炎德英才大联考·师大附中2015届高三月考试卷(一)理科数学
新疆师范大学附中2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)(Word
新疆师范大学附中2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={0，1}，则满足M∪N={0，1，2}的集合N的个数是（）A．2B．3C．4D．82．（5分）若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A．B．C．D．23．（5分）在平面直角坐标平面上，，且与在直线l上的射影长度相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为（）A．B．C．D．4．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若函数y=f（x）的图象和y=sin（x+）的图象关于点P（，0）对称，则f （x）的表达式是（）A．c os（x+）B．﹣cos（x﹣）C．﹣cos（x+）D．cos（x﹣）6．（5分）在如图的算法中，如果输入A=138，B=22，则输出的结果是（）A．2B．4C．128 D．07．（5分）由直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是（）A．2ln2 B．2ln2﹣1 C．ln2 D．8．（5分）若函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，没有极大值，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（﹣∞，3）C．（0，+∞）D．（0，）9．（5分）在△ABC中，若，，依次成等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．，，依次成等比数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a2，b2，c2依次成等比数列10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．2D．11．（5分）设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量=（1，1），=（2，1），若=λ+μ（λ，μ为实数），则λ﹣μ的最大值为（）A．4B．3C．﹣1 D．﹣212．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1 B．2﹣a﹣1 C．1﹣2﹣a D．1﹣2a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=；a1+a2+a3+…+a7=．14．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC内的概率是．15．（5分）用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为．16．（5分）已知S n是数列{a n}前项和，且a n＞0，对∀n∈N*，总有S n=（a n+），则a n=．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（ω＞0）相邻两个对称轴之间的距离是号，且满足，f（）=．（I）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sinB=sinC，a=2，f（A）=1，求△ABC的面积．18．（12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得分数分别记为x、y，设o为坐标原点，点p的坐标为（x﹣2），x﹣y），记ξ=||2．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）已知为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点N（x0，y0）（y0＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且．（I）求抛物线方程和N点坐标；（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．四、选考题（本小题满分10分）请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（10分）已知曲线C1：，（α为参数），C2：，（θ为参数）（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为α=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：，（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．23．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．新疆师范大学附中2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={0，1}，则满足M∪N={0，1，2}的集合N的个数是（）A．2B．3C．4D．8考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：由M与N的并集得到集合M和集合N都是并集的子集，又根据集合M的元素得到元素2一定属于集合N，找出两并集的子集中含有元素2的集合的个数即可．解答：解：由M∪N={0，1，2}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0，1}，所以元素2∈N，则集合N可以为{2}或{0，2}或{1，2}或{0，1，2}，共4个．故选C点评：此题考查了并集的意义，以及子集和真子集．要求学生掌握并集的意义，即属于M 或属于N的元素组成的集合为M和N的并集，由集合M得到元素2一定属于集合N是本题的突破点．2．（5分）若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A．B．C．D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z，再根据复数的模的定义求得复数z的模．解答：解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1﹣i=1+i，∴|z|==，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标平面上，，且与在直线l上的射影长度相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；平面向量的坐标运算；直线的斜率．专题：计算题．分析：根据直线的方向向量公式，可设线l的方向向量为，根据与在直线l上的射影长度相等，得，将其转化为关于k的方程，可以求出斜率k 的值．解答：解：设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，再设、与的夹角分别为θ1、θ2，则，因为与在直线l上的射影长度相等所以，即|1+4k|=|﹣3+k|解之得，点评：本题考查了平面向量的坐标运算和直线的斜率等知识，属于中档题．深刻理解平面向量的计算公式，将其准确用到解析几何当中，是解决本题的关键．4．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的性质．专题：简易逻辑；立体几何．分析：通过两个条件之间的推导，利用平面与平面垂直的性质以及结合图形，判断充要条件即可．解答：解：由题意可知α⊥β，b⊥m⇒a⊥b，另一方面，如果a∥m，a⊥b，如图，显然平面α与平面β不垂直．所以设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力与作图能力．5．（5分）若函数y=f（x）的图象和y=sin（x+）的图象关于点P（，0）对称，则f （x）的表达式是（）A．c os（x+）B．﹣cos（x﹣）C．﹣cos（x+）D．cos（x﹣）考点：正弦函数的对称性．专题：解题思想．分析：根据若函数y=f（x）的图象和y=g（x）的图象关于点P（a，b）对称，则有f（a+x）+g（a﹣x）=2b；即f（x）+g（2a﹣x）=2b；从而f（x）=2b﹣g（2a﹣x）．然后将a=，b=0代入即可求出函数f（x）的解析式．解答：解：若函数y=f（x）的图象和y=sin（x+）的图象关于点P（，0）对称，则f（x）=0﹣sin（﹣x﹣）=﹣cos（x+）．故选：C．点评：本题主要考查已知对称性求函数表达式的问题．只要记住根据对称性求函数解析式的方法代入即可得到答案．6．（5分）在如图的算法中，如果输入A=138，B=22，则输出的结果是（）A．2B．4C．128 D．0考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量，各语句的作用，再据流程图所示的顺序，判定出该程序的作用，即可求得答案．解答：解：分析程序中各变量，各语句的作用，再据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是由题设知，是辗转相除法求最大公约数，而（138，22）=2故选A点评：据流程图写运算的结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．7．（5分）由直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是（）A．2ln2 B．2ln2﹣1 C．ln2 D．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，计算即可．解答：解：由题意，直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部分，面积为=lny=ln2﹣ln=2ln2；故选A．点评：本题考查定积分的运用，利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）若函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，没有极大值，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（﹣∞，3）C．（0，+∞）D．（0，）考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，求导可得，导函数在（0，1）内至少有一个实数根，分a＞0、a=0、a＜0三种情况，求得实数a的取值范围．解答：解：对于函数y=x3﹣2ax+a，求导可得y′=3x2﹣2a，∵函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，∴y′=3x2﹣2a=0，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x2﹣2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜；a=0时，3x2﹣3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．a＜0时，3x2﹣3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜，故选：D．点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．9．（5分）在△ABC中，若，，依次成等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．，，依次成等比数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a2，b2，c2依次成等比数列考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据等差数列的性质写出关系式，再将余切化为余弦与正弦的比值，进而根据两角和与差的正弦公式化简，最后根据正余弦定理将角的关系式转化为边的关系即可得解．解答：解：∵，，依次成等差数列，∴+=，∴2cosBsinAsinC=cosAsinBsinC+cosCsinAsinB．∴由正弦定理，得2accosB=bccosA+abcosC=b（ccosA+acosC），由射影定理，得2accosB=b2，由余弦定理，得a2+c2=2b2．故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理的应用．属基础题．10．（5分）已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF1F2，△IPF1，△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得|PF1|﹣|PF2|=，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．解答：解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴，，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵∴=+两边约去得：|PF1|=|PF2|+∴|PF1|﹣|PF2|=根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，=c∴2a=c⇒离心率为e=故选C点评：本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．11．（5分）设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量=（1，1），=（2，1），若=λ+μ（λ，μ为实数），则λ﹣μ的最大值为（）A．4B．3C．﹣1 D．﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据向量线性运算的坐标公式，得到，由此代入题中的不等式组，可得关于λ、μ的不等式组．作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，1），若=λ+μ（λ，μ∈R），∴P（x，y）满足，代入不等式组组，得，设λ=x，μ=y，则不等式等价为，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），设z=λ﹣μ=x﹣y，即y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，则当直线y=x﹣z经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由，解得，即B（3，﹣1），此时z=x﹣y=3﹣（﹣1）=3+1=4，即λ﹣μ的最大值为4，故选：A．点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，将条件转换为关于λ、μ的不等式组是解决本题的关键．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1 B．2﹣a﹣1 C．1﹣2﹣a D．1﹣2a考点：函数的零点．专题：计算题；压轴题．分析：函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，为计算提供简便．解答：解：当﹣1≤x＜0时⇒1≥﹣x＞0，x≤﹣1⇒﹣x≥1，又f（x）为奇函数∴x＜0时，画出y=f（x）和y=a（0＜a＜1）的图象，如图共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则⇒log2（1﹣x3）=a⇒x3=1﹣2a，可得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a，故选D．点评：本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=1；a1+a2+a3+…+a7=1．考点：二项式定理．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于4，求出r的值，根据x4的系数是﹣35，即可求得m的值．