非参数回归模型与半参数回归模型
非参数回归模型与半参数回归模型
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型第一节 非参数回归与权函数法一、非参数回归概念前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。
参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。
另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。
它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。
设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。
在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1）为Y 对X 的回归函数。
我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L-=-（7.1.2）这里L 是关于X 的一切函数类。
当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。
细心的读者会在这里立即提出一个问题。
既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。
实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。
正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。
在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。
所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。
用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。
二、权函数方法非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。
这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。
也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式：∑==ni i i n Y X W X g 1)()(（7.1.3）其中｛W i (X )｝称为权函数。
非参数计量经济模型及其应用
hn− d EK r (( X i − x ) / hn ) = f ( x ) ∫ K r (Q )dQ + o(1)
定理 2.1 在条件 2.1 下，
ˆ ( x )] = f ( x ) + hn μ ( K )tr{Η ( x )} + o(h 2 ) E[ f n 2 f n 2
ˆ ( x )] = n −1h − d R ( K ) f ( x ) + o(n −1h − d ) + O(n −1 ) Var[ f n n n
ˆ )) 2 + Var( f ˆ )]dx 达 最 小 。 由 核 估 计 的 性 质 (1) 和 (2) 知 ， AMISE = ∫ [(Bias( f
4 ，此时， AMISE ≈ c1hn + c2 (nhn ) −1 ，所以，最佳的窗宽选择为 hn = cn −1 / 5（其中 c 为某常数）
AMISE = O(n −4 / 5 ) 。可见，核估计在内点处的收敛速度为 O(n −2 / 5 ) 。应用最佳的理论窗
宽 hn = cn −1 / 5 ，必须先估计 c ，而对 c 进行会产生偏差，所以，最佳的窗宽的选择在实际 应用中是不断地调整 c ，使得采用窗宽 hn = cn −1 / 5 的核估计达到满意的估计结果。 由核估计的性质(5)可知，置信水平为 95％的 f ( x) 的一个置信区间为
ˆ ± 1.96(nh ) −1/ 2 [ R( K ) f ˆ ]1/ 2 f n
(1.6)
1.3
多元密度函数的核估计
设 d 维 随 机 变 量 向 量 序 列 X1 , X 2 ,
定 义 1.1
, Xn 独立同分布，密度函数
f ( x ) = f ( x1 ,
非参数回归模型及半参数回归模型
非参数回归模型及半参数回归模型非参数回归模型是一种可以适应任意数据分布的回归方法。
在非参数回归中，不对模型的具体形式进行假设，而是利用样本数据去估计未知的函数形式。
这个函数形式可以用其中一种核函数进行近似，通过核函数的变换，使得样本点在空间中有一定的波动，从而将研究对象与有关因素的关系表达出来。
常见的非参数回归模型有局部加权回归（LOESS）和核回归模型。
局部加权回归是一种常见的非参数回归方法。
它通过给样本中的每个点分配不同的权重来拟合回归曲线。
每个点的权重根据其距离目标点的远近来确定，越近的点权重越大，越远的点权重越小。
这种方法在回归分析中可以较好地处理非线性关系和异方差性问题。
核回归模型是另一种常见的非参数回归方法。
它基于核函数的变换，通过将样本点的权重表示为核函数在目标点的取值，来拟合回归曲线。
核函数通常具有对称性和非负性的特点，常用的核函数有高斯核、Epanechikov核和三角核等。
核回归模型在处理非线性关系和异方差性问题时也具有较好的性能。
相比之下，半参数回归模型是在非参数回归的基础上引入一些参数的回归模型。
它假设一些参数具有一定的形式，并利用样本数据进行估计。
半参数模型可以更好地描述数据之间的关系，同时也可以提供关于参数的统计推断。
半参数回归模型有很多不同的形式，其中一个常见的半参数回归模型是广义加性模型（GAM）。
广义加性模型是通过将各个变量的函数关系进行加总，构建整体的回归模型。
这些函数关系可以是线性的也可以是非线性的，可以是参数化的也可以是非参数化的。
广义加性模型在回归分析中可以同时考虑到线性和非线性关系，广泛应用于各个领域。
在实际应用中，选择使用非参数回归模型还是半参数回归模型需要根据具体情况来决定。
非参数回归模型适用于对数据分布没有先验假设，并且希望对数据进行较为灵活的建模的情况。
