拓扑部分习题参考答案复旦大学
网络拓扑练习题及答案
网络拓扑练习题及答案当今时代，互联网已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分。
而要实现互联网的畅通与稳定，网络拓扑结构的设计和优化显得尤为重要。
网络拓扑是指网络中各个节点之间连接的方式和形式，合理的网络拓扑可以提高网络性能和可靠性。
在学习网络拓扑的过程中，不可避免地需要进行练习题的训练。
下面将提供一些网络拓扑练习题及答案，帮助读者更好地理解和掌握网络拓扑的相关知识。
练习题一：请画出星型拓扑结构的示意图，并解释其特点和应用场景。
答案：星型拓扑结构是指以一个中心节点为核心，其他节点通过直接连接与该节点通信的方式完成网络连接的形式。
示意图如下：A/ \B C/ \D E星型拓扑的特点是中心节点对其他节点有着完全的控制，信息传输依赖于中心节点的稳定性。
这种结构下，如果中心节点出现故障，将影响整个网络的通信。
星型拓扑结构适用于小型网络或者需要中心控制的场景，如家庭网络和小型办公室网络。
练习题二：请画出环型拓扑结构的示意图，并解释其特点和应用场景。
答案：环型拓扑结构是指网络中的各个节点通过相邻节点之间的连接依次循环连接起来，形成一个闭合的环形结构。
示意图如下： D-----E/ \A F\ /C-----B环型拓扑的特点是每个节点都与两个相邻节点直接连接，信息传输的路径相对固定，可以提高网络的可靠性和稳定性。
然而，如果环型拓扑中某个节点出现故障，可能会导致整个网络的通信中断。
环型拓扑结构适用于需要高可靠性的场景，如金融机构的网络和核心数据中心网络。
练习题三：请画出树型拓扑结构的示意图，并解释其特点和应用场景。
答案：树型拓扑结构是指以一个根节点为起点，通过将各个子节点依次连接形成层次化结构的网络拓扑。
示意图如下：A/ \B C/ \ \D E F树型拓扑的特点是具有明显的层次结构，信息传输沿着根节点到各个子节点的路径传播，具有高度的可扩展性和容错性。
当某个节点出现故障时，不会影响整个网络的通信。
树型拓扑结构适用于大型企业网络和数据中心网络。
《拓扑学》作业参考答案
{(a,b) K | a,b R, a b}T ，而 (a,b) K | a,bR (a,b) | a,bR K
因此 R K T
=R k
11. 设A 是 Y 的任意一个开覆盖 (A T ),则A {Y '}是X 的一个开覆盖， 由 X 的紧致性知 {U1, ,Un} A {Y '}是X 的开覆盖， 从而{U1, ,Un} {Y '} A 是Y 的开覆盖，也是A 的有限子覆盖，故 Y 是紧致子集。
n
令U {U x1 , ,U x n }, V Vxi
i 1
则 A U, F V , U Y ，且U,V T
18. y A,则y x,由T2性知 U y , Vy T , U y Vy s, y.x U y, y Vy 又{Vy | y A}是A 的开覆盖，A 为紧改子集。
{Vy1 , ,Vyn } {Vy | y A}, s.t. {Vy1 , ,Vyn } A
VT1
（2）由T * 的定义知 ( X *,T *) 中的闭集为 P( X ) 中的有限集和任一含有 的集合。 对于任意 x X * ，及闭集 F, x F 。 （ a ） x ， 则 F 必 为 P( X ) 中 有 限 集 ， 因 此 X * F为T * 中 的 元 素 ， F 亦 为 T * 中 元 素 ， 故 X * F, F T * ( X * F ) F , x X * F, F F （ b ） x X ,则{x} 为 开 集 ， 再 取 U {x}' X * {x}则U 亦 为 开 集 ， 故 {x}, {x}' T , 使 得 x {x}, F X * {x}, {x} ( X * {x}) ，故 ( X *,T*) 是正则空间。
拓扑习题及答案
拓扑习题及答案拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间的性质和变形。
在拓扑学中，习题是帮助我们理解和掌握基本概念和定理的重要工具。
在本文中，我将为大家提供一些拓扑学的习题及其答案，希望能够帮助大家更好地理解这门学科。
1. 问题：什么是拓扑空间？答案：拓扑空间是一个集合，其中包含一些特定的子集，这些子集被称为开集，满足一些特定的性质。
拓扑空间中的开集可以用来描述集合中元素之间的相互关系。
2. 问题：什么是连通性？答案：在拓扑空间中，如果存在一条路径将空间中的任意两点连接起来，那么这个空间就是连通的。
换句话说，连通性描述了空间中不存在分离的部分。
3. 问题：什么是紧致性？答案：在拓扑空间中，如果空间中的任意开覆盖都可以找到有限个开集作为子覆盖，那么这个空间就是紧致的。
紧致性描述了空间中的元素有限性质。
4. 问题：什么是同胚？答案：在拓扑学中，如果两个拓扑空间之间存在一个双射函数，并且这个函数和其逆函数都是连续的，那么这两个空间就是同胚的。
同胚关系描述了两个空间之间的拓扑性质相同。