求出a0的值，再把x=1和m=1代入二项式及其展开式，可得a1+a2+a3+…+a7的值．解答：解：二项展开式的通项为T r+1=x7﹣r（﹣m）r，令7﹣r=4，可得r=3．故（﹣m）3=﹣35，解得m=1．故常数项为（﹣1）7=﹣1=a0，∴（1﹣1）7=a0+a1+a2+…+a7=0，∴a1+a2+a3+…+a7=﹣a0=1，故答案为1；1．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC内的概率是．考点：几何概型．分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC 上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．解答：解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，∵，∴，得：，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故答案为：点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．15．（5分）用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，判断蛋槽的底面三角形的形状，求出蛋槽的高，判断球心与蛋槽的上底面三棱锥的形状，然后求出棱锥的高即可．解答：解：由题意可知折叠后的蛋槽的上顶点在底面的射影如图中红线三角形，蛋槽的底面是正三角形边长为2，∴蛋槽的高为，且折起三个小三角形顶点构成边长为1的等边三角形A′B′C′，O﹣A′B′C′是列出为1的正四面体，∴球心到面A′B′C′的距离，∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为．故答案为：．点评：本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，点到平面距离的求法，考查计算能力．16．（5分）已知S n是数列{a n}前项和，且a n＞0，对∀n∈N*，总有S n=（a n+），则a n=．考点：数列递推式；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的递推关系，求出数列{a n}的前几项，即可得到结论．解答：解：∵a n＞0，对∀n∈N*，总有S n=（a n+），∴2S n=a n+，当n=1时，a1=（a1+），即a1=，∵a n＞0，∴a1=1，当n=2时，2（1+a2）=a2+，即2+a2﹣=0，即（a2）2+2a2﹣1=0，则a2=，∵a n＞0，∴a2=．当n=3时，2（1++a3）=a3+，即（a3）2+2a3﹣1=0，则a3==，∵a n＞0，∴a3=．则由归纳推理可得a n=，故答案为：点评：本题主要考查数列通项公式的求解．根据数列的递推关系，结合归纳推理是解决本题的关键．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（ω＞0）相邻两个对称轴之间的距离是号，且满足，f（）=．（I）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sinB=sinC，a=2，f（A）=1，求△ABC的面积．考点：正弦定理；三角函数的周期性及其求法．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据题意求得函数的最小周期，进而利用周期公式求得ω，根据f（）=求得A，进而可得函数f（x）的解析式，进而利用三角函数的性质求得其单调递减区间．（Ⅱ）利用正弦定理把已知等式的角转化成边，进而求得sin（2A﹣），进而求得A，最后利用余弦定理求得b和c，利用面积公式求得三角形面积．解答：解：（Ⅰ）由题意知周期T=π，∴ω==2，∵，∴A=2，∴，∵时，函数单调减，即时，函数单调减，所以f（x）的单调递减区间为．（Ⅱ）∵sinB=sinC，∴由正弦定理知，∵，∴，∵，∴，因为△ABC为钝角三角形，所以舍去，故，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴，∴，．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，三角函数图象和性质．考查了基础知识综合运用．18．（12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得分数分别记为x、y，设o为坐标原点，点p的坐标为（x﹣2），x﹣y），记ξ=||2．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）x，y可能的取值为1、2、3，仅有x=1，y=3或x=3，y=1时随机变量ξ的最大值为5，可得符合题意的基本事件有2个，而总的基本事有件3×3=9种，由古典概型可得概率；（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5，同（1）的求法分别可求得概率，列表可得分布列，由期望的定义可得期望值．解答：解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值为1、2、3，∴|x﹣2|≤1，|y﹣x|≤2，∴ξ=（x﹣2）2+（x﹣y）2≤5，当且仅当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=5，因此随机变量ξ的最大值为5，因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种，∴P（ξ=5）=；（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一情况，ξ=1时，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，故随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 5P因此数学期望Eξ==2点评：本题考查离散型随机变量及分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．20．（12分）已知为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点N（x0，y0）（y0＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且．（I）求抛物线方程和N点坐标；（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题意知：p=1，x0=2，y02=4，y0＞0，得y0=2，由此能求出抛物线方程和N点坐标．（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，设直线l的方程为x=ty+b（t∈R），联立方程得y2﹣2ty﹣2b=0，设两个交点，由，得b=2t+3，由此能求出当t=﹣2时S有最小值为，此时直线l'的方程为x+2y+1=0．解答：解：（Ⅰ）由题意，∴p=1，所以抛物线方程为y2=2x．，x0=2，y02=4，∵y0＞0，∴y0=2，∴N（2，2）．（4分）（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，设直线l的方程为x=ty+b（t∈R）联立方程得y2﹣2ty﹣2b=0，设两个交点（y1≠±2，y2≠±2）∴，…（6分），整理得b=2t+3…（8分）此时△=4（t2+4t+6）＞0恒成立，由此直线l的方程可化为x﹣3=t（y+2），从而直线l过定点E（3，﹣2）…（9分）因为M（2，﹣2），所以M、E所在直线平行x轴三角形MAB面积=，…（11分）所以当t=﹣2时S有最小值为，此时直线l'的方程为x+2y+1=0…（12分）点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是2015届高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．四、选考题（本小题满分10分）请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（10分）已知曲线C1：，（α为参数），C2：，（θ为参数）（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为α=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：，（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）根据普通方程和参数方程的互化公式直接进行求解；（Ⅱ）当时，得到点P的坐标，然后，转化成求解点M到直线的距离的最小值即可．解答：解：（Ⅰ）据题，由曲线C1：，（α为参数），得（x+4）2+（y﹣3）2=1，它表示一个以（﹣4，3）为圆心，以1为半径的圆，由C2：，（θ为参数）得，它表示一个中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆，（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ），由直线C3：，（t为参数），得x﹣2y﹣7=0，它表示一条直线，M到该直线的距离为：d==|5cos（θ+Φ）﹣13|，（其中sinΦ=，cosΦ=），当cos（θ+Φ）=1时，d取最小值，从而，当sinΦ=﹣，cosΦ=，时，d有最小值，此时，点Q（，﹣）．点评：本题综合考查了普通方程和参数方程的互化公式、椭圆的参数方程和直线的参数方程及其应用，属于中档题．23．已知a∈R，设关于x的不等式|2x﹣a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．考点：绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论；（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4，从而可求a的取值范围．解答：解：（I）若a=1，则|2x﹣1|+|x+3|≥2x+4当x≤﹣3时，原不等式可化为﹣3x﹣2≥2x+4，可得x≤﹣3当﹣3＜x≤时，原不等式可化为4﹣x≥2x+4，可得3x≤0当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2综上，A={x|x≤0，或x≥2}；（II）当x≤﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|≥0≥2x+4成立当x＞﹣2时，|2x﹣a|+|x+3|=|2x﹣a|+x+3≥2x+4∴x≥a+1或x≤∴a+1≤﹣2或a+1≤∴a≤﹣2综上，a的取值范围为a≤﹣2．点评：本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
陕西省师范大学附属中学高三数学9月月考试题理
陕西师大附中高2015届高三第一次月考数学（理）试题一、选择题(本题共10小题,每题4分,共40分) 1.集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16AB =，则a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.4 2.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）A.若4πα≠，则tan 1α≠ B.若4πα=，则tan 1α≠C.若tan 1α≠，则4πα≠D.若tan 1α≠，则4πα=3.曲线12x y e =在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.29e 2Ｂ.24eＣ.22eＤ.2e4.“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,+)∞内单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A.(,1)-∞- B.(,1]-∞- C.(1,)-+∞ D.[1,)-+∞ 6.函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A.3B.4C.5D.67.已知函数21()()log 3x f x x =-，若实数0x 是方程()0f x =的解，且100x x <<，则1()f x 的 值为（ ） A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于08.[]x 表示不超过x 的最大整数，若()f x '是函数()ln ||f x x =导函数，设()()()g x f x f x '=⋅，则函数[()][()]y g x g x =+-的值域是（ ） A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{0}D ．{}偶数9.若函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且在(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A. B. C. D.10.已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A.121()0,()2f x f x >>-B.121()0,()2f x f x <<-C.121()0,()2f x f x ><-D.121()0,()2f x f x <>-二、填空题（本题共5小题,每题4分,共20分） 11.已知()x xf x e=，定义1()()f x f x '=，21()[()]f x f x '=，…，1()[()]n n f x f x +'=，*n ∈N . 经计算11()x x f x e -=，22()x x f x e -=，33()x xf x e-=，…，照此规律，则()n f x = . 12.已知函数||()x a f x e -=（a 为常数）.若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范 围是_______.13.已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)1f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -=_______. 14.已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则x 、y 、z 从小到大的顺序为_______.15.已知0ln ,0()(22),0txx x f x t e dt x >⎧⎪=⎨+-≤⎪⎩⎰ ，则函数()f x 的零点的个数为_______.三、解答题（本题共5小题,每题12分，共60分） 16. 已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =--+ （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅲ）用单调性的定义证明()f x 是减函数．17. 已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f .（Ⅰ）若)(x f 的定义域和值域均是],1[a ，求实数a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在区间]2(，-∞上是减函数，且对任意的1x ，]1,1[2+∈a x ，总有12|()()|4f x f x -≤，求实数a 的取值范围.18.甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x =若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S 元(以下称S 为赔付价格)．（Ⅰ）将乙方的年利润W (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是多少？19.已知函数x ax x f ln 1)(--=（R a ∈）. （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，不等式2)(-≥bx x f 对任意),0(+∞∈x 恒成立，求实数b 的取值范围.20. 