半参数回归模型适用于对一些参数有一定假设的情况，可以更好地描述数据之间的关系，并提供统计推断的信息。
用R语言做非参数和半参数回归笔记.docx
由詹鹏整理 ,仅供交流和学习根据南京财经大学统计系孙瑞博副教授的课件修改 ,在此感谢孙老师的辛勤付出！教材为：Luke Keele: Semiparametric Regression for the Social Sciences. John Wiley & Sons, Ltd. 2008.-------------------------------------------------------------------------第一章 introduction: Global versus Local Statistic一、主要参考书目及说明1、Hardle(1994). Applied Nonparametic Regresstion. 较早的经典书2、Hardle etc (2004). Nonparametric and semiparametric models: an introduction. Springer. 结构清晰3、Li and Racine(2007). Nonparametric econometrics: Theory and Practice. Princeton. 较全面和深入的介绍 ,偏难4、Pagan and Ullah (1999). Nonparametric Econometrics. 经典5、Yatchew(2003). Semiparametric Regression for the Applied Econometrician. 例子不错6、高铁梅（2009）. 计量经济分析方法与建模：EVIEWS应用及实例（第二版）. 清华大学出版社. （P127/143）7、李雪松（2008）. 高级计量经济学. 中国社会科学出版社. （P45 ch3）8、陈强（2010）. 高级计量经济学及Stata应用. 高教出版社. （ch23/24）【其他参看原ppt第一章】二、内容简介方法：——移动平均（moving average）——核光滑（Kernel smoothing）——K近邻光滑（K-NN）——局部多项式回归（Local Polynormal）——Loesss and Lowess——样条光滑（Smoothing Spline）——B-spline——Friedman Supersmoother模型：——非参数密度估计——非参数回归模型——非参数回归模型——时间序列的半参数模型——Panel data 的半参数模型——Quantile Regression三、不同的模型形式1、线性模型linear models2、Nonlinear in variables3、Nonlinear in parameters四、数据转换 Power transformation（对参数方法）In the GLM framework, models are equally prone(倾向于) to some misspecification （不规范） from an incorrect functional form.It would be prudent（谨慎的） to test that the effect of any independent variable of a model does not have a nonlinear effect. If it does have a nonlinear effect, analysts in the social science usually rely on Power Transformations to address nonlinearity.[ADD: 检验方法见Sanford Weisberg. Applied Linear Regression (Third Edition). A John Wiley & Sons, Inc., Publication.（本科的应用回归分析课教材）]----------------------------------------------------------------------------第二章Nonparametric Density Estimation非参数密度估计一、三种方法1、直方图 Hiatogram2、Kernel density estimate3、K nearest-neighbors estimate二、Histogram 对直方图的一个数值解释Suppose x1,…xN – f(x), the density function f(x) is unknown.One can use the following function to estimate f(x)【与x的距离小于h的所有点的个数】三、Kernel density estimateBandwidth: h; Window width: 2h.1、Kernel function的条件The kernel function K(.) is a continuous function, symmetric(对称的) around zero, that integrates(积分) to unity and satisfies additional bounded conditions:(1) K() is symmetric around 0 and is continuous;(2) ,,;(3) Either(a) K(z)=0 if |z|>=z0 for z0Or(b) |z|K(z) à0 as;(4) , where is a constant.2、主要函数形式3、置信区间其中 ,4、窗宽的选择实际应用中 ,。
生存时间统计学方法
生存时间统计学方法
生存时间统计学方法主要包括以下几种：
1. 描述性分析：根据样本生存资料估计总体生存率及其他有关指标（如中位生存时间等）。
常采用Kaplan-Meier法（乘积极限法）进行分析。
对于频数表资料则采用寿命表法进行分析。
计算生存率需要考虑时间顺序。
2. 非参数检验：检验分组变量各水平所对应的生存曲线是否一致，对生存时间的分布没有要求，并且检验危险因素对生存时间的影响。
3. 半参数横型回归分析：在特定的假设之下，建立生存时间随多个危险因素变化的回归方程，这种方法的代表是Cox比例风险回归分析法。
