第四章指数函数与对数函数

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中职教育-数学(基础模块)上册课件：第4章指数函数与对数函数.ppt

图4-6
接下来，我们再用描点法作出函数y log 1 x 和y log 1 x
的图像．
2
3
对数函数的定义域为（0，＋∞），在定义域内取若干个x 值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-8、表4-9所示．
表4-8
x
… 1/4 1/2 1
2
4
…
y
…
2
1
0 －1 －2 …
表4-9
x
… 1/9 1/3 1
3
9
…
y
…
2
1
0 －1 －2 …
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标
系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接
这些点，即可得到函数y log 1 x 和 y log 1 x 的图像，如图4-7
所示．
2
3
图4-7
一般地，对数函数 y loga x (a 0 且 a 1)具有下列性质：
第4章指数函数与对数函数
4.1 • 实数指数幂 4.2 • 指数函数 4.3 • 对数 4.4 • 对数函数
内容简介：本章完成了由正整数指数幂到实数指数幂及其运算的逐步推广过程，介绍了指数函数的概念、图像和性质，引入了对数概念及运算法则，并在此基础上介绍了对数函数的概念、图像和性质。
学习目标：理解有理数指数幂；掌握实数指数幂及其运算法则；了解幂函数，理解指数函数的图像和性质；了解指数函数的实际应用，理解对数的概念；掌握利用计算器求对数值；了解积、商、幂的对数、对数函数的图像和性质及对数函数的实际应用。
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计算器辅助求值
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全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结单选题1、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解.因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，所以f(x)在R 上单调递增，所以lgx >2，解得x >100.故选：D.2、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.故选：A ．3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（）A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. {10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ，令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.4、已知函数f(x)=9+x 2x ，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A5、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（）A ．−1B ．−5C ．11D ．13答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值.令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x)=log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.6、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（）A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增答案：B分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0 ，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增，又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减．故选：B ．7、已知y 1=(13)x，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x =(110)x 是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．故选：A8、化简√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√b a 3 (a >0，b >0)的结果是（）A ．b aB ．a bC ．a 2bD ．b 2a 答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√a 3=a 32b⋅a 16b 13(a 14b 12)4⋅a −13⋅b 13 =a 32+16−1+13b 1+13−2−13=ab −1=a b 故选：B 9、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（） A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3]答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得. 由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3，即函数的定义域是(−1,3].故选：C.10、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（）A ．−1或2B ．−1C ．2D ．12答案：C分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值.由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1，解得m =2. 故选：C.填空题11、方程lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)的解为 __________ .答案：x =−2分析：由题意知lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，可求出x 的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.由lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，得x 2−x −2=6−x −x 2，所以x =±2，又因为x 2−x −2>0且6−x −x 2>0，所以x =−2；所以答案是：x =−2.12、已知函数f (x )的定义域是[-1，1]，则函数f (log 2x )的定义域为____．答案：[12,2]分析：根据给定条件列出使函数f (log 2x )有意义的不等式组，再求出其解集即可.因函数f (x )的定义域是[-1，1]，则在f (log 2x )中，必有−1≤log 2x ≤1，解不等式可得：{12≤x ≤2x >0，即12≤x ≤2，所以函数f (log 2x )的定义域为[12,2].所以答案是：[12,2]13、函数f(x)=4+log a (x −1)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点_________答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题14、对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“伪奇函数”．（1）已知函数f(x)=x−2x+1，试问f(x)是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)使得f(x)=2g(x)+m为定义在[−1,1]上的“伪奇函数”，试求实数m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3是定义在R上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案：（1）不是；（2）[−54,−1]；（3）[1−√3,2√2]．分析：（1）先假设f(x)为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出g(x)的解析式，然后将问题转化为“2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出m的取值范围；（3）将问题转化为“2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出m的取值范围.（1）假设f(x)为“伪奇函数”，∴存在x满足f(−x)=−f(x)，∴−x−2−x+1=−x−2x+1有解，化为x2+2=0，无解，∴f(x)不是“伪奇函数”；（2）∵g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)为幂函数，∴n=2，∴g(x)=x，∴f(x)=2x+m，∵f(x)=2x+m为定义在[−1,1]的“伪奇函数”，∴2−x+m=−2x−m在[−1,1]上有解，∴2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解，令2x=t∈[12,2]，∴2m=−(t+1t)在t∈[12,2]上有解，又对勾函数y=t+1t 在[12,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，且t=12时，y=52，t=2时，y=52，∴y min=1+1=2,y max=52，∴y=t+1t的值域为[2,52]，∴2m∈[−52,−2]，∴m∈[−54,−1]；（3）设存在m满足，即f(−x)=−f(x)在R上有解，∴4−x−m⋅2−x+1+m2−3=−(4x−m⋅2x+1+m2−3)在R上有解，∴2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解，令2x+2−x=t∈[2,+∞)，取等号时x=0，∴2m2−6=−(t2−2)+2mt在[2,+∞)上有解，∴t2−2mt+2m2−8=0在[2,+∞)上有解（*），∵Δ=4m2−4(2m2−8)≥0，解得m∈[−2√2,2√2]，记ℎ(t)=t2−2mt+2m2−8，且对称轴t=m，当m∈[−2√2,2]时，ℎ(t)在[2,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(2)=22−2mt+2m2−8≤0，∴m∈[1−√3,2]，当m∈(2,2√2]时，ℎ(t)在[2,m)上递减，在(m,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(m)=m2−2m2+2m2−8=m2−8≤0，即m2−8≤0，此式恒成立，∴m∈(2,2√2]，综上可知，m∈[1−√3,2√2].小提示：关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.15、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。

