第二章递归与分治策略

分治法的一般算法
• 分治法的一般的算法模式为：
• Divide-and-Conquer(P) • {//|P|<=n0表示P的规模不超过阈值n0，可直接求解 • if (|P|<=n0) return Adhoc(P); • divide P into smaller subinstants P1, .., Pk; • for (i =1; i <= k; i++) • yi = Divide-and-Conquer(Pi); • return Merge(y1, …, yk); • } //算法Merge(y1, …, yk)表示将子问题的解合成P的解 人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时， 最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成 大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。 这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡 (balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题 20 规模不等的做法要好。
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二分搜索技术
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找 出一特定元素x。 分析： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题; 分解出的子问题的解可以合并为原问题的解； 分解出的各个子问题是相互独立的。 分析：比较x和a的中间元素a[mid]，若x=a[mid]，则x在L中的 位置就是mid；如果x<a[mid]，由于a是递增排序的，因此假 分析：如果n=1即只有一个元素，则只要比较这个元素和x就 分析：很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在a[i]的前 如x在a中的话，x必然排在a[mid]的前面，所以我们只要在 可以确定x是否在表中。因此这个问题满足分治法的第一个适 面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适 a[mid]的前面查找x即可；如果x>a[i]，同理我们只要在a[mid] 用条件 用条件。 的后面查找x即可。无论是在前面还是后面查找x，其方法都 和在a中查找x一样，只不过是查找的规模缩小了。这就说明 了此问题满足分治法的第二个和第三个适用条件。
P if B then Q else β(S, P)
其中Q也不包含P，B为递归终止条件。
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递归元
• 递归算法的思想是将对较大规模的对象的操作 归结为对较小规模的对象实施同样的操作。 • 这种规模的变化就体现在递归算法的变元中的 一类(一个或几个)变元上，这类变元被称之为 递归元。 • 递归元的变化是在递归定义中确定的，它的变 化应能导致递归算法的终止。 • 在递归算法的设计中递归元是非常重要的。
• 正整数n的一个这种表示称为正整数n的一个 例如ρ(6) = 11 ，即整数6的划分数为11种： 6, 5+1, 4+2, 4+1+1, 3+3, 3+2+1, 3+1+1+1 划分。正整数n的不同的划分的个数成为正整 数n的划分数，记作ρ(n)。 2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1， 1+1+1+1+1+1
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分治法
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算法总体思想
• 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 •小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的 子问题。 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
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算法总体思想
• 递归算法是有层次的，低层子问题的解组合成 高层问题的解。各层之间最好通过参数传递来 交流信息，如使用全局量，则要注意全局量的 及时修订。
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递归小结
优点：结构清晰，可读性强，而且容易用 数学归纳法来证明算法的正确性，因此它 为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是 耗费的计算时间还是占用的存储空间都比 非递归算法要多。
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递归小结
解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为 非递归算法。 1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作 栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人 工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。 2、用递推来实现递归函数。 3、通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求 出结果。 后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其 适用范围有限。
• 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 • 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。 小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4 17
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常见的递归形式
• 除基本的递归形式外，其它常见的递归 形式有四种，它们是： • 多变元递归； • 多步递归； • 嵌套递归； • 联立递归
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多变元递归
•• 多变元递归就是递归元多于一个的递归。 例2：整数划分问题：将一个正整数n表示为 一系列正整数之和， n = n1 + n2 +…+nk 其中n1≥n2≥…≥nk≥1, k≥1。
第二章
递归与分治策略
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• 例1：Hanoi塔问题：有A、B、C三根柱子。A Hanoi塔的解可以很自然地看成这样一个过程： 上有n个圆盘，自下而上由大到小地叠在一起。
于是可得到如下的程序： (1)先将A上面n–1 现要将A上的全部圆 void Hanoi(int n, int Fr, int To, int As) 个盘移至C。 盘移到B上，并要求： { (2)再将A上剩下的 (1)每次只能移动一个 if (n > 0) { 1个盘移至B。 圆盘；(2)任何时刻都 Hanoi(n–1, Fro, Ass, To); B C A 不允许将较大的圆盘 Move(Fro, To); (3)最后将C上的n– 压在较小的圆盘上； Hanoi(n–1, Ass, To, Fro)} 1个盘移至B。 (3)圆盘只能在A、B、 }
分治法的时间复杂性
• 分治法的时间复杂性为： O(1) n=1 T(n) ≤ kT(n/m) + f(n) n＞1 其中设子问题规模为n/m，Merge的时间为f(n)。

求解此递归方程可得：
T(n) ≤ n logmk + ∑ kjf(n/mj)
j=0
logmn–1
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分治法的适用条件
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
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正整数的划分
• 有时候，问题本身具有比较明显的递归 关系，因而容易用递归函数直接求解。 • 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分 数，则难以直接找到递归关系。
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正整数的划分
• 因此考虑增加一个自变量：在正整数的所有 不同划分中，将最大加数n1不大于m的划分个 m)，可以建立如下的递归关系： 数记为q(n, m)，可以建立如下的二元递归函数： 1 n = 1 n, m≥1; • int q(int n, int m) q(n, 1)=1，q(1, m) =1或 m = 1 最简单情形：(1) { m) = 1 + q(n, n–1) q(n, n≤m • 递归关系： (2) q(n, n) = 1 + q(n, n–1)，n＞1; if (n < 1) q(n, m–1)+q(n–m, m) n＞m＞1 || (m < 1) return 0; • 产生的新情况： == 1) return 1; if (n == 1) || (m if(n < • (3) q(n, m) return q(n, n); q(n–m, m), n＞m＞1 = q(n, m–1) + if (n == m) return 1 + q(n, n–1); • (4) q(n, m) = q(n, n), n＜m。 return q(n, m–1) + q(n–m, m); }
算法总体思想
• 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题， n = T(n) 分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破， 分而治之。 n/2 n/2 n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4 19
Hanoi塔问题
C三个柱子间移动。
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递归的概念
• 简单地说，递归就是用自己来定义自己。递归 算法是一个直接或间接地调用自己的算法。 • 一般地说，一个递归过程P可以表示为基语句 S(不含P)和P自身的组合β：
P β(S, P)
• 这样的表示包含了过程不终止的可能，因此递 归算法应更准确地表述为
}
return -1; }
算法复杂度分析： 每执行一次算法的while循环， 待 搜索数组的大小减少一半。因此， 在最坏情况下，while循环被执行了 O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下 的计算时间复杂性为O(logn) 。 24
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嵌套递归
• 所谓嵌套递归是指递归调用中又含有递归调用， 又称为多重递归。 • 例如Ackermann函数：