非线性的回归函数
非线性回归分析常见曲线及方程
非线性回归分析常见曲线及方程Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及和一个时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1bay x =+2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=a/e b x其中a>0，7.S型曲线(Logistic)1e x ya b-=+8.对数曲线y=a+b log x,x>09.指数曲线y=a e bx其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显着性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程2ˆct=.+btas+解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a/e b x，建立M文件如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[ 10];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数by ax＝ln ln ln c a v x u y＝＝＝ u c bv +＝bx y ae ＝ln ln c a u y＝＝u c bv +＝b xe y a＝1ln ln x c a v u y=＝＝u c bv +＝ln y a b x +＝ln v x u y＝＝ u bv +＝a。
非线性回归分析常见模型
非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。
非线性回归模型在医疗数据分析中的应用研究
非线性回归模型在医疗数据分析中的应用研究近年来，随着医疗数据的迅速增长和医疗科技的不断进步，数据分析在医疗领域中变得越来越重要。
其中，非线性回归模型作为一种常用的统计分析工具，被广泛应用于医疗数据分析中，从而为临床医疗决策提供了有力的支持。
一、非线性回归模型的基本概念非线性回归模型是指因变量与自变量不是简单的线性关系，而是一个非线性函数关系的回归模型。
其基本形式为：Y=f(X,β)+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β表示模型参数，ε表示误差项，f(X,β)表示非线性函数关系。
二、非线性回归模型在医疗数据分析中的应用1. 预测药物治疗的疗效在医疗领域中，非线性回归模型能够帮助分析药物治疗的疗效。
通过建立药物效果与剂量之间的非线性函数关系，预测在不同剂量下的疗效，从而为药物治疗提供精确的参考依据。
2. 预测疾病的发生概率非线性回归模型还可以应用于疾病的预测中。
以2型糖尿病预测为例，通过建立血糖、胰岛素、年龄等因素与疾病发生概率之间的非线性函数关系，预测患病的风险，为早期干预和治疗提供依据。
3. 分析影响疾病的危险因素非线性回归模型还可以用于分析影响疾病的危险因素。
以肥胖症为例，通过分析身高、体重、年龄、性别等因素与肥胖症发生之间的非线性函数关系，发现了影响肥胖症发生的危险因素，为肥胖症的预防和治疗提供了理论基础。
三、非线性回归模型的优缺点及其应用前景1. 优点（1）能够建立更复杂的函数关系，提高预测的准确性和可靠性；（2）能够反映真实情况中的非线性关系，更符合实际应用场景。
2. 缺点（1）运算过程比较复杂，时间成本较高；（2）需要对预测结果做进一步的验证。
3. 应用前景随着医疗数据的日益增长，非线性回归模型在医疗数据分析中的应用前景越来越广阔。
尤其是在寻找疾病危险因素、预测药物治疗的疗效、预测疾病的发生概率等方面，非线性回归模型能够为临床医疗决策提供精确、可靠的支持。
总之，非线性回归模型在医疗数据分析中的应用研究具有重要的理论意义和实践价值。
第八讲非线性回归分析
线性对数回归函数
因为该模型中Y是对数形式而X不是， 所以有时称它为对数线性模型。
如何理解β1的含义
在线性对数模型中， β1 表示X变化1个 单位引起Y的变化为(100*β1)%。
推导：我们考察自变量X变化∆X的过程。
此时： f ( X X ) f ( X ) ln(Y Y ) ln(Y ) ( Y ) Y
对数形式
对数形式经常用于表示变量的百分率变 化。例如：
在消费者需求的经济分析中，通常假定 价格上涨1%导致需求量下降一定的 百 分率。称价格上涨1%引起的需求下降 百分率为价格弹性(elasticity)。
对数形式是经济学中最常用的形式，广泛地应用在 各个领域中：
例如：在宏观经济学中，我们如果想研究投资的增
但当回归函数为非线性时，由于Y的预期 变化依赖于自变量的取值，因此其计算 较复杂。
我们假定非线性总体回归的一般公式为
书中的两个例子
1。地区收入从10----11（单位是千美 元）
2。地区收入从40----41
Yˆ (607.3 3.8511 0.0423112 ) (607.3 3.8510 0.0423102 ) 2.96 Yˆ (607.3 3.85 41 0.0423 412 ) (607.3 3.85 40 0.0423 402 ) 0.42
可以看出，income对testscore的弹性 逐渐变小。
效应估计的标准误差
在上例中
利用多元回归建立非线性模型的 一般方法
(1)确定一种可能的非线性关系。最佳做法 是利用经济理论和你对实际应用的了解提出 一种可能的非线性关系。在看数据之前，问 自己联系Y和X的回归函数斜率是否依赖于X 或其他自变量的取值。
当d1=0(男性) 对Y的效应为β2 当d1=1(女性) 对Y的效应为β2+β3
计量经济学_詹姆斯斯托克_第8章_非线性的回归模型
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$11,000（或者 10%）。
