初升高后期 补课资料

第四部分 二次函数1.初中函数定义：在某一个过程中有两个变量x 、y ，当x 在某一个范围内取任意一个值时，按照某一对应法则（不妨记对应法则为f ），y 都有唯一的值和x 对应，这时我们说x是自变量，y 是x 的函数（y 是函数值或因变量）. 所以，函数实际是反映了一种x 与y 对应，在高中我们一般记为y =f （x ）.2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同（对应法则相同）.过点),0(c 与x 轴过点),0(b 的直线. 过),1(k 的双曲线. （x 、y 轴为其渐近线） 过),0(c 的抛物线a 定形,轴b x -=,“胸有成竹”（即，看到图像能够描述其性质，看到性质能够描绘其草图）—— 数形结合.正如著名数学家华罗庚所讲：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好, 隔离分家万事休”.第一节 二次函数的图像和性质及其图像平移1.二次函数图像作法：一般仍然是“三步曲”—— ① 列表；② 描点；③ 连线.说明：1）列表中注意应先确定顶点和对称轴，然后在对称轴两边对称地取x 的值列表.2）四点法作图：选二次函数图像的顶点)44,2(2ab ac a b --，与x 轴的交点)0,(1x 和)0,(2x ，与y 轴的交点),0(c ，过这四点结合对称性作二次函数的图像也比较方便准确. 简称“四点法作图”.3）图像变换法：通过图像平移的办法作函数图像草图.问题1：函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？—— 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．22再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如下图所示）. 从下图我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：结论1：二次函数y ＝ax 2(a ≠0) 的图象由y ＝x 2的图象上各点纵坐标变为原来的a 倍得到．对函数y ＝ax 2(a ≠0)，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口大小．即：函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像形状由a 确定，当a >0时抛物线开口向上，且a 越大开口越小.问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？—— 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如右图所示）. 从函数的图像我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：结论2：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．即：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可以由y ＝ax 2的图像左右、上下平移得到，平移法则：“左加右减，上加下减”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋bx a)＋c ＝a (x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的.2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 的性质：（a 确定图像的形状，b 与c 确定图像的位置）. （1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝244ac b a-． （2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a-． 3. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与方程ax 2＋bx ＋c = 0 (a ≠0)的关系（ac b 42-=∆）：如右图所示：如果二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴相交，则存在函数值y =0. 若将二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)转化为一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)，因此这个方程的两个根x1 、x2就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交的两交点横坐标，所以交点坐标为（x1 ,0）（x2 ,0）.由此说明：如果研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程. 此时，一元二次方程根的判别式和求根公式，以及根与系数的关系等都可用于这个二次函数.(1)Δ＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点；Δ= 0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）；Δ＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.——通过Δ判断图像与的交点情况.（2）当a > 0且Δ < 0时图像全部在x轴上方；当a < 0且Δ < 0时图像全部在x轴下方.（3）当二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交于两点A（x1 ,0）,B（x2 ,0）.那么：OA=|x1|，OB=|x2|；同样，图象与y轴交点C(0,c)，也有关系式：OC=|c|.例1、说明二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例2、把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．例3、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如右表所示. 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？例4、已知函数y＝x2（－2≤x ≤a），其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．分析：本例中函数自变量的取值范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题：（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y 随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x ≤－2；（2）x ≤ 2；（3）－2 ≤x ≤ 1；（4）0 ≤x ≤ 3．第二节待定系数法求二次函数的解析式1.二次函数解析式的三种形式：1）一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2）顶点式：y＝a(x ＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)；3）两根式（或交点式）：y = a (x－x1) (x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，据第一节可知，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数关系可得x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．