4. 参数模型回归分析：已知生存时间服从特定的参数横型时，拟合相应的参数模型，更准确地分析确定变量之间的变化规律。
5. 典型相关分析：相关分析一般分析两个变量之间的关系，而典型相关分析是分析两组变量（如3个学术能力指标与5个在校成绩表现指标）之间相关性的一种统计分析方法。
以上信息仅供参考，具体使用哪种方法需要根据研究目的和数据类型来决定。
非参数回归的介绍
n
ii
tr(L) 为有效自由度
8
光滑参数的选取
其他标准 (1)直接插入法(Direct Plug-In , DPI) (2)罚函数法(penalizing function)
(3)单边交叉验证(One Sided Cross Validation，OSCV) (4)拇指规则(Rule Of Thumb)
但是这并不是一个好的估计，会导致过拟合（欠光滑）， 原因在于两次利用了数据，一次估计函数，一次估计风险。 我们选择的函数估计就是使得残差平方和达到最小，因此 它倾向于低估了风险。
6
光滑参数的选取
缺一交叉验证方法(leave-one-out cross validation , CV)
n 1 2 ˆ ˆ C V R ( h ) [ Y m ( x ) ] i ( i ) h i n i 1
非参数回归简介
A brief introduction to nonparametric regression
1
参数回归与非参数回归的优缺点比较：
参数回归： 优点：(1).模型形式简单明确，仅由一些参数表达 (2).在经济中，模型的参数具有一般都具有明确的经济含义 (3).当模型参数假设成立，统计推断的精度较高，能经受实际检验 (4).模型能够进行外推运算 (5).模型可以用于小样本的统计推断 缺点：(1).回归函数的形式预先假定 (2).模型限制较多：一般要求样本满足某种分布要求，随机误差满足 正态假设，解释变量间独立，解释变量与随机误差不相关，等 (3)需要对模型的参数进行严格的检验推断，步骤较多 (4).模型泛化能力弱，缺乏稳健性，当模型假设不成立，拟合效果 不好，需要修正或者甚至更换模型 非参数回归： 优点；(1)回归函数形式自由，受约束少，对数据的分布一般不做任何要求 (2)适应能力强，稳健性高，回归模型完全由数据驱动 (3)模型的精度高 ;(4)对于非线性、非齐次问题，有非常好的效果 缺点：(1)不能进行外推运算,(2)估计的收敛速度慢 (3)一般只有在大样本的情况下才能得到很好的效果， 而小样本的效果较差 (4)高维诅咒, 光滑参数的选取一般较复杂
非参数回归模型
非参数回归模型非参数回归模型也叫多元回归模型，它是一种脱离于混沌理论的多条路段分析方法。
它是对当前路段和几条相邻路段的交通流信息对当前路段进行交通流预测的单条路段分析的扩展。
它不需要先验知识，只需要有足够的历史数据即可。
它的原理是：在历史数据库中寻找与当前点相似的近邻，并根据这些近邻来预测下一时间段的流量。
该算法认为系统所有的因素之间的内在联系都蕴含在历史数据中，因此直接从历史数据中得到信息而不是为历史数据建立一个近似模型。
非参数回归最为一种无参数、可移植、预测精度高的算法，它的误差比较小，且误差分布情况良好。
尤其通过对搜索算法和参数调整规则的改进，使其可以真正达到实时交通流预测的要求。
并且这种方法便于操作实施，能够应用于复杂环境，可在不同的路段上方便地进行预测。
能够满足路网上不同路段的预测，避免路段位置和环境对预测的影响。
随着数据挖掘技术左键得到人们的认可和国内外学者的大量相关研究，使得非参数回归技术在短时交通流预测领域得到广泛应用。
非参数回归的回归函数()X g Y =的估计值()X g n 一般表示为：()()∑==n i i i i n Y X W X g 1其中，Y 为以为广策随机变量；X 为m 维随机变量；（Xi,Yi ）为第i 次观测值，i=1,...,n ；Wi(Xi)为权函数.非参数回归就是对g(X)的形状不加任何限制，即对g （X ）一无所知的情况下，利用观测值（Xi,Yi ），对指定的X 值去估计Y 值。
由于其不需要对系统建立精确的数学模型，因此比较适合对事变的、非线性的系统进行预测，符合对城市交通流的预测，同时可以与历史平均模型实现优缺点的互补。
K 近邻法Friedman 于1977年提出了K 近邻法。
其并不是让所有的数据都参与预测，而是以数据点到X 点的距离为基础，甲醛是只有离X 最近的K 个数据被用来估计相应的g(X)值。
可以引入欧式空间距离d ，然后按这个距离将X1，X2，...,Xn 与X 接近的程度重新排序：Xk1,...,Xkn,取权值如下：Wki(X:X1,...,Xn)=ki,i=1,..,n将与X 最近的前K 个观测值占有最大的权K=1，其余的观测值赋予权值k=0.最终得到应用于短时交通流预测的K 近邻法可表示为：()()()()K t V t V g t V K i i ∑=+==+111其中，K为所选取最邻近元素的个数，取值大小依赖于数据。
非参数回归模型与半参数回归模型讲解
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型第一节 非参数回归与权函数法一、非参数回归概念前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。
参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。
另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。
它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。
设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。
在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1）为Y 对X 的回归函数。
我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L-=-（7.1.2）这里L 是关于X 的一切函数类。
当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。