5. 问题：什么是拓扑不变量？答案：拓扑不变量是指在同胚变换下保持不变的性质。
例如，欧拉数是一个拓扑不变量，它描述了一个拓扑空间中的曲面的特征。
6. 问题：什么是连续映射？答案：在拓扑学中，如果一个函数将一个拓扑空间中的开集映射到另一个拓扑空间中的开集，那么这个函数就是连续的。
连续映射描述了空间中元素之间的连续性。
7. 问题：什么是同伦等价？答案：在拓扑学中，如果两个拓扑空间中的映射可以通过连续变形相互转化，那么这两个空间就是同伦等价的。
同伦等价关系描述了空间中的元素可以通过连续变形相互转化。
通过以上几个习题及其答案，我们可以初步了解拓扑学的基本概念和性质。
拓扑学作为一门抽象的数学学科，其应用范围非常广泛。
例如，在计算机科学中，拓扑学可以用来描述网络的结构和连接方式；在物理学中，拓扑学可以用来研究物质的性质和相变；在生物学中，拓扑学可以用来研究分子的结构和相互作用等等。
拓扑试题及答案
拓扑试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，任意两个开集的并集还是开集，这是拓扑空间的哪个公理？A. 任意并集公理B. 有限并集公理C. 有限交公理D. 任意交公理答案：A2. 连续映射的定义是？A. 映射的逆映射是连续的B. 映射的原像与像的连续性一致C. 映射的像与原像的连续性一致D. 映射的原像与像的连续性不一致答案：B3. 在拓扑学中，一个空间的基是什么？A. 空间中所有开集的集合B. 空间中所有闭集的集合C. 空间中所有单点集的集合D. 空间中所有有限集的集合答案：A4. 拓扑空间中，一个集合的闭包是指什么？A. 集合本身B. 集合的内部C. 包含集合的所有极限点D. 集合的外部答案：C5. 什么是紧致性？A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间中任意开覆盖都有无限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有无限子覆盖答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 如果拓扑空间X的任意开覆盖都有一个有限子覆盖，则称X是________。
答案：紧致的2. 拓扑空间中，如果一个映射是连续的，那么它的逆映射也是________。
答案：连续的3. 在拓扑空间X中，如果存在一个开集U包含点x，使得x是U的极限点，则称x是X的________。
答案：累积点4. 拓扑空间X的基B，如果X中任意开集都可以表示为B中开集的并集，则称B是X的一个________。
答案：基5. 如果拓扑空间X的任意子集的闭包都是闭集，则称X是________。
答案：T1空间三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是拓扑空间？答案：拓扑空间是一个集合X，配合一个定义在其上的拓扑结构，这个结构由X的子集构成，满足任意并集公理、有限交公理和空集与全集为开集的条件。
2. 什么是连续映射？答案：连续映射是指在拓扑空间X和Y之间定义的映射f，对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)在X中也是开集。
拓扑学基础答案
拓扑学基础（数学教育本科）试卷参考答案一、单项选择题1、C2、A3、B4、A5、A6、C7、D 8、A 9、B 10、D二、填空题11、满射 12、同胚 13、A 的补集A '是一个开集 14 、Y B 15、可分 16、一 17、x 和y 连通18、X ，)(x f 19、Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集三、名词解释题1、如果存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射，则称集合X 是一个可数集。
2、设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件：（1）∈φ,X T ，（2）若A ，∈B T ，则∈B A T ，（3）若T ⊂1T ，则1A ∈∈ T T ，则称T 是X 的一个拓扑。
偶对（X ，T ）是一个拓扑空间。
3、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1:Y →X 都是连续的，则称f 是一个同胚映射。
4、设X 是一个拓扑空间，如果对于任何x 、y ，存在X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），则称X 是一个道路连通空间。
5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个A 1空间。
6、一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A 2空间。
