例举初等数学与高等数学的一些联系
初等数学与高等数学有关问题的联系与区别
初等数学与高等数学有关问题的联系与区别一、导数的应用导数是研究函数的工具，利用导数研究函数的性质问题，可以比较容易地得到结果或找到解题的方向.导数的单调性：定理：设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导：（1）如果在（a，b）内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果（a，b）在内f′（x）0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少.例：确定函数f（x）=x■-2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解法一：设x■，x■是R上的任意两个实数，且x■x■，则f（x■）-f（x■）=（x■-x■）（x■+x■-2）.因为x■-x■0，所以要使x■+x■-20，则x■x■1.于是f（x■）-f（x■）0.即x1时，f（x）是增函数；x1时，f（x）是减函数.解法二：f′（x）=2x-2令2x-210解得x1；因此，当x∈（1，+∞）时，f（x）是增函数.再令2x-20，解得x1，因此，当x∈（-∞，-1）时，f（x）是减函数.经过对两种方法的对比，我发现用大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回头看高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一定的弊端.二、极限的应用学习极限是从一个“有限”到“无限”的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要.数列极限：中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”一词，由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称“ε-N”定义）证明高中数列极限中所用的结论.例：证明■■=0（a，k均为常数，且k∈N■）在中学，我们直观地知道，当n→∞时，n■=∞，■■=0.这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的“ε-N”定义来证明这个结论的正确性.在高中，我们已经开始接触数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维的培养和备考能力的提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也越发灵活.三、不等式的应用不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式在解决优化问题中有广泛应用，也是学习高等数学的重要基础.不等式的内容体现了数学的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明、求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键.不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一是不等式的概念与性质；二是解不等式；三是不等式的证明；四是不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见.不等式的证明：不等式的证明方法灵活多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联系，这体现了数学素质的要求.在中学，我们所学的不等式证明所用的最基本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法，以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等.某些不等式，我们虽然可以用中学的解答，但是用大学所学的某些来解答，我们会发现明显简单得多.定理3.1（拉格朗日（Lagrange））中值定理：若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导.则在开区间（a，b）内至少存在一点c，使得f′（c）=■例：证明：当ab0时，不等式nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）在n> 1时成立. </na■（a-b）在n> </a■-b■>在中学，我们可以用作差法来证明此题.这里不再证明.