那么y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．例1、已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．例2、已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3、已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．例4、求二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得图象对应的函数解析式：（1）直线x ＝－1； （2）直线y ＝1．附.比和比例：1）比的性质：tb a t ba m mb m a b a m bm am b a =⇔=≠÷÷=≠=),0(),0(. 2）比例的性质：ac b d=对于有(1)ad bc =；(2)(d c a b b a c d ==内外项交换位置等式依然成立）；（3）合比定理(dd c b b a +=+）；（4）d d c b b a -=-（分比定理）；（5）)(合分比定理dc d c b a b a -+=-+； （6）等比定理：若1212n n a a a b b b ===，则12121212n n n n a a a a a a b b b b b b +++===+++．（均可据比的性质证明）例5、已知432z y x ==，求zy x z y x -+++的值.练 习1．选择题：（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ） （A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)2．填空题：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴的交点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．（3）一批产品中，一等品与二等品的比为4∶1，又知二等到品与三等品的比为5∶3，一等品与二等品为合格品，则这一批产品的合格率是 .3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．4. 求将二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后的图象所对应的函数解析式：（1）向右移2个单位，向下移1个单位； （2）向上移3个单位，向左移2个单位．提示：平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数，只改变一次项系数和常数项）. 则将二次函数的解析式变形为顶点式，依据平移得顶点坐标而得解.习 题 四A 组1. 填空题：（1）二次函数y =2x 2- 4的顶点坐标为________，对称轴为__________.（2）二次函数y =x 2-3x -4与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴交点坐标是_________.（3）抛物线y =（k +1）x 2+k 2- 9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— .2. 选择题：（1）如右图所示，二次函数y=x 2- 4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，则△ABC 的面积为 （ ）（A ）6 （B ）4 (C) 3 (D) 1（2）在函数y ＝x2、y ＝x ＋5、y ＝x 2的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个（3）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）（A ）240b ac ->（B ）0a > （C ）0c > （D ）02b a-< (4)在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 （ ）(A)222-=x y (B)222+=x y(C)2)2(2-=x y (D)2)2(2+=x y(5) 如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）(A) 0 （B ）－1 （C ） 1 （D ） 23. 当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= -3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，-2），求这个二次函数的解析式 .4.已知一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xy 4-=图象的交点P 的横坐标是2，且一次函数b kx y +=的图象平行于直线x y 5-=，求该一次函数的解析式 ． 5. 已知一次函数b ax y +=的图象经过点A （），320-，B （），341-，C （)4,+c c ． (1) 求c ； (2) 求bc ac ab c b a ---++222的值．6. 若二次函数y =x 2+bx +c 经过（1，0）且图象关于直线x =,对称，求二次函数解析式. 7. 已知抛物线y =x 2 +（n －3）x + n +1经过坐标原点O .⑴ 求这条抛物线的顶点P 的坐标；⑵ 设这条抛物线与x 轴的另外一个交点为A ，求以直线P A 为图象的一次函数解析式.B 组1. 选择题：（1）已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）（A ）a ＞0,c ＞0 （B ）a ＜0,c ＜0 （C ）a ＜0,c ＞0 （D ）a ＞0,c ＜0 (2) 函数在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ） 212y ax b y ax bx c =+=++和2. 已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式 .3. 二次函数332+-=mx x y 与y 轴交于B 点，与x 正半轴交于A 点，且OA =OB . 求点A ，B 的坐标 .4. 已知二次函数y =x 2－kx + k －5 .（1）求证：无论k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点；（2）若此二次函数图像的对称轴为直线x =1，求解析式；（3）若（2）中的二次函数的图像与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C ，D 是第四象限函数图像的点，且OD ⊥BC 于H ，求点D 的坐标.C 组1. 填空题：（1）无论m 为任何实数，总在抛物线y =x 2＋２mx ＋m 上的点的坐标是 .（2）若抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx +c ＝－２的根为 .（3）二次函数y =3(x -7)2+1由y =3(x -5)2+3向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到 .2. 选择题：（1）如图，在平面直角坐标系中，入射光线经过y 轴上点A （0，3），由x 轴上点C 反射，反射光线经过点B (-3,1),则点C 坐标为（ ）（A ）)0,49(- （B ）)0,47(- （C ）)0,2(- （D ）)0,35(-（2）下列命题中正确的是 （ ）①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.