非参数回归介绍
高斯过程回归模型原理
高斯过程回归模型原理高斯过程回归模型原理1. 引言•高斯过程回归（Gaussian Process Regression，简称GPR）是一种非参数的回归方法，它可以用于建立输入和输出之间的任意复杂关系模型。
•GPR的原理基于高斯过程（Gaussian process），它是一种用于建模无限维随机变量的概率分布方法。
2. 高斯过程基础•高斯过程是一组随机变量的集合，其中任意有限个变量服从多元高斯分布。
•高斯过程可以描述随机函数的分布，每一个函数都是从高斯过程中随机抽样得到的。
3. 高斯过程回归模型•在GPR中，我们希望通过一组已知输入和输出的数据点，来建立输入和输出之间的映射关系，从而实现对未知数据点的预测。
•假设我们有一组已知的输入数据集X和对应的输出数据集Y，其中X是一个n维向量的集合，Y是一个一维向量的集合。
•我们可以假设输入和输出之间的关系服从一个高斯过程，即Y服从一个多元高斯分布。
•高斯过程回归模型的目标是通过已知数据点来估计未知数据点的输出，并且给出一个关于估计误差的概率分布。
4. 高斯过程回归模型的建立•为了建立高斯过程回归模型，我们首先需要确定一个合适的核函数（Kernel function），用于衡量输入数据之间的相似性。
•常用的核函数包括线性核、多项式核、高斯核等，每个核函数都有一组特定的超参数。
•在确定了核函数后，我们可以基于已知数据点的输入和输出，通过最大似然估计或最大后验估计来估计模型的超参数。
•估计得到的超参数可以用于计算未知数据点输出的均值和方差，并且给出一个置信区间。
5. 高斯过程回归模型的预测•通过已知数据点估计得到的超参数可以用于计算未知数据点输出的均值和方差。
•预测结果的均值为输入数据点在高斯过程中的条件期望值，而预测结果的方差可以衡量预测的不确定性。
•我们可以基于预测结果的方差来确定一个置信区间，以评估预测结果的可靠性。
6. 总结•高斯过程回归模型是一种强大的回归方法，能够处理非线性、非参数的数据建模问题。
高斯过程回归模型及其应用
高斯过程回归模型及其应用高斯过程回归（Gaussian Process Regression，简称GPR）是一种非参数的回归方法，它利用高斯过程对未知的函数进行建模和预测。
这一模型在许多领域都有广泛的应用，包括机器学习、统计学、金融等。
一、高斯过程回归模型简介高斯过程回归模型是一种基于贝叶斯推断的回归方法。
它假设观测数据是从一个高斯过程中采样得到的，通过观测数据来推断出高斯过程的参数，从而进行预测。
高斯过程是一种随机过程，可以被完全描述为一个均值函数和一个协方差函数。
给定一组输入数据和相应的输出数据，我们可以通过计算高斯过程的均值函数和协方差函数来建立回归模型。
二、高斯过程回归模型的推断在高斯过程回归中，我们首先需要选择一个适当的高斯过程模型，然后通过给定的观测数据来进行推断。
具体而言，我们需要定义高斯过程的均值函数和协方差函数。
常用的高斯过程模型包括线性模型、多项式模型、核函数模型等。
根据应用场景选择合适的模型。
在推断过程中，我们需要根据观测数据计算出高斯过程的均值和协方差。
然后，利用观测数据和高斯过程的先验概率计算出后验概率，从而得到预测结果。
三、高斯过程回归模型的应用高斯过程回归模型在许多领域都有广泛的应用。
1. 机器学习：高斯过程回归模型可以用于回归问题，如房价预测、股票预测等。
通过建立高斯过程回归模型，我们可以利用历史数据来预测未来的趋势。
2. 统计学：高斯过程回归模型可以用于拟合数据和估计未知参数。
它提供了一种灵活的回归方法，可以适应不同的数据分布和模型假设。
3. 金融：高斯过程回归模型可以用于金融风险评估和投资组合优化。
通过建立高斯过程回归模型，我们可以预测金融资产的价值和波动性，从而制定合理的投资策略。