已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数.（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）当=1a 时，试比较()f m 与1f m ⎛⎫⎪⎝⎭的大小；（Ⅲ）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，试证明212x x e .陕西师大附中高2015届高三第一次月考数学（理）答题纸一、选择题(本题共10小题,每题4分,共40分)二、填空题（本题共5小题,每题4分,共20分）三、解答题（本题共5小题,每题12分，共60分）陕西师大附中高2015届高三第一次月考数学（理）试题答案一、选择题(本题共10小题，每题4分，共40分)二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分） 16. 已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =--+ （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅲ）用单调性的定义证明：函数()f x 是减函数．解：（Ⅰ）由1010x x ->⎧⎨+>⎩得：11x -<<.所以，函数()f x 的定义域为(1,1)-. （Ⅱ）()lg(1)lg(1)()f x x x f x -=+--=-,()f x ∴为奇函数.（Ⅲ）任取12,(1,1)x x ∈-，当12x x <时，1211x x ->-，1211x x +<+12lg(1)lg(1)x x ∴->-，12lg(1)lg(1)x x -+>-+1122lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)x x x x ∴--+>--+，12()()f x f x ∴>.故，函数()f x 是减函数．17. 已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f .（Ⅰ）若)(x f 的定义域和值域均是],1[a ，求实数a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在区间]2(，-∞上是减函数，且对任意的1x ，]1,1[2+∈a x ，总有12|()()|4f x f x -≤，求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）222()25()5f x x ax x a a =-+=-+-，∴函数)(x f 图像的对称轴为：x a =.()f x ∴在],1[a 上递减.(1)()1f a f a =⎧∴⎨=⎩，即212551a aa -+=⎧⎨-=⎩，解得：2a =. （Ⅱ）()f x 在区间]2(，-∞上是减函数.2a ∴≥1(1)a a a ∴-≥+-,∴()f x 在[]1,1a +上的最大值为(1)62f a =-，最小值为2()5f a a =-.由题意得：(1)()4f f a -≤，即262(5)4a a ---≤，解得：13a -≤≤. 又2,23a a ≥∴≤≤.18.甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x =若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S 元(以下称S 为赔付价格)．（Ⅰ）将乙方的年利润W (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是多少？解：（Ⅰ）W St =，(0)t >W S'=，由0W '>得：210000()t S <<；由0W '<得：21000()t S >. 所以，函数()W t 在221000(0,)S 上递增，在221000(,)S +∞上递减. 故，当221000t S=时，函数()W t 取得最大值. （Ⅱ）设甲方获得的净收入为V .则20.002V St t =-，由（Ⅰ）得：221000t S =，代入上式得：224100020001000V S S ⨯=- 则2351000(8000)S V S ⨯-'=,由0V '>得：020S <<；由0V '<得：20S >；所以，函数()V t 在(0,20)上递增，在(20,)+∞上递减.故，当20S =时，函数()V t 取得最大值.19.已知函数x ax x f ln 1)(--=（R a ∈）.（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，不等式2)(-≥bx x f 对任意),0(+∞∈x 恒成立，求实数b 的取值范围.解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(0,)+∞.11()ax f x a x x-'=-=. 若0a ≤，则()0f x '<，()(0,)f x ∴+∞在上递减;若0a >，则由()0f x '>得：1x a >；由()0f x '<得：10x a<<. 所以，()f x 在1(0,)a 上递减，在1(,)a +∞递增. （Ⅱ）因为函数)(x f 在1=x 处取得极值，所以(1)0f '=，即10a -=，解得：1a =.()1ln f x x x ∴=--.由2)(-≥bx x f 得：1ln 2x x bx --≥-，0x >，1ln 1x b x x ∴≤+-. 令1ln ()1x g x x x =+-，则2ln 2()x g x x-'= 由()0g x '>得：2x e >；由()0g x '<得：20x e <<.所以，()g x 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞递增. 2min 21()()1g x g e e ∴==-，211b e ∴≤-. 20. 已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数.（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；（Ⅱ）当=1a 时，试比较()f m 与1f m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小； （Ⅲ）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，试证明212x x e >.解：（Ⅰ）1()f x a x '=-，由题意得：(1)0f '=，10a ∴-=，1a ∴=.（Ⅱ）当1a =时，()ln f x x x =- 令1()()()g m f m f m =-，则1()2ln g m m m m =-+.22221(1)()10m g m m m m --'=--=<()g m ∴在(0,)+∞上递减，又(1)0g =∴当01m <<时，()0g m >，1()()f m f m ∴>；当1m =时，()0g m =，1()()f m f m ∴=；当1m >时，()0g m <，1()()f m f m ∴<.（Ⅲ）12,x x 为函数()f x 的两个零点.不妨设12x x >. 1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧∴⎨-=⎩，1212ln ln ()x x a x x ∴+=+①，1212ln ln ()x x a x x -=-②.要证：212x x e >；即证：12ln 2x x >；即证：12ln ln 2x x +>由①，即证：12()2a x x +>因为120,0x x >>，即证：122a x x >+. 由②得：1212ln ln x x a x x -=-，即证：121212ln ln 2x x x x x x ->-+因为12x x >，即证：1212122()ln ln x x x x x x -->+即证：1121222(1)ln 1x x x x x x ->+令12x t x =，则1t >.即证：2(1)ln 1t t t ->+即证：2(1)ln 01t t t -->+ 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以，()h t 在(1,)+∞上递增.()(1)h t h ∴>，()0h t ∴>. 所以，2(1)ln 01t t t -->+.故，结论成立.。
湖南师大附中2015届高三月考试卷
湖南师大附中2015届高三月考试卷(三)数学（理科）命题：湖南师大附中高三数学备课组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{|0}P y y =≥，且P Q Q =，则集合Q 可能是 （ ）A ．2{|1}y y x =+ B ．{|2}xy y = C ．{|1}y y gx = D ．∅【答案】C2.函数()412x xf x +=的图象 （ ）A.关于原点对称B.关于直线y=x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称【答案】D3．下列结论中错误．．的是 ( ) A ．设命题p ：x R ∃∈，使220x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，都有220x x ++≥ B ．若,x y R ∈，则“x y =”是“2()2x y xy +≤取到等号”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∧q 为假命题，则命题p 与q 都为假命题 D ．命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为真命题 【答案】C4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为 （ ） A. 4 B. 16 C. 256 D. 3log 16 【答案】C5．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 BCD【答案】A7．已知a r 、b r 、c r 均为单位向量，且满足a r ·b r =0，则（a r +b r +c r ）·（a r +c r）的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B8．某市政府调查市民收入与旅游愿望时，采用独立检验法抽取3000人，计算发现K 2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信)A. 99.5% B ．97.5% C ．95% D ．90% 【答案】B9.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 （ ）A .()0,+∞B . ()(),03,-∞+∞C .()(),00,-∞+∞ D .()3,+∞【解析】构造函数()e ()e ,xxg x f x =⋅-'''()e ()e ()e e ()()10,x x x x g x f x f x f x f x ⎡⎤=⋅+⋅-=+->⎣⎦因为所以()e ()e xxg x f x =⋅-是R 上的增函数，又因为(0)3g =，所以原不等式转化为()(0)g x g >，解得0x >.故选A.10．若存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列,周期为T .已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>, 11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,关于下列命题：①当34m =时，52a =；②若m =则数列{}n a 是周期为3的数列；③若34a =,则m 可以取3个不同的值；④m Q ∃∈且[]4,5m ∈,使得数列{}n a 的周期为6.其中真命题的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】对于①，当34m =时，易求得234541,,3,23a a a a ====，故①为真；对于②，当m =23411,1,a a a a ===，∴数列{}n a 是周期为3的数列，故②为真；对于③，由题意得22332201111a a a a a a<≤⎧>⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩或，3214,54a a =∴=或，又11221101111a a a a a a<≤⎧>⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩或且1a m =，51645m ∴=或或，故③为真；对于④，当=45m 或时，显然数列{}n a 不是周期数列，当()4,5m ∈时,要使得数列{}n a 的周期为6，必有711,14a a m m =-=-即,此时m Q ∉,故④为假命题.应选C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =________. 【答案】2 12．已知二项式3(ax 展开式中各项的系数和为64，则a =_________. 【答案】313．在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为_________．【答案】314．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则其公比q 为 ____________. 【答案】-2第13题PABCDE15．已知()||xf x x e =⋅，方程()2()()10f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为______________.【解析】()||x f x x e =⋅=(0)(0)xxxe x xe x ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩，0x ≥当时，'()0x xf x e xe =+≥恒成立， ()f x ∴在(0,)+∞递增，0x <当时，'()(1),x f x e x =-+此时()f x 在(,1)-∞-上递增，在 (1,0)-上递减，所以()f x 在(,0)-∞上有一个最大值为1(1)f e-=，要使方程()2()()10f x tf x t R ++=∈有四个实根，令()m f x =，则方程210m tm ++=应有两个不等实根，且一个根在1(0,)e内，另一个根在1(,)e +∞内，再令2()1g x m tm =++，(0)10g =>，则只需1()0g e<，解得21e t e +<-. 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校高一、高二两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”．(1)如果从所有的运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共10人，则应抽取“合格”的人数是多少？(2)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员来自高一队的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．解：(1)根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是101303=，所以应抽取“合格”的人数为12×143=人． ……………4分 (2)依题意，X 的取值为0,1,2. 则 P (X ＝0)＝C 28C 212＝2866＝1433，P (X ＝1)＝C 14C 18C 212＝3266＝1633，高二高一P (X ＝2)＝C 24C 212＝666＝111.因此，X 的分布列如下：10分 ∴E (X )＝0×1433＋1×1633＋2×111＝2233＝23. ………………………………12分17.（本题满分12分）在ABC ∆中，三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,设函数()2cos 2f x x x =+， 且()22Af =．（1）若cos cos sin a B b A c C +=，求角B 的大小；（2）记()||g AB AC λλ=+，若||||3AB AC ==，试求()g λ的最小值．