最新人教版九年级数学上册课题几何图形与一元二次方程优质课公开课教案
人教版九年级数学上册第21.3：一元二次方程的应用教案
一、教学内容
人教版九年级数学上册第21.3节：一元二次方程的应用教案。本节课主要围绕以下内容展开：
1.利用一元二次方程解决实际问题的步骤和技巧。
2.分析实际问题，找出等量关系，列出相应的一元二次方程。
3.解决以下类型的实际问题：
a.行程问题：如速度、时间和路程的关系。
-重点强调从实际问题中抽象出一元二次方程的过程，以及如何利用方程求解实际问题。
-着重讲解如何建立等量关系，尤其是涉及两个未知数的情形，以及如何将实际问题转化为数学模型。
-例：在行程问题中，重点讲解速度、时间和路程的关系，即路程=速度×时间，以及当速度变化时如何建立一元二次方程。
2.教学难点
-难点在于让学生理解并掌握如何从复杂的实际问题中提取关键信息，建立正确的等量关系。
c.在比例分配问题中，如何根据不同条件建立比例关系，并将问题转化为求解一元二次方程。
-难点还包括如何引导学生运用数学语言准确描述问题，以及如何将实际问题与一元二次方程求解过程有效结合。
在教学过程中，教师需要针对这些重点和难点内容，采用直观演示、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用，确保学生能够透彻理解并灵活运用所学知识。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，虽然大多数学生能跟上教学进度，但仍有少数学生对所学知识掌握不够牢固。为了确保每个学生都能学好这门课程，我打算在课后加强个别辅导，针对学生的薄弱环节进行有针对性的指导。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最新数学人教版初中九年级上册21.3第3课时几何图形与一元二次方程2公开课教学设计
213 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为162，•上口宽比渠深多2，渠底比渠深多04．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土483，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为，则上口宽为+2，•渠底为+04，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为则渠底为（+04），上口宽为（+2）依题意，得：12（+2++04）=16整理，得：52+6-8=0解得：1=45=08，2=-2（舍）∴上口宽为28，渠底为12．（2）1.675048=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是28和12；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27c，宽21c，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到01c）？九年级 练数学 习同步老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9c，•则左、右边衬的宽均为7c，依题意，得：中央矩形的长为（27-18）c，宽为（21-14）c．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18）（21-14）=34×27×21整理，得：162-48+9=0解方程，得：=64±，1≈28c，2≈02所以：91=252c（舍去），92=18c，72=14c因此，上下边衬的宽均为18c，左、右边衬的宽均为14c．三、巩固练习有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）四、应用拓展例3．如图（a）、（b）所示，在△AB中∠B=90°，AB=6c，B=8c，点P从点A•开始沿AB 边向点B以1c/s的速度运动，点Q从点B开始沿B边向点以2c/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8c2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在B边上前进，Q到•后又继续在A边上前进，经过几秒钟，使△PQ的面积等于126c2．（友情提示：过点Q•作DQ⊥B，垂足为D，则：DQ CQAB AC=）(a)BACQP(b)BACQ DP分析：（1）设经过秒钟，使S△PBQ=8c2，那么AP=，PB=6-，QB=2，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PQ的面积等于126c2．因为AB=6，B=8，由勾股定理得：A=10，又由于PA=y，P=（14-y），Q=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设秒，点P在AB上，点Q在B上，且使△PBQ的面积为8c2．则：12（6-）·2=8整理，得：2-6+8=0解得：1=2，2=4∴经过2秒，点P到离A点1×2=2c处，点Q离B点2×2=4c处，经过4秒，点P到离A点1×4=4c处，点Q离B点2×4=8c处，所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到B上，且有P=（14-y）c，点Q在A上移动，且使Q=（2y-8）c，过点Q作DQ⊥B，垂足为D，则有DQ CQ AB AC=∵AB=6，B=8∴由勾股定理，得：∴DQ=6(28)6(4) 105y y--=则：12（14-y）·6(4)5y-=126整理，得：y2-18y+77=0解得：y1=7，y2=11即经过7秒，点P在B上距点7c处（P=14-y=7），点Q在A上距点6c处（Q=•2y-8=6），使△PD的面积为126c2．经过11秒，点P在B上距点3c处，点Q在A上距点14c>10，∴点Q已超过A的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．六、布置作业1．教材P53综合运用5、6 拓广探索全部．2．选用作业设计一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．A B．5 ．