沪八上15.2三角形全等的判定同步练习

沪八上15.2三角形全等的判定第1题. 如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可以判定（ ） Ａ．ABD ACD △≌△ Ｂ．ABE ACE △≌△ Ｃ．BDE CDE △≌△ Ｄ．以上答案都不对答案：Ｂ第2题. 如图，ABC △中，AB AC =，AE CF =，BE AF =，则E ∠=∠________，CAF ∠=∠__________．答案：F ，ABE第3题. 如图，AD BC =，DC AB =，AE CF =，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由．答案：答案不惟一．如ADC CBA △≌△．理由：根据“SSS ”即AD CB =，DC BA=，AC CA =．第4题. 如图，ABC △是等边三角形，若在它边上的一点与这边所对角的顶点的连线恰好将ABC △分成两个全等三角形，则这样的点共有（ ） Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．6个 Ｄ．9个AE BD CA C F D E答案：Ｂ第5题. 如图，已知A D ∠=∠，AB CD =．求证：ABO DCO △≌△．答案：在ABO △和DCO △中()()()A D AOB DOC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知对顶角相等已知 (AAS)ABO DCO ∴△≌△．第6题. 如图，点D E ，分别在AB AC ，上，且AD AE =，BDC CEB ∠=∠． 求证：BD CE =．答案：180ADC BDC ∠+∠=，180BEC AEB ∠+∠=， 又BDC CEB ADC AEB ∠=∠∴∠=∠()()()A A ADC AEB AD AE ADC AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩公共角已知已证在△和△中， (ASA)ADC AEB AB AC ∴∴=△≌△ AB AD AC AE ∴-=-，即BD CE =．第7题. 已知AE 交BC ，垂足为D ，123∠=∠=∠，AB AD =． 求证：（1）ADC ABE ∠=∠； （2）DC BE =．答案：（1）42ADC ∠=∠+∠ ，43ABE ∠=∠+∠又23∠=∠ ADC ABE ∴∠=∠ （2）在A D C △和ABE △中ADC ABE ∠=∠（已证），AD AB =（已知），12∠=∠（已知）ASA ADC ABE ∴△≌△()DC BE ∴=．第8题. 如图，已知ABC △为等边三角形，QR AB ⊥，垂足为R ，PQ AC ⊥，垂足为Q ，RP BC ⊥，垂足为P ，且AR BP CQ ==．求证：RPQ △为等边三角形．答案：ABC △是等边三角形．60A B C ∴∠=∠=∠=，又QR AB ⊥，PQ AC ⊥，RP BC ⊥90ARQ BPR CQP ∴∠=∠=∠=又AR BP CQ ==，根据ASA 证AQR BRP CPQ △≌△≌△ 得PQ PR QP ==RPQ ∴△为等边三角形．第9题. 如图，已知点A C ，在EF 上，AD BC =，AD BC ∥，DE BF ∥． 求证：DE BF =．E D C 1 23 4 A RBPCQFCDE A答案：由AD BC ∥得CAD ACB ∠=∠，根据等角的补角相等得EAD FCB ∠=∠，又由DE BF ∥得E F ∠=∠，又AD BC =，根据AAS 证ADE CBF △≌△得DE BF =．第10题. 如图，在ABC △和DEF △中，已知AB DE =，BC EF =，根据（SAS ）判定ABC DEF △≌△，还需的条件是（ ）Ａ．A D ∠=∠ Ｂ．B E ∠=∠ Ｃ．C F ∠=∠Ｄ．以上三个均可以答案：B第11题. 若按给定的三个条件画一个三角形，图形惟一，则所给条件不可能是（ ） Ａ．两边一夹角 Ｂ．两角一夹边 Ｃ．三边 Ｄ．三角 答案：Ｄ第12题. 如图，已知AB BD ⊥，垂足为B ，ED BD ⊥，垂足为D ，AB CD =，BC DE =，则ACE ∠＝___________．答案：90第13题. 如图，已知AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠． 求证：BD CE =．答案：先证BAD CAE ∠=∠，再根据SAS 证ABD ACE △≌△，得BD CE =．A E DB C第14题. 下列各命题中，真命题是（ ）Ａ．如果两个三角形面积不相等，那么这两个三角形不可能全等 Ｂ．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形面积一定不相等Ｃ．如果MNP EFG △≌△，M N P E F G ''''''△≌△，那么MNP △与EFG △的面积的和等于M N P '''△与E F G '''△面积的和 Ｄ．