解：(1)由题设条件知f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由正弦定理，知 cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=故2sin()sin A B C +=, 即2sin sin C C =因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又因为0C π<<,所以2C π=, …………3分因为()22A f =，得3A π=, 所以()6B AC ππ=-+=. ………………………6分(2) 2222||()||2||||cos ||AB AC AB AC AB AB AC A AC λλλλ+=+=++又||||3AB AC ==，3A π=. ………………………………9分所以22||(1)||(1AB AC AB λλλ+=++==故12λ=-时，()||g AB AC λλ=+.………………………………12分另解：记AB AC AP λ+=,则P 是过B 与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，所以()g λ的最小值即点A 到直线l .18.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，对角线AC 与BD 交于点O ，3OA =，1OD =，CD =SO ⊥面.ABCD（1）求证：SA BD ⊥；（2）若四棱锥S ABCD -的体积8V =， 求二面角A SB C --的平面角的正弦值. 解：（1）因为1OD =，底面ABCD 为等腰梯形， 所以，1OC =，又CD =OC OD ⊥，即AC BD ⊥，又SO ⊥面ABCD ，则BD SO ⊥， 而SA SO A =，故BD ⊥面SOA ，故SA BD ⊥. ………………………5分 （2）因为底面ABCD 为等腰梯形，且AC BD ⊥，则面积182S AC BD =⋅=， 则四棱锥S ABCD -的体积18 3.3V S SO SO ==⋅⇒= …………………7分 法一（向量法）、建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)O ，(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(1,0,0)C -，(0,0,3)S ，于是(3,0,3),(0,3,3)SA SB =-=-，(1,0,3).SC =--令面SAB 的法向量1(,,1)n x y =，由1103303300n SA x y n SB ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，则1(1,1,1)n =再令面SBC 的法向量2(,,1)n x y =，由110330300n SB y x n SC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩，则2(3,1,1)n =-，设二面角A SB C --的平面角为θ，则121233cos n n nn θ⋅==⋅， 故sin 33θ=. ………………………………12分ABCDSOyABC DSOH法二（几何法）、作OH SB ⊥于点H ，连接AH 、CH由题设条件（或用三垂线定理）可证,AH SB CH SB ⊥⊥，则A H C ∠为二面角A SB C --的平面角。
云南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷
2014-2015学年云南师大附中高三〔上〕第一次月考数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的〕1．已知全集U和集合A，B如下图，则〔∁U A〕∩B=( )A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8}2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，z1=1+i，则z1z2=( )A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．23．已知向量，满足|﹣|=，•=1，则|+|=( )A．B．2C． D．104．曲线y=e ax+在点〔0，2〕处的切线与直线y=x+3平行，则a=( )A．1 B．2 C．3 D．45．在△ABC中，已知sinC=2sinAcosB，那么△ABC一定是( )A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形6．函数在区间上的最大值是( )A．1 B．C．D．1+7．已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的取值范围是( ) A．[1，9]B．[2，9]C．[3，7]D．[3，9]8．如图，网格纸上小方格的边长为1〔表示1cm〕，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯外表积与切削得的零件外表积的比值为( )A．B．C．D．9．假设任取x，y∈[0，1]，则点P〔x，y〕满足y＞x2的概率为( )A．B．C．D．10．已知椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．假设=2，则椭圆的离心率是( )A．B．C．D．11．把边长为2的正三角形ABC沿BC边上的高AD折成直二面角，设折叠后BC中点为M，则AC与DM所成角的余弦值为( )A．B．C．D．12．函数f〔x〕=x+x3〔x∈R〕当0＜θ＜时，f〔asinθ〕+f〔1﹣a〕＞0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．〔﹣∞，1]B．〔﹣∞，1〕C．〔1，+∞〕D．〔1，+∞〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．定义一种新运算“⊗”：S=a⊗b，其运算原理如图3的程序框图所示，则3⊗6﹣5⊗4=__________．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．假设a1=1，则S4=__________．15．关于sinx的二项式〔1+sinx〕n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，当x∈[0，π]时，x=__________．16．已知三次函数f〔x〕=x3+x2+cx+d〔a＜b〕在R上单调递增，则的最小值为__________．三、解答题〔共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17．一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球．〔1〕假设有放回的从口袋中连续的取3次球〔每次只取一个球〕，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；〔2〕假设不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E 〔ξ〕．18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．〔1〕求证：AB1⊥A l C；〔2〕求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．19．设数列{a n}满足a1=0且a n+1=．n∈N*．〔1〕求证数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；〔2〕设b n=，S n为数列{b n}的前n项和，证明：S n＜1．20．已知函数f〔x〕=ax﹣1﹣lnx〔a∈R〕．〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕在定义域内的极值点的个数；〔Ⅱ〕已知函数f〔x〕在x=1处取得极值，且对∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．21．如图，已知抛物线C：y2=2px〔p＞0〕和圆M：〔x﹣4〕2+y2=1，过抛物线C上一点H 〔x0，y0〕〔y0≥1〕作两条直线与圆M相切于A，B两点，圆心M到抛物线准线的距离为．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕假设直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．【[选修4-1：几何证明选讲】〔共1小题，总分值10分〕22．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．〔1〕求证：直线AB是⊙O的切线；〔2〕假设tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】〔共1小题，总分值0分〕23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在极坐标系〔与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，圆C 的方程为．〔Ⅰ〕求圆C的圆心到直线l的距离；〔Ⅱ〕设圆C与直线l交于点A、B．假设点P的坐标为〔3，〕，求|PA|+|PB|．【选修4-5：不等式选讲】〔共1小题，总分值0分〕24．已知一次函数f〔x〕=ax﹣2．〔1〕解关于x的不等式|f〔x〕|＜4；〔2〕假设不等式|f〔x〕|≤3对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数a的范围．2014-2015学年云南师大附中高三〔上〕第一次月考数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的〕1．已知全集U和集合A，B如下图，则〔∁U A〕∩B=( )A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】先由文氏图求出集合U，A，B，再由集合的运算法则求出〔C U A〕∩B．【解答】解：由图可知，U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，∴〔C U A〕∩B={0，4，5，6，7，8}∩{3，5，6}={5，6}．故选A．【点评】此题考查集合的运算和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意文氏图的合理运用．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，z1=1+i，则z1z2=( )A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】通过复数的几何意义先得出z2，再利用复数的代数运算法则进行计算．【解答】解：z1=1+i在复平面内的对应点为〔1，1〕，它关于原点对称的点为〔﹣1，﹣1〕，故z2=﹣1﹣i，∴．故选：A．【点评】此题复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．已知向量，满足|﹣|=，•=1，则|+|=( )A．B．2C． D．10【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方和完全平方公式，计算即可得到．【解答】解：由已知得|﹣|2=〔﹣〕2=2+2﹣2•=2+2﹣2=6，即2+2=8，即有|+|2=〔+〕2=2+2+2•=8+2=10，即．故选C．【点评】此题考查向量的数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．4．曲线y=e ax+在点〔0，2〕处的切线与直线y=x+3平行，则a=( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】求出原函数的导函数，由曲线y=e ax+在点〔0，2〕处的切线与直线y=x+3平行可得y'|x=0=a﹣1=1，由此求得a的值．【解答】解：由y=e ax+，得，∵曲线y=e ax+在点〔0，2〕处的切线与直线y=x+3平行，∴y'|x=0=a﹣1=1，∴a=2．故选：B．【点评】此题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．5．在△ABC中，已知sinC=2sinAcosB，那么△ABC一定是( )A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；解三角形．【分析】三角形的内角和为π，利用诱导公式可知sinC=sin〔A+B〕，与已知联立，利用两角和与差的正弦即可判断△ABC的形状；【解答】解：∵在△ABC中，sinC=sin[π﹣〔A+B〕]=sin〔A+B〕，∴sinC=2sinAcosB⇔sin〔A+B〕=2sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，∴sin〔A﹣B〕=0，∴A=B．∴△ABC一定是等腰三角形．故选B．【点评】此题考查三角形的形状判断，考查两角和与差的正弦，利用sinC=sin〔A+B〕是关键，属于中档题．6．函数在区间上的最大值是( )A．1 B．C．D．1+【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到f〔x〕=，然后再求其在区间上的最大值．【解答】解：由，∵，∴．故选C．【点评】此题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．二倍角公式一般都是反向考查，一定要会灵活运用．7．已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的取值范围是( )A．[1，9]B．[2，9]C．[3，7]D．[3，9]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：根据线性约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．作出直线l：x+3y=0，将直线l向上平移至过点M〔0，3〕和N〔2，0〕位置时，z max=0+3×3=9，z min=2+3×0=2．故选：B【点评】此题主要考查线性规划的应用．此题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决此题的关键．8．如图，网格纸上小方格的边长为1〔表示1cm〕，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯外表积与切削得的零件外表积的比值为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】求出圆锥毛坯的外表积，切削得的零件外表积，即可求出毛坯外表积与切削得的零件外表积的比值．【解答】解：圆锥毛坯的底面半径为r=4cm，高为h=3cm，则母线长l=5cm，所以圆锥毛坯的外表积S圆表=πrl+πr2=π×4×5+π×42=36π，切削得的零件外表积S零件表=S圆表+2π×2×1=40π，所以所求比值为=．故选D．【点评】由三视图求几何体的外表积，关键是正确的分析原几何体的特征．9．假设任取x，y∈[0，1]，则点P〔x，y〕满足y＞x2的概率为( ) A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答．【解答】解：该题属几何概型，由积分知识易得点P〔x，y〕满足y＞x2的面积为，所以所求的概率为．故选A．【点评】此题考查了几何概型公式的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积；当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答．10．已知椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．假设=2，则椭圆的离心率是( )A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P〔0，t〕，∵=2，∴〔﹣a，t〕=2〔﹣c，﹣t〕．∴a=2c，∴e==，故选D．【点评】此题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，表达了数形结合的数学思想．11．