（Ａ）只有①②③ （Ｂ）只有①③④ （Ｃ）只有①④ （Ｄ） 只有②③④（3）在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 （ ）（A ）y ＝2(x －2)2 + 2 （B ）y ＝2(x + 2)2－2 （C ）y ＝2(x －2)2－2 （D ）y ＝2(x + 2)2 +23．如右图，已知二次函数c bx x y ++-=221(0)c < 的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且OB OA OC ⋅=2．(1) 求c 的值；(2) 若△ABC 的面积为3，求该二次函数的解析式；(3) 设D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点P 使△PBD 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．试求关于x 的函数y ＝－x 2＋mx ＋2在0 ≤ x ≤ 2上的最大值k ．第四部分 高中必备的初中几何知识第一节 三角形1.解直角三角形：直角三角形“三边两角”中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是“边”. 1）边角关系：在RtΔABC 中，如果∠C =90°. 那么sin A =c a =斜对；cos A =c b =斜对；tan A =b a =邻对；由此易证：sin 2A +cos 2A =1；tan A =A cos A sin . 2）在A 为锐角的条件下，正弦，正切函数随角A 的增大，函数值增大；余弦函数随角A 的增大，函数值反而减小. 并且，函数值的取值范围：A 在0°→ 90°时，正弦函数值范围：0→1；余弦函数值范围：1→0；正切函数值范围：0→正无穷大.3）直角三角形的两个公式：Rt △ABC 中，若∠C =90°，.22c m c R c b a r ==-+=； （其中r 内切圆半径，R 外接圆半径，c m 斜边的中线长）5）几个概验：（1）坡角α，坡度i = 1: m = h / l = tan α；（2）方位角； （3）仰角与俯角.6)解三角形的基本思路：“斜化直，一般化特殊” ———— 添加辅助线的依据.2.相似（全等）三角形的判定和性质（注意比例的有关性质应用及“对应”二字含义）：1）相似（全等）三角形的判定：知“SAS ”、“SSS ”、“ASA ”三角形确定，“AAS ”不然.2）几个线段成比例的定理：（1）平行线分线段成比例定理：三条（一组）平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；（2）平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；（3）平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例；（4）角平分线性质定理：三角形的一个角平分线分对边所成比例等于夹该角的对应两边之比. 下面仅证明定理（4），证明如下：已知：在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，求证：AB BD AC DC =.3）射影定理：如图，在直角ABC ∆中，BAC ∠为直角，且BC AD ⊥. 那么（1）BC BD AB ⋅=2,CB CD AC ⋅=2；（2）DC BD AD ⋅=2.(另也常常用“等面积法”求斜边的高)ABC c b a4）两个相似三角形的周长比等于其相似比；面积比等于其相似比的平方.思考：已知ABC ∆周长为1，连结ABC ∆三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2009个三角形周长为多少？面积又是多少？3.三角形的四心：重心、内心、垂心、外心.（正三角形的对称中心简称正三角形中心）1）三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线上靠近边的三等分点，分中线长的比为12 .2）三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等，该距离等于三角形内切圆半径，常常通过等面积法求解（三角形内切圆半径周长面积∆∆=C S r 2）3）三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心. 锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为其直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.4）过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心，是三边的垂直平分线的交点. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，该距离等于三角形外接圆半径（在高中学习正弦定理后容易求解）.5）特殊三角形的四心：（1）等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一，因而在等腰三角形ABC 中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上；（2）直角三角形ABC 中，BAC ∠为直角. 则垂心为直角顶点A ；外心O 为斜边BC 的中点，特别外接圆半径为斜边长的一半；内心I 在三角形的内部，特别内切圆的半径为2a cb r -+=（其中,,a bc 分别为三角形的三边BC ，CA ，AB 的长）；（3）正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心（正三角形的对称中心）.4.直角三角形的判定：1）有一个角是直角的三角形；2）满足勾股定理的三角形；3）如果三角形一边上的中线长等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.第二节 四边形和多边形1.四边形：四边形→平行四边形→矩形→菱形→正方形；梯形→等腰梯形（直角梯形）.（掌握前面的相关概念性质，按上面顺序的概念其外延在逐渐变小，内涵在逐渐变大）1）一般性质：⑴ 内角和：360°，外角和：360°；⑵ 顺次连结各边中点得平行四边形. 推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形；推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形.2）圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.3）重要辅助线：（1）常连结四边形的对角线；（2）梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”等办法转化为三角形 .2.多边形：n 边形的内角和为0180)2(⋅-n . 仅要求掌握正多边形相关性质和计算.1）正多边形的一般性质：（1）正多边形的每个角相等（正n 边形的角为n n 0180)2(⋅-），每个边相等；（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆；（3）正n 边形的外接圆半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.2）正多边形的有关计算：正多边形的中心角αn ，半径R n ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ， 边数n 这六个量的有关计算都集中在RtΔAOC 中进行.3）梯形（三角形）的中位线定理：要求熟练掌握并且应用中位线定理.