高中数学必修一新教材第四章指数函数与对数函数

第四章指数函数与对数函数4.1指数第1课时根式1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，na n＝a.(2)n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a<0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(na )n 中实数a 的取值范围是任意实数吗？提示：不一定，当n 为大于1的奇数时，a ∈R ；当n 为大于1的偶数时，a ≥0.1.481的运算结果是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．±32．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.5m C.6m D.5－m 3．下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．若x 3＝－5，则x ＝________. n 次方根的概念问题【例1】 (1)27的立方根是________．(2)已知x 6＝2 019，则x ＝________. (3)若4x ＋3有意义，则实数x 的取值范围为________．n 次方根的个数及符号的确定(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数； (2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号.1．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列4个式子：①6(－3)2n ；②5a 2；③6(－5)2n ＋1；④9－a 2，其中无意义的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个利用根式的性质化简求值【例2】化简下列各式：(1)5(－2)5＋(5(－2))5；(2)6(－2)6＋(62)6；(3)4(x ＋2)4.正确区分n a n 与(na )n(1)(n a )n 已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性．2．若9a 2－6a ＋1＝3a －1，求a 的取值范围．有限制条件的根式的运算[探究问题]1．当a >b 时，(a －b )2等于多少？提示：当a >b 时，(a －b )2＝a －b . 2．绝对值|a |的代数意义是什么？提示：|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x ＝________. (2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [思路点拨] (1)由x <0，先计算|x |及x 2，再化简． (2)结合－3<x <3，开方、化简，再求值．带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.1．注意n a n 同(na )n 的区别．前者求解时，要分n 为奇数还是偶数，同时要注意实数a 的正负，而后者(n a )n ＝a 是恒等式，只要(na )n 有意义，其值恒等于a .2．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况．1．思考辨析(1)实数a 的奇次方根只有一个．( )(2)当n ∈N *时，(n－2)n ＝－2.( ) (3)(π－4)2＝π－4.( ) 2．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．±1023.(π－4)2＋3(π－3)3＝________.4．已知－1<x <2，求x 2－4x ＋4－x 2＋2x ＋1的值．第2课时指数幂及运算1．分数指数幂的意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m n＝na m中，为什么必须规定a>0?提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝a m n＝0，无研究价值．②若a<0，a m n＝na m不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．下列运算结果中，正确的是()A．a2a3＝a5B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(a－1)0＝1 D．(－a2)3＝a62．425等于()A ．25 B.516 C.415 D.543．已知a >0，则a －23等于( ) A.a 3 B.13a 2C.1a 3D ．－3a 24．(m 12)4＋(－1)0＝________.根式与分数指数幂的互化【例1】将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4b－23－23(b >0)．根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．将下列根式与分数指数幂进行互化： (1)a 3·3a 2；(2)a －4b23ab 2(a >0，b >0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解【例2】化简求值：指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.2．(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5；(2)化简：3a 72a －3÷3a －8·3a 15÷3a －3·a －1(a >0)．指数幂运算中的条件求值[探究问题]1.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？提示：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.2．已知a ＋1a 的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 【例3】已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2. [思路点拨]a 12＋a －12＝4――――→两边平方得a ＋a －1的值――――→两边平方得a 2＋a －2的值1．在本例条件不变的条件下，求解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)523＝53.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12.()(4)a m n可以理解为mn个a.()2．把根式a a化成分数指数幂是() A．(－a)32B．－(－a)32C．－a32D．a323．已知x12＋x－12＝5，则x2＋1x的值为()A．5 B．23 C．25 D．274.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象和性质思考1：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？提示：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a .当a >1时，图象具有上升趋势；当0<a <1时，图象具有下降趋势．思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：指数函数值随自变量的变化规律．1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2x D ．y ＝3－x 2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D3．若指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝x 134．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．指数函数的概念【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) ①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)a x的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．指数函数的图象的应用【例2】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.指数函数的定义域、值域问题[探究问题]1．函数y＝2x2＋1的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？提示：定义域相同．2．如何求y ＝2x 2＋1的值域？提示：可先令t ＝x 2＋1，则易求得t 的取值范围为[1，＋∞)，又y ＝2t 在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t ≥2，所以y ＝2x 2＋1的值域为[2，＋∞)．【例3】求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－3x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.[思路点拨] 函数式有意义―→原函数的定义域 ――→指数函数的值域原函数的值域1．若本例(1)的函数换为“y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1”，求其定义域． 2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x ≤2”，再求函数的值域．1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝a f (x )的值域的求解方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )； (2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．3．形如y ＝f (a x )的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域．1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0且a ≠1)这一结构形式．2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．由于指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的定义域为R ，所以函数y ＝a f (x )(a >0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．1．思考辨析(1)y ＝x 2是指数函数．( ) (2)函数y ＝2－x 不是指数函数．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( )2．如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是()A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c3．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________．4．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？第2课时指数函数的性质的应用利用指数函数的单调性比较大小【例1】比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a >1和0<a <1两种情况分类讨论.1．比较下列各值的大小：⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412.利用指数函数的单调性解不等式【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．2．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎨⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.2．若ax ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．指数型函数单调性的综合应用[探究问题]1．试结合图象，分析y ＝2－x ，y ＝2|x |，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的单调性，并写出相应单调区间．提示：减区间为(－∞，＋∞)增区间为(0，＋∞)减区间为(－∞，0)减区间为(－∞，＋∞)2．结合探究1，分析函数y ＝2|x |与函数y ＝|x |的单调性是否一致？提示：y ＝2|x |的单调性与y ＝|x |的单调性一致．3．函数y ＝a －x 2(a >0，且a ≠1)的单调性与y ＝－x 2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a >1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性一致；(2)当0<a <1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性相反．【例3】判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．[思路点拨] 令u ＝x 2－2x ―→函数u (x )的单调性 ―→函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性――→同增异减函数f (x )的单调性把本例的函数改为“f (x )＝2－x 2＋2x ”，求其单调区间．函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y＝a f(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相同．当0<a<1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相反．(2)研究y＝f(a x)型单调区间时，要注意a x属于f(u)的增区间还是减区间.1．思考辨析(1)y＝21－x是R上的增函数．()(2)若0.1a>0.1b，则a>b.()(3)a，b均大于0且不等于1，若a x＝b x，则x＝0.()(4)由于y＝a x(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．()2．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1) 3．下列判断正确的是( )A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．π2＜π 2D ．0.90.3＞0.90.5 4．已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，19. (1)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小； (2)求函数g (x )＝ax 2－2x (x ≥0)的值域．4.3 对数 4.3.1 对数的概念1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a 的范围是a >0，且a ≠1.2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：a x＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x ＝log a N时，不存在N≤0的情况．1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．log a M＝2 C．log22＝M D．log2a＝M2．若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3 C．