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大1082，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18，宽9，第二块木板长16，宽27;B．第一块木板长12，宽6，第二块木板长10，宽18;．第一块木板长9，宽45，第二块木板长7，宽135;D．以上都不对3．从正方形铁片，截去2c宽的一条长方形，余下的面积是48c2，则原的正方形铁片的面积是（）．A．8c B．64c ．8c2 D．64c2二、填空题1．矩形的周长为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4c，面积为60c2，则它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35，所围的面积为1502，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30，完成大坝所用去的土方为45002，问水坝的高应是多少?（说明：•背水坡度CF BF =12，迎水坡度11DEAE）（精确到01）BACEDF2．在一块长12，宽8的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为82•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度如图22-10，有矩形地ABD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，•只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识解决这个实际问题，相信你一定能行．答案一、1．B 2．B 3．D二、1．2．32c3．20和75或15和10三、1．设坝的高是，则AE=，BF=2，AB=3+3，依题意，得：12（3+3+3）×30=4500整理，得：2+2-100=0解得≈220.102-+即≈905（）2．设宽为，则12×8-8=2×8+2（12-2）整理，得：2-10+22=0解得：1，23．设道路的宽为，AB=a ，AD=b 则（a-2）（b-2）=12ab解得：=14[（a+b ）量法为：用绳子量出AB+AD （即a+b ）之长，从中减去BD 之长（对角线，得L=•AB+AD-BD ，再将L 对折两次即得到道路的宽4AB AD BD +-．。
人教初中数学九上 《一元二次方程》教案 (公开课获奖) (3)
【教学目标】知识与技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够区分各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识过程与方法：在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和开展人类理性精神的作用．【教学重难点】重点：一元二次方程的定义、各项系数的区分，根的作用．难点：根的作用的理解．【教学过程】一、情境引入问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的局部折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？学生通过分析设出适宜的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，那么有方程(100－2x)(50－2x)＝3 600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x cm，那么有方程通过整理得到方程．问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程方案安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析：全部比赛共28场，假设设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，经过整理得到方程．教师应注意：〔1〕学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；〔2〕学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型． 二、探索新知 观察以下得到的方程： 〔1〕2753500x x -+=； 〔2〕2560x x --=； 〔3〕1(1)2x x -＝28． 学生活动：请口答下面问题．〔1〕上面几个方程整理后含有几个未知数？〔2〕按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？〔3〕有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？结论：〔1〕都只含一个未知数x ；〔2〕它们的最高次数都是2次的；〔3〕都有等号，是方程．归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 思考：为什么规定a ≠0强调：一元二次方程定义中的三个条件：〔1〕是整式方程，〔2〕含有一个未知数，〔3〕未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可说明：主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念． 三、新知应用例：将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 解：去括号得233510x x x -=+，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式238100x x --=．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题〔比方系数的符号问题〕．说明：进一步稳固一元二次方程的根本概念．例 猜想方程2560x x --=的解是什么？学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比方可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此根底上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解〔又叫作一元二次方程的根〕．四、反应练习课本P4 练习1，2补充习题：将方程〔x+1〕2+〔x-2〕〔x+2〕=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．五、课堂小结1.一元二次方程的概念.一元二次方程的定义要求的三个条件。