细心的读者会在这里立即提出一个问题。
既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。
实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。
正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。
在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。
所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。
用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。
二、权函数方法非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。
这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。
也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式：∑==ni i i n Y X W X g 1)()(（7.1.3）其中｛W i (X )｝称为权函数。
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第七章 非参数回归模型与半参数回归模型第一节 非参数回归与权函数法一、非参数回归概念前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。
参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。
另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。
它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。
设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。
在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1）为Y 对X 的回归函数。
我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L-=-（7.1.2）这里L 是关于X 的一切函数类。
当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。
细心的读者会在这里立即提出一个问题。
既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。
实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。
正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。
在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。
所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。
用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。
二、权函数方法非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。
这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。
也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式：∑==ni i i n Y X W X g 1)()(（7.1.3）其中｛W i (X )｝称为权函数。
这个表达式表明，g n (X )总是Y i 的线性组合，一个Y i 对应个W i 。
不过W i 与X i 倒没有对应关系，W i 如何生成，也许不仅与X i 有关，而且可能与全体的｛X i ｝或部分的｛X i ｝有关，要视具体函数而定，所以W i (X )写得更仔细一点应该是W i (X ；X 1，…,X n )。
这个权函数形式实际也包括了线性回归。
如果i i i X Y εβ+'=，则Y X X X X X ii '''='-1)(ˆβ，也是Y i 的线性组合。
在一般实际问题中，权函数都满足下述条件：1),,;(,0),,;(111=≥∑=n ni i n i X X X W X X X W ΛΛ（7.1.4）如果考虑在第五章介绍的配方回归与评估模型曾有类似条件，不妨称之为配方条件，并称满足配方条件的权函数为概率权。
下面我们结合具体回归函数看权函数的具体形式。
1．核函数法选定R m 空间上的核函数K ，一般取概率密度。
如果取正交多项式则可能不满足配方条件。
然后令∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n i n in in i a X X aX X K X X X W 11/),,;(Λ （7.1.5）显然∑==ni iW11。
此时回归函数就是i ni nj n i n i n i i i Y a X X K a X X K Y X W X g Y ∑∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===111)()(（7.1.6）2．最近邻函数法首先引进一个距离函数，用来衡量R m 空间中两点u = (u 1，…，u m ) 和v = (v 1，…，v m ) 的距离‖u -v ‖。
可以选欧氏距离∑=-=-ni i iuu 122)(||||υυ，也可以选||||max ||||1i i ni u u υυ-=-≤≤。
为了反映各分量的重要程度，可以引进权因子C 1，…,C n ，使｛C i ｝也满足配方条件。
然后将距离函数改进为∑=-=-ni i i i u C u 122)(||||υυ（7.1.7） ||max |||12i i i ni u C u υυ-=-≤≤（7.1.8）现在设有了样本(Y i ，X i )，i =1,…,n ，并指定空间中之任一点X ，我们来估计回归函数在该点的值g (X )。