9 D．273．在b＝log a(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<0 B．0<a<1或1<a<5 C．0<a<1 D．1<a<54．ln 1＝________，lg 10＝________.指数式与对数式的互化【例1】将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝1128；(2)log1232＝－5；(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝19；(2)⎝⎛⎭⎪⎫14－2＝16；(3)log1327＝－3; (4)log x64＝－6.利用指数式与对数式的关系求值【例2】求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.求对数式log a N(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤(1)设log a N＝m；(2)将log a N＝m写成指数式a m＝N；(3)将N写成以a为底的指数幂N＝a b，则m＝b，即log a N＝b.2．计算：(1)log9 27；(2)log 43 81；(3)log354625.应用对数的基本性质求值[探究问题]1．你能推出对数恒等式a log a N＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？提示：因为a x＝N，所以x＝log a N，代入a x＝N可得a log a N＝N.2．若方程log a f(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程log a f(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)提示：若log a f(x)＝0，则f(x)＝1；若log a f(x)＝1，则f(x)＝a.【例3】设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10B．13 C．100 D．±100(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．[思路点拨](1)利用对数恒等式a log a N＝N求解；(2)利用log a a＝1，log a1＝0求解．1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值．1．利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c 的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．性质a log a N＝N与log a a b＝b的作用(1)a log a N＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)log a a b＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．1．对数的概念：a b＝N⇔b＝log a N(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．3．对数恒等式a log a N＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.1．思考辨析(1)log a N是log a与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．() 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg 1＝0 B．27－13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3 D．log55＝1与51＝53．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________. 4．求下列各式中的x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2 x ＝－23 (3)x ＝log 2719； (4)x ＝log 1216.4.3.2 对数的运算1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．思考：当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？提示：不一定． 2．对数的换底公式若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c b log ca .1．计算log 84＋log 82等于( ) A ．log 86 B ．8 C ．6 D ．12．计算log510－log52等于() A．log58 B．lg 5 C．1 D．2 3．log23·log32＝________.对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.对数的换底公式【例2】(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．(变结论)在本例1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．2．常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，log an b m＝m n log a b ，log a b ＝1log ba 等．2．求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．对数运算性质的综合应用[探究问题]1．若2a ＝3b ，则ab 等于多少？提示：设2a ＝3b ＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，∴ab ＝log 23. 2．对数式log a b 与log b a 存在怎样的等量关系？提示：log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log ba .【例3】已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求c 的值．应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用. (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．3．熟练掌握对数的运算法则，注意同指数运算法则区别记忆．1．思考辨析(1)log2x2＝2log2x.()(2)log a[(－2)×(－3)]＝log a(－2)＋log a(－3)．()(3)log a M·log a N＝log a(M＋N)．()(4)log x2＝1log2x.()2．计算log92·log43＝()A．4B．2 C.12 D.143．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝()A.ba B.a＋ba C．ab D．a＋b4．计算：(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.4.4对数函数第1课时对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y ＝2log 3x ，y ＝log 3(2x )是对数函数吗？提示：不是，其不符合对数函数的形式． 2．对数函数的图象及性质提示：底数a 与1的关系决定了对数函数的升降．当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”． 3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值为( ) A ．5 B.15 C.1e D.122．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．3．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________．对数函数的概念及应用【例1】 (1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)； ⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________.判断一个函数是对数函数的方法1．若函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 是对数函数，则a ＝________. 对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)．求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.2．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋1x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．对数函数的图象问题[探究问题]1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.2．函数y＝a x与y＝log a x(a>0且a≠1)的图象有何特点？提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．【例3】(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象为()A B C D(2)已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．1．把本例函数图象的变换规律(1)一般地，函数y ＝f (x ±a )＋b (a ，b 为实数)的图象是由函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左或向右平移|a |个单位长度，再沿y 轴向上或向下平移|b |个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y ＝f (|x －a |)的图象是关于直线x ＝a 对称的轴对称图形；函数y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象在f (x )≥0的部分相同，在f (x )<0的部分关于x 轴对称.1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a >0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R .( )(2)函数y ＝log a (x ＋2)恒过定点(－1,0)．( ) (3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 2．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x 3．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 4．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围．第2课时对数函数及其性质的应用比较对数值的大小【例1】比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.1．比较下列各组值的大小：(1)log 230.5，log 230.6；(2)log 1.51.6，log 1.51.4； (3)log 0.57，log 0.67；(4)log 3π，log 20.8. 解对数不等式【例2】已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)形如log a x＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝log a x的单调性求解；(3)形如log a x＞log b x的不等式，可利用图象求解.2．(1)已知log a 12>1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．对数函数性质的综合应用[探究问题]1．类比y＝a f(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝log12(2x－1)的单调性吗？提示：形如y＝a f(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝log12(2x－1)由函数y＝log12t及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>12，结合“同增异减”可知，y＝log12(2x－1)的减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.2．如何求形如y＝log a f(x)的值域？提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0<a<1两种情况，借助y＝log a x的单调性求函数y＝log a f(x)的值域．【例3】(1)已知y＝log a(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为() A．(0,1)B．(1,2) C．(0,2) D．[2，＋∞)(2)函数f(x)＝log 12(x2＋2x＋3)的值域是________．1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．1．思考辨析(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．()(2)y＝log 12x2在(0，＋∞)上为增函数．()(3)ln x<1的解集为(－∞，e)．()(4)函数y＝log 12(x2＋1)的值域为[0，＋∞)．()2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b3．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式log a(3x＋1)<log a(7－5x)的解集；(3)若函数y＝log a(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．第3课时不同函数增长的差异三种函数模型的性质1．已知变量y ＝1＋2x ，当x 减少1个单位时，y 的变化情况是( ) A ．y 减少1个单位 B ．y 增加1个单位 C ．y 减少2个单位 D ．y 增加2个单位2．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝ln x C ．y ＝2x D ．y ＝e －x3．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．几类函数模型的增长差异【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )A ．y ＝2 019xB ．y ＝2019C ．y ＝log 2 019xD ．y ＝2 019x (2)下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表：指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例2】函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2 019)与g (2 019)的大小．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.2．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y ＝kx ＋b (k ≥0)、指数函数y ＝a x (a >1)、对数函数y ＝log b x (b >1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.。