最新人教版九年级数学上册《一元二次方程》优质教案
21．1 一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎨⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1.∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x(3x ＋1)＝17；(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为xm ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x)m ，剩下部分的宽为(1.4－2x)m.∵剩下部分面积为1.6m 2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解方程x2－2x＝0的解为( )A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝12，x2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x1＝0，x2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( ) A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.学生励志寄语：同学们，通过这节课的学习，你们学到了哪些知识？要珍惜时间好好学习，要明白时间就像日历一样，撕掉一张就不会再回来。
人教版数学九上21.1一元二次方程1优质课公开课教案设计
21．1 一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x 2＝1B ．3x 2－2xy －5y 2＝0C ．(x －1)(x －2)＝3D ．ax 2＋bx ＋c ＝0解析：选项A 中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B 中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a ＝0时，选项D 中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A 、B 、D ，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x 的方程(k ＋1)x |k －1|＋kx ＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1.∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m，则由图可知剩下部分的长为(2－2x)m，剩下部分的宽为(1.4－2x)m.∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解方程x2－2x＝0的解为( )A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝12，x2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x1＝0，x2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( )A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.。
21.3.3实际问题与一元二次方程 第3课时 几何图形问题【人教九上数学精彩课堂教案】
21.3实际问题与一元二次方程第3课时几何图形问题实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣实际情境提起代数,人们自然就和方程联系起来,事实上,过去代数的中心问题就是对方程的研究.我国古代对代数的研究,特别是对方程解法的研究,取得了重要成果.我国古代数学家研究过二次方程的解法,当时的解法虽然与现代的解法不同,但已与现代的解法相似.下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步).只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步”.答:“阔二十四步,长三十六步”.这里,我们不谈杨辉的解法,你能用已学过的知识解决这个问题吗?[教学提示] 在古代文献中有很多的方程应用型问题,题的内容来自生活,新颖有趣,有很高的数学价值和欣赏价值,通过本问题的引入,激起学生的学习兴趣.引导学生积极思考问题,建立方程的思想.悬念激趣如图21-3-3,小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折叠成一个无盖的长方体盒子.图21-3-3(1)如果要求长方体的底面面积为81 cm2,那么剪去的正方形边长为多少?(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求,那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化?折叠成的长方体的体积又会发生什么样的变化?长方体的底面积81644936251694正方形的边长121322523724长方体的体积8126414727212524863216[教学提示] 通过生活中的实际问题的引入,让学生感觉到数学与生活的联系,激起学生的学习兴趣.让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题,感受到数学的应用价值,并体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具.教材母题——第22页习题21.3第9题如图21-3-4,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)?图21-3-4【模型建立】此类问题一般要利用“图形经过移动,它的面积不会改变”的道理,把纵、横的彩条移动到一起,利用面积的和差解决问题.有关面积问题的常见图形有如下几种:图21-3-5【变式变形】1.