锐角三角形，所以cosC>0，即p·q>0，所以p 与q 的夹角为锐角．故选A. 8．C [解析] 取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →，则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1，可得|AC|＝|BC|sin60°＝2×32＝3，则CA →²CB →＝|CA →|²|CB →|cosC ＝|CA →|2＝3.9．B [解析] 因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23³12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →.当点P 在线段BC 上运动时，λ＋μ＝1；当点P 在线段GB 、GC 上运动时，λ＋μ的最小值为23.又因为点P 是△GBC 内一点，所以23<λ＋μ<1.故选B.10.324 [解析] 因为a ∥b ，所以12³1＝sinx ²cosx ，即sin2x ＝1.又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＝π2，即x ＝π4.于是a·b ＝12sinx ＋cosx ＝12sin π4＋cos π4＝12³22＋22＝324.11．8 [解析] 依题意得OA →2＝OB →2＝OC →2，由于AC →2＝(OC →－OA →)2＝OC →2＋OA →2－2OC →²OA →，所以OC →²OA →＝12(OC →2＋OA →2－AC →2)，同理OA →²OB →＝12(OA →2＋OB →2－AB →2)，所以AO →²BC →＝－OA →²(OC →－OB →)＝－OA →²OC →＋OA →²OB →＝－12(OA →2＋OC →2－AC →2)＋12(OA →2＋OB →2－AB →2)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8. 12．1 [解析] 依题意，得|a|＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|，则(a －b)·(a ＋b)＝|a|2－|b|2＝0，即|a|＝|b|.又|OA →|＝|OB →|，故|a －b|＝|a ＋b|，得a·b ＝0，则|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|OA →|＝|OB →|＝ 2.于是S △AOB ＝12³2³2＝1.13．解：(1)由a·b ＝0得(sinB ＋cosB)sinC ＋cosC(sinB －cosB)＝0，化简得sin(B ＋C)－cos(B ＋C)＝0，即sinA ＋cosA ＝0，∴tanA ＝－1. 而A ∈(0，π)，∴A ＝34π.(2)∵a·b ＝－15，即sin(B ＋C)－cos(B ＋C)＝－15，sinA ＋cosA ＝－15.①对①平方得2sinAcosA ＝－2425.∵－2425<0，∴A ∈π2，π，∴sinA －cosA ＝1－2sinAcosA ＝75.②联立①②得sinA ＝35，cosA ＝－45，∴tanA ＝－34，于是，tan2A ＝2tanA 1－tan2A＝2³－341－－342＝－247.14．解：(1)∵f(x)＝32sin πx ＋12cos πx ＝sin πx ＋π6. ∵x ∈R ，∴－1≤sin πx ＋π6≤1，∴函数f(x)的最大值和最小值分别为1，－1. (2)解法1：令f(x)＝sin πx ＋π6＝0得πx ＋π6＝k π，k ∈Z ， ∵x ∈[－1，1]，∴x ＝－16或x ＝56，∴M －16，0，N 56，0，由sin πx ＋π6＝1，且x ∈[－1，1]得x ＝13，∴P 13，1，∴PM →＝－12，－1，PN →＝12，－1，∴cos 〈PM →，PN →〉＝PM →²PN →|PM →|²|PN →|＝35.解法2：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA|＝1，。

(2021年整理)2013江西高考数学文科试题及解析

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷)文科数学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

复数i(2i)z =--(i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在A 。

第一象限B 。

第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合A={x ∈R ｜210ax ax ++=｝其中只有一个元素,则a =A.4B.2C.0 D 。

0或43。

3sin cos 2αα==若，则（） A 。

2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(九)(江西省专用)

专题限时集训(九)[第9讲数列的概念与表示、等差数列与等比数列](时间：45分钟)1．已知数列{an}满足a1＝3，an ＋1＝2an －1，那么数列{an －1}( )A ．是等差数列B ．是等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列2．在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝π4，则tan(a4＋a6)＝( ) A.33 B. 3 C ．1 D ．－13．已知数列{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3，a9的等比中项，Sn 为{an}的前n 项和，则S10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1104．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意的正整数p ，q 都有ap ＋q ＝ap ·aq ，则a8的值为( )A ．256B ．128C ．64D ．325．数列{an}中，an ≠0，且满足an ＝3an －13＋2an －1(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是( ) A ．递增等差数列 B ．递增等比数列C ．递减数列D ．以上都不是6．已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式an an －1＝n －1n (n≥2)给出，则a10等于( ) A.910 B.110C ．10D ．97．等差数列{an}的各项为正数，公差为2，前n 项和为Sn ，若{Sn}也是等差数列，则a1＝( )A ．1B ．2C ．3 D.328．已知数列{an}的通项公式an ＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫12n －1－13，则{an}中( ) A ．最大项为a1，最小项为a3B ．最大项为a1，最小项为a4C ．最大项为a1，最小项不存在D ．最大项不存在，最小项为a4 9．已知数列{an}中，a1＝45an ＋1＝⎩⎨⎧2an ，0≤a n ≤12，2an －1，12<an ≤1，则a2 012等于( ) A.45 B.35C.25D.1510．观察下列等式1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…照此规律，第n 个等式为__________________．11．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则a13a10＝________． 12．在一个数列中，如果任意n ∈N*，都有anan ＋1an ＋2＝k(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．13．在数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an ＝n －an(n ＝1，2，3，…)．(1)设bn ＝an －1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设cn ＝bn ·(n －n2)(n ＝1，2，3，…)，如果对任意n ∈N*，都有cn<t 5，求正整数t 的最小值．14．已知数列{an}中，a1＝2，an －an －1－2n ＝0(n≥2，n ∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝1an ＋1＋1an ＋2＋1an ＋3＋…＋1a2n ，求bn 的最大值．15．已知函数f(x)＝x 2x ＋1{an}满足a1＝1，an ＋1＝f(an)(n ∈N*)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等差数列； (2)记Sn ＝a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1，试比较2Sn 与1的大小．。