中职数学基础模块第4章《指数函数与对数函数》知识点

【注意】： (1) 底数的限制： a>0 且 a 不等于 1 ； (2)N 的限制： N>0 ；
(3)log 是对数的符号 .
2. 指数式与对数式的互化：a 0且a 1，N 0时，ab N loga N b
3. 对数的性质：
(1)N>0( 零和负数没有对数 ) ； (2)loga1=0(1 的数等于 0) ； (3)logaa=1( 底的对数等于 1) ； (4) aloga N .N
(2)loga
M N
loga M
loga
N (商的对数等于对数的差)
(3)logaM b b loga M (幂的对数等于幂指数乘幂的底数的对数)
推广：loga (N1 N2 NK ) loga N1 loga N2 loga Nk
6. 换底公式
logb
N
loga N loga b
(b
2.n 次根式：形如n a (n N*且n 1)
的式
子叫作 a 的 n 次根式，其中 n 叫做根指数， a 叫做
被开方数。
3. 根式的性质： (1) ( n a )n a n an a (2) 当 n 为奇数时，
当 n 为偶数时，
1
an n a
n
an
a
a(a 0) a(a 0)
知识清单 —————————————————————————
知识清单
知识清单
—————————————————————————
一—. 有理数指数幂
二 . 根式
1. 正整数指数幂an aaa (n N*)
n个a相乘
a 叫幂的底数， n 叫幂的指数
2. 零指数幂 a0 1(a 0)