如图21-3-6,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是(A)图21-3-6A.(32-2x)(20-x)=570B.32x+2×20x=32×20-570C.(32-x)(20-x)=32×20-570D.32x+2×20x-2x2=5702.如图21-3-7,有一张矩形纸片,长为10 cm,宽为6 cm,将它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是x cm,根据题意可列方程为(B)图21-3-7A.10×6-4×6x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.10×6-4x2=323.如图21-3-8,某小区有一块长为36 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为600 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为2m.图21-3-84.如图21-3-9,已知一边靠墙,另三边用木篱笆围成一个面积为130 m2的矩形花坛,木篱笆长为33 m,墙长为15 m,则矩形花坛的长和宽各为多少米才能使木篱笆正好合适?[答案:花坛长为13 m,宽为10 m]图21-3-9【评价角度1】列一元二次方程解决等积变形问题方法指引:在列一元二次方程解决等积变形问题时,要抓住以下三个等量关系:①图形周长改变,面积没变;②容器形状改变,但容积没变;③原料体积=成品体积.从而找出题中的等量关系,列出方程.例用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的长为x cm,则可列方程为(B)A.x(20+x)=64B.x(20-x)=64C.x(40+x)=64D.x(40-x)=64【评价角度2】列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题方法指引:方程是我们利用数学知识解决实际问题时常用的一种数学模型,而构建方程解决问题的关键是找到相等的数量关系,而几何图形常用的数量关系往往和线段的长度、角的度数和图形的面积等因素不可分割.例如本课素材二[教材母题模型].【评价角度3】列一元二次方程解决存在性问题方法指引:列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤:先假设结论存在或成立,然后根据题意列出方程.若方程有解,则说明假设成立;若方程无解,则说明假设不成立.例用长为32米的篱笆围成一个矩形养鸡场,设围成的矩形养鸡场的一边长为x米,面积为y平方米.(1)求y关于x的函数解析式.(2)当x为何值时,围成的矩形养鸡场的面积为60平方米?(3)能否围成面积为70平方米的矩形养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.[答案:(1)y=x(16-x)(2)x=10或x=6(3)不能理由略]【评价角度4】 列一元二次方程解决运动型问题方法指引:运动型问题一般根据“路程=速度×时间”求出图形中相应边的长度,再列方程解决问题,这类题目一般和函数、几何图形综合考查,综合性较强.例1 如图21-3-10所示,东西方向上有相距10千米的A ,C 两地,甲以16千米/时的速度从A 地出发向正东方向前进,乙以12千米/时的速度从C 地出发向正南方向前进,则最快经过多少小时后,甲、乙两人相距6千米?答案:25小时图21-3-10例2 某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图21-3-11所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A ,B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l (cm)与时间t (s)满足关系:l=12t 2+32t (t ≥0),乙以4 cm/s 的速度匀速运动,半圆的长度为21 cm .(1)甲运动4 s 后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多长时间? (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多长时间?图21-3-11[答案:(1)14 cm (2)3 s (3)7 s]课题第3课时 几何图形问题授课人教学目标1.能根据面积问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述. 4.通过解决封面设计的实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.5.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识的应用价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点列一元二次方程解有关面积问题的应用题.教学难点发现面积问题中的等量关系.授课类型新授课课时教具多媒体(续表)教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.通过上节课的学习,大家学习到了哪些知识和方法?教师提出问题,学生回忆,选一名同学作答,其他同学补充.教师应重点关注:①学生对列方程解应用题的步骤是否清楚;②学生能否说出每一步的关键和应注意的问题.2.关于几何图形的体积、面积和周长,你知道哪些常见图形的计算公式?分别是什么?下面我们用图形的一些计算公式建立数学模型,解决一些涉及几何图形的实际问题.教师板书:实际问题与一元二次方程.既为学生创设一种回忆、思考的情景,又是自然的导入,为本课的探究活动做好铺垫.活动一:创设情境导入新课【课堂引入】如图21-3-12,要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?利用生活中常见的问题,激发学生的探究欲望,有利于学生主动参与,感受到数学来源于生活,应用于生活.图21-3-12问题:(1)本题中有哪些数量关系?(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形”?(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?(4)解方程并得出结论,对比几种方法各有什么特点.