大学物理实验1-指导书

实验1 误差分析
目的：测量数据的误差分析及其处理
1.1.1测量与测量结果
测量就是为确定被测对象的量值而进行的一系列操作，由测量所获得的结果称为测量结果。

在一定的测量条件下，测量结果应该具有可重复性和一致性。

测量可分为直接测量和间接测量。

直接测量的结果可以通过某种仪器或设备直接读出；而间接测量的结果则要通过测量值与要求值之间的函数关系进行推算。

1.1.2误差和不确定度
无论采用何种方式测量，测量结果都会与实际值有一定的误差。

造成误差的原因可能是测量仪器固有的限制、测量方法的局限性、实验条件的变化、实验人员的操作能力及判断能力等等。

因此，定义误差为测量结果与实际值，即真值之差：
即：
∆
=
A
M
M-
其中∆M为测量误差，M测量值，A为真值。

当误差在允许的范围之内时，测量值即被看作是真值，或者约定真值。

测量误差可视为绝对误差，而测量误差与真值之比即为相对误差。

由于真值在多数情况下不可知，故绝对误差与相对误差的值及其计算是有条件的。

误差一般可分为系统误差、随机误差和过失误差。

系统误差——在同一被测量的多次测量过程中，基本保持恒定或以可预知的方式出现的误差。

特点是其确定的规律性。

随机误差——在实际测量条件下，多次测量同一量时，以不可预知方式处现的误差。

特点是单个误差具有随机性、总体误差服从统计规律。

过失误差——测量条件或操作方法偏离规定造成的误差。

具有这种误差的数据应该从测量结果中剔出。

一般而言，误差的结果可以用“精度”来描述。

根据误差的性质有如下表述：精密度——表示测量结果随机误差大小的程度。

正确度——表示测量结果系统误差大小的程度。

准确度——表示测量结果与被测量的真值或约定真值之间的一致性程度。

因此准确度又称为精确度，反映随机误差和系统误差的综合效果。

因为测量误差普遍存在，虽然误差可以在一定条件下被减小，但是不可能完全消除。

故测量结果的表述应当包括对误差的定量估计，即：不确定度。

不确定度是测量结果的一个参数，用于表征被测量的分散性。

因为随机误差满足正态分布规律，即误差值或正或负分布于真值两侧，并具有如下特性：
单峰性——绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；
对称性——大小相等而符号相反的误差出现的概率相同；
抵偿性——误差的算术平均值岁测量次数的增加而趋于零。

在多数情况下，如果对直接观测量X做了有限次等精密度独立测量，得到测
量值为x
1,x
2
, (x)
n。

如果不考虑系统误差，则算术平均值
n
x
n
x
x
x
x
n
i
i
n
∑
=
=
+
+
+
=1
2
1
...
可视为真值。

测量值通常表示为：M ±∆M。

对误差的统计分析将留在概率与统计课程中作详细讨论。

仪器的测量误差或允许误差一般在仪器手册中给出。

1.1.3有效数字及其运算法则
在测量过程中，直接读出的数值为可靠值，或可靠数字；而估计的数值为可疑值，即可疑数字。

测量结果的有效数字由可靠数字和可疑数字组成。

如一般的直尺可以直读到毫米，则测量值15.5毫米中15.5是3位有效数字，其中小数点前的15是可靠数字，0.5毫米则是估计值，即可疑值。

此外，在测量结果中第一位，或最高位非零数字前的“0”不属于有效数字，但非零数字后的“0”都是有效数字。

如15.5mm可以转换为0.0155m，但有效数字仍为3位。

15.5mm表示测量准确度为1/10mm；而15.50mm则表示测量准确度达到1/100mm
在进行测量数值或一般数值运算时要根据有效数字决定计算的准确度，即保留多少位小数。