把边长为2的正三角形ABC沿BC边上的高AD折成直二面角，设折叠后BC中点为M，则AC与DM所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出AC与DM所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立如下图的空间直角坐标系D﹣xyz，则M〔，，0〕，D〔0，0，0〕，∴=〔0，1，﹣〕，=〔〕，设AC与DM所成角为θ，则cosθ=|cos＜＞|==．∴AC与DM所成角的余弦值为．故选：B．【点评】此题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．函数f〔x〕=x+x3〔x∈R〕当0＜θ＜时，f〔asinθ〕+f〔1﹣a〕＞0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．〔﹣∞，1]B．〔﹣∞，1〕C．〔1，+∞〕D．〔1，+∞〕【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数的奇偶性，然后再结合单调性将给的不等式化归为两个函数值的大小比较问题，从而构造出关于θ的不等式恒成立，然后别离参数求a的取值范围．【解答】解：因为f'〔x〕=1+3x2＞0，故f〔x〕=x+x3〔x∈R〕在R上单调递增，且为奇函数，所以由f〔asinθ〕+f〔1﹣a〕＞0得f〔asinθ〕＞f〔a﹣1〕，从而asinθ＞a﹣1，即当时，恒成立，所以a≤1．故选：A．【点评】此题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．定义一种新运算“⊗”：S=a⊗b，其运算原理如图3的程序框图所示，则3⊗6﹣5⊗4=﹣3．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由框图可知算法的功能是求从而由新定义可得3⊗6﹣5⊗4的值．【解答】解：由框图可知，从而得：3⊗6﹣5⊗4=6〔3﹣1〕﹣5〔4﹣1〕=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了程序框图和算法，读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答，属于基本知识的考查．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．假设a1=1，则S4=15．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意知2a2﹣4a1=a3﹣2a2，即2q﹣4=q2﹣2q，由此可知q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，于是得到S41+2+4+8=15．【解答】解：∵2a2﹣4a1=a3﹣2a2，∴2q﹣4=q2﹣2q，q2﹣4q+4=0，q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．答案：15【点评】此题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用．15．关于sinx的二项式〔1+sinx〕n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，当x∈[0，π]时，x=或．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由题意可得，求得n=6，可得，求得．结合x∈[0，π]，可得x的值．【解答】解：由题意可得，故n=6，所以第4项的系数最大，于是，所以，，即．又x∈[0，π]，所以或．故答案为：或【点评】此题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式．一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答属于基础题．16．已知三次函数f〔x〕=x3+x2+cx+d〔a＜b〕在R上单调递增，则的最小值为3．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意得f'〔x〕=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b2﹣4ac≤0，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．【解答】解：由题意f'〔x〕=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2﹣4ac≤0．∴≥令，≥≥3．〔当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”〕故答案为：3【点评】此题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题．三、解答题〔共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17．一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球．〔1〕假设有放回的从口袋中连续的取3次球〔每次只取一个球〕，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；〔2〕假设不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E 〔ξ〕．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本领件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】〔1〕利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率．〔2〕白球的个数ξ可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E〔ξ〕．【解答】解：〔1〕设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P，由题设知，．〔2〕白球的个数ξ可取0，1，2，．所以ξ的分布列如下表：ξ0 1 2P．【点评】此题考查相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力．求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望．18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．〔1〕求证：AB1⊥A l C；〔2〕求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间角．【分析】〔1〕由已知条件推导出四边形A1C1CA为菱形，从而得到A1C⊥平面AB1C1，由此能够证明AB1⊥A1C．〔Ⅱ〕设点C1到平面AA1B1的距离为d，利用等积法求出d=，由此能求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥B1C1，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO=O，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1，又∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C．〔Ⅱ〕解：设点C1到平面AA1B1的距离为d，∵=，∴=，又∵在△AA1B1中，，，∴d=，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为．【点评】此题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．设数列{a n}满足a1=0且a n+1=．n∈N*．〔1〕求证数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；〔2〕设b n=，S n为数列{b n}的前n项和，证明：S n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】〔1〕把代入，能推导出，由此能证明数列是公差为1的等差数列，从而能求出．〔2〕由，利用裂项求和法能证明S n＜1．【解答】〔1〕解：∵，∴===1，∴，∴数列是公差为1的等差数列．又，所以．〔2〕证明：由〔1〕得，．∴S n＜1．【点评】此题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查等差数列的证明，证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明．20．已知函数f〔x〕=ax﹣1﹣lnx〔a∈R〕．〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕在定义域内的极值点的个数；〔Ⅱ〕已知函数f〔x〕在x=1处取得极值，且对∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题；综合题．【分析】〔Ⅰ〕由f〔x〕=ax﹣1﹣lnx可求得f′〔x〕=，对a分a≤0与a＞0讨论f′〔x〕的符号，从而确定f〔x〕在其定义域〔0，+∞〕单调性与极值，可得答案；〔Ⅱ〕函数f〔x〕在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f〔x〕≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g〔x〕=1+﹣，g〔x〕min即为所求的b的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕=ax﹣1﹣lnx，∴f′〔x〕=a﹣=，当a≤0时，f'〔x〕≤0在〔0，+∞〕上恒成立，函数f〔x〕在〔0，+∞〕单调递减，∴f〔x〕在〔0，+∞〕上没有极值点；当a＞0时，f'〔x〕≤0得0＜x≤，f'〔x〕≥0得，∴f〔x〕在〔0，]上递减，在[，+∞〕上递增，即f〔x〕在处有极小值．∴当a≤0时f〔x〕在〔0，+∞〕上没有极值点，当a＞0时，f〔x〕在〔0，+∞〕上有一个极值点．〔Ⅱ〕∵函数f〔x〕在x=1处取得极值，∴a=1，∴f〔x〕≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，令g〔x〕=1+﹣，则g′〔x〕=﹣﹣=﹣〔2﹣lnx〕，由g′〔x〕≥0得，x≥e2，由g′〔x〕≤0得，0＜x≤e2，∴g〔x〕在〔0，e2]上递减，在[e2，+∞〕上递增，∴，即b≤1﹣．【点评】此题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，表达综合分析问题与解决问题能力，属于难题．21．如图，已知抛物线C：y2=2px〔p＞0〕和圆M：〔x﹣4〕2+y2=1，过抛物线C上一点H 〔x0，y0〕〔y0≥1〕作两条直线与圆M相切于A，B两点，圆心M到抛物线准线的距离为．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕假设直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】〔1〕由圆心M〔4，0〕到抛物线准线的距离为=，解出即可得出．〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由，可得，直线HA的方程为〔4﹣x1〕x﹣y1y+4x1﹣15=0，同理可得：直线HB的方程为〔4﹣x2〕x﹣y2y+4x2﹣15=0，把H〔x0，y0〕〔y0≥1〕代入可得：直线AB的方程为，令x=0，可得，利用其单调性即可得出．【解答】解：〔1〕∵点M〔4，0〕到抛物线准线的距离为=，∴，∴抛物线C的方程为y2=x．〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，∵，∴，可得，直线HA的方程为〔4﹣x1〕x﹣y1y+4x1﹣15=0，同理可得：直线HB的方程为〔4﹣x2〕x﹣y2y+4x2﹣15=0，∴，，∴直线AB的方程为，令x=0，可得，∵t关于y0的函数在[1，+∞〕上单调递增，∴t min=﹣11．【点评】此题考查了抛物线与圆的定义标准方程及其性质、直线与圆相切问题、切线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【[选修4-1：几何证明选讲】〔共1小题，总分值10分〕22．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．〔1〕求证：直线AB是⊙O的切线；〔2〕假设tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【专题】计算题；证明题．【分析】〔1〕要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；〔2〕先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．【解答】解：〔1〕如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；〔2〕∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，∴BC2=BD•BE，∵tan∠CED=，∴．∵△BCD∽△BEC，∴，设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴〔2x〕2=x•〔x+6〕，解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．．【点评】此题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】〔共1小题，总分值0分〕23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在极坐标系〔与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，圆C 的方程为．〔Ⅰ〕求圆C的圆心到直线l的距离；〔Ⅱ〕设圆C与直线l交于点A、B．假设点P的坐标为〔3，〕，求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】〔I〕圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；〔Ⅱ〕将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得即，根据两交点A，B所对应的参数分别为t1，t2，利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得．【解答】解：〔Ⅰ〕由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．所以，圆C的圆心到直线l的距离为．…〔Ⅱ〕将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…【点评】此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程，掌握直线参数方程中参数的几何意义，是一道中档题．【选修4-5：不等式选讲】〔共1小题，总分值0分〕24．已知一次函数f〔x〕=ax﹣2．〔1〕解关于x的不等式|f〔x〕|＜4；〔2〕假设不等式|f〔x〕|≤3对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数a的范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】〔1〕解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用绝对值不等式的解集，对a讨论，分a＞0，a＜0，即可得到解集；〔2〕对于不等式恒成立求参数范围问题，通常别离参数转化为函数的最值问题进行解答．【解答】解：〔1〕|f〔x〕|＜4即为|ax﹣2|＜4，即﹣2＜ax＜6，则当a＞0时，不等式的解集为；当a＜0时，不等式的解集为．〔2〕|f〔x〕|≤3⇔|ax﹣2|≤3⇔﹣3≤ax﹣2≤3⇔﹣1≤ax≤5⇔，∵x∈[0，1]，∴当x=0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为又∵，∴﹣1≤a≤5且a≠0【点评】此题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，运用参数别离和分类讨论是解题的关键．。