活动二:探究与应用教师提出问题(1),学生分析,请一名同学回答,教师在题目中指出数量关系;教师提出问题(2),学生思考,请一名同学回答,可举简单例子说明,最后引导学生得出正中央矩形的长、宽比是9∶7.教师提出问题(3),学生分组讨论,选代表上台演示、回答,每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中,设左、右边衬和上、下边衬的宽分别为7x cm和9x cm,教师要配合图形的平移加以电脑演示.教师提出问题,学生分组,分别按问题(3)中所列的方程来解答,选代表展示解答过程,并讲解解题过程和应注意的问题.在活动中,教师应注意:(1)学生对几何图形的分析能力;(2)学生在未知数的选择上,能否根据情况灵活处理;(3)在讨论中能否互相合作;(4)解一元二次方程的能力;(5)学生回答问题时的语言表达是否准确.1.重视培养学生读题和审题的能力.2.把实际问题符号化,为应用数学知识解决问题创造条件.3.培养学生树立方程意识,渗透方程思想.活动二:探究与【应用举例】例1有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样大小的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁应用举例使学生深刻体会数学知识应用的价值,由此提高学生学习数学的兴趣和应用数学应用皮各角应切去多大的正方形?师生活动:教师引导学生进行审题,确定好问题类型,然后指导学生按照图形面积公式进行解答.学生自主设未知数并列方程进行解答,教师做好点评和纠正.变式练习:用总长10 m的铝合金材料做一个如图21-3-13所示的窗框(不计损耗),窗框的外围是矩形,上部是两个全等的正方形,窗框的总面积为3.52 m2(材料的厚度忽略不计).若设小正方形的边长为x m,下列方程符合题意的是()图21-3-13A.2x(10-7x)=3.52B.2x ·10-7x2=3.52C.2x x+10-7x2=3.52D.2x2+2x(10-9x)=3.52的意识.【拓展提升】例2如图21-3-14,某中学为方便师生活动,准备在长30 m,宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路,横、纵路的宽度之比为3∶2.若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,则路宽应为多少?图21-3-14教师提出问题:(1)本题中有哪些数量关系?(2)由这些数量关系还能得出什么新的结论?你想如何利用这些数量关系?为什么?如何列方程?(3)有什么方法使本题易于解决?教师引导学生进行交流、讨论,确定出解决问题的方法,并适时拓展提升环节,学生通过探究与讨论,感受了将题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响,活跃了解题思路.点拨、提示,指导学生进行解答.活动三:课堂总结反思【达标测评】1.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的矩形,a的值不可能是(D)A.20B.40C.100D.1202.如图21-3-15,在长为30米、宽为20米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551平方米,则修建的路宽应为(A)图21-3-15A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米3.图21-3-16是矩形养鸡场的平面示意图,其中一面靠墙,另外三面用竹篱笆围成.若竹篱笆总长为35 m,所围矩形养鸡场的面积为150 m2,则此矩形养鸡场的长、宽分别为多少?图21-3-164.有一块长28 cm、宽20 cm的矩形纸片,在它的四角各截去一个相同的小正方形,然后将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子,若使长方体盒子的底面积为180 cm2,求截去的小正方形的边长.学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.活动三:课堂总结反思【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的环节中,由于教材问题设置较为复杂,所以教师做好必要的引导是关键,帮助学生分析图形之间的比例关系,使学生清晰地认识问题;在课堂训练的环节中,学生能够顺利地解答,实现了高效课堂.②[讲授效果反思]引导学生注意:(1)面积问题考虑利用面积公式列方程;(2)复杂图形的面积要进行分割或填充;(3)检验求得的解是否符合实际.③[师生互动反思]师生交流过程中,学生对于面积问题有较深的理解,基础好,列方程解答较为简便,对于过程中的个别问题,教师可交给学生讨论、解答.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二导学案设计”案例,word 排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。
人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程(教案)
此外，我也会反思自己的教学方法，看看是否有更直观、更生动的方式来讲解这些概念，使它们更容易被学生接受。我可能会引入更多的教学工具，如图形、实物模型等，来帮助学生们直观理解一元二次方程的解法。
-能够灵活运用各种解法求解一元二次方程，并理解解的几何意义。
-解决实际问题中涉及的一元二次方程，体会数学在生活中的应用。
举例：重点讲解配方法中的“完全平方公式”，并让学生通过练习熟练掌握其运用。
2.教学难点
-理解并掌握配方法中“移项”和“配方”的步骤，特别是在“配方”过程中常数项的处理。
-对公式法中求根公式的理解和记忆，以及正确运用求根公式求解一元二次方程。
c.让学生通过反复练习，掌握配方过程中关键步骤，并能独立完成类似题目。
对于公式法的难点，可通过以下方式帮助学生理解：
a.解释求根公式的来源和推导过程，增强学生的理解。
b.通过对比不同类型的一元二次方程，让学生体会求根公式的普适性。
c.通过典型例题，展示求根公式在实际应用中的正确使用方法。
对于分解因式法的难点，可以采取以下策略：
b.通过实例演示，如何将实际问题转化为数学方程。
c.让学生通过小组讨论和实际操作，学会将实际问题数学化，培养建模能力。
