浙教版八年级数学下册 4.5 《中位线》提优训练(含答案)

14．探索与证明
如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，顺次连接E、M、N、D四点．
（1）求证：EMND是平行四边形；
（2）探索：BC边上的中线是否过点O？为什么？
15．已知△ABC（如图所示）．
（1）在图中找出重心O；
（2）设BC，AC，AB边的中点为M，N，G，度量OM和OA，ON与OB，OG与OC，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间的距离，并给予证明．
4．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
16．如图，AD为△ABC的中线，上的高，垂足为F；
（2）若△ABC的面积为20，BD＝5．
①△ABD的面积为，
②求△BDE中BD边上的高EF的长；
（3）过点E作EG∥BC，交AC于点G，连接EC、DG且相交于点O，若S△ABC＝2m，又S△COD＝n，求S△GOC．（用含m、n的代数式表示）
∴ED∥BC且ED＝ BC，
MN∥BC且MN＝ BC，
∴ED∥MN且ED＝MN，
∴四边形MNDE是平行四边形．
（2）BC边上的中线过点O，理由如下：
作BC边上的中线AF，交BD于M，连接DF，
∵BD、AF是边AC、BC上的中线，
∴DF∥BA，DF＝ BA．
∴△MDF∽△MBA，
∴ ＝ ，
即BD＝3DM，
②∵BE为△ABD的中线，
∴S△BDE＝ S△ABD＝5，
∵BD＝5，
∴EF的长＝2；
③∵EG∥BC，BE为△ABD的中线，
∴EG是△ACD的中位线，
∴DG是△ACD的中线，
∴S△BDE＝S△CDG，S△BDE＝S△CDG＝ S△ABD＝ S△ABC＝ ，
∴S△GDC＝ ，又∵S△COD＝n，
∴S△GOC＝S△GDC﹣S△COD＝ ．
8．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于G，AB＝6，则AG＝．
9．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AP，∵AE⊥BD，
∴BE＝PE，∵BF＝FC，
∴EF＝ PC＝ （AP﹣AC）＝ （AB﹣AC）．
13．证明：∵AD是BC边的中线，F是AD的中点，
12．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝ （AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
13．如图所示，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AD的中点，连接BF并延长交AC于E，求证：EC＝2AE．
17．证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝ AB，
∴∠MEF＝∠P
同理可证：FM∥CD，FM＝ CD．
∴∠MFQ＝∠CQF，
又∵AB＝CD，
∴EM＝FM，
∴∠MEF＝∠MFE，
∴∠P＝∠CQF．．
A．2B．3C．4D．5
3．如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝ （∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝ （AB﹣AC）；④ （AB﹣AC）＜AE＜ （AB+AC）．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④
A．10B．12C．14D．16
6．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C． ＜MN＜ D． ＜MN≤
7．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连结DE，DE＝2.5cm，AB＝4cm，则BC的长为cm．
∵BO＝ BD，
∴O和M重合，
即BC边上的中线一定过点O．
15．证明：如图所示，取BO，CO的中点K，H，连接KH，HN，NG，KG，
∵G，N分别是AB，AC的中点，
∴GN平行且等于 BC．
又∵K，H分别是OB，OC边的中点，
∴KH平行且等于 BC．
∴GN平行且等于KH．
∴四边形KHNG是平行四边形．
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AD，∵AE⊥BD，
∴BE＝DE，∵BF＝FC，
∴EF＝ DC＝ ＝ （AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝ （AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
17．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．
参考答案
1．A．2．C．3．A．4．C．5．B．6．D．7．9 8． 2 9． S．
10． 或 ． 11． 18
12．（1）证明：如图1中，
∵AE⊥BD，
10．如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．
11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为．
∴点D是BC的中点，DF＝AF．
如图，过E作DG∥AC交BE于点G．
∵DG∥AC，且AD是BC边的中线．
∴DG是△BEC的中位线，△DGF∽△AEF，
∴DG＝ EC， ＝ ＝1
∴DG＝AE，
∴AE＝ EC．
即EC＝2AE．
14．（1）证明：△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，
∴GO＝OH，NO＝KO．
而BK＝KO，CH＝HO，
∴BO＝2ON，CO＝2OG．
若取AO的中点R，
同理，可证AO＝2OM．
∴AO＝2OM，BO＝2ON，CO＝2OG．
16．解：（1）作EF⊥BD垂足为F，
（2）①∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD＝ S△ABC，
∵△ABC的面积为20，
∴△ABD的面积为10；
八年级数学提优训练 ——中位线
1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（ ）
A．32°B．38°C．64°D．30°
2．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（ ）