下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理证明此题.证明：设f（x）=x■，则f′（x）=nx■，当ab0时，对f（x）在区间[b，a]上应用拉格朗日中值定理有■=■=f′（c）=nc■其中b<c> <a因为n> 1时，n-10，所以</a因为n> </c>nb■■=nc■<na■.></na■.>故有nb■（a-b）<a■-b■> <na■（a-b）.></n a■（a-b）.> </a■-b■>运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，也就让我们从只是纯粹地接受结论上升为自主地探讨结论的正确性，这本身就是在认识上的一个质的飞跃.而且大学的证明方法更简便快捷，使我们一目了然.初等数学与高等数学有机地紧密结合，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进了对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握.。
初等数学与高等数学的联系及一些应用
２ ０ １ ３年 第 ３期
学卜（ ｌ
在此 例 中引 人矩 阵作 为工具 使 用 了矩 阵 的性质 ， 得 以求
由概率的性质知０ ≤ Ｐ （ Ａ ｕ 当 ） ｌ ， 扶旧０ 口 ＋ ｂ — ａ ｂ ｌ
４ 总 结
由以上 ５个 例 子可 以看 出 ， 如 果用 初等 数 学 的知识 解 题
ｌ
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Ｔ － ￣． ， ＝ Ｊ Ｄ 【２
例１ ＿设 ａ ， Ｉ ∽者 隰正数， 且ａ ＋ ｈ ＂ ｔ － Ｃ ＝ １ ， 求征二 ＋ ＿ ． ＿ ＋ ≥９ 。
／ ５
证明： 在Ｒ ， 中， 使用标准内积。设 亏＝
『 ］
√ ６ ， √ ｃ ｊ，
所 以 Ｕ
】 ＋ １ ， ｜ 十 ｆ 卜√ ｊ ：
发展 ， 中学教 师要 掌握 一定的高等数学的知识与方 法， 并在教 学 中与初等数 学的知识 有机结合起 来 ， 那／ ／ ， 将 能 提 高学生的思维， 开阔学生的思路 ， 培养学生的数 学修 养并提 高其解决 问题的能力。因而 ， 本文着重把 高等数 学 与初等数 学联 系起来 ， 通过几 个例子来 阐述 高等数 学在初 等数 学中的一 些重要的应用。 关键 词 ： 高等数 学； 初等数学 ； 联 系； 应用
之， 学 习高 等 数学 能 加 深 对初 等 数学 的理 解 和 掌握 ， 可 以 开 阔思 路 、 提 高数 学 修养 和解 决问 题 的 能力 。为 了解 决上 述 长
期存 在 的 问题 ， 笔者 认 为研 究高 等数 学 与 中学 数学 的联 系是
一
设 ＝ ［ “ Ｕ ｉ ， ＝ ］ ＝ ［ ： ］ 贝 ｕ ｃ ２ ， 式 为 ＝ 一 ， 且 ｃ ， 。 ＝ ［ ］ ＝ ］
初中数学基础与高数的关系
初中数学基础与高数的关系在数学的世界里，初中数学和高等数学就像是亲密的兄弟，彼此间有着千丝万缕的联系。
初中数学是高数的基石，它在数学的道路上扮演着至关重要的角色。
虽然它们的难度和复杂性有着显著的差异，但从初中到高数的过程，就像是一个逐步成长的故事，展现了数学知识由浅入深的自然演变。
初中数学的基本概念，如代数、几何和统计，是高数的基础。
初中时，学生们通过学习代数方程、几何图形的性质以及简单的数据处理，奠定了未来学习高数所需的基础知识。
例如，代数中的变量和方程式的解决方案为高数中的函数、极限和导数等概念的理解打下了基础。
而几何学中的图形和面积计算则为高数中的多维空间和积分提供了直观的基础。
随着学术旅程的推进，初中数学中的知识将被更为复杂的概念所替代。
高等数学引入了许多新颖且复杂的主题，如微积分、线性代数和概率论。
这些内容需要学生在初中所学的基础上进行深度的思考和应用。
微积分，作为高数中的核心部分，其主要思想是从变化的角度去理解数学问题，而这正是建立在初中数学中对函数和图形性质的基本理解之上的。
更深入地探讨，初中数学的知识不仅是高数的基础，而且还为学生们提供了解决复杂数学问题的方法。
例如，初中数学中培养的逻辑思维能力和问题解决技巧，将帮助学生在高数中应对更具挑战性的任务。
在学习高数时，学生们会发现自己需要将初中所学的知识进行综合应用，并在此基础上发展更高层次的数学能力。
因此，初中数学不仅仅是为了完成学业中的一个阶段，而是为高数的学习提供了不可或缺的支持。
每一个数学概念和技能的掌握，都如同为未来的数学探索铺设道路。
这种关系提醒我们，基础教育的重要性不可低估，它为学生们进入高数的世界提供了坚实的支持。
在这个过程中，学生们不仅要掌握具体的数学技巧，还要学会如何将这些技巧应用到新颖的数学情境中。