则 TestScore 增加大约 0.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
第23讲 非线性回归方程(解析版)
第23讲 非线性回归方程一、必备秘籍当经验回归方程并非形如y bx a =+(,a b R ∈）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下：1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；5.消去新元，得到非线性经验回归方程；6.得出结果后分析残差图是否有异常 ． 二、例题讲解1．（2021·全国高三专题练习（文））人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB (1TB =1024GB )级别跃升到PB (1PB =1024TB )，EB (1EB =1024PB )乃至ZB (1ZB =1024EB )级别.国际数据公司(IDC )研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49ZB ，2009年数据量为0.8ZB ，2010年增长到1.2ZB ，2011年数据量更是高达1.82ZB .下表是国际数据公司(IDC )研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB )及相关统计量的值：表中ln i i z y =，16i i z z ==∑.（1）根据上表数据信息判断，方程21c xy c e =⋅(e 是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y 关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程(2c 精确到0.01).（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据： 4.5695.58e ≈， 4.5897.51e ≈，回归方程y a bx =+中，斜率最小二乘法公式为()()()1122211n niii ii i nniij i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1） 1.520.38x y e +=；（2）见解析. 【分析】（1）设ln z y =，则12ln z c c x =+，再根据参考数据及公式即可得解（2）先将8x =代入得预计2021年数据量，进而和2011年的50倍比较大小即可得解 【详解】（1）由21c xy c e =⋅，两边同时取自然对数得()2112ln ln ln c x y c e c c x =⋅=+，设ln z y =，则12ln z c c x =+. 因为 3.5x =， 2.85z =，()62117.58i i x x=-=∑，()()616.7.i i i x x z z =--=∑，所以()()()12216.730.3817.58niii nij x x z z c x x ==--==≈-∑∑，12ln 2.850.38 3.5 1.52c z c x =-=-⨯=.所以 1.520.38ln z x y =+=， 所以 1.520.38x y e +=；（2）令8x =，得 1.520.388 4.56ˆ95.58 1.825091ye e +⨯==≈>⨯=. 预计2021年全世界产生的数据规模会超过2011年的50倍. 【点睛】关键点点睛：对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也要注意相应数据的变化.((11ii nj x b ===∑∑再直接选择数据，字母x 没有((11n ii nj x b ===∑∑参考数据总选择需要的数据代入计算。
非线性回归分析常见曲线及方程)
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S 型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的 回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1. 双曲线1b a y x =+2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a /e b x 其中a>0， 7.S 型曲线(Logistic) 1e x y a b -=+ 8.对数曲线 y=a+b log x,x >0 9. 指数曲线y =a e bx 其中参数a >01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta ，r ，J]=nlinfit （x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool （x ，y ，’model’, beta0，alpha ）2．预测和预测误差估计：[Y ，DELTA]=nlpredci （’model’, x，beta ，r ，J ）求nlinfit 或lintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性水平为1-alpha 的置信区间Y ，DELTA.例2 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s关于t 的回归方程2ˆct bt a s++=. 解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a /e b x ，建立M 文件volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.5910.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化。
