D9_6几何中的应用
高中数学人教版解析几何课件
高中数学人教版解析几何课件一、引言解析几何是高中数学中的重要内容之一，通过研究几何图形在坐标系中的表示和性质，进一步探索几何和代数之间的关系。
本课件旨在全面解析高中数学人教版解析几何课程内容，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
二、基础知识概述1. 坐标系的建立与使用在解析几何中，我们常常使用笛卡尔坐标系来表示平面和空间的几何图形。
通过确定原点和坐标轴的方向，我们可以准确描述图形的位置和性质。
2. 点、线、面的坐标表示在坐标系中，一点的坐标表示为(x, y)（平面）或(x, y, z)（空间）。
而直线和平面则可以通过各自的方程来表示，例如直线的方程是y = kx + b，平面的方程是Ax + By + Cz + D = 0。
3. 向量的概念和性质向量是解析几何研究的重要对象之一，具有方向和大小两个特征。
我们可以通过向量的坐标表示、向量的加减法以及数量积、向量积等运算来研究和解决几何问题。
三、基本图形的性质和应用1. 直线的性质和方程直线作为解析几何中最简单的几何图形之一，具有许多重要性质和方程。
我们将深入研究直线的斜率、截距、与坐标轴的交点等概念，并学习如何通过已知条件确定直线的方程。
2. 圆的性质和方程圆是解析几何中常见的平面图形，具有独特的性质和方程。
我们将学习圆的标准方程、一般方程以及与直线的位置关系，进一步探究圆的切线和切点等相关知识。
3. 曲线的方程与性质曲线作为几何图形的一种特殊形式，具有多样的方程和性质。
我们将学习抛物线、椭圆、双曲线等曲线的方程和特点，通过解析几何的方法刻画其几何性质。
四、空间几何的应用1. 空间几何的基本概念空间几何是解析几何的重要分支，主要研究三维空间中的几何图形和性质。
我们将学习空间直线和空间平面的方程与性质，以及空间几何中的投影、夹角等概念。
2. 空间曲面的方程与性质除了直线和平面外，空间几何还涉及到各种曲面的方程和特点。
我们将学习球面、圆柱面、圆锥面等空间曲面的方程和性质，探究它们的几何特征。
第六章几何图形初步综合与实践课七年级上册数学人教版
新知探究 知识点 设计跑道-设计
任务5：在一个标准的 400 m 跑道内，100 m，200 m， 400 m，800 m，1 500 m比赛跑道的起点相同吗?为什 么会出现这种情况?
新知探究 知识点 设计跑道-设计
成果参考： 在一个标准的400 m 跑道内，100 m，200 m，400 m， 800 m，1 500 m 比赛跑道的起点不完全相同. 理由如下： 100 m赛跑是分道比赛，赛道都是直道，各分道比赛起 点相同，终点相同.
新知探究 知识点 设计跑道-设计
所以第一分道弯道实跑半径为 36.50+0.30=36.80(m)， 第一分道实跑线长度约为2×π×36.80+84.39×2≈400.001 76(m)， 即约为 400 m.
新知探究 知识点 设计跑道-设计
任务4：根据任务1的成果，计算400 m 跑道第二分道 至第八分道的实跑线总长度分别是多少米，找出其中 蕴含的规律.
新知探究 知识点 设计跑道-设计
第二步：确定第二至第八分道终点线半径旋转度数，如下
表(单位：m).
道次 实跑半径 半圆长度 半径旋转1°所对弧的长度 跑道实跑总长 与 400 m差距 终点线半径旋转度数
2 37.92 119. 13 0.6618 407
7 10.58°
3 39.14 122.96 0.6831 415
新知探究 知识点 设计跑道-了解场地要求
任务2：根据任务1的成果，按适当比例在A4 纸上画出 400 m 标准跑道场地示意图，并在400 m跑道场地示意图上画出 100 m跑道的示意图，需配备适当的数据和文字说明. 成果参考： 1.确定比例尺 根据 A4 纸的规格尺寸 210 mm ×297 mm，确定画图比例尺 为 1∶700.