湖南省师大附中2015届高三数学第一次月考试题 理(含解析)
某某省师大附中2015届高三数学第一次月考试题 理（含解析）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知集合M ＝{ |x x2－2x<0}，N ＝{ |x x<a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值X 围是()A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0] 【知识点】子集的运算.A1 【答案解析】A 解析：因为2M {|x 2x 0}|02x x x ＝－，N ＝{ |x x<a}，M ⊆N ，所以2a，故选A.【思路点拨】先化简集合M ，再利用M ⊆N 即可.【题文】2．下列四个命题p1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x < ⎝ ⎛⎭⎪⎫13xp2：∃x ∈(0，1)，log 12x>log 13x p3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x p4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x 其中的真命题是()A ．p1，p3B ．p1，p4C ．p2，p3D ．p2，p4【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】D 解析：对应命题p1可，分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图：由图象 可知：∀x ∈（0，+∞），⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，所以命题p1错误．p2：作出对数函数y1＝12logx，y2＝13logx的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数y1＝12logx，y2＝(12)x的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，13）时，13logx＞1，(12)x＜1，所以恒有13logx＞(12)x成立，所以命题P4正确．故选D．【思路点拨】分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．【题文】3．在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出()A．10 B．11 C．512 D．1 024【知识点】程序框图．L1【答案解析】D 解析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；n=3，s=1，k=1，k≤n，是，s=1×2=2；k=2，k≤n，是，s=2×2=4= 22；k=3，k≤n，是，s=4×2=8= 32；…k=11，k≤n，否，输出s= 102．故选：D ．【思路点拨】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【题文】4．将函数f(x)＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为() A ．－π4 B.π4 C.3π4 D.5π4【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】C 解析：化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4yx，又所得函数图象关于原点对称，∴4k，（k ∈Z ）,∴4k（k ∈Z ），当k=1时，取最小值为34,故选C.【思路点拨】化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4y x，又所得函数图象关于原点对称解得取最小值为34.【题文】5．若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧y≥2||x －1y≤x＋1，则z ＝x ＋3y 的最大值为()A ．9B ．11C ．12D ．16 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y ，得133z y x ＝，平移直线133z y x ＝，由图象可知当133z y x ＝，经过点C 时，直线截距最大，此时z最大．由211y x yx 得23x y ，即C （2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11， 故选：B ．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．【题文】6．不全相等的五个数a 、b 、c 、m 、n 具有关系如下：a 、b 、c 成等比数列，a 、m 、b 和b 、n 、c 都成等差数列，则a m ＋cn ＝()A ．－2B ．0C ．2D ．不能确定 【知识点】等差、等边数列.D2 D3【答案解析】C 解析：不妨令1,2,4,a b c 则3,32mn ，代入可得2a c m n，故选C.【思路点拨】不妨令1,2,4,a bc 则3,32mn ，代入可得结果.【题文】7．已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 、y 的正半轴上(含原点)滑动，则OB →·OC →的最大值是() A ．1 B.22C ．2 D. 5 【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用．F3【答案解析】C 解析：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=2-θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（2-θ）=cosθ+sinθ，yB=sin （2-θ）=cosθ，故OB →=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C （sinθ，cosθ+sinθ），即OC →=（sinθ，cosθ+sinθ），∴OB →·OC →=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故OB →·OC →的最大值是2，故答案是 2．【思路点拨】令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上，可得出B ，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 【题文】8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为() A.34 B.32C. 3 D ．2 3【知识点】三视图.G2【答案解析】D 解析：如图所示，四面体为棱长为2的正四面体，2142sin 60232S.【思路点拨】根据题意转化为正方体内的正四面体，可知其棱长再求面积即可.【题文】9．若曲线C1：x2＋y2－2x ＝0与曲线C2：y(y －mx －m)＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞【知识点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．H3 H4【答案解析】B 解析：曲线C1：(x －1)2＋y2＝1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C2：y ＝0，或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C2图象为x 轴与恒过定点(－1，0)的两条直线．作图分析：k1＝tan 30°＝33，k2＝－tan 30°＝－33，又直线l1(或直线l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33. 【思路点拨】由题意可知曲线C1：x2+y2-2x=0表示一个圆，曲线C2：y （y-mx-m ）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0要有2个交点，根据直线y-mx-m=0过定点，先求出直线与圆相切时m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的m 的X 围．【题文】10．已知集合A ＝{}x |x ＝a0＋a1×3＋a2×32＋a3×33，其中ai ∈{}0，1，2()i ＝0，1，2，3且a3≠0，则A 中所有元素之和等于()A ．3 240B ．3 120C ．2 997D ．2 889 【知识点】数列的求和;分类计数原理.J1D4【答案解析】D 解析：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A 中含有a0项的所有数的和为(0＋1＋2)×18；同理可得集合A 中含有a1项的所有数的和为(3×0＋3×1＋3×2)×18； 集合A 中含有a2项的所有数的和为(32×0＋32×1＋32×2)×18； 集合A 中含有a3项的所有数的和为(33×1＋33×2)×27； 由分类计数原理得集合A 中所有元素之和：S ＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2 187＝2 889.故选D. 【思路点拨】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A 中所有元素之和．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．【题文】11．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A＝60°，则cos B ＝____．【知识点】正弦定理.C8【答案解析】63解析：∵在△ABC 中，a=15，b=10，A=60°，由正弦定理可得01510sin60sin B ，解得sinB=33．又因为b<a ，所以B<A，则6cos 3B，故答案为63.【思路点拨】先利用正弦定理求得sinB ，再利用平方关系解得cos B 即可.【题文】12．如右图，椭圆x216＋y212＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为____．【知识点】椭圆的应用；与二面角有关的立体几何综合题．H5 G11【答案解析】3 解析：连接A1O ∵A1 O ⊥y 轴，A O ⊥y 轴， ∴∠A1 O A2为两个面的二面角．|A1 O |=a=4，O F|=c=2，∴cos∠A1 O A2= 12c a ，∴∠A1 O A2= 3，故答案为3.【思路点拨】连接A1 O 根据椭圆的性质可知A1 O ⊥y 轴，A2 O ⊥y 轴，推断出∠A1 O A2为所求的二面角，利用椭圆的方程求得a 和c ，即|A1 O |和| O F|的值，进而在Rt△A1 O A2中利用求得cos∠A1 O A2进而求得∠A1 O A2． 【题文】13．若f(x)＋⎠⎛01f(x)dx ＝x ，则f(x)＝__ _．【知识点】定积分.B13【答案解析】x －14 解析：因为⎠⎛01f(x)dx 是个常数，不妨设为m ，所以f(x)＝x －m ，其原函数F(x)＝12x2－mx ＋C(C 为常数)，所以可得方程m ＝12－m ，解得m ＝14.故f(x)＝x －14.【思路点拨】根据已知条件设f(x)＝x －m 代入求出m 即可.【题文】14．在函数f(x)＝aln x ＋(x ＋1)2()x>0的图象上任取两个不同的点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，总能使得f(x1)－f(x2)≥4(x 1－x2)，则实数a 的取值X 围为__． 【知识点】函数的性质及应用；导数的概念及应用．B12【答案解析】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立，也就是 a≥()2x （1－x ）max ＝12.【思路点拨】由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立, 由此构造关于a 的不等式，可得实数a的取值X 围．【题文】15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，……，若按此规律继续下去，则a5＝____，若an ＝145，则n ＝___.【知识点】归纳推理．M1【答案解析】35,10解析：第一个有1个实心点， 第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点， …第n 个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=3(1)2n n +n 个实心点， 故当n=5时，3(1)2n n +n=30+5=35个实心点． 若an=145，即3(1)2n n +n=145，解得n=10故答案为：35，10．【思路点拨】仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及an=145时，n 的值即可．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】16．(本题满分12分) 设f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6－2cos2π8x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时y ＝g(x)的最大值．【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．C3 C5【答案解析】(1) 8 (2) 32解析：(1)f(x)＝sinπ4xcos π6－cos π4xsin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3，故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(6分)(2)法一：在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))． 由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3，当0≤x≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3 ，因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 上的最大值为ymax ＝3cos π3＝32.(12分)法二： 因区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π3.当23≤x≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为ymax ＝3sin π6＝32.(12分)【思路点拨】（1）f （x ）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f （x ）的最小正周期；（2）在y=g （x ）的图象上任取一点（x ，g （x ）），根据f （x ）与g （x ）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f （x ）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g （x ）的最大值． 【题文】17．(本题满分12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A 、B 、C 三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A 、B 、C 测试的概率为分别为15、13、12， 且通过各次测试的事件相互独立．(1)若甲选手先测试A 项目，再测试B 项目，后测试C 项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．