c”的指令，继续完成示范课的一元二次方程的四种解法，并能熟练运用。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，提高他们解决问题的自信心。
人教初中数学九上《一元二次方程》教案 (公开课获奖)
21.1 一元二次方程教学目标〔三维目标〕知识与技能目标：掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项过程与方法目标： 1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．情感态度与价值观目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．。
教学重点、难点重点：一元二次方程的意义及一般形式．难点：正确识别一般式中的“项〞及“系数〞。
课型新授课教学准备、教学方法预习导航预习教材P2-3 认识一元二次方程的一般形式板书设计教学过程一、情境导入问题导入：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？教师二、新知探究〔设计活动与知识点相对应〕1．复习提问〔1〕什么叫做方程？曾学过哪些方程？〔2〕什么叫做一元一次方程？“元〞和“次〞的含义？〔3〕什么叫做分式方程？2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比拟，得到整式方程和一元二次方程的概念．整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．3．练习：指出以下方程，哪些是一元二次方程？〔1〕x〔5x-2〕＝x〔x＋1〕＋4x2；个人〔2〕7x 2＋6＝2x 〔3x ＋1〕； 〔3〕7x 212= 〔4〕6x 2＝x ；〔5〕2x 2＝5y ；〔6〕-x 2＝0(2)学生举例说一些一元二次方程，讨论。
4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕．ax 2称二次项，bx 称一次项，c 称常数项，a 称二次项系数，b 称一次项系数．一般式中的“a ≠0〞为什么？如果a ＝0，那么ax 2+bx+c ＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．5．例1 把方程3x 〔x-1〕＝2〔x ＋1〕＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？教师边提问边引导，板书并标准步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．三、例题讲解例1 把方程3x 〔x-1〕＝2〔x ＋1〕＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？教师边提问边引导，板书并标准步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．备课 四、稳固练习 分三个层次 单一知识点相对应练习、知识点综合训练、拔高训练，习题设计有选择余地练习1：教材P ．4中1，2． 练习2：以下关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？假设是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：．032)1(2=++x ax023)2(2=+mx x0128)1)(3(2=----m mx x m〔4〕〔b 2＋1〕x 2-bx ＋b ＝2； 〔5〕2tx 〔x-5〕＝7-4tx ．栏五、课堂小结〔四〕总结、扩展引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的区别和联系．强调“a≠0〞这个条件有长远的重要意义．六、作业设计1．教材P．4 练习2．2．思考题：1〕能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？〞2〕试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式〔学有余力的学生思考〕．教学反应签字格式要求：①页面设置：页边距〔厘米〕：上：2厘米，下：2厘米，右：5厘米；行距设置为固定值18磅;纸张：A4。
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最新,人教,版,九年级,数学,上册,课题,课题,课题：几何图形与一元二次方程
【学习目标】
会列一元二次方程解决与面积、镶嵌、动点、区域规划等有关的几何类应用题，并从中体会几何图形的性质在寻找等量关系中所起的作用．
【学习重点】
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
【学习难点】
根据面积与面积之间的等关系建立一元二次方程的数学模型．
情景导入生成问题
填空：
1．矩形的长和宽分别为am和bm，则其面积为abm2.
2．圆的半径为rcm，则其面积为πr2cm2.
3．长方体的长、宽、高分别是acm，bcm，ccm，则其体积为abccm3.
4．直角三角形的两直角边长分别为acm和bcm，斜边长为ccm，则a，b，c之间的数量关系为a2＋b2＝c2．
自学互研生成能力
【自主探究】
阅读教材P20～P21探究3，完成下列问题：
1．探究3中求出x的值有两个，是否两个值都符合题意呢？
答：x＝不符合题意，因为当x＝时，中央的矩形的长为27－18×≈－23.38，出现了负数．
2．除了教材中的解法外，你还能想出其他的解法吗？
解：还有其他的解法，答案不唯一，如：
解法二：设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm.依题意得
9x·7x＝×27×21.
解方程，得x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)．
故上下边衬的宽度为：
＝＝≈1.8.
左右边衬的宽度为：
＝＝≈1.4.
【合作探究】：依据探究中的解题方法，完成下列问题．
范例：如图，某旅游景点要在长，宽分别为20米，12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．
解：设道路的宽为x米，则正方形边长为4x.
可列方程为：
x(12－4x)＋x(20－4x)＋16x2＝×20×12.
即：x2＋4x－5＝0.
解得x1＝1，x2＝－5(舍去)．
答：道路的宽为1米．。