四、总结高斯过程回归模型是一种非参数的回归方法，它利用高斯过程对未知的函数进行建模和预测。
通过选择适当的高斯过程模型，并进行推断和预测，我们可以在机器学习、统计学和金融等领域中应用该模型。
非参数回归模型资料
非参数回归模型非参数回归模型非参数回归模型也叫多元回归模型，它是一种脱离于混沌理论的多条路段分析方法。
它是对当前路段和几条相邻路段的交通流信息对当前路段进行交通流预测的单条路段分析的扩展。
它不需要先验知识，只需要有足够的历史数据即可。
它的原理是：在历史数据库中寻找与当前点相似的近邻，并根据这些近邻来预测下一时间段的流量。
该算法认为系统所有的因素之间的内在联系都蕴含在历史数据中，因此直接从历史数据中得到信息而不是为历史数据建立一个近似模型。
非参数回归最为一种无参数、可移植、预测精度高的算法，它的误差比较小，且误差分布情况良好。
尤其通过对搜索算法和参数调整规则的改进，使其可以真正达到实时交通流预测的要求。
并且这种方法便于操作实施，能够应用于复杂环境，可在不同的路段上方便地进行预测。
能够满足路网上不同路段的预测，避免路段位置和环境对预测的影响。
随着数据挖掘技术左键得到人们的认可和国内外学者的大量相关研究，使得非参数回归技术在短时交通流预测领域得到广泛应用。
非参数回归的回归函数()X g Y =的估计值()X g n 一般表示为：()()∑==n i i i i n Y X W X g 1其中，Y 为以为广策随机变量；X 为m 维随机变量；（Xi,Yi ）为第i 次观测值，i=1,...,n ；Wi(Xi)为权函数.非参数回归就是对g(X)的形状不加任何限制，即对g （X ）一无所知的情况下，利用观测值（Xi,Yi ），对指定的X 值去估计Y 值。
由于其不需要对系统建立精确的数学模型，因此比较适合对事变的、非线性的系统进行预测，符合对城市交通流的预测，同时可以与历史平均模型实现优缺点的互补。
K 近邻法Friedman 于1977年提出了K 近邻法。
其并不是让所有的数据都参与预测，而是以数据点到X 点的距离为基础，甲醛是只有离X 最近的K 个数据被用来估计相应的g(X)值。
可以引入欧式空间距离d ，然后按这个距离将X1，X2，...,Xn 与X 接近的程度重新排序：Xk1,...,Xkn,取权值如下：Wki(X:X1,...,Xn)=ki,i=1,..,n将与X 最近的前K 个观测值占有最大的权K=1，其余的观测值赋予权值k=0.最终得到应用于短时交通流预测的K 近邻法可表示为：()()()()K t V t V g t V K i i ∑=+==+111 其中，K 为所选取最邻近元素的个数，取值大小依赖于数据。
非参数回归的介绍
非参数回归的介绍非参数回归是一种机器学习方法，用于建立数据之间的关系模型，而不依赖于预设模型的形式。
与传统的线性回归相比，非参数回归不对模型的形状施加任何限制，而是根据数据本身的分布情况来估计模型。
这使得非参数回归能够更好地适应各种类型的数据，包括非线性、非正态分布等等。
非参数回归的核心思想是基于样本数据的分布情况来估计目标函数。
传统的线性回归假设目标函数是线性的，并且通过最小二乘法来拟合数据和估计参数。
然而，这种假设可能无法满足真实世界中复杂的非线性关系，因此非参数回归通过灵活的模型拟合方法来解决这个问题。
在非参数回归中，我们通常使用核函数来逼近目标函数。
核函数是一个局部加权回归方法，它将目标函数估计为一些核函数在样本点附近的加权线性组合。
核函数的具体形式可以是高斯核、三角核、Epanechnikov核等。
这些核函数都有一个特点，即在样本点附近有较高的权重，而在样本点远离的地方权重则较低。
另一个非参数回归的优点是它不需要预先假设数据的分布。
线性回归通常假设数据是正态分布的，但在现实中往往无法满足这个假设。