7、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间。
8、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交，则称拓朴空间X 是一个正则空间。
9、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。
10、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间。
四、判断题1、√2、√3、×4、×5、√6、×7、√ 8、× 9、√ 10、× 11、√ 12、×五、解答与证明题1、解：（1）1T 不是X 的拓扑，这是因为∈},{b a 1T ，∈},{d b 1T ，但∈/=}{},{},{b d b b a 1T（2）2T 是X 的拓扑，满足拓扑的定义2、证∵()()()()A B A B d A B A B d A d B ==B A B d B A d A ==))(())((3、证：∵B B A A B A ⊂⊂ ,，故A B A ⊂ ，B B A ⊂∴B A B A ⊂5、设Y 是紧致空间X 中的一个闭子集，如果A 是Y 的一个覆盖，它由X 中的开集构成，则B =A {Y '}是X 的一个开覆盖，设1B 是2B 的一个有限子族并且覆盖X ，则1B }{Y '-便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，这说明Y 是X 的一个紧致子集。
最新拓扑学基础试题及解答
“拓扑学基础”试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设{1,2,3}X =，则下列是X 的拓扑的是【 A 】A 、{,,{1}}X φB 、{,,{1,2},{2,3}}X φC 、{,,{2},{3}}X φD 、{,,{1},{2},{3}}X φ2、下列有关连续映射:f X Y →正确的是【 B 】A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集C 、Y 中的任何一个子集A ，有11()()f A f A --⊂D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射3、设X 和Y 是两个拓扑空间，A 是X 的一个子集，则下列错误的是【 C 】A 、若:f X Y →是连续的，则|:A f A X →也是连续的B 、若:f X Y →是一个同胚，则|:()A f A f A →也是一个同胚。
C 、:()f X f X →是一个连续映射，则:f X Y →不一定是一个连续映射D 、若X 可嵌入Y ，则X 的任何一个子空间也可嵌入Y4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=【 D 】A 、A A -'⋂B 、00A A ''⋃C 、0()A ∂D 、()X A ∂-5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】A 、若A 和B 是拓扑空间X 中的两个隔离子集，且X A B =⋃，则X 是不连通的。
B 、有理数集Q 作为实数空间子空间是一个连通空间C 、若12,Y Y 均为X 的连通子集，且12Y Y φ⋂≠，则12Y Y ⋃也是X 的一个连通子集D 、设Y 是X 的一个连通子集，Z X ⊂，若Y Z ⊂，则Z 也是X 的一个连通子集6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【 D 】A 、1T 空间B 、2T 空间C 、3T 空间D 、4T 空间7、下列有关命题，正确的是【 B 】A 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是局部连通的B 、若拓扑空间X 是道路连通的，则X 一定是连通的C 、若拓扑空间X 是局部连通的，则X 一定是道路连通的D 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是道路连通的8、下列有关实数空间，不正确的是【 D 】A 、它满足第一可数性公理B 、它满足第二可数性公理C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D 、它的任何一个子空间都是连通的9、下列有关Lindel öff 空间的描述正确的是【 A 】A 、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Linde öff 空间B 、任何一个Lindel öff 空间都是第二可数性空间C 、Lindel öff 空间的子空间还是Linde öff 空间D 、满足第一可数性公理的空间的每一个子空间都是Linde öff 空间10、设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是【 C 】A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=二、填空题（每空2分，共20分）请将答案写在横线上。