每一步的进步都反映了从初中基础到高数应用的不断过渡，这种过渡不仅是数学学习的过程，也是思维能力提升的过程。
因此，理解和掌握初中数学的知识，将为学习高等数学提供强大的支持，使得学生能够在复杂的数学领域中游刃有余。
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径
浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径初等数学和高等数学是数学学科中最基础和最重要的两个阶段，初等数学是学生接触数学的起点，而高等数学则是深入学习数学的重要阶段。
两者之间的有效衔接是十分重要的，它直接影响着学生对数学的学习兴趣和学习成绩。
本文将从数学教学的连贯性出发，浅议初等数学与高等数学有效衔接的路径。
初等数学与高等数学有效衔接的路径应该是一个渐进的过程。
在初等数学阶段，学生主要学习基本的数学概念、运算规则、初等代数和几何等内容，这些内容是后续学习高等数学的基础。
初等数学课程应该重点培养学生的数学思维和逻辑推理能力，引导学生建立起扎实的数学基础。
教师还应该通过生动、有趣的教学方式，激发学生对数学的兴趣和求知欲，使他们在数学学习中能够保持积极的心态。
在初等数学阶段，教师应该引导学生逐渐形成抽象思维和问题解决能力。
这有助于为学生的高等数学学习奠定坚实的基础。
在教学中，可以通过丰富的例题和练习，帮助学生了解数学知识的应用和意义，引导他们思考数学问题的解决方法和思路。
教师还可以根据学生的实际学习情况，有针对性地设置一些拓展性的数学问题，鼓励学生进行独立思考和探索，进一步加深他们对数学知识的理解和掌握。
在初等数学与高等数学有效衔接的路径中，应尽量减少知识的断层和跳跃，使学生在学习高等数学时能够有一个顺畅的过渡。
在高等数学阶段，应该充分发挥初等数学知识的作用，引导学生深入理解和应用初等数学所学内容。
高等数学教师可以通过多种方式，如案例分析、实际应用、数学建模等，让学生感受到高等数学知识的丰富性和灵活性，帮助他们建立起对数学学科的整体认识和系统观念。
初等数学与高等数学有效衔接的路径也需要教师们在教学中注重引导学生形成扎实的数学思维和问题解决能力。
当学生在初等数学阶段培养了较强的数学思维和逻辑推理能力后，在学习高等数学时就会有更好的适应能力。
高等数学教师可以通过创设不同难度的数学问题，引导学生进行反复思考和探索，锻炼他们的数学思维和解决问题的能力。
初等数学和高等数学的联系与矛盾
例 ： 无 限 和 １ ＋ ＋…＋ ＋… 求 ＋ 二
２ ４
１ １
２ “
１ １
先 求 有 限 和Ｓ＝ ＋ １＋ ＋ ＝ （一 一 ） 然 后 对 ｎ 一１ 一 …＋ ２ １ ， 取
“ ２ ４ ２ “ ２“ 一
极 限就 成 无 限 ￣ Ｓ ｌ ２另外 ， 个 确 定 的 数 或 初 等 函 数 也 １ ＝ｉ ＝ ． １ ｍＳ 一
考 试 周 ２１ 第３ 刊 ｏ年 ４ ２ 期
初 等 数 学 和 高 等 数 学 的 联 系 与 矛 盾
张 艳
（ 州江南专修学院 ， 杭 浙江 杭 州 摘 要 ： 论 文 由初 等 数 学 与 高等 数 学 本 身的 一 些 特 性 本 出发 ， 论 了初 等 数 学 和 高等 数 学 的一 些联 系和 矛 盾 ， 们之 讨 它 间联 系的 意 义 ， 及 如 何从 初 等 数 学过 渡 到 高 等数 学 。 以 关 键 词 ： 等 数 学 高等 数 学 联 系 矛 盾 过 渡 初
１ 引 言 ．
３０： ： 二 ＋ 如 ＿－
Ｘ
ｘ一 —
—
＋
＋ ．ｉｘ … ｓｎ ＝
３ １ １ １ ００ ０ ００ ０ ＋… ＋（ 一１）一 ＋． 一
．
３１
（ ｋ ） ２ 一１ １
数 学 专 业 的 学 生 。 别 是 毕 业 后 当 老 师 的 同学 ， 入 学 就 特 一 发 现 他 们 面 对 的 问 题 是 ．要 学 的 知识 好像 同 中 学 学 过 的一 点 联 系 也 没 有 。由于 缺 乏 指 导 ， 又很 难 明 辨 当前 的 中学 教 学 内容 和 大 学课 程 之 间 的 联 系 。因此 常 会 对 大 学 所 学 课 程 有 疑 惑 ， 甚 至 忽 视 。 际 上 ． 决办 法之 一是 通过 掌 握 相 当程 度 的高 等 数 实 解 学 知 识 ， 初 等 数 学 与 高 等 数 学 有 机 结 合 ，居 高 临 下 ” 注 重 让 “ ， 高 等 数 学 对 初 等数 学 的 渗 透 ． 较 高 层 次 去 联 系 、 导 和 研 究 从 指 初等数学 。 我 们 所 说 的初 等数 学 通 常 是 指 中学 阶段 所 涉 及 的数 学 知 识， 内容 包 含 有 代 数 ， 何 ， 析几 何 ， 数 与 数 列 等 内 容 ， 几 解 函 处 理 一 些 有 限量 的直 观 的 实 际 问 题 。