如果M N P △≌△，M N P E F G ''''''△≌△，那么M N P M N P ''''''△+△≌△+△答案：Ａ第15题. 如图，已知AF BE =，A B ∠=∠，AC BD =． 求证：F E ∠=∠．答案：先证：AD BC =，再根据SAS 证ADF BCE △≌△，得F E ∠=∠．第16题. 如图，点P 是AOB ∠的平分线上的一点，作PD OA ⊥，垂足为D ，PE OB ⊥垂足为E ，DE 交OC 于点F ．（1）你能找到几对全等三角形？请说明理由； （2）你能确定图中共有几个直角吗？请说明理由．答案：（1）有三对全等三角形．由“AAS ”可知ODP OEP △≌△，又由“SAS ”可知：ODF OEF △≌△，PDF PEF △≌△（2）共有八个直角，由（1）中的ODF OEF △≌△可知：OFD OFE ∠=∠，而180OFD OFE ∠+∠= ，因此OF ED ⊥．这样以F 为顶点有四个直角，另有已知的四个直角，共计八个直角．第17题. 如图，已知AD BC =，AB CD =，O 是BD 中点，过O 作直线交BA 的延长线于E ，交DC 的延长线于F ． 求证：OE OF =．CA B EF O E B A C DFPB答案：在ABD △和CDB △中，()()()AB CD AD CB BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知已知公共边 SSS ABD CDB ∴△≌△()ABD CDB ∴∠=∠（全等三角形对应角相等） O 是BD 中点，BO DO ∴=()()()ABO CDO BOE DOF BO DO BOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证于是在和中已证对顶角相等△△， ASA BOE DOF ∴△≌△()()OE OF ∴=全等三角形对应边相等．第18题. 如图，已知AB CD =，AE DF =，CE BF =． 求证：AF DE =．答案：BF CE = BF EF CE EF ∴+=+BE CF ∴=又AB CD =，AE DF =，根据“SSS ”证ABE DCF △≌△．B C ∴∠=∠，又AB CD =，BF CE =，根据SAS 证ABF DCE △≌△AF DE ∴=．第19题. 对于下列各组条件，不能判定ABC A B C '''△≌△的一组是（ ） Ａ．A A '∠=∠，B B '∠=∠，AB A B ''= Ｂ．A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''= Ｃ．A A '∠=∠，AB A B ''=，BC B C ''= Ｄ．AB A B ''=，AC A C ''=，BC B C ''= 答案：CB第20题. 如图，把两根钢条AA '，BB '的中点O 连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出A B ''的长度，就可以知道工件的内径AB 是否符合标准，你能说出工人这样测量的道理吗？答案：此工具是根据三角形全等制作而成的．由O 是AA '，BB '的中点，可得AO A O '=，BO B O '=，又由于AOB ∠与A OB ''∠是对顶角，可知AOB A OB ''∠=∠，于是根据“SAS ”有AOB A OB ''△≌△，从而A B AB ''=，只要量出A B ''的长度，就可以知道工作的内径AB 是否符合标准．第70题. 如图，已知E 是等边ABC △内一点，EA EB =，F 是ABC △外的一个点，BF BC =，FBE CBE ∠=∠． 求证：F ACE ∠=∠．答案：先根据SAS 证明BCE BFE △≌△EC EF ∴=，BC BF =，又ABC △是等边三角形A CB C ∴=A C B F ∴=，又E C E F =，EA EB =，根据SSS 证AEC BEF F ACE ∴∠=∠△≌△．第21题. 如图，已知在ABC △和A B C '''△中，AM 与A M ''分别是BC B C ''，上的中线，AB A B ''=，AC A C ''=，AM A M ''=． 求证：ABC A B C '''△≌△．答案：延长AM 到N 使2AN AM =，延长A M ''至N '使A N ''2A M ''=，连接BN ，B N ''先证A C M N B M △≌△，得B N A C =，N CAN ∠=∠同理可证B N A C ''''=，N C A N ''''∠=∠．利用SSS 证ABN A B N '''△≌△．BAN B A N '''∴∠=∠，N N '∠=∠．BAC B A C '''∴∠=∠，根据SAS 证ABC A B C '''△≌△．'第22题. 如图，已知在ABC △中，AB AC =，12∠=∠． 