K5 K6【答案解析】(1) 即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115 (2) 按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．解析：(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415， 故甲选手能通过海选的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝1115.(3分)若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415，即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115.(5分)(2)依题意，ξ的所有可能取值为1、2、3.P(ξ＝1)＝p1，P(ξ＝2)＝(1－p1)p2，P(ξ＝3)＝(1－p1)(1－p2)p3. 故ξ的分布列为ξ 1 2 3Pp1(1－p1)p2(1－p1)(1－p2)p3(8分)Eξ＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)p3(10分)分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B 的顺序参加测试时，Eξ的值，得甲选手按C→B→A 的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．(12分) 【思路点拨】（1）求出甲同学不能通过海选的概率，利用对立事件的概率公式，可求甲同学能通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率不变；（2）ξ的可能取值为1，2，3，求出相应概率，可得分布列与期望；利用参加海选测试次数少的选手进入正赛，可得结论． 【题文】18．(本题满分12分)如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为5，CE 垂直于⊙O 所在的平面，BD∥CE，CE ＝4，BC ＝6，且BD ＝1，cos ∠ADB ＝101101. (1)求证：平面AEC⊥平面BCED ；(2)试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．G10【答案解析】(1)见解析 (2) 存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121.解析：(1)证明：∵BD⊥平面ABC ∴BD⊥AB，又因为 BD ＝1，cos∠ADB＝101101. 故AD ＝101，AB ＝10＝直径长，(3分)∴AC⊥BC.又因为EC⊥平面ABC ，所以EC⊥BC.∵AC∩EC＝C ，∴BC⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCED ， ∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)． 则AD →＝(－8，6，1)，DE →＝(0，－6，3)，设DM →＝λDE →＝λ(0，－6，3)＝(0，－6λ，3λ)，0<λ<1 故AM →＝AD →＋DM →＝(－8, 6－6λ，1＋3λ) 由(1)易得平面ACE 的法向量为CB →＝(0，6，0)， 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝|AM →·CB →||AM →|·|CB →|＝36－36λ64＋36（1－λ）2＋（1＋3λ）2·6＝22121，解得λ＝13.(10分)所以存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)法二：(几何法)如图，作MN⊥CE 交CE 于N ，连接AN ，则MN⊥平面AEC ，故直线AM 与平面ACE 所成的角为∠MAN，且MN⊥AN，NC⊥AC.设MN ＝2x ，由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121， 得AM ＝21x ，所以AN ＝17x.另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN ＝x ，NC ＝4－x 而AC ＝8，故Rt△ANC 中，由AN2＝AC2＋NC2 得17x2＝64＋(4－x)2，∴x＝2，∴MN＝4，EM ＝2 5所以存在点M ，且EM ＝25时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)【思路点拨】（1）由已知易得AB 是⊙O 的直径，则AC⊥BC 由线面垂直的判定定理可得CE⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理可得平面AEC⊥平面BCDE ；（2）方法一：过点M 作MN⊥CE 于N ，连接AN ，作MF⊥CB 于F ，连接AF ，可得∠MAN 为MA 与平面ACE 所成的角，设MN=x ，则由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，我们可以构造关于x 的方程，解方程即可求出x 值，进而得到点M 的位置．方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz ，求出平面ABC 的法向量和直线AM 的方向向量（含参数λ），由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，根据向量夹角公式，我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M 的位置． 【题文】19．(本题满分13分)等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．⎝ ⎛⎭⎪⎫5436108201216(1)求此数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn ＝3an －()－1nlg an ，求数列{bn}的前n 项和Sn. 【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案解析】(1) an ＝3·2n－1 (2) Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.解析：(1)经检验，当a1＝5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；故有a1＝3，a2＝6，a3＝12，等比数列公比q ＝2， 所以an ＝3·2n－1.(5分)(2)由an ＝3·2n －1得bn ＝3an －()－1nlg an ＝9×2n －1－(－1)n []lg 3＋（n －1）lg 2.所以Sn ＝9(1＋2＋…＋2n －1)－⎣⎡⎦⎤()－1＋()－12＋…＋()－1n(lg 3－lg 2)－[]－1＋2－3＋…＋（－1）nn lg 2(9分)n 为偶数时，Sn ＝9×1－2n 1－2－n 2lg 2＝9(2n －1)－n2lg 2.n 为奇数时，Sn ＝9×1－2n 1－2＋(lg 3－lg 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n lg 2＝9(2n －1)＋n －12lg 2＋lg 3.所以， Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.(13分)【思路点拨】(1)先检验再利用等比数列的通项公式即可；（2）分情况讨论即可. 【题文】20．(本题满分13分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM →·OQ →的最大值．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8 【答案解析】(1) x28＋y24＝1. (2) 2 3.解析：(1)在C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2中，令y ＝0得F(2，0)，即c ＝2，令x ＝0，得B(0，2)，b ＝2， 由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：x28＋y24＝1.(4分)(2)法一：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx （x －1）2＋（y －1）2＝2得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x ＝0，∴x1＝2＋2k 1＋k2，∴OM →·OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x12，kx12·(x2，kx2)＝12(x1x2＋k2x1x2)＝221＋k 1＋2k2(k>0). (9分)＝22（1＋k ）21＋2k2＝22k2＋2k ＋11＋2k2.设φ(k)＝k2＋2k ＋11＋2k2，φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2，令φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2>0，得－1<k<12.又k>0，∴φ(k)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．∴当k ＝12时，φ(k)max＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，即OM →·OQ →的最大值为2 3.(13分)法二：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)OM →·OQ →＝(OC →＋CM →)·OQ →＝OC →·OQ → ＝(1，1)·(x2，kx2)＝(1＋k)x2＝221＋k1＋2k2(k>0)(9分)＝22（1＋k ）21＋2k2.设t ＝1＋k(t>1)，则（1＋k ）21＋2k2＝t22t2－4t ＋3＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －232＋23≤32.当且仅当1t ＝23时，(OM →·OQ →)max ＝2 3.(13分)【思路点拨】(1) 在圆（x-1）2+（y-1）2=2中，令y=0，得F （2，0），令x=0，得B （0，2），由此能求出椭圆方程． (2) 依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2) ，把直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系代入，再结合基本不等式即可.【题文】21．(本题满分13分)已知函数f(x)＝ex －ax2－2x －1(x∈R)． (1)当a ＝0时，求f(x)的单调区间；(2)求证：对任意实数a<0，有f(x)>a2－a ＋1a.【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数结合函数的单调性证明不等式.B3 B12 【答案解析】(1) (－∞，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，＋∞)是f(x)的单调增区间． (2)见解析。
炎德英才大联考·师大附中届高三考试卷(一)理科数学
炎德英才大联考·师大附中届高三考试卷(一)理科数学————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2开始S =1, n S =2k =kk ≤是否S结束 正视图 侧视图1 1炎德英才大联考·湖南师大附中2015届高三月考试卷（一）数 学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、已知集合M ={}220x x x -<，N ={}x x a <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）AA 、[)2,+∞B 、()2,+∞C 、(),0-∞D 、(],0-∞ 2、下列四个命题：1p ：∃()0,x ∈+∞，1123x x⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 2p ：∃()0,1x ∈，1123log log x x >；3p ：∀()0,x ∈+∞，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭； 4p ：∀10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭；其中的真命题是（ ）DA 、1p ，3p Ｂ、1p ，4p C 、2p ，3p D 、2p ，4p3、在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出（ ）D A 、10 B 、11C 、512D 、10244、将函数()sin cos f x x x =+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）CA 、4π-B 、4πC 、34πD 、54π5、若实数,x y 满足条件211y x y x ⎧≥-⎪⎨≤+⎪⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）BA 、9B 、11C 、12D 、166、不全相等的五个数,,,,a b c m n 具有关系如下：,,a b c 成等比数列，,,a m b 和,,b n c 都成等差数列，则a c m n+的值为（ ）CA 、2-B 、0C 、2D 、不能确定7、已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴上（含原点）滑动，则OB OC ⋅u u u r u u u r的最大值是（ ）CA 、1B ．22 C 、2 D 、58、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）DA 、34B 、32C 、3D 、23【解析】如图所示， 四面体为正四面体， 且棱长为2，XyO1l 1 l 2-l于是其表面积为()2342234S =⋅⋅=表。
炎德英才大联考·长沙一中2015届高三月考试卷(一)理科数学
炎德英才大联考〃长沙一中2015届高三月考试卷（一）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）CA 、3B 、4C 、5D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。
设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系， 则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。
4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）B A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、86、若()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞，()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8π B ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增； 而()00f =，所以()00f x x >⇔>。
炎德英才大联考·师大附中届高三考试卷(一)理科数学·学生