2013年江西省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.23．（5分）（2013•江西）若sin=，则cosα=（）﹣2，代入已知化简即可．2×﹣=看做4．（5分）（2013•江西）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这B故所求的概率为：=5．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一6．（5分）（2013•江西）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）x=，时，代入＜，得到，显时，代入＜，显然不正确，排除＜7．（5分）（2013•江西）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）8．（5分）（2013•江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）5+9．（5分）（2013•江西）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物：：．过MNP=|MN|=|PM|﹣，=|MN|==：10．（5分）（2013•江西）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（）．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•江西）若曲线y=x α+1（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 2 ．12．（5分）（2013•江西）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．=13．（5分）（2013•江西）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．|=||=|sin3x+cos3x|sin3x+cos3x=2sin3x+14．（5分）（2013•江西）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．所求圆的方程为：故答案为：15．（5分）（2013•江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•江西）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．=满足：==．．17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．，，由（，∴=18．（12分）（2013•江西）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．，共的有，，，，，，，，，，，去唱歌的概率，﹣=19．（12分）（2013•江西）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．V=、E=2=3××d=从而得到=AB=DE=1BE===V=×，=2上的中线等于，=××=3××d==d=的距离为．20．（13分）（2013•江西）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．，所以的方程为；，得（，．（的方程为，解得（（的斜率为=．21．（14分）（2013•江西）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC 的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；[，]时，求（=（）﹣时，由=x≠时，由∈），故得x=时，由x=（=x=，（×=×（×[，[，]（=（。

2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(十三)A(江西省专用)

专题限时集训(十三)A[第13讲直线与方程、圆与方程](时间：30分钟)1．“a ＝3”是“直线ax ＋3y ＝0与直线2x ＋2y ＝3平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 与直线y ＝1，直线x ＝7分别交于P ，Q 两点，P ，Q 中点为M(1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.13 B.23 C ．－32 D ．－133．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．44．已知圆x2＋y2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．2 3D ．25．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y2＝43 B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y2＝13 C ．x2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43 D ．x2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13 6．由动点P 向圆x2＋y2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x2＋y2＝4B ．x2＋y2＝3C ．x2＋y2＝2D ．x2＋y2＝17．直线l 与圆x2＋y2＋2x －4y ＋a ＝0(a<3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2，3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝08．从原点向圆x2＋y2－12y ＋27＝0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为( ) A.π6 B.π3C.π2D.2π39．由直线y ＝x ＋2上的点向圆(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.30 B.31C ．4 2 D.3310．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x2＋y2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．2 2C ．2 D. 211．直线l 过点(－4，0)且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，那么直线l 的方程为________．12．已知圆C ：x2＋y2－2x ＋4y －4＝0，斜率为1的直线l 被圆C 截得的弦为A B ，若以AB 为直径的圆过原点，则直线l 的方程为________．13．设P 是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别是左，右焦点，且焦距为2c ，则△PF1F2内切圆的圆心横坐标为________．。

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专题限时集训(五)A
[第5讲导数在研究函数中的应用]
(时间：45分钟)
1．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x3＋ax ＋1相切于点(2，3)，则b 的值为( )
A ．－3
B ．9
C ．－15
D ．7
2．函数f(x)＝x ＋2cosx 在⎣
⎡⎦⎤0，π2上有最大值，则取得最大值时x 的值为( ) A ．0 B.π6
C.π3
D.π2
3．函数f (x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )
A ．－2
B ．0
C ．2
D ．4
4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．
5．函数f(x)＝ax2－b 在区间(－∞，0)内是减函数，则a ，b 应满足( )
A ．a<0且b ＝0
B ．a>0且b ∈R
C ．a<0且b ≠0
D ．a<0
6．设P 点是曲线f(x)＝x3－3x ＋23
上的任意一点，若P 点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭
⎫2π3，π B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭
⎫5π6，π C.⎣⎡
⎭⎫2π3，π D.⎝⎛
⎭⎫π2，5π6
7．有一机器人运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝t2＋3t ，则该
机器人在t ＝2时的瞬时速度为( )
A.194 m/s
B.174
m/s C.154 m/s D.134 m/s
8．定义在区间[0，a]上的函数f(x)的图像如图5－1所示，记以A(0，f(0))，B(a ，f(a))，C(x ，f(x))为顶点的三角形面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的图像大致是( )
图5－1
图5－2
9．已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图像在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f(x)在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2]
B ．(－∞，1]
C ．[－2，－1]
D ．[－2，＋∞)
10．已知直线y ＝ex 与函数f(x)＝ex 的图像相切，则切点坐标为________．
11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
12．已知函数f(x)＝x4－2ax2，若0<x≤1时，函数f(x)的图像上任一点处的切线斜率均小于1，则实数a 的范围为________．
13．已知函数f(x)＝1－x ax ＋lnx.
(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数a 的取值范围；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
14．已知函数f(x )＝(x －k)2e x k
. (1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e
，求k 的取值范围．
15．设函数f(x)＝alnx －bx2(x>0)．
(1)若函数f(x)的图像在x ＝1处与直线y ＝－12
相切， ①求实数a ，b 的值；②求函数f(x)在⎣⎡⎦
⎤1e ，e 上的最大值； (2)当b ＝0时，若不等式f(x)≥m ＋x 对所有的a ∈⎣⎡⎦
⎤0，32，x ∈(1，e2]都成立，求实数m 的取值范围．。