求证：AD BC ⊥，BD DC =．答案：在ABD △和ACD △中，()12()()AB AC AD AD =⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩已知已知公共边 SAS ABD ACD ∴△≌△()． BD CD ∴=，34∠=∠．又34180∠+∠=，即23180∠=，390∴∠=，AD BC ∴⊥．第23题. 如图，平面内有一个ABC △，O 为平面内的一点，延长AO 到A '，使OA A O '=，延长BO 到B '，使O B B O '=，延长CO 到C '，使O C C O '=，得到A B C '''△，A B C '''△与ABC △是否全等？这两个三角形的对应边是否平行？为什么？答案：A B C ABC '''△≌△，AB A B ''∥，AC A C ''∥，BC B C ''∥，理由略．第24题. 如图，在ABC △中，90C ∠=，D E ，分别为AC AB ，上的点，且AD BD =，AE BC =，DE DC =． 求证：DE AB ⊥．A B C 21 3 4 O A B CC 'A 'B '答案：在ADE △和BDC △中，()()()AE BC AD BD ED CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知已知已知 SSS ()90()90ADE BDC C AED C AED DE AB ∴∴∠=∠∠=∴∠=∴全等三角形对应角相等已知垂直定义△≌△()⊥()第25题. 如图，AB AC =，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 ，（添加一个条件即可）答案：答案不惟一，如B C ∠=∠等．第26题. 如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为点O ． （1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．答案：解：（1）图中有三对全等三角形：△COB ≌△COD ，△AOB ≌△AOD ，△ABC ≌△ADC ．（2）证明△ABC ≌△ADC ． 证明：AC ∵垂直平分BD ， AB AD =∴，CB CD =．又AC AC =∵，∴△ABC ≌△ADC ．第27题. 在△ABC 和△DEF 中，已知C D ∠=∠，B E ∠=∠，要判定这两个三角形全B CBDCB D等，还需要条件（ ）A ．AB ED = B ．AB FD =C ．AC FD = D ．A F ∠=∠ 答案：C第28题. 小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB CD =，AD CB =，你认为小明的风筝两脚大小相同吗（即B ∠，D ∠相等吗）？请说明理由．答案：相等．可以连接AC ，由SSS 可知ABC △CDA ≌△B D ∴∠=∠．第29题. 小民用五根木条钉成了如图所示的两个三角形，且AB AC =，BD CD =，若ABD △为锐角三角形，则ACD △中的最大角α的取范围是（ ）Ａ．3060<α≤Ｂ．4560<α≤Ｃ．4590<α≤Ｄ．6090<α≤答案：Ｄ第30题. 已知：ABC △的三边分别为a b c ，，，A B C '''△的三边分别为a b c '''，，，且有222222222a a b b c c ab bc ca ''''''+++++=++，则ABC △与A B C '''△（ ） Ａ．一定全等 Ｂ．不一定全等 Ｃ．一定不全等 Ｄ．无法确定 答案：Ａ第31题. 如图，已知12∠=∠，34∠=∠． 求证：BE CD =．答案：34∠=∠ ，AD AE ∴=， 又1324∠+∠=∠+∠ 即ADC AEB ∠=∠，又A A ∠=∠根据ASA 证ABE ACD △≌△， BE CD ∴=．A C D第32题. 你见过形如图所示的风筝吗？开始制作时，AB CD =，AC DB =，后来为了加固，又过点O 加了一根竹棒EF ，分别交AB CD ，于点E F ，，且AOE DOF ∠=∠，你认为OE OF ，相等吗？请说明理由．答案：相等．可以连接BC ，首先由“SSS ”可知：ABC DCB △≌△，因此A D ∠=∠，同理可得B C ∠=∠，又由“ASA ”可知ABO DCO △≌△，因此AO DO =．最后可由“ASA ”得AOE DOF △≌△，所以OE OF =．第33题. 如图，AD BC ，相交于点O ，OA OD =，OB OC =． 求证：AOB DOC △≌△．答案：在AOB △和DOC △中，()()()OA OD AOB DOC OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知对顶角相等已知 (SAS)AOB DOC ∴△≌△．第34题. 