将X 1，…，X n 按在所选距离‖·‖意义下与X 接近的程度排序：||||||||||||21X X X X X X n k k k -<<-<-Λ（7.1.9）这表示点1k X 与X 距离最近，就赋以权函数k 1；与X 距离次近的2k X 就赋予权函数k 2。
…，等等。
这里的n 个权函数k 1,…,k n 也满足配方条件，并且按从大到小排序，即∑==>≥≥≥ni i n k k k k 1211 ,0Λ（7.1.10）就是n i k X X X W i n k i ,,1 ,),,;(1ΛΛ==（7.1.11）若在｛‖X i -X ‖, i =1,…,n ｝中有相等的，可将这n 个相等的应该赋有的权取平均。
比如若前两名相等，‖X 1-X ‖=‖X 2-X ‖, 就令W 1 = W 2=)(2121k k +。
这样最近邻回归函数就是∑∑∑=======ni ni ni i i i i i n i Y X k Y k Y X X X W X g Y 1111)(),,;()(Λ（7.1.12）k i 尽管是n 个常数，事先已选好，但到底排列次序如何与X 有关，故可记为k i (X )。
三、权函数估计的矩相合性首先解释矩相合性的概念。
如果对样本 (Y i ，X i )，i =1,…,n 构造了权函数W i = W i (X )=W I (X ;X 1,…,X n )，有了回归函数g (X )的权函数估计∑==ni ii n YW X g 1)(，当Y 的r 阶矩存在(E |Y |r <∞)时，若0|)()(|lim =-∞→r n n X g X g E（7.1.13）则称这样的权函数为矩相合的权函数。
在什么样的条件下构造的权函数是矩相合的呢? Stone(1977)提出了很一般的，几乎是充分必要的条件。
下面我们考虑其充分性条件，并限于考虑概率权。
定理7.1.1 设概率权｛W i ｝满足下述条件： (1)存在有限常数C ，使对R m 上任何非负可测函数(连续函数与分段连续函数是最常见的可测函数)f , 必有)()(1X CEf X f W E n i i i ≤⎪⎭⎫⎝⎛∑= （7.1.14）(2)∀ε>0, 当n →∞时，01)||(||−→−∑=≥-P ni X X i i IW ε（7.1.15）(3)当n →∞时，0max 1−→−≤≤Pi ni W （7.1.16）则｛W i ｝是矩相合的权函数。
定理条件可以作一些直观解释。
条件(1)可以作如下理解，因为权函数是概率权，必有|W i |<1，i =1,…,n 。
于是∑∑∑∑=====≤≤⎪⎭⎫⎝⎛n i n i ni i i i i n i i i X f E X f E X f W E X f W E 1111)()()()(（7.1.17）这里取的是C =1。
因此条件(1)可以说不叫做一个条件。
条件(2)是说，与X 的距离超过一定值的那些X i ，对应算出来的权函数之和很小，也就是说，权函数的值主要取决于那些与X 邻近的X i 的值。
这个条件合理。
条件(3)是说，当n 越来越大时，各个权系数将越来越小，这也是合理的要求。
在证明本定理之前，先证两个引理。
引理7.1.1 设概率权函数｛W i ｝适合定理7.1.1的条件(1)及(2)，又对某个r , E |f (X )|r <∞，则0)()()(lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛-∑=∞→r i n i i n X f X f X W E （7.1.18）证明 先设f 在R m 上有界且一致连续，则任给η>0，存在ε>0，当‖u -v ‖≤ε时，|f (u )-f (v )|≤(η/2)1/r 。
于是εη>-==∑∑+≤-)(||11)()2(2)()()(X X ni irrini ii IX W M X f Xf X W （7.1.19）其中)(sup X f M X=，此处X 表示具体取值。
由条件(2)，上式右边第二项依概率收敛于0且不大于1。
依控制收敛定理有0)(lim 1)(||=⎪⎭⎫⎝⎛∑=>-∞→n i X X i n i I X W E ε （7.1.20）故存在n 0，使当n ≥n 0时，有2)(1)(||ηε≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=>-n i X X i i I X W E（7.1.21）因此当n ≥n 0时，有η≤⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n i r i i X f X f X W E 1|)()(|)(（7.1.22）于是对这种一致连续的f ，引理得证。
证毕对一般的函数f ，取一个在R m上连续，且在一有界域之外为0的函数f ~，使∞<2)(~X f E ，且η<-rX f X f E )(~)(，这里η是事先指定的。
因为⎭⎬⎫⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑===-=r ni i r i i ni i r i ni i r r i n i i X f X f X W E X f X f X W E X f X f X W X f X f X W E |)()(~|)(|)()(~|)( |)(~)(|)(3)()()(11111 （7.1.23）右边括号里第三项等于η<-r X f X f E )()(~；第一项根据条件(1)不超过ηC X f X f CE r <-)()(~；因为f ~在R m 上有界且一致连续，由前面已证结果知当n →∞时，第二项将趋于0。
因此η)1(3|)()(|)(lim 11+≤⎪⎭⎫⎝⎛--=∞→∑C X f X f X W E r r i n i i n （7.1.24） η是任意的，故引理得证。
证毕引理7.1.2 设｛W i ｝为满足定理7.1.1三个条件的概率权，函数f 非负且∞<)(X Ef ，则0)()(lim 12=⎪⎭⎫⎝⎛∑=∞→i n i i n X f X W E （7.1.25）证明 定义一组新的概率权函数2i i W W ='，由于0≤W i ≤1, 故0≤i W '≤1。