第三节 直线和圆1.圆：圆既是轴对称又是中心对称图形.圆上的每点到圆心的距离相等，该距离叫半径.1）圆的有关概念：（1）不在一直线上的三个点确定一个圆，确定一个圆的要素是圆心和半径；（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，小于半圆周的圆弧叫做劣弧，大于半圆周的圆弧叫做优弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角，顶点在圆心的角叫圆心角.2）圆的有关计算：（1）圆周长C =2πR ；（2）弧长L =180R n π；（3）圆的面积S =πR 2 ；（4）扇形面积S 扇形 =LR R n 213602=π；（5）弓形面积S = 扇形面积S AOB ± ΔAOB 的面积（如右图所示）.3）圆周（心）角定理及推论：（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（3）“直径对直角”，“直角对直径”（这里的角指圆周角）；（4）圆心角的度数等于它所对弧的度数.4）同圆或等圆中“角、弦、弧、距”定理：（下面的角指圆周角或圆心角）.（1）“等角对等弦，等弦对等角”；（2）“等角对等弧，等弧对等角”；（3）“等弧对等弦，等弦对等(优，劣)弧”；（4）“等弦对等弦心距，等弦心距对等弦”；（5）平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹弧相等.5）弦切角定理及其推论：（1）弦切角等于它所夹弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.6）相交弦定理及其推论：（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.2.直线和圆：直线与圆的位置关系通过表示圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小比较来判定（直线与圆相交⇔ d ＜r ；直线与圆相切 ⇔ d =r ；直线与圆相离 ⇔ d ＞r ）.1）垂径定理及推论：（1）如图，在“平分优弧”、“过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分劣弧”这五个元素中，那么“知二可推三”. 同学们需记忆其中四个定理，即“垂径定理”、“中径定理”、“弧径定理”、“中垂定理”.（2）如右图所示，过圆内一点E 的所有弦中，与圆心O 和点E 连线OE 垂直的弦AB 最短.2）直线和圆相切：（1） 证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法添加辅助线；（2）切线的判定与性质定理：如图：在“是半径”、“垂直”、“是切线”这三个元素中，那么“知二可推一”. 同学们需记忆其中四个定理. 即是：（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.3）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.4）切割线定理及其推论：（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的两交点连结所成的两条线段长的比例中项（即：PC 2 = P A ·PB ，如图一所示）；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点所成的两条线段长的积相等（即：P A · PB = PC · PD ，如图二所示）.3.圆与圆：圆与圆的位置关系判断通过两园的圆心到圆心的距离d 与两个圆的半径R 、r （R ≥ r ）的“和”或“差”的大小比较来确定 . 即 ：两圆外离 ⇔ d ＞R + r ；两圆外切 ⇔平分优弧过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧是半径垂直是切线d =R + r ；两圆相交 ⇔ R －r ＜d ＜R + r ；两圆内切 ⇔ d =R －r ；两圆内含 ⇔ d ＜R －r .关于两圆的性质定理：（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.4.坐标系中常用的几个距离公式：1）轴（平行于轴的直线）上两点M 、N 之间的距离：x 轴（与之的平行直线）上MN =|x 1-x 2|=x 大 -x 小 , y 轴（与之的平行直线）上PQ =|y 1-y 2|=y大 -y 小 ；2）任意的点M （x ,y ），到y 轴距离：d y =|x |，到x 轴距离： d x =|y |，22y x r +=到原点的距离：. 3）轴上的点M （0,y ）、N （x ,0）到原点的距离： MO =|y |，NO =|x |；4）平面上任意两点M （x 2,y 2）、N （x 2,y 2）之间的距离：.)()(221221y y x x d -+-=5.几个直线方程 ：1）y 轴 <=> 直线 x =0 ， x 轴 <=> 直线 y =0 ；2）与y 轴平行且距离为∣a ∣的直线 <=> 直线 x =a ，与x 轴平行且距离为∣b ∣的直线 <=> 直线 y =b .6.轨迹：把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹. 在同一平面内：1）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆；2）和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；3）到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线；4）到直线l 的距离等于定长d 的点的轨迹，是与l 平行且距离等于d 的两条直线.7.弦长与切线长的求法（解直角三角形）：1）直线与圆相交时，设两个交点分别为A 、B . 若直线经过圆心，则AB 为直径；若直线不经过圆心，连结圆心O 和弦AB 的中点M 的线段OM 垂直于这条弦AB . 且在OMA Rt ∆中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，据勾股定理，有222()2AB r d -=；2）直线与圆相切时，,PA PB 为圆O 的切线，可得PA PB =，.OA PA ⊥，且在POA Rt ∆中，222PO PA OA =+.例1、已知圆的两条平行弦的长度分别为6和且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.解：设圆的半径为r ，分两种情况，（1）若O 在两条平行线的外侧如图（1），AB =6，CD = 则由3OM ON -=，得 3，解得5r =.（2）若O 在两条平行线的内侧（含线上），AB =6，CD =则由3OM ON +=，3，无解. 综合得，圆的半径为5.例2、设圆1O 与圆2O 的半径分别为3和2，124O O =，,A B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB 的长度.解：连AB 交12O O 于C ，则12OO AB ⊥，且C 为AB 的中点，设AC x =，则12O C O C ==124O O ==，解得x =. 故弦AB 的长为2x . 练习 ：1.若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.2. 已知⊙O 的半径为17cm ，弦AB =30cm ，AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为D 、C ，求弦AC 和BD 的长 .。