(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结

(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结高中数学第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结单选题1、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（） A ．−12B ．−13C ．−16D ．56 答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（）A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、设m，n都是正整数，且n>1，若a>0，则不正确的是（）A．a mn=√a mn B．(a12+a−12)2=a+a−1C．a−mn=√a mn D．a0=1答案：B解析：由指数运算公式直接计算并判断. 由m，n都是正整数，且n>1，a>0，、得(a 12+a−12)2=(a12)2+2a12⋅a−12+(a−12)2=a+a−1+2，故B选项错误，故选：B.4、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点，则实数m不可能．．．是（）A．−1B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m的零点，转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点，数形结合即可求出参数m的取值范围；解：因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根，即f(x)=m，即函数y=f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5、化简√−a 3·√a 6的结果为（）A ．−√aB ．−√−aC ．√−aD ．√a答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案.由题意，可知a ≥0，∴√−a3·√a6=(−a)13⋅a16=−a13⋅a16=−a13+16=−a12=−√a. 故选：A.6、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B7、设4a=3b=36，则1a +2b=（）A．3B．1C．−1D．−3答案：B分析：先求出a=log436,b=log336，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解. 因为4a=3b=36，所以a=log436,b=log336，则1a =log364,2b=log369，所以则1a +2b=log364+log369=log3636=1.故选：B.8、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,10b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．9、已知f(x)＝a−x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是（）A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<1答案：D分析：把f(－2)，f(－3)代入解不等式，即可求得．因为f(－2)＝a2，f(－3)＝a3，f(－2)>f(－3)，即a2>a3，解得：0<a<1．故选：D10、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h答案：C分析：利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为t1，转化求解即可.解：由题意得：c (t )=c 0e −kt =2000e −0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为t 1c (t 1)=2000e −0.1t 1≥1000e −0.1t 1≥12故−0.1t ≥−ln2，t ≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ故选：C多选题11、下列各选项中，值为1的是（）A ．log 26·log 62B ．log 62＋log 64C ．(2+√3)12⋅(2−√3)12D ．(2+√3)12−(2−√3)12答案：AC解析：对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项.对于A 选项，根据log a b ⋅log b a =1可知，A 选项符合题意.对于B 选项，原式=log 6(2×4)=log 68≠1，B 选项不符合题意.对于C 选项，原式=[(2+√3)⋅(2−√3)]12=112=1，C 选项符合题意.对于D 选项，由于[(2+√3)12−(2−√3)12]2=2+√3+2−√3−2(2+√3)12⋅(2−√3)12=4−2=2≠1，D选项不符合题意.故选：AC小提示：本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题.12、已知函数f (x )=lnx +ln (2−x )，则（）A ．f (x )在(0,2)单调递增B ．f (x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减C ．y =f (x )的图象关于直线x =1对称D ．y =f (x )的图象关于点(1,0)对称答案：BC分析：由题可得函数的定义域，化简函数f (x )=lnx (2−x )=ln (−x 2+2x )，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项.函数的定义域满足{x >02−x >0，即0<x <2，即函数的定义域是{x |0<x <2 }，∵f (x )=lnx (2−x )=ln (−x 2+2x )，设t =−x 2+2x =−(x −1)2+1，则函数在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，又函数y =lnt 单调递增，由复合函数单调性可知函数f (x )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，故A 错误，B 正确；因为f (1+x )=ln (1+x )+ln (1−x ),f (1−x )=ln (1−x )+ln (1+x ),所以f (1−x )=f (1+x )，即函数y =f (x )图象关于直线x =1对称，故C 正确；又f (12)=ln 12+ln (2−12)=ln 34，f (32)=ln 32+ln (2−32)=ln 34，所以f (12)=f (32)=ln 34，所以D 错误．故选：BC ．13、已知函数f(x)=|lgx |，则（）A ．f(x)是偶函数B ．f(x)值域为[0,+∞)C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点答案：BD分析：画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选：BD.14、已知函数f(x)=2x−1，下面说法正确的有（）2x+1A．f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的值域为(−1,1)<0恒成立D．∀x1,x2∈R，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2答案：BC解析：判断f(x)的奇偶性即可判断选项AB，求f(x)的值域可判断C，证明f(x)的单调性可判断选项D，即可得正确选项.f(x)=2x−12x+1的定义域为R关于原点对称,f(−x)=2−x−12−x+1=(2−x−1)2x(2−x+1)2x=1−2x1+2x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故选项A不正确，选项B正确；f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1，因为2x>0，所以2x+1>1，所以0<12x+1<1，−2<−22x+1<0，所以−1<1−22x+1<1，可得f(x)的值域为(−1,1)，故选项C正确；设任意的x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−(1−22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，因为2x1+1>0，2x2+1>0，2x1−2x2<0，所以2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0，即f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)−f(x2)x1−x2>0，故选项D不正确；故选：BC小提示：方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；（2）作差变形：即作差，即作差f(x1)−f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差f(x1)−f(x2)的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.15、（多选）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（）A．y=x2B．y=|x−1| C．y=|x|−1 D．y=2x答案：AC分析：由偶函数的定义及单调性依次判断选项即可.易得四个函数定义域均为R，对于A，令f(x)=x2，则f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，且在(0,+∞)上单调递增，A正确；对于B，令g(x)=|x−1|，g(−x)=|−x−1|=|x+1|≠g(x)，B错误；对于C，令ℎ(x)=|x|−1，ℎ(−x)=|−x|−1=|x|−1=ℎ(x)，且在(0,+∞)上单调递增，C正确；对于D，令m(x)=2x，m(−x)=2−x≠m(x)， D错误.故选：AC.填空题16、已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)−1，若f(2x−1)+f(4−x2)+2>0，则实数x的取值范围为______.答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.17、牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）答案：188分析：根据题意列出不等式计算即可.设经过x个周期后细菌含量超标，即3000×2x>2000000，即2x>20003，所以x>log220003=lg2000−lg3lg2=lg2+3−lg3lg2≈9.4，而20×9.4=188，因此经过188分钟就不宜再饮用．所以答案是：188.18、函数f(x)=a x−1+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点_____________. 答案：（1,3）分析：根据指数函数的性质，即可得答案.令x−1=0，可得x=1，所以f(1)=a0+2=3，即f(x)图象恒过定点（1,3）.所以答案是：（1,3）解答题19、已知a>0，且a≠1，m>n>0，比较A=a m+1a m 和B=a n+1a n的大小.答案：只要a>0且a≠1，都有A>B.分析：利用作差法结合指数函数的性质比较大小即可A−B=(a m+1a m)−(a n+1a n)=(a m−a n)+(1a m−1a n)=(a m−a n)+a n−a ma m a n =(a m−a n)(a m+n−1)a m+n.∵a>0，∴a m+n>0.①当a>1时，∵m>n>0，∴a m>a n，a m+n>a0=1. ∴A−B>0，即A>B.②当0<a<1时，∵a m<a n，a m+n<a0=1，∴仍有A−B>0，即有A>B.综上所述，只要a>0且a≠1，都有A>B.20、计算：(1)lg14−2lg73+lg7−lg18；(2)log535+2log5√2−log515−log514；(3)12lg3249−43lg√8+lg√245.答案：(1)0(2)2(3)12分析：直接利用对数的运算性质进行运算即可.(1)原式=lg(2×7)−2(lg7−lg3)+lg7−lg(32×2) =lg2+lg7−2lg7+2lg3+lg7−2lg3−lg2=0.(2)原式=log535+log52−log515−log514=log535×215×14=log535014=log525=2.(3)原式=12(5lg2−2lg7)−43×32lg2+12(2lg7+lg5)=52lg2−lg7−2lg2+lg7+12lg5=12lg2+12lg5=12(lg2+lg5)=12lg10=12.。

