高考数学总复习：第2章《函数、导数及其应用》【1】

函数的基本概念

[典题导入]

有以下判断：

[听课记录]
对 于 (1 ) ， 由 于函 数 f ( x ) ＝ 的 定 义域 为
{ x | x ∈ R ， 且 x ≠ 0 } ， 而 函 数 g ( x ) ＝ 的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1 不是y＝f(x)定义域的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没 有交点，如果x＝1是y＝f(x )定义域内的值，由函数定义 可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，
1．已知f：x→－sin x是集合A(A⊆[0，2π])到集合B＝ 的一个映射，则集合A中的元素个数最多有 ( ) A．4个 B．5个

C．6个
D．7个
B [当－sin x ＝0 时 sin x ＝0，x 可取 0，π，2π； 7π 11π 1 1 当－sin x ＝ 时，sin x ＝－ ，x 可取 ， ， 2 2 6 6 故集合 A 中的元素最多有 5 个．]

[关键要点点拨]


1．函数与映射的区别与联系
(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合 A与集合B只 能是非空数集，即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映 射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不 是数集，则这个映射便不是函数．


2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数 如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不 是相同函数；再如函数 y＝sin x与y＝cos x，其定义域与 值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否 相同，关键是看定义域和对应关系是否相同． 3．求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值 f (x 0 )时，一定要首先判断 x 0 属于定义 域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值 域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并 集．
求函数的解析式
2 故 f (x )的解析式是 f (x )＝lg (x >1)． x －1 (3)设 f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 由 f (0)＝0，知 c＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由 f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， 得 a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即 ax 2＋(2a＋b)x ＋a＋b＝ax 2＋(b＋1)x ＋1，
3．已知集合 A ＝[0，8]，集合 B ＝[0，4]，则下列对应关系中，不 能看作从 A 到 B 的映射的是 1 A．f ：x →y ＝ x 8 1 C．f ：x →y ＝ x 2 1 B．f ：x →y ＝ x 4 D．f ：x →y ＝x ( )
D [按照对应关系 f ：x →y ＝x ，对 A 中某些元素(如 x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．]


2．函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫 定义域 做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数 值域 的 ．显然，值域是集合B的子集． 3．函数的三要素： 和 定义域 ． 值域 、

对应关系

4．相等函数：如果两个函 数的 和 定义域 对应关系 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据．
4．已知
＝x 2＋5x ，则 f (x )＝____________．
1 1 1 5 解析 令 t＝ ，则 x ＝ .所以 f (t)＝ 2＋ . x t t t 5x ＋ 1 故 f (x )＝ 2 (x ≠0)． x 5x ＋1 答案 (x ≠0) x2

5．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3) ＝0，则f(－1)＝________．

[规律方法]
两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应 关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全 相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，

g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．

[跟踪训练]
即 y＝f (x )的图象与直线 x ＝1 最多有一个交点； 对于(3)， f (x )与 g(t) 的定义域、 值域和对应关系均相同， 所以 f (x )和 g(t)表示同一函数； 对于(4)，由于 1 所以 f (f ( ))＝f (0)＝1. 2 综上可知，正确的判断是(2)(3)． 答案 (2)(3)

第一节
函数及其表示

[主干知识梳理]
一、函数的概念 1．函数的定义： 一般地，设 A ， B 是两个 的数集，如果 非空 按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个 数x，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应； 唯一 那么 就 称 f ： A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 ． 记 作 ． y＝f(x)，x∈A
配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成 关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析 式(如例(1))； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函 数)，可用待定系数法(如例(3))；


(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围(如例(2))；

二、函数的表示法 表 有： 示 函 数 解析法 的 图象法 常 用 列表法 方 法 、 、 ．

三、映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有 唯一确定的元素 y与之对应，那么称对应f：A →B 为集合A 到集合B的一个映射．

四、分段函数 若 函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值 区间，有着不同的 ，这样的函数通 对应关系 常叫做分段函数．分段函数虽然由部分组成，但它表示 的是一个函数．

[基础自测自评]
1．下列各图形中是函数图象的是 ( )

D [由函数的概念知D正确，A，B，C中不满足一对一关 系．]