炎德英才大联考·师大附中届高三考试卷(一)理科数学·学生————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2开始S =1, n S =2k =kk ≤是否S结束 正视图 侧视图1 1炎德英才大联考·湖南师大附中2015届高三月考试卷（一）数 学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、已知集合M ={}220x x x -<，N ={}x x a <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A 、[)2,+∞B 、()2,+∞C 、(),0-∞D 、(],0-∞ 2、下列四个命题：1p ：∃()0,x ∈+∞，1123x x⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 2p ：∃()0,1x ∈，1123log log x x >；3p ：∀()0,x ∈+∞，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭； 4p ：∀10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭；其中的真命题是（ ）A 、1p ，3p Ｂ、1p ，4p C 、2p ，3p D 、2p ，4p3、在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出（ ） A 、10 B 、11C 、512D 、10244、将函数()sin cos f x x x =+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A 、4π-B 、4πC 、34πD 、54π5、若实数,x y 满足条件211y x y x ⎧≥-⎪⎨≤+⎪⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A 、9B 、11C 、12D 、166、不全相等的五个数,,,,a b c m n 具有关系如下：,,a b c 成等比数列，,,a m b 和,,b n c 都成等差数列，则a c m n+的值为（ ）A 、2-B 、0C 、2D 、不能确定7、已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴上（含原点）滑动，则OB OC ⋅u u u r u u u r的最大值是（ ）A 、1B ．22C 、2D 、58、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）A 、34B 、32C 、3D 、239、若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）B 2B 1A 1 A 2 A 2xy O F 1 F 2 x…A 、33,33⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ B 、33,00,33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C 、33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D 、33,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 10、已知集合{}230123333A x x a a a a ==+⋅+⋅+⋅，其中{}0,1,2i a ∈（0,1,2,3i =）且30a ≠，则A 中所有元素之和等于（ ）A 、3240B 、3120C 、2997D 、2889 请将各小题唯一正确答案的代号填入下表的相应位置：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
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正视图侧视图俯视图炎德英才大联考〃湖南师大附中2015届高三月考试卷（一）数 学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、已知集合M ={}220x x x -<，N ={}x x a <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）AA 、[)2,+∞B 、()2,+∞C 、(),0-∞D 、(],0-∞ 2、下列四个命题：1p ：∃()0,x ∈+∞，1123xx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 2p ：∃()0,1x ∈，1123log log x x >；3p ：∀()0,x ∈+∞，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭； 4p ：∀10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，131l o g 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭；其中的真命题是（ ）DA 、1p ，3p Ｂ、1p ，4p C 、2p ，3p D 、2p ，4p3、在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出（ ）D A 、10 B 、11C 、512D 、10244、将函数()sin cos f x x x =+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）CA 、4π-B 、4πC 、34πD 、54π5、若实数,x y 满足条件211y x y x ⎧≥-⎪⎨≤+⎪⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）BA 、9B 、11C 、12D 、166、不全相等的五个数,,,,a b c m n 具有关系如下：,,a b c 成等比数列，,,a m b 和,,b n c 都成等差数列，则a c m n+的值为（ ）CA 、2-B 、0C 、2D 、不能确定7、已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴上（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值是（ ）C A 、1 B．2C 、2 D8、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）DABCD 、【解析】如图所示， 四面体为正四面体，于是其表面积为24S ==表9、若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）BA 、⎛ ⎝⎭B 、30,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 、⎡⎢⎣⎦ D 、3,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】曲线图象1C 为圆心在()1,0，半径为1的圆；曲线2C ：0y =或y mx m =+，表示的是两条直线，其中一条为 x 轴，另一条为过定点()1,0-的动直线l 。
如图所示，过点()1,0-且与圆1C 相切的直线1l 的斜率为13tan 30k ==，直线2l 的斜率为2tan150k ==-； 要使x 轴和直线l 与圆共有4个不同的交点，必须且只需使直线l 在直线1l 与2l 之间且不与x 轴重合， 即有m ∈30,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
10、已知集合{}230123333A x x a a a a ==+⋅+⋅+⋅，其中{}0,1,2i a ∈（0,1,2,3i =）且30a ≠，则A 中所有元素之和等于（ ）DA 、3240B 、3120C 、2997D 、2889 【解析】由题意可知，012,,a a a 各有三种取法，3a 有两种取法（取1或2），由分步计数原理可得共有333254⨯⨯⨯=种方法。
当0a 取0，1，2时，12,a a 各有三种取法，3a 有两种取法，共有33218⨯⨯=种方法，集合A 中含有0a 的所有数之和为()01218++⨯；同理可得集合A 中含有1a 项的所有数的和为()30313218⨯+⨯+⨯⨯；集合A 中含有2a 项的所有数的和为()22230313218⨯+⨯+⨯⨯；。
集合A 中含有3a 项的所有数的和为()33313227⨯+⨯⨯；由分类计数原理知集合A 中所有元素之和为S =()01218++⨯+()30313218⨯+⨯+⨯⨯+()22230313218⨯+⨯+⨯⨯+()33313227⨯+⨯⨯=()18392727812889⨯+++⨯=。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
）11、在△ABC 中，15a =，10b =，60A ∠=，则cos B = ；12、如右图，椭圆2211612x y +=的长轴为将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点13、若()()1f x f x dx x +=⎰，则()f x……【解析】因为()1f x dx⎰为常数，不妨设为m，则()f x x m=-，其原函数()212F x x mx C=-+（C为常数），于是有12m m=-，即14m=，故()14f x x=-。
14、在函数()()2ln1f x a x x=++（0x>）的图像上任取两个不同的点()11,P x y、()22,Q x y，总能使得()()()12124f x f x x x-≥-，则实数a的取值范围为；1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()()()12124f x f x x x-≥-()()12124f x f xx x-⇔≥-，注意到12,x x的任意性，所以上式又可等价转化为()4f x≥＇。
而()22af x xx=++＇，所以()4f x≥＇222a x x⇔≥-+，又当0x>时，221122222x x x⎛⎫-+=--+⎪⎝⎭12≤，所以12a≥。
15、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，途中实心点的个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a=，第2个五角形数记作25a=，第3个五角形数记作312a=，第4个五角形数记作422a=，……。
若按此规律继续下去，则：（1）5a=；35 （2）若145na=，则n= 。
10 【解析】根据图形变化规律，可归纳得()23147322nn na n-=++++-=。
三、解答题（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题满分12分）设()2sin2cos1468f x x xπππ⎛⎫=--+⎪⎝⎭。
（Ⅰ）求函数()f x的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=()f x与()y g x=的图象关于直线1x=对称，求当40,3x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x=的最大值。
【解析】（Ⅰ）依题设，()sin cos cos sin cos46464f x x x xπππππ⎛⎫=--⎪⎝⎭3cos424x xππ=-43xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故函数()f x的最小正周期为284Tππ==。
…………………………6分（Ⅱ）方法一：在()g x的图象上任取一点()(),x g x，它关于直线1x=的对称点为()()2,x g x-，由题设条件，点()()2,x g x-在函数()f x的图象上，从而()()()2243g x f x xππ⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦s i n 3c o s 24343x x πππππ⎡⎤⎛⎫=--=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当403x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，11cos 2432x ππ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，从而()43g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭⎡∈⎢⎣⎦。
因此当0x =时，()max 2g x =。
………………………………………………………12分 方法二：由于区间40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦关于直线1x =的对称区间为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线1x =对称，故在函数()y g x =在区间40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值就等于()y f x =在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值。
由（Ⅰ）知()43f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当223x ≤≤时，6436x ππππ-≤-≤，相应的11sin 2432x ππ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，于是2432x ππ⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭。
故函数()y g x =在区间40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()max 2g x =。
…………………………12分17、（本小题满分12分）某电视台你举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A 、B 、C 三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选。
若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛。
甲选手通过项目A 、B 、C 测试的概率分别为111,,532，且通过各次测试的事件相互独立。
（Ⅰ）若甲选手先测试A 项目，再测试B 项目，后测试C 项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由。
（Ⅱ）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为1p ，第二项能通过的概率为2p ，第三项能通过的概率为3p ，设他通过海选时参加的测试次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用1p 、2p 、3p 表示）；并说明甲选手按怎样的顺序测试更有利于他进入正赛。
【解析】（Ⅰ）依题意，甲选手不能通过海选的概率为111411153215⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故甲选手能通过海选的概率为41111515-=。
…………………………3分 若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过海选的概率均为111411153215⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故无论按什么顺序，他能通过海选的概率均为1115。
…………………………5分 （Ⅱ）依题设，可知ξ的所有可能取值为1,2,3。
且由题设，可得()11P p ξ==，()()1221P p p ξ==-，()()()123311P p p p ξ==--。
故ξ的分布列为8分()()()11212321311E p p p p p p ξ=+-+--。
分别计算当甲选手按C→B→A ，C→A→B ，B→A→C ，B→C→A ， A→B→C ，A→C→B 的顺序参加测试时的E ξ的值，得当甲选手按C→B→A 的顺序参加测试时，最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A 的顺序参加测试，更有利于进入正赛。
…………………………12分 18、（本小题满分12分）如图，△ABC 的外接圆O 的半径为5，CE 垂直于O 所在平面，BD ∥CE ，CE =4，BC=6，且BD =1，cos ADB ∠=。