如有4个数值：a=1234.5，b=0.12345，c=1.2345，d=12345。

做简单加减法运算时
X=a+b-c+d=1234.5+0.12345-1.2345+12345=13578.38895
X的值应该是13578而不是其它。

因为d的值为12345。

多种有效数字的乘除法运算规定以有效数字最少的输入量为准，如a=0.0012，b=123.456，则乘除法运算结果的有效数字为两位，因为a的有效位只有两位。

1.1.4常用实验数据处理基本方法
列表法
列表法就是将所获得的数据按照一定的规律以简洁、准确地方式记录在表格中。

表格的设计应该能完整准确地记录原始数据。

在绝大多数情况下，表格仅记录原始数据，不作任何计算、转换等。

数据的处理留待实验/试验结束后进行。

表格必须准确表明实验/试验的条件、数据的单位，正确记录数据的有效数字。

表X 某物理量的测量
主要仪器： 型号： 量程： 精度：
必须明确，原始数据应该真实反映实验过程中的所获得的信息，不得加入任何人工影响因素。

后期的数据处理应该另行设计表格。

以这种方式工作至少可以在检验结果时获得每一个步骤的正确信息，而数据的真实性直接影响最后结果的正确性，同时也是对实验/试验人员职业素质和职业技能的考验。

作图法
作图法所包括的内容可能是原始数据、分析处理后的数据等。

原始数据图可以直观地反映数据中的函数关系，为数据的分析、处理、总结规律提供给本条件。

作图应遵循的基本规则是：
数据完整——数据完整要求将所有获得的基础或原始数据标示清楚，不得遗漏或人为添加数据；
标度准确——图的标度或标尺应该与实验数据的有效数字对应，范围应包括所有必须的实验点，同时避免在作图过程中引入误差；
符号清晰——图中各实验点的表示可以按照数据分组使用不同的符号、线形、色彩。

经过分析、计算等处理的数据应尽可能地用带有误差分析结果的符号表示相应的数据。

最小二乘法和数据拟合
原始数据一般需要进行分析和处理以便形成经验公式并由此总结规律。

实验或试验数据一般是离散的数据点，任何实验或者试验都不可能覆盖所有可能的数据点。

因此必须采用科学合理的方法对原始数据进行分析和处理。

在多数情况下，当数据呈现线形特征时，用最小二乘法进行直线拟合是最好的选择。

当然，在某些特定的条件下，有一些数据点可能在特定的区域内呈现出非线性特征，此时直线拟合的方法就不适用。

有关数据拟合的讨论可以参见相关的资料。

本指导书讨论的内容限于直线拟合。

直线可以表示为b ax y +=，如果实验测得的数据点分别是（x 1,y 1）, (x 2,y 2), … (x n ,y n )。

其中假设x n 的测量可以不计，则，y 的回归值应该是ax n +b 。

由此可以用最小二乘法推出a 、b 的值 ，并规定测量值y n 与回归值ax n +b 之差的平方和为最小。

即：
δ=+-∑=n
i i i b ax y 12
)]([ 其中δ为最小的必要条件是：
0)]([1
2=+-∂∂∑=n
i i i b ax y a 0)]([1
2=+-∂∂∑=n
i i i b ax y b 解此方程组可以得到回归系数：
∑∑∑∑∑--=
2
2)(i
x
n x y x n y x a i
i i i i
∑∑∑∑∑--=
2
2
2)(i
x
n x x y x y x b i
i
i i i
i
回归系数的标准偏差为：
2
22)
(2
)]([)(∑∑∑--+-=
i i i
x x n n
n b ax y a i ε 2
22
2)
(2
)]([)(∑∑∑∑--+-=
i
i i
x x n x
n b ax y
b i
i
ε
当然，回归系数的计算可以借助软件如Excel 来完成，也可以自己设计软件完成相应的计算过程。

1.1.5 实验内容
通过选取不同的抛射角、测量抛射距离计算抛射初速度
在抛体运动中，如果仅考虑抛射点与落点处于同一水平面上，则质点的初速度、抛射角、水平抛射距离（射程）之间遵循如下规律：
g
v x θ2sin 20max
=
于是，在不同的抛射角下测定射程即可推算出抛射初速度。

实验任务：
1．推导出满足上述测量要求的表达式，即)(0θf v =的表达式；
2．选择初速度A ，从[10，80]的角度范围内选定十个不同的发射角，测量对应
3．根据上表计算出对应于某一字母代表的发射初速。

如字母A对应发射初速，注意数据结果的误差表示。

4．选择速度B、C、D、E重复上述实验。

实验程序界面如下所示
操作方法：
运行程序shooting.exe后，选取初速度后再选定不同的抛射角，点击“发射”即可模拟抛体运动。

拖动位于10米处的光标即可测量落点距离，即射程。

实验完成后点击“停止实验”即可推出程序。

注意：本实验中，重力加速度为9.8 m/s2。