《非线性回归》课件
挑战与未来发展趋势
• 数据收集和质量 • 参数估计和模型拟合 • 算法选择和性能评估 总结当前非线性回归面临的挑战，并展望其未来发展的趋势和应用前景。
3
Dropout
解释dropout技术如何防止过拟合，并提升模型的泛化能力。
4
Early Stopping
介绍early stopping方法来优化非线性回归模型的训练过程。
实例分析：Pytho n 实现
通过Python编程语言示例，演示如何使用非线性回归模型来解决实际问题。
非线性回归的应用案例
指数回归
1 背景
探索指数回归模型在描述 增长趋势时的优势。
2 应用
介绍指数回归在经济、生 物、市场等领域的实际应 用案例。
3 模型拟合
讨论如何通过最小二乘法 获取指数回归模型的参数。
对数回归
数学基础
介绍对数函数和对数回归模型的 数学原理。
金Байду номын сангаас市场预测
探索对数回归在金融市场预测中 的应用案例。
生物医学领域
非线性回归
探索非线性回归的概念、应用场景和解决方案。比较线性回归与非线性回归 的区别，并介绍求解非线性回归模型的最小二乘法。
多项式回归
1
简介
利用多项式函数逼近非线性关系，探索多项式回归的应用和优缺点。
2
示例
通过案例研究，展示如何使用多项式回归模型来拟合实际数据。
3
拟合度
介绍如何选择合适的多项式阶数以获得最佳拟合度。
展示对数回归在生物医学领域中 用于研究和分析的实际应用。
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例如：研究“性别”、“学历”对“收入”的 影响：
Y 0 1D1 2D2 u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
三、自变量之间的交互作用
1、两个二元变量间的交互作用 交互回归（interaction regression）：
参数含义： X改变1单位引进Y变化百分之几？
二、对数回归
3、双对数模型
Ln(Y ) 0 1Ln( X ) u
参数含义： X改变1%引进Y变化百分之几？
二、对数回归
3、双对数模型
注意： 在对变量做对数变换时，该变量的
取值不能出现“负数”！
好在经济变量中通常没有负数出现。
三、自变量之间的交互作用
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
模型1：
Ln(Y ) 0 1X 2D u
Y——收入； X——工作经验（连续） D——学历（大学学历取1，否则取0）
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
LnY
X
模型1：截距不同，斜率相同。
三、自变量之间的交互作用
Y 0 1D1 2D2 3 (D1 * D2 ) u
学历因素对人们收入的影响；
2 3D1
三、自变量之间的交互作用
1、两个二元变量间的交互作用
例如：
Y 664.118.2* D1 1.9D2 3.53(D1 * D2 )
Y——考试成绩； D1——教师学生比（比值>20取1，否则0：） D2——英语学习者的比例（比值>10%取1，否则0 ）
• Logistic回归 • 负指数回归 • 。。。
四*、非线性回归（参数非线性）
• 负指数回归
Y 0[1 e1( X 2 ) ] u
四*、非线性回归（参数非线性）
• 一般性的形式
Y f ( X 0 , X1,...X k , 0, 1,...m ) u
四*、非线性回归（参数非线性）
（1）阶数怎么确定？ （2）多项式的本质——泰勒展开 （3）多项式回归的参数意义
二、对数回归
1、线性对数模型 2、对数线性模型 3、双对数模型
二、对数回归
1、线性对数模型
Y 0 1Ln( X ) u
参数含义： X改变1%引进Y变化多大？
二、对数回归
2、对数线性模型
Ln(Y ) 0 1X u
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
LnY
X
模型3：截距相同，斜率不同。
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用 问题：如何确定模型的形式？
答案：先用“模型2”做回归，然后进行显著性源自检验。三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用 问题：如何确定模型的形式？
非线性的回归函数
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性函
数形式。 （2）非线性的回归
参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
• 形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
• 非线性最小二乘法
• 基本思想一样 • 没有一般公式，只有计算机数值处理。
Ln(Y ) 682.2 0.97 * X 5.6* D 1.28(X * D) u (11.9) (0.59) (19.5) (1.28)
使用F检验；t检验
三、自变量之间的交互作用
3、两个连续变量的交互作用
Ln(Y ) 0 1X1 2 X 2 3 ( X1 * X 2 ) u
四*、非线性回归（参数非线性）
2、连续变量与二元变量间的交互作用 模型2：
Ln(Y ) 0 1X 2D 3( X * D) u
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
LnY
X
模型2：截距不同，斜率不同。
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用 模型3：
Ln(Y ) 0 1X 2 ( X * D) u