拓扑学基础试题及答案
拓扑学基础试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，以下哪个概念不是基本的？A. 开集B. 闭集C. 连续函数D. 距离函数答案：D2. 以下哪个选项不是拓扑空间的性质？A. 空集和整个空间是开集B. 任意开集的并集是开集C. 有限个开集的交集是开集D. 任意集合的补集是闭集答案：D3. 在拓扑学中，两个拓扑空间之间的映射被称为？A. 同胚B. 连续映射C. 同伦D. 同调答案：B4. 拓扑空间中的邻域系统是指？A. 包含某点的所有开集的集合B. 包含某点的任意集合的集合C. 包含某点的有限个开集的交集D. 包含某点的任意开集答案：A5. 拓扑空间中的连通性是指？A. 空间不能被分割成两个不相交的非空开集B. 空间中的任意两点都可以通过连续路径相连C. 空间中的任意两点都可以通过直线相连D. 空间中的任意两点都可以通过曲线相连答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域，则称该空间为________。
答案：豪斯多夫空间2. 拓扑空间中的紧致性是指该空间的任意开覆盖都有________。
答案：有限子覆盖3. 拓扑空间中的连通空间是指不能表示为两个不相交的非空开集的并集的空间，这种性质也称为________。
答案：不可分割性4. 拓扑空间中的基是指由开集构成的集合，使得空间中的每一个开集都可以表示为基中集合的________。
答案：并集5. 拓扑空间中的同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射的连续映射，并且其逆映射也是连续的，这种映射也称为________。
答案：同胚映射三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述拓扑空间中闭集的定义。
答案：在拓扑空间中，如果一个集合的补集是开集，则称该集合为闭集。
2. 请解释什么是拓扑空间中的同伦等价。
答案：如果存在两个拓扑空间之间的连续映射，使得这两个映射的复合与各自空间上的恒等映射是同伦的，则称这两个空间是同伦等价的。
点集拓扑学第一章部分习题参考答案
P13第1。
2节6* 证明：0n >个集合经过并，交，差三种运算最多能生成212n-个互不相同的集合，并且确有0n >个集合，它们经过并，交，差三种运算恰能生成212n -个互不相同的集合。
证：分两步完成。
第一步，证明m 个两两无交的集合经过并，交，差三种运算最多能生成2m 个互不相同的集合。
因为，通过并运算，m 个两两无交的集合最多能生成1221m m m m m C C C +++=-个互不相同的集合，而交运算仅能产生空集，差运算也不能产生新的不同的集合，第一步的结论得证。
第二步，证明任意n 个集合经过并，交，差三种运算最多能产生21n -个互不相交的集合。
事实上，记11121212312310112121212312123121ˆ1,2,,ˆˆˆˆˆ,,,n nii i i n i i i i ni i i i i i n n i i jn E A E A A A A i nE A A A A A i i E A A A A A A i i i E A j i i i =-='===<=<<=≠ˆiA 表示去掉i A ，0E 的个数至多为1，11i E 的个数至多为1n C ，122i i E 的个数至多为2n C ，…，1211n n i i i E -- 的个数至多为1n n C -，故它们总的个数为1221n n n n n C C C +++=-它们的并集为1n i i A =。
令()()()()()()()()()111121122111111222212313111111222(1)2(1)2(1)1222121111,,,,,,,,,n n n n n n n n n n n n i n i in nn n i i i n n n n i i n in n i i i B E B E B B E B B E B B E B B E B BE B B A B B A B B A B ++++++--===++-+-+-+----=====-=-=-=-=-=-=-=-=-1221,,,n B B B - 至多有21n -个两两无交的非空集，且每一i A 可由1221,,,n B B B - 经过并，交，差三种运算表出，所以12,,,n A A A 经过并，交，差三种运算生成的集簇与1221,,,n B B B - 经过这三种运算生成的集簇相同。