第四节 用描述函数法分析非线性系统2003

2. 非线性系统的稳定性分析
r(t)=0
x(t)
y( t ) N (X) G(jw)
c( t )
由结构图可以得到线性化后的闭环系统的频率特性为
( j ) C ( j ) N ( X )G( j ) R( j ) 1 N ( X )G( j )
而闭环系统的特征方程为
或
G ( j )
G( j) 扰动使X M1移到a 进入稳定区X 回到M1点 M1点 : 扰动使X M1移到b 进入不稳定区X 回到M1点
扰动使X M 2移到c 进入不稳定区X 移到M1点 M 2点 : 扰动使X M 2移到d 进入稳定区X 左移
1 G ( j 0 ) ( 2q 1)
( q 0,1)
1 即 N ( X 0 )G ( j 0 ) 1 或 G ( j 0 ) N(X0 )
Im
M1点是稳定的自振荡。M2 是不稳定的振荡点。
a -1/N(X) d M2
M1
0
Re
b
c
对于稳定的自振荡，其振幅和频 率是确定的，并可以测量得到。 计算时: 振幅可由1/ N(X)曲线的自变量 X 的大小来确定， 振荡频率由G( j)曲线的自变量 来确定。
存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡
的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之 前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在， 能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不 能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。
对图8-32所示的非线性系统，多个线性环节与非
线性环节相间排列，一般难于变换成典型结构，对 此类系统的分析比较麻烦，在此不再赘述。
作业
8-A-2
8 - A - 11
A(g)
Im
-1
c
0
Re
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点， 则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s) Re [G( j)] =1.414= 1.66
1 X 1.66 N(X ) 4
G( j)
X=2.1
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
（1）当K=15时，判断自振荡的性质，求出自
k 15 50
1
在交点处有
1 N(X )
-1/N（X）=Re[G(jω)]
4[sin 1 1 1 1 1 ( )2 ] X X X 1
得：X≈2.5 当K=15时，自振荡的振幅X≈2.5，
振 荡 角 频 率 50 7.05 ( s 1 )
频率特性在非线性系统 中的推广
2
非线性系统方框图 r(t)=0 x
描述函数
频率特性
y N(X) G(jw)
c
前提条件
（1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N和一个 线性部分G(s)串联的闭环结构。 （2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。
1 N( X )G( j) 0
1 N(X )
式中1/N(X)叫做非线性特性的负倒描述函数(负倒特性曲线)。
对比在线性系统分析中应用奈氏判据，当满足G( j) = 1 时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然， 1/N(X)相当于线性系统中的(1, j0)点。区别在于，线性系统的 临界状态是(1, j0)。而非线性系统的临界状态是1/N(A)曲线。
50
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统
是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
在讨论自振荡及稳定性时，只研究由系统内部造成的 周期运动，并不考虑外作用。因此，在对系统方框图进行 变换时，可以认为所有的外作用均为零。 非线性系统方框图的简化仍然遵循等效变换的原则， 下面举例说明简化的一般方法。 图8-28所示系统的两个非线性特性，可先进行叠加再 求描述函数，也可以对两个非线性特性分别求描述函数， 然后相加得总描述函数，结果相同。
解：理想继电器特性的描述函数为
4M 4 N(X ) X X1 X N(ຫໍສະໝຸດ ) 4Im -1/N(X)
10 G ( j ) j (1 j )( 2 j )
0
Re
30 10(2 2 ) 4 j 2 5 4 ( 4 5 2 4)
Im Re G( j) Im Re