高中数学第4章指数函数与对数函数4.2指数函数4.2.1指数函数的概念4.2.2指数函数的图象和性质

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( √ ) (2)当 a>1 时，对于任意 x∈R 总有 ax>1.( × ) (3)函数 f(x)＝2－x 在 R 上是增函数．( × )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若 f(x)＝(a2－3)ax 是指数函数，则 a＝________. (2)若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过点(2,9)，则 f(x)＝________. (3)函数 y＝2 1－3x的定义域为________，值域为________．答案 (1)2 (2)3x (3)(－∞，0] [1,2)
＋ff43＋ff65＋…＋ff22002109＝(
)
A．1010 B．2020 C．2019 D．1009
答案 B
解析
不妨设
f(x)
＝
2x
，
则
f2 f1
＝
f4 f3
＝
…
＝
f2020 f2019
＝
2
，
所
以
原
式
＝
1010×2＝2020.
答案
解析
2．若函数 y＝(1－2a)x 是实数集 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为
教学难点：1.指数函数的图象与性质.2.底数 a 对函数的影响．
核心概念掌握
【知识导学】
知识点一指数函数的定义
□01 函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义
域是 R
.
知识点二指数增长模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率

4.2 指数函数课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第四章指数函数与对数函数

A
B
C
D
【解析】 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，y＝x＋a与y轴的交点
在(0，1)点的下方，(0，0)点的上方，故选C.
10．函数 f(x)＝22xx－＋11是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【解析】该函数的定义域是 R，f(1)＝22－＋11＝13，f(－1)＝22－－11－＋11＝1212－＋11
因为a0＝1，令x＋2＝0，即x＝－2时，y＝a0＋1＝1＋1＝2，则定点
为(－2，2)，故选B.
【融会贯通】函数y＝ax－3＋5(a＞0且a≠1)恒过的定点是__(_3_，__6_)_ _．【解析】因为a0＝1，令x－3＝0，即x＝3时，y＝a0＋5＝1＋5＝6，即定点为(3，6)．
1．下列函数中，指数函数的个数是( B )
2．下列函数在其定义域内单调递增的是( A )
A．＝3x
B．y＝－3x
C．y＝3－x
D．y＝x2
【解析】 y＝－3x，y＝3－x均为单调递减函数；y＝x2先减后增；y＝
3x为单调递增函数，故选A.
3．已知方程3x－3－3＝0，则x＝___4___．【解析】 3x－3－3＝0⇒3x－3＝3⇒x－3＝1⇒x＝4.
＝－13，f(－1)＝－f(1)，则函数为奇函数，故选 A.
二、填空题
11．若 f(3x)＝2x，则 f(9)＝___8___．【解析】令 3x＝9，∴x＝3，则 f(9)＝23＝8.
12．已知 f(x)是偶函数，且 x≥0 时，f(x)＝2x，则 f(－2)＝___4___．【解析】 x≥0 时，f(x)＝2x，∴f(2)＝22＝4.∵f(x)是偶函数，∴f(－2) ＝f(2)＝4.