非参数回归可以通过直接根据数据本身的分布情况进行估计，而不需要预设模型的形式。
这使得非参数回归更对真实数据的特点进行建模。
非参数回归还经常用于探索性数据分析和模型评估。
通过非参数回归，我们可以揭示变量之间的复杂关系，获得对目标函数的更深入的理解。
此外，在模型评估中，非参数回归可以用作基准模型，以便与其他模型进行比较和评估。
然而，非参数回归也存在一些局限性。
首先，非参数回归可能需要大量的计算资源，特别是对于大规模的数据集来说。
由于没有预设模型的形式，非参数回归需要在整个数据集上进行计算以估计模型参数，这在计算上是非常昂贵的。
此外，由于非参数回归没有对模型进行约束，可能容易出现过拟合问题。
为了解决这些问题，可以采取一些方法来提高非参数回归的性能。
一种方法是将非参数回归与其他技术结合使用，例如局部加权回归、岭回归等。
非参数统计分析
非参数统计分析是指不需要任何假设的情况下，对数据进行分析和处理的方法。
相对于参数统计分析，更加灵活和适用于更广泛的数据集。
在中，我们通常使用基于排列和重抽样方法的统计分析，这些方法在处理离散和连续的数据集时都十分有效。
如何进行1. 非参数检验非参数检验方法不要求数据满足特定的分布，通常分为两类：①秩和检验秩和检验是比较两组数据的中位数是否相等。
对于小样本来说，一般采用Wilcoxon签名检验。
而对于大样本，通常会使用Mann Whitney U检验。
②秩相关检验秩相关检验是比较两个或多个变量的相关性关系。
这种类型的检验最常用的是Spearman秩相关系数和Kendall Tau秩相关测试。
2. 非参数估计器由于非参数统计方法不依赖于任何先验假设，因此非参数估计器在数据少或均值和方差无法准确估计的情况下较为常用。
在非参数估计器中，常用的方法有：①核密度估计核密度估计通常是数据分析和可视化的首选。
它能够获得不同分布的概率密度函数的非参数估计器。
②基于距离的方法基于距离的方法通常使用K近邻算法或半径最邻近算法来估计密度。
这种方法特别适合于计算高维数据的密度估计。
3. 非参数回归非参数回归是一种灵活的模型，他用于数据挖掘过程中的最复杂部分。
与标准回归技术不同，非参数回归方法不需要数据满足任何特定分布。
在非参数回归中，主要的方法有：①核回归在核密度估计和非参数回归中使用的是相同的核函数。
相对于线性回归方法，核回归更加灵活，适用于非线性分布的数据。
②局部回归局部回归的本质是计算小范围或子集内的平均值，并在这些平均值上拟合局部模型。
这种方法特别适用于非线性回归和数据样本集的大小不规则的情况。
非参数统计优势非参数统计方法的最大优势在于能够在没有特定假设下应用于任何样本集，这使得无需预先了解数据的分布和性质。
此外，非参数统计方法还有其他的优势，如：1. 不受异常数据的影响：统计方法通常受异常数据的影响较大，但非参数统计方法不会使结果发生显著的变化。
回归分析中的广义加法模型应用技巧(五)
回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用来探索自变量和因变量之间的关系。
在回归分析中，广义加法模型（Generalized Additive Model, GAM）是一种常用的非参数回归方法，它可以灵活地处理非线性关系，同时可以控制其他变量的影响，使得模型更加准确和可解释。
本文将介绍回归分析中的广义加法模型的应用技巧，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。
回归分析是一种用来探索变量之间关系的方法。
在实际应用中，通常会有多个自变量同时影响因变量，而且它们之间的关系可能是非线性的。
传统的线性回归模型可以很好地处理线性关系，但对于非线性关系的拟合能力有限。
这时，广义加法模型就能够发挥其优势。