如图，已知12∠=∠，ABC DCB ∠=∠，AC DB =． 求证：ABC DCB △≌△．答案：：ABC DCB ∠=∠ ，12∠=∠，DBC ACB ∴∠=∠，即ACB DBC ∠=∠，又ABC DCB ∠=∠，AC DB =，BC CB =，ABC DCB ∴△≌△．2 A DCB 1第35题. 在ABC △和A B C ''△中，①AB A B ''=；②BC B C ''=；③AC A C ''=；④A A '∠=∠；⑤B B '∠=∠则下列条件中不能保证ABC A B C '''△≌△的是（ ） Ａ．①②③ Ｂ．①②⑤ Ｃ．②④⑤ Ｄ．①③⑤ 答案：D第36题. 在ABC △和A B C 111△中，已知1A A ∠=∠，11AB A B =，在下列说法中，错误的是（ ）Ａ．如果增加条件11AC AC =，那么111ABC A B C △≌△（SAS ） Ｂ．如果增加条件11BC B C =，那么111ABC A B C △≌△（SAS ） Ｃ．如果增加条件1B B ∠=∠，那么111ABC A B C △≌△（ASA ） Ｄ．如果增加条件1C C ∠=∠，那么111ABC A B C △≌△（AAS ） 答案：B第37题. 如图，AB AC BE =，与CF 交于点O ，EC FB 与相等吗？为什么？答案：不一定．EC 与FB 可能相等,也可能不相等．直观地解释：E F AC AB ，在，上的位置不定，因此BF EC 与的关系也不定．逻辑地解释：BF CE 与所在的两个三角形，无法确定其是否全等，因此BF CE 与的关系不一定．第38题. 如图，AB DC AB DC AC BD =∥，，与相交于点O ，你能找出两对全等的三角形吗？你能说明其中的道理吗？A BCFEO答案：事实上有四对全等的三角形．AOB COD AOD COB ABC CDA ADB CBD △≌△；△≌△；△≌△；△≌△． 理由分别是：AOB COD △≌△的理由：“角边角”，即CAB ACDAB CD ABD CDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AOD COB △≌△的理由．“边角边”，即()()AO CO AOB COD AOD COB DO BO AOB COD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩由△≌△所得由△≌△所得ABC CDA △≌△的理由：“边角边”．即AB CD BAC DCA AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADB CBD △≌△的理由：“边角边”．即AB CD ABD CDB BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩第39题. 已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB FC ∥，DF AC E 交于点，DE FE =．AE CE =求证:．答案：证明：AB FC ∵∥，ADE CFE ∠=∠∴．又AED CEF ∠=∠∵，DE FE =，∴ △AED ≌△CEF ．∴AE CE =．第40题. 如图，给出五个等量关系：①AD BC =、②AC BD =、③CE DE =、④D C ∠=∠、⑤DAB CBA ∠=∠． 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明． 已知：求证：BA B证明：答案：情况一：已知：AD BC AC BD ==，求证：CE DE =（或D C ∠=∠或DAB CBA ∠=∠） 证明：在△ABD 和△BAC 中 AD BC AC BD ==∵，AB BA =∴△ABD ≌△BAC∴CAB DBA ∠=∠ A E B E =∴ ∴AC AE BD BE -=- 即CE ED =．情况二：已知：D C DAB CBA ∠=∠∠=∠，求证：AD BC =（或AC BD =或CE DE =） 证明：在△ABD 和△BAC 中 D C ∠=∠，DAB CBA ∠=∠A BA B =∵ ∴△ABD ≌△BAC ∴AD BC =．第41题. 如图，A B ，两点分别位于池塘两端，小明和同伴用下面的方法测量AB 间的距离：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD AC =，连接BC 并延长到E ，使CE BC =，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A B ，的距离，小明和同伴的测量方法对不对？为什么？答案：小明和同伴的测量方法是正确的．由于在ABC △和DEC △中，AC DC =（测得），ACB DCE ∠=∠（对顶角相等），BC EC =（测得），于是()ABC DEC SAS △≌△，因而可得AB DE =，所以量出DE 的长，就是A B ，两点间的距离．