高 等 数 学 是 大 学 阶段 所 涉 及 的数 学 知 识 ， 容 有 微 积 分 ， 象 代 数 ， 析 几 何 等 内容 ， 内 抽 解 其 特 点 是 用 极 限 的手 段 解 决 更 切 合 实 际 的问 题 ．是 初 等数 学 知 识 的 补 充 与 扩 充 。本 论 文研 究 的 主 要 内容 是 初 等 数 学 与 高 等 数 学 的联 系 和 矛 盾 。 ２初 等 数 学 与 高 等 数 学 的 矛 盾 和 联 系 ． ２ １ 等 数 学与 高等 数 学 的矛 盾 ．初 ２ １１ 与 静 的 矛 盾 现 象 ．．动 因 初 等 数 学 是 用 较 直 观 的方 法 处 理 问 题 ，从 而 对 事 物 的 变 化 规 律 的 揭 示 。往 往 停 留于 相 对 静 止 的 状 态 下 去 分 析 解 决 问 题 ， 高 等 数 学 却 采 用 极 限 的 手 段 ， 事 物 的 变 化 规 律 通 过 而 对 对 事 物 的 动 态 描 述 而 揭 示 ， 而 结 果 更 精 确 。如 对 物 理 问题 ： 从 已 知非 匀 速 连续 运 动 的路 径 ， 给 定 时 刻 的 速 度 等 。 求 ２ １ 曲 与 直 的 矛 盾 现 象 ．． ２ 初 等 数 学 主要 以 研 究 “ 边 图 形 ” 主 ． 对 于 不 规 则 的 直 为 而
高等数学与初等数学的联系及一些应用
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
浅谈初等数学与高等数学的关系-2019年精选文档
浅谈初等数学与高等数学的关系-2019年精选文档浅谈初等数学与高等数学的关系从数学这门学科的建立直至十七世纪这整个阶段，数学只能解释一些静止的现象和计算一些定量（例如，它只能用于计算直边所围成的面积，以及固定的高度和距离等）这个阶段被称为初等数学阶段。
初等数学远远不能满足社会发展的需要，因此人们寻求新方法，解释那些运动现象（例如，变速运动的瞬时速度、任意曲边所围成的面积等）于是建立了高等数学。
高等数学的出现，显示出了巨大威力，许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。
本文介绍了初等数学与高等数学的一些相关内容及它们之间的关系。
1.初等数学简介及其研究内容代数的最早起源可追溯到公元前1800年左右。
那时代的巴比伦数学文献里已经含有二次方程和某些很特殊的三次方程。
从那时直到15世纪的三千多年里，中国﹑印度﹑阿拉伯和欧洲都在不同的方面对代数学的发展作出了不同贡献。
特别是中国的代数获得了比较系统的﹑高水平的发展。
例如，约在公元前1世纪前后成书的《九章算术》，其中记载了“方程术”和“正负术”等重要成就。
到了13世纪后，中国数学在高次方程的数值解法﹑同余式理论以及高阶等差数列等方面又再放异彩，取得令人惊异的成就。
纵观数学发展的整个历史过程，大体上经历了初等代数的形成﹑高等代数的创建以及抽象代数的产生和发展三个阶段。
随着这门学科的不断发展，人们对于代数学的研究对象问题的认识也不断深化，逐步形成下面几个观点。
（1）代数学是研究方程解法和字母运算的科学（2）代数学是研究多项式和线性代数的科学（3）代数学是研究各种代数结构的科学（4）代数是推动数学发展、解决科学问题的有利工具初等数学中主要包含两部分：初等几何与初等代数。
初等几何是研究空间形式的学科，而初等代数则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
1.1数的概念及其运算 1.2解析式及其恒等变换 1.3方程1.4不等式 1.5函数 1.6 平面几何1.7立体几何2.高等数学简介及其研究内容16世纪以后，由于生产力和科学技术的发展，天文﹑力学﹑航海等方面都需要很多复杂的计算，初等数学已经不能满足时代发展的需要了，在此种情况下，高等数学随之应运而生。
高中数学论文 高等数学与初等数学的联系及一些应用
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2. 国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A 到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
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A a B a x A a B a y A y B x C 0 2 1 1 1 2 2 1 2 0 01
和
A a B a x A a B a y A y B x C 0 2 1 1 1 2 2 1 2 0 0 2
所以
X , Y , X , Y , X , Y 1 1 2 2 3 3
三点连线.