广义加法模型是一种非参数回归方法，它通过对自变量的非线性部分进行平滑处理，从而能够更好地拟合非线性关系。
在GAM中，每个自变量的作用被建模为一个非参数的平滑函数，这使得模型能够更好地适应非线性关系。
此外，GAM还可以对连续变量、离散变量和交互作用进行灵活建模，从而更好地控制其他变量的影响。
在实际应用中，广义加法模型有一些应用技巧需要注意。
首先，对于连续型自变量，可以选择不同的平滑函数来对其建模。
常用的平滑函数包括自然样条、样条平滑和 LOESS 等。
选择适当的平滑函数可以使模型更准确地拟合数据。
其次，对于离散型自变量和交互作用，可以使用适当的转换方法来进行建模，比如使用虚拟变量对离散型自变量进行编码，使用乘积项来建模交互作用。
这些方法可以帮助模型更好地捕捉变量之间的复杂关系。
此外，广义加法模型的参数估计通常使用的是广义交叉验证（Generalized Cross Validation, GCV）或最小二乘交叉验证（Least Squares Cross Validation, LSCV）等方法，以选择适当的平滑参数。
在实际应用中，需要根据数据情况选择合适的交叉验证方法，并结合模型的拟合效果来进行参数的选择。
在应用广义加法模型时，还需要注意模型的解释和诊断。
核密度估计和非参数回归
核密度估计和⾮参数回归你可能听说过核密度估计(KDE：kernel density estimation)或⾮参数回归（non-parametric regression）。
你甚⾄可能在不知不觉的情况下使⽤它。
⽐如在Python中使⽤seaborn或plotly时，distplot就是这样，在默认情况下都会使⽤核密度估计器。
但是这些⼤概是什么意思呢?也许你处理了⼀个回归问题，却发现线性回归不能很好地⼯作，因为特性和标签之间的依赖似乎是⾮线性的。
在这⾥，核回归（kernel regression）可能是⼀种解决⽅案。
在这篇⽂章中，我们通过⽰例，并试图对内核估计背后的理论有⼀个直观的理解。
此外，我们还看到了这些概念在Python中的实现。
核回归图1:全球⾕歌搜索“chocolate”;x轴:时间，y轴:搜索百分⽐让我们从⼀个例⼦开始。
假设你是⼀个数据科学家，在⼀家糖果⼯⼚的巧克⼒部门⼯作。
你可能想要预测巧克⼒的需求基于它的历史需求，作为第⼀步，想要分析趋势。
2004-2020年的巧克⼒需求可能类似于图1中的数据。
显然，这是有季节性的，冬天的需求会增加，但是由于你对趋势感兴趣，你决定摆脱这些波动。
为此，你可以计算窗⼝为b个⽉的移动平均线，也就是说，对于每⼀个时刻t，你计算从t-b到t+b的时间段内需求的平均值。
更正式地说，如果我们有⼀段时间内观察到的数据X(1)，…，X(n)，即⼀个时间序列，窗⼝为b的移动平均值可以定义为从下图（图2）中可以看出，移动平均值是原始数据的平滑版本，平滑程度取决于带宽。
带宽越⼤，函数越平滑。
图2:窗⼝带宽为6、24和42的移动平均;x轴:时间，y轴:搜索百分⽐带宽的选择⾄关重要，但不清楚如何选择带宽。
如果带宽太⼩，我们可能⽆法摆脱季节性波动。
如果带宽太⼤，我们可能⽆法捕捉到趋势。
例如，如果我们选择带宽b = 0，则具有原始数据及其季节性。
相反，如果b = n，我们仅获得所有观测值的平均值，⽽看不到任何趋势。
nadaraya-watson 指标
文章标题：探讨Nadaraya-Watson指标：从简单到复杂的深度解读一、引言在统计学和机器学习领域，Nadaraya-Watson（NW）指标是一种非参数回归方法，通常用于对数据进行平滑处理和预测。
与其他经典的回归方法相比，NW指标具有很高的灵活性和适应性，能够处理非线性关系并适用于各种类型的数据。
本文将从简单到复杂，从浅入深地探讨NW指标的原理、应用和意义，为读者深入理解这一重要的指标提供帮助。
二、NW指标的基本原理在介绍NW指标的基本原理之前，我们首先要了解什么是非参数回归方法。