第四章指数函数与对数函数单元总结(思维导图+知识记诵+能力培养)(含解析)

第四章指数函数与对数函数知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，当n 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当n a =；当n ,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)r s r s a a a += (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2.指数函数函数性质：1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：1．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<．③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==；③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==；……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．知识点六：函数的实际应用求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).类型一：指数、对数运算例1.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14。

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第四章指数函数和对数函数现实生活中我们需要作有目的的投资，也遭遇到自金融危机以来的通货膨胀，将已有的资金，怎么样才可以让它翻番地增值？在通货膨胀时期里，资金贬值了多少？许多实际问题都与指数函数有关系，不少量呈指数增长或指数衰减，实数指数幂的运算法则使得指数函数在理论上也是非常重要的。

为了解决实际生活中呈指数式增长的量的倍增期，以及呈指数衰减的量的半衰期等问题，需要对数函数。

因此本章主要介绍指数函数与对数函数。

此外也介绍几个重要的幂函数，它们有广泛的应用。

一指数概念的推广4．1 分数指数幂4．2 实数指数幂的运算法则二幂函数4．3 幂函数举例三指数函数4．4 指数函数的性质和图像4．5 指数增长与指数衰减四对数函数4．6 对数的概念与计算4．7 对数函数4．8 倍增期与半衰期本章小结复习题四现代数学和信息小窗口：离散对数一指数概念的推广4.1 分数指数幂我们先从一个真实的历史故事中体会一下指数效应--玫瑰花悬案。

公元1797年，当拿破仑参观国立卢森堡小学的时候，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺说，只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征。

此后，由于火与剑的征战，拿破仑忘却了这一诺言！当时间的长河向前推进了近一个世纪之后，公元1894年，卢森堡王国郑重向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”。

要求法国政府在拿破仑的声誉和1 375 596法郎的债款中，二者选取其一。

这笔高达百万法郎的巨款，就是三个金路易本金，以5%的年利率，在九十七年的指数效应下的产物。

这一历史公案使法国政府陷入极为难堪的局面，因为只要法兰西共和国继续存在，此案将永无了结的一天！故事启示我们：在指数效应下，很少的三个金路易，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌试试1、知道玫瑰花悬案中的1 375 596是怎样算出来的嘛？你可以用什么办法计算97？3(15%)2、公元初地球上的人口不足2.5亿，到公元1650年世界人口也才达到5亿，从公元1650到1800年，仅一个半世纪，世界人口又翻了一番。

可以算出这期间世界人口增长率是0.46%，比前面高了十倍！而从1800年到1930年，世界人口再次翻番达到20亿，1960年达30亿，1975年达40亿，1987年达50亿，1999年达60亿，，试问，按目前世界人口这样的增长速度，公元2025年世界人口将达到多少？回顾同学们在初中数学教材里学过整数指数幂的概念和整数指数幂的运算法则，现在我们来复习一遍。

设a 是实数，m 是正整数，则0101 0defmm def defmma a a a a a aa a⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭-⋅⋅⋅⋅≠≠个特别地，有()11 0aa a-=≠整数指数幂的运算法则有法则 1 () 0,,m n m n a a a a m n +⋅=≠都是整数法则 2 ()() 0,,nm m n a a a m n =≠都是整数法则 3 ()() 0,0,,n n n ab a b a b m n =≠≠都是整数探索1)123应当规定为多少?如果我们想把整数指数幂的运算法则2推广到分数指数幂，那么应当有21121223333⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭(1) 根据算术平方根的定义有23= (2)比较(1)式和(2)式，自然应当规定123def−−→(3)2)设a 是实数，n 是大于1的正整数，1n a 应当规定为多少?从123的定义受到启发，为了规定1n a 等于多少，就需要有类似于平方根的概念。

定义1 设a 是一个实数，n 是大于1的正整数，如果数x 满足nx a= (4)那么称x 是a 的一个n 次方根。

例如，4216=，4(2)16-=，因此2和—2都是16的4次方根可以证明下列结论：设n 是大于1的正整数，则①当n 为偶数时，每一个正实数a 在实数集里恰好有两个n 次方根，它们互为相反数，其中正的n 次方根称为a 的n 次算术根，记作另一个为②当n 为偶数时，每一个负实数a 在实数集里没有n 次方根(因为任何实数的偶次幂都是非负实数)。

③当n 为奇数时，每一个实数a 在实数集里恰好有一个n 次方根，记作当0a >时，0>；当0a <时，0<．显然有=④0的n 次方根是0，把它记作我们把形如式子称为n 次根式，其中n 是大于1的正整数，称n 是根指数，a 称为被开方数。

从上述结论①—④，我们得出：当n 为偶数时，意义当且仅当0a ≥；当n 为奇数时，对任意实数a，有意义。

当意义时，由于a 的n 次方根，因此由定义1得出na = (5)现在我们继续探讨当n 是大于1的正整数时，1n a 应当规定为多少?如果想把整数指数幂的运算法则2推广到分数指数幂，那么应当有111()nnnn a a a a ⨯=== (6)比较(5)式和(6)式，自然应当规定1n a ==其中，当n 为偶数时,0a ≥；当n 为奇数时， a äR 类似地，当m 、n 都是正整数且1n >时，我们规定mna==(8)其中，当n 为偶数时，0a ≥；当n 为奇数时，a äR 当0a ≠，m 、n 都是正整数且1n >时，我们还规定1m nmnaa-=(9)其中，当为n 偶数时，0a >；当n 为奇数时，a äR *，这里用R *表示由所有非零实数组成的集合。