-1/N(X) G( j)
0
0
-1/N(X)
6
(3) 若G(s)曲线与1/N(X)曲线相交，则在理论上将 产生等 幅振荡或称为自振荡。
Im
M1
0
Re
-1/N(X) M2 G( j)
7
在应用中为了作图方便，常采用相对描述 函数N0(x)
即
特征方程
N(x)=K0N0(x)
线性部分的频率特性为
K K [0.3 j (1 0.02 2 )] G ( j ) j (0.1 j 1)( 0.2 j 1) (1 0.05 2 0.0004 4 )
0.3 K Re [G( j )] 1 0.05 2 0.0004 4
振荡的振幅及频率。
（2）线性部分的放大倍数K取何值时，该系 统处于稳定状态。
解: (1)饱和非线性特性的描述函数
2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) ( X a) sin ( ) X X X 1 将a 1 k 2代 入 N(X ) 1 1 2 1 1 4[sin 1 ( ) ] X X X
值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件时可知 ，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率是非线 性环节的输入信号x(t)=Asint的振幅和频率，而不是系 统的输出信号c(t)。 例 具有理想继电器特性非线性系统如图所示，试确 定其自振荡的幅值和频率。
1
r(t)=0
0
c( t ) 10 s( s 1)( s 2)
K (1 0.02 2 ) Im[G( j )] (1 0.05 2 0.0004 4)
作 出 -1/N(x) 及 K=15 时 的 G(j)曲线，交点b2为稳定 的自振点，振荡的振幅及 频率可按如下方法求出：
令 得 Im[G(j)]=0
50
将 50代入 Re[G ( j )] 0 .3 K Re[G ( j )] 1 0.05 2 0.0004 4
第四节 用描述函数法分析非线性系统
内容提要 1. 2. 3. 4. 系统的典型结构及前提条件 非线性系统的稳定分析 自振荡分析 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
典型结构
r(t)=0
x
y N
G(s)
c( t )
非线性系统的分析：
稳定性 自振荡
奈奎斯特判据在非线性 系统中的推广
输出 x ( t ) X N ( X ) G ( j ) sin t 1 G ( j )
X N ( X ) G ( j ) sin t 1 G ( j )
自振荡的条件： N ( X 0 )G ( j 0 ) 1
10
Im M1
0 Re
判断自振荡的稳定性 有一个简便方法：
a
b
-1/N(X) d M2 c G( j)
若在交点处，被 G(j) 包围的 -1/N(x) 部分对应
的振幅 X 值小于未包围部分对应的 X 值，则该交点
为稳定自振点 (M1 点 ) 。若在交点处，被 G(j) 包围 的 -1/N(x) 部分对应的振幅 X 值大于未包围部分对应 的X值，则该交点为不稳定自振点(M2点) 。
(2)若使系统稳定，不产生 自振荡，可减少线性部分 的K。由图8-27(b)得知,本 系统-1/N(x)曲线位于(-∞, -0.5)区段， 当G(j)曲线通过(-0.5, j0) 点时,求kmax
0 .3 K Re[G ( j )] 1 0.05 2 0.0004 4 得 k max 7.5 0 .5
1 K 0 N 0 ( X )G ( j ) 0
1 或 K 0 G ( j ) N0(X )
图中的曲线则分别换成－1/N0(x) 与
K0G(j)，判别稳定性的方法不变。
3. 自振荡分析
x ( t )
x( t )
N ( X ) 1
-1
G( j ) G( j )
输入 x ( t ) Xsin t
综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性 判别方法：首先求出非线性环节的描述函数N(X)，然后在极坐 标图上分别画出线性部分的G( j)曲线和非线性部分的1/N(X) 曲线，并假设G(s)的极点均在s 左半平面。
(1) 若G(s)曲线不包围1/N(X)曲线，则非线性系 统是稳定的。 (2) 若G(s)曲线包围1/N(X)曲线，则非线性系统是 不稳定的。
N(X)=N1(X)+N2(X)
当两个非线性环节串联时，因为第一个环节 的输出就是第二个环节的输入，所以可以将两个
环节等效为一个环节，然后求出总的描述函数。
N(X) ≠N1×N2
图8-30所示的系统中，非线性环节被线性环节
局部反馈所包围，可将G1、G2简化成一个线性环节，
即变成典型结构形式。
图8-31所示的系统中，非线性环节位于反馈 通道之中，同样也可以将线性部分进行简化，变 成典型结构形式。