非参数回归方法是一种不依赖于特定函数形式的回归分析方法，它通过对数据进行灵活的拟合，从而更好地捕捉数据的特征。
而NW指标则是其中的一种经典方法，其基本原理在于根据已知样本的特征，通过核函数来进行预测。
具体而言，NW指标将每个样本的特征作为自变量，根据核函数的权重来对目标变量进行预测，从而实现对数据的平滑处理和预测。
三、NW指标的应用领域NW指标在实际应用中具有广泛的应用领域。
它常常用于自然科学和社会科学中对数据进行分析和预测。
在地质学领域，可以利用NW指标对地震数据进行预测和分析；在经济学领域，可以利用NW指标对经济指标进行分析和预测。
NW指标也被广泛应用于医学和生物学领域的数据处理和分析中，能够帮助研究人员更好地理解实验数据的规律和趋势。
NW指标还被用于金融领域的数据分析和预测，可以帮助分析师更好地理解股市和汇市的走势。
四、NW指标的意义及个人观点从我个人的角度来看，NW指标在数据分析和预测领域具有重要的意义。
它能够对非线性关系的数据进行良好的拟合，从而更好地捕捉数据的特征和规律。
NW指标具有较高的灵活性和适应性，适用于各种类型的数据，并且不依赖于特定的函数形式，这使得它在实际应用中更加具有优势。
而且，我认为未来随着数据科学和机器学习的飞速发展，NW指标将在更多领域发挥重要作用，成为一个不可或缺的工具。
五、总结与展望本文从基本原理、应用领域和个人观点等方面对NW指标进行了全面深入的探讨。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非参数回归介绍
9
局部回归
1.核回归（核光滑）
（1）N-W估计
由Nadaraya(1964) 和 Watson(1964)分别提出， 形式：
n
m ˆhNW(x)
Kh(xXi)
j1
能够写成：
Rˆ(h)1 h
n i1
Yi
2
1mˆLh(iixi)
这里 Lii i (xi ) 是光滑矩阵L的第i个对角线元素
广义交叉验证(generalized cross-validation,GCV)
GCV(h)1hi n1Yi1m ˆh/(nxi)2
n
其中： /n n1 Lii i 1
非参数回归介绍
6
光滑参数的选取
缺一交叉验证方法(leave-one-out cross validation , CV)
C VR ˆ(h)1 ni n1[Y i m ˆ(i)h(xi)]2
这里 mˆ ( i)h ( x ) 是略去第i个数据点后得到的函数估计
交叉验证的直观意义：
E ( Y i m ˆ ( i ) h ( x i ) ) 2 E ( Y i m ( x i ) m ( x i ) m ˆ ( 1 ) h ( x i ) ) 2
缺点：(1).回归函数的形式预先假定 (2).模型限制较多：一般要求样本满足某种分布要求，随机误差满足
正态假设，解释变量间独立，解释变量与随机误差不相关，等 (3)需要对模型的参数进行严格的检验推断，步骤较多 (4).模型泛化能力弱，缺乏稳健性，当模型假设不成立，拟合效果
不好，需要修正或者甚至更换模型
据拟合的回归曲线能够最好的逼近真实的回归曲线(即达到风险
最小)Байду номын сангаас这里真实回归函数m(x)一般是未知的。
可能会想到用平均残差平方和来估计风险R(h)
1
n
n
[Yi
i1
mˆh (xi )]2
但是这并不是一个好的估计，会导致过拟合（欠光滑）， 原因在于两次利用了数据，一次估计函数，一次估计风险。 我们选择的函数估计就是使得残差平方和达到最小，因此 它倾向于低估了风险。
(1)模型为随机设计模型,样本观测 (X i, Yi)~iid
m (x)E (Y|Xx)
(2)模型为固定设计模型 Xi 为R中n个试验点列, i=1,2,…,n Yi为固定Xi的n次独立观测，i=1,2,…,n m(x)为为一未知函数，用一些方法来拟合