第42题. 如图，要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C D ，，使C D B C =，再定出BF 的垂线DE ，使A C E ，，在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB 的长，为什么？A B CC D FEA B答案：由AB BF ⊥，DE BF ⊥，可得90ABC EDC ∠=∠=，又由于直线BF 与AE 交于点C ，可知ACB ECD ∠=∠（对顶角相等），再加上条件CD BC =，根据“ASA ”有ABC EDC △≌△，从而AB ED =，即测得DE 的长就是A B ，两点间的距离．第43题. 如图A B ，两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B 出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC CD =，过D 作DE AB ∥，使E C A ，，在同一条直线上，则DE 的长就是A B ，之间的距离．请你说明道理．你还能想出其他方法吗？答案：（1）B EDCBC DCBCA DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABC EDC →→△≌△AB DE =． （2）新方法：如图：从B 出发沿河岸作射线BF ，且使BF AB ⊥，在BF 上截取B C C D =，过D 作DE BF ⊥，使E C A ，，在一条直线上，则DE 的长就是A B ，之间的距离.道理同上．第44题. 如图，已知90B D ∠=∠=，AB AD =．求证：BC DC =．答案：因为AB AD =，AC AC =，根据“HL ”证RtRt ACDACB △≌△ ，CD BC ∴=．A BC F ED A C DB第45题. 如图，已知AD AF ，分别是两个钝角ABC △和ABE △的高，如果AD AF =，AC AE =．求证：BC BE =．答案：根据“HL ”证R t R t A D C A F E △≌△，CD EF ∴=，再根据“HL ”证R t R t A B D A B F △≌△，BD BF ∴=，BD CD BF EF ∴-=-，即BC BE =．第46题. 使两个直角三角形全等的条件是（ ） Ａ．一个锐角对应相等 Ｂ．两个锐角对应相等 Ｃ．一条边对应相等 Ｄ．两条直角边对应相等 答案：Ｄ第47题. 如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条GF 与GE E F ，，分别是AD BC ，的中点，G 是AB 的中点吗？答案：G 是AB 的中点．第48题. 如图，已知A F E B ，，，四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：ACF BDE △≌△．答案：证明：AC CE ⊥，BD DF ⊥（已知）90ACE BDF ∴∠=∠= （垂直的定义）在Rt ACE △和Rt BDF △中，A DC BEA BF E DG A FDE BC()()AE BF AC BD =⎧⎨=⎩已知已知 Rt HL ACE Rt BDF ∴△≌△()A B ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）()AE BF = 已知AE EF BF EF ∴-=-（等式性质） 即AF BE =()()()AF BE ACF BDE A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已证在和中已证已知△△，SAS ACF BDE ∴△≌△()．第49题. 判定两个直角三角形全等的方法有 Ａ．两条直角边对应相等 Ｂ．斜边和一锐角对应相等 Ｃ．斜边和一条直角边对应相等 Ｃ．两个面积相等其中不正确的为（ ） 答案：D第50题. 将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下右图的形式，使点B ，F ，C ，D 在同一条直线上． （1）求证：AB ED ⊥；（2）若PB BC =，请找出图中与此条件有关的一对．．全等三角形，并给予证明．答案：（1）证明：由题意得90A B A D∠+∠=∠=∠，，90D B ∠+∠= ∴． AB DE ∴⊥．D=，则有Rt△ABC≌Rt△DBP．（2）若PB BC∵，，，B B A D BP BC∠=∠∠=∠=∴Rt△ABC≌Rt△DBP．说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：Rt△APN≌Rt△DCN、Rt△DEF≌Rt△DBP、Rt△EPM≌Rt△BFM．从中任选一对给出证明，只要正确的都对．B D。