至此我们用(7)、(8)、(9)式定义了分数指数幂．于是整数指数幂被推广到了有理数指数幂．可以证明：对于有理数指数幂仍有上述的运算法则1、2、3，只要其中出现的每一个有理数指数幂都有意义。

示范例1 计算下列分数指数幂的值：13(125)-，2324，329()4，14(0.0001)解11133333(125)[(5)](5)5⨯-=-=-=-222233332233333324(23)(2)3232⨯=⨯=⨯=⨯==333223222933327()[()]()()42228⨯==== 1411(4)4144(0.0001)(10)10100.1-⨯--====从例1看到，在计算分数指数幂的值时，尽可能先把底数写成有关的幂的形式。

例如，把－125写成3(5)-，把24写成323⨯，把94写成23()2，把0．0001写成410-，然后利用有理数指数幂的运算法则进行计算，最后结果中如果含有分数指数幂，通常把它写成根式。

例2 计算解111368242(2)(2)=6136132824824222224++====从例2看到，通常把根式的运算转化成幂的运算这样可以使计算简便。

例3 求下列各式的值解414555===(2)同于44(5)5-=因此5==331(5)(5)(5)=-=-=-注意：例3的第(2)小题需要先利用44(5)5-=，把写成后然后才能利用(8)式计算。

这是因为在(8)式中，当n为偶数时，要求a≥．现在4n=为偶数，因此只有对于才能用(8)不能用(8)式。

当今信息时代，电子计算机和计算器正在发挥越来越大的作用。

利用计算器可以很方便地进行计算。

同时，在进行计算时，把有关的式子转化成分数指数幂，将使得计算变得较简单。

例如将0.319转化成573-。

练习1.说出下列实数的4次方根：16181,,81162. 说出下列实数的5次方根： 132,32,243,243,32---3. 计算下列分数指数幂的值：23222133355533448127,81,(32),243,32,(0.001),(),(40)16----4.5. 求下列各式的值：534,,,6. 求下列各式的值：7. 计算下列分数指数幂的值：223354(27),(0.001),(96)--- 8. 求下列各式的值：7744,,,4．2 实数指数幂的运算法则动脑筋探索1.414213562个，小于第二组数中的每一个：1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.414211.5,1.42,1.415,1.4143,1.41422利用计算器可以得出下表：把它们用数轴上的点表示出来如图4—1图4—1从图4—1看出，区间（ 1.43， 1.53），（ 1.413， 1.423），（1.4143， 1.4153），一个包含一个。

我们猜想：存在唯一的一个实数属于这些区间的每一个。

可以证明这个猜想是对的。

我们把这个唯一的实数记作抽象一般地，当0a >时，任意给定一个无理数α，都有a α是一个唯一确定的实数。

这样我们就把有理数指数幂的概念推广到了实数指数幂可以证明：当0a > 且0b >时，有理数指数幂的3条运算法则对于实数指数幂仍然成立，即法则1 ,0,,a a a a αβαβαβ+=> äR 法则2 ()a a αβαβ=，0,,a αβ>äR 法则3 ()ab a b ααα=，0,0,a b α>>äR实数指数幂的运算法则是重要的．特别是法则1，它把同底数幂的乘法转换为指数的加法．这是数学理论的根基之一。

练习用计算器求下列各指数幂的近似值：34,2102(10⨯⨯二幂函数4．3幂函数举例说一说正方体的体积V是它的棱长x的函数(图4-2)，解析式是，定义域是。

抽象从正方体的体积V与它的棱长x的函数关系：受到启发，我们抽象出下述函数3=äR(1)y x x这个函数的特点是自变量x在幂的底数的位置上，而指数是常数3，由此抽象出下述概念：定义1 设a是给定的实数，且0a≠，形如a=的函数称为幂函数。

y x根据整数指数幂、分数指数幂和无理数指数幂的定义，可以得出幂函数ay x=的定义域如下，其中m、n都是正整数。

试一试填空：(1)3y x =的定义域是(2)13y x =的定义域是(3)12y x =的定义域是 (4)1y x -=的定义域是 (5)2y x -=的定义域是 (6)12y x -=的定义域是 (7)y =的定义域是示范例1 画出3y x =的图象，并且讨论它的单调性。

解 3y x =的定义域是R 。

由于3y x =是奇函数，因此它的图像关于原点对称。

从而只要先画出它的图像在y 轴右侧的部分。

设120x x <<，根据不等式的性质得33120x x <<因此3y x =在(0,)+∞上是增函数。

列表描点：然后用一条光滑曲线把各点联结起来。

利用对称性，画出3y x =在(,)-∞+∞上是增函数。

在描点时已经知道，3y x =的图像经过原点和坐标为（1，1）的点。

图4―3注意：我们画3y x =的图像在轴右侧的部分时，必须是先用定义证明3y x=在(0,)+∞上是增函数，然后才能把描出的几个点用一条光滑曲线联结起来。