定义：线性光滑器(linear smoother)
非参数回归：
优点；(1)回归函数形式自由，受约束少，对数据的分布一般不做任何要求
(2)适应能力强，稳健性高，回归模型完全由数据驱动
(3)模型的精度高 ;(4)对于非线性、非齐次问题，有非常好的效果
缺点：(1)不能进行外推运算,(2)估计的收敛速度慢
(3)一般只有在大样本的情况下才能得到很好的效果，
而小样本的效果较差
Boxcar核： Gaussian核： Epanechnikov核：
tricube核：
K(x)1/2I(x)
I ( x ) 为示性函数
K(x)1/ 2 ex2/2
K(x)3/4(1x2)I(x)
K (x)7 0/8 1 (1 |x|3)3I(x)
非参数回归介绍
4
回归模型： Ym(x) E0,Var()2
相关文献可以参考：
Wolfgang Härdle(1994)，Applied Nonparametric Regression，
Berlin Jeffrey D.Hart (1997), Nonparametric Smoothing and Lack-
of-Fit Tests， Springer Series in Statistics 李竹渝、鲁万波、龚金国(2007)，经济、金融计量学中的非
处理高维的非参数方法：多元局部回归、薄片样条、 可加模型、投影寻踪、 回归树、张量积，等
非参数回归介绍
3
核函数K ：函数K(.)满足: K(x) 0
( 1 ) K(x)dx 1 ( 2 ) xK(x)dx0
( 3 )
K 2 x2K (x)dx
2
( 4 ) cK K(x) dx
常见的核函数：
E(Yi m(xi))2 E(m(xi)mˆ(1)h(xi))2
2 E(m(xi)mˆ(1)h(xi))2 2 E(m(xi)mˆh(xi))2
因此：E (R ˆ(h ))2 R 预 测 风 险
非参数回归介绍
7
光滑参数的选取
n
定理：若 mˆh(x)
j (x)Yj
那么缺一交叉验证得分 Rˆ ( h )
非参数回归简介
A brief introduction to nonparametric regression
非参数回归介绍
1
参数回归与非参数回归的优缺点比较：
参数回归：
优点：(1).模型形式简单明确，仅由一些参数表达 (2).在经济中，模型的参数具有一般都具有明确的经济含义 (3).当模型参数假设成立，统计推断的精度较高，能经受实际检验 (4).模型能够进行外推运算 (5).模型可以用于小样本的统计推断
tr(L) 为有效自由度
非参数回归介绍
8
光滑参数的选取
其他标准 (1)直接插入法(Direct Plug-In , DPI)
(2)罚函数法(penalizing function)
(3)单边交叉验证(One Sided Cross Validation，OSCV)
(4)拇指规则(Rule Of Thumb)
(4)高维诅咒, 光滑参数的选取一般较复杂
非参数回归介绍
2
归局
非
部
核回归：N-W估计、P-C估计、G-M 估局部计多项式回归：线性、多项式
参 数
回
近邻回归：k-NN、k近邻核、对称近 邻稳健回归：LOWESS、L光滑、R光滑、M 光滑
回
样条光滑
光滑样条：光滑样条、B样条
归
正交级数光滑
方
正交回归
法
Fourier级数光滑 wavelet光滑
m(x) li(x)Yi
i
非参数回归介绍
5
光滑参数的选取
风险(均方误差) (mean squared error , MSE)
R(h)E1 ni n1[m ˆh(xi)m(xi)]2
mˆ h ( x ) 是 m ( x ) 的估计，h是光滑参数，称为带宽或窗宽
理想的情况是希望选择合适的光滑参数h，使得通过样本数