一、仿射几何与平面几何
性质1.2 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线. 说明：我们不妨证明两条平行直线（A ， ） A Y B X C 0 Y B X C 0 2 1 的原像是平行直线.它们的原像满足
x1 x 2 x 0, 3 1 y y1 y 2 0 , 3 1
一、仿射几何与平面几何
性质1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. 说明：其实我们在性质1.1的说明中，已经证明了
abc
与
ABC
的面积之比为
S A B C a a a a 1 1 2 2 1 2 2 1 S a b c
a a x a a a x a x a x a 1 2y 1 2 1 1 1 1 2y 1 2 2y 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2y 1 1 1 1 1 1 x a a x x a x 1 2y 2 a 2 1 2 1 1 2y 2 a 2 2y 2 1 1 1 2 a 2 1 2 1 1 1 2 a 2 2y 2 1 a 2 2 2 2 a x a a x x a x 1 2y 3 a 2 1 3 1 1 2y 3 a 2 2y 3 1 1 1 3 a 2 1 3 1 1 1 3 a 2 2y 3 1
. 推论1.1 (1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变量. (2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
一、仿射几何与平面几何
性质1.5 在平面上给定不共线三点 A
C A 、B 、
说明：若
B 、 C 、
及不共线三点
A 、 B 、 C ,总存在一仿射变换把
分别变到
A 、 B 、C
X x x0 ，旋转 Y y y0
o sxs in y Xc Ys in xc o s y
X a 11x a 12 y x 0 所以仿射变换指的是 （1.1） Y a21x a22 y y0
其中：
a11 a 21
a12 0 a 22
，即
aa aa 0 1 12 2 2 11 2
一、仿射几何与平面几何
性质1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性. 说明：一一对应性指的是变换
（1）有逆变换，其实逆变换也是仿射变换； （2）同素性指的是：点变换成点，直线变换成直线.后者也就是说：若三点连线，变换后新三点也连线.证明：若
x , y ,xy ,2 ,xy ,3 A 、B 、C 的坐标分别为 X , Y , X , Y , X , Y ， A 、B 、 ， 则问题化为：在 1 1 2 3 C 的坐标为 1 1 2 2 3 3
x , y ,xy ,2 ,xy ,3 三点连线，则 1 1 2 3
x1 1 x2 2 x3 y1 y2 y3 1 1 0， 则 1
a a 1 X ax ay x ay y 1 1x 1 a 1 2y 1 2 1x 1 a 2 2y 1 1 Y 1 1 1 11 1 21 0 ax 2 11 2 21 0 1 1 1 1 a a X ax ay ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx ay y 1 1x 2 a 1 2y 2 2 1x 2 a 2 2y 2 1 2 Y 2 1 1 12 1 22 0 ax 2 12 2 22 0 1 2 2 2 a a X ax ay x ay y 1 1x 3 a 1 2y 3 2 1x 3 a 2 2y 3 1 3 Y 3 1 1 13 1 23 0 ax 2 13 2 23 0 1
显然命题为真.
一、仿射几何与平面几何
性质1.3 仿射变换保持简比不变. 说明：若新直线的定比分点满足
X3 X1 X2 1
和
Y3
Y1 Y2 1
，则有
ax ay x ax ay x , 1 11 1 21 0 1 1 2 1 2 2 0 ax ay x 13 1 23 0 1 1 ax ay y ax ay y , 2 11 2 21 0 2 1 2 2 2 2 0 ax ay y 2 13 2 23 0 1
例举初等数学与数学的一些联系
演讲：张小明 E-mail:zjzxm79@
一、仿射几何与平面几何
A．仿射几何
仿射几何：对坐标内的点进行放缩、旋转和平移后，相应研究其中的不变性质的几何叫做仿射几何，它是射 影几何的一部分.
所谓放缩
X k1x k1, k2 0 ，平移： Y k2 y
x x y y 1 2 1 2 a x a y , 1 1 3 1 2 3 0 1 1 x x y y 1 2 1 2 a a , 2 1x 3 2 2 y 3 0 1 1
x y x y x y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a x y a a y a a y 1 1 2 2 a 1 2a 2 2 2 2 1 0 1 1 2 2x 2 2 1 1 2 2 2x 2 2 1 2 2 2 x y x y x y 3 3 1 3 3 1 3 3 1