几何画图教案：教你运用勾股定理画出完美的几何图形
的。
几何学是我们日常生活中不可避免的一部分，无论是建筑、制图、设计，还是室内装饰等领域中，几何学都有着不可或缺的作用。
因此，学好几何学对于我们的工作和生活都具有重要的意义。
在学习几何学时，勾股定理是一个十分重要、基础且常用的知识点。
今天，我们就来探讨一下如何利用勾股定理画出完美的几何图形。
一、勾股定理的定义勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
用数学公式来表示就是：a^2 + b^2 = c^2。
其中，c是直角三角形的斜边，a和b是直角三角形的两个直角边。
这一定理在几何学中得到了广泛的应用。
二、利用勾股定理画图1.正方形正方形是一种特殊的长方形，四边相等、对角线相等、对角线互相垂直，因此，可以利用勾股定理画出一个完美的正方形。
如图：图中，AB和AC为正方形的两条直角边，BC为正方形的斜边，且BC = AB × √2。
因此，如果要画一个边长为a的正方形，只需在一条直角边上取点，与这个直角边分别作为另一条直角边和斜边，然后算出斜边的长度，就能够得到完美的正方形。
2.等边三角形等边三角形的三边都相等，因此可以利用勾股定理画出一个完美的等边三角形。
如图：图中，AB为等边三角形的一边，AC为另一边，BC为斜边，且BC = AB × √3。
因此，如果要画一个边长为a的等边三角形，只需在一条边上取点，与这条边分别作为另一条边和斜边，然后算出斜边的长度，就能够得到完美的等边三角形。
3.等腰三角形等腰三角形是指两条边相等的三角形，因此可以利用勾股定理画出一个完美的等腰三角形。
如图：图中，AB和AC为等腰三角形的两条等边，BC为底边，且BC = 2 × AB × √（1-（1/2）^2）。
因此，如果要画一个等腰三角形，只需在一条等边上取点，与这条等边分别作为底边和另一条等边，然后算出另一条等边的长度，就能够得到完美的等腰三角形。
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统是指通过计算机软件将物体的几何形状转化为数学参数化的表示形式。
常见的几何建模系统包括CAD软件（Computer-Aided Design，计算机辅助设计）和3D建模软件。
在进行几何建模时，常常需要进行几何拟合，即通过一些数据点或曲线来拟合出物体的几何形状。
几何拟合的优化方法有以下几种：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的距离的平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法可以应用于直线拟合、曲线拟合、平面拟合等问题。
2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代算法，在曲线拟合中，可以通过牛顿法来寻找最佳拟合曲线的参数。
牛顿法需要初始猜测值，并迭代求解，直到收敛为止。
3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是一
种非线性最小二乘方法，常被用于曲线、曲面的拟合。
该算法通过不断调整参数以最小化拟合误差，具有较好的收敛性和稳定性。
4. RANSAC算法：RANSAC（RANdom SAmple Consensus）
算法是一种鲁棒性较强的拟合方法，主要用于拟合具有噪声、异常值等情况下的数据。
RANSAC算法通过随机采样和迭代
过程来找到最佳拟合模型，并剔除异常点。
以上是几何建模系统及几何拟合的常见优化方法，根据具体的应用场景和需求可以选择适合的方法来进行几何建模和拟合。
高等数学课件D96几何中的应用
曲线曲率半径和主法线方向计算
曲率半径
曲率半径是描述曲线弯曲程度的量，可以通过公式 $R=frac{1}{|k|}$计算，其中$k$为曲线在某一点的曲率。
主法线方向
主法线方向与曲线的切线方向和副法线方向垂直，可以通过 向量的叉积求得。
微分法在几何极值问题中应用
几何极值问题
微分法可以用于求解几何中的极值问题， 如最小距离、最大面积等。通过构造函数 并求导，可以找到函数的极值点，从而得 到几何量的最大值或最小值。
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向量的运算
包括加法、减法、数乘和点乘等运算，其中加法和数乘是向量的 基本运算，满足交换律、结合律和分配律。
向量的分解
一个向量可以分解为多个向量的线性组合，这是向量空间的重要 性质之一。
空间直角坐标系与点坐标表示
空间直角坐标系的建立
在三维空间中，选取三条互相垂直的数轴作为坐标轴，建立空间 直角坐标系。
直线方程的一般形式
在三维空间中，直线方程可以由两个平面方程联 立求解得到，也可以用参数方程表示。
3
平面与直线的位置关系
通过求解平面与直线的方程，可以判断它们之间 的位置关系，如平行、相交或异面等。
常见曲面及其方程简介
球面方程
球面方程的一般形式为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，表示以(a,b,c)为球心、r为半径的球面。
06 线性规划问题在几何中可 视化解决方案
线性规划问题数学模型构建
确定决策变量
明确问题中需要决策的未 知量，用数学符号表示。
列出目标函数
根据问题要求，构建关于 决策变量的线性目标函数。
几何变换的基本概念和性质
几何变换的基本概念和性质几何变换是指平面或空间中的图形在不同的变化规则下发生的形态变化。
在数学和计算机图形学中，几何变换是一个重要的概念，它被广泛应用于各种领域，包括计算机视觉、机器人学、游戏开发和工程设计等。
几何变换包括平移、旋转、缩放和镜像四种基本类型。
每种变换都有其独特的性质和特点。
1. 平移（Translation）平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向移动一定距离。
平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变了其位置。
平移的变换规则是通过坐标的加减运算来实现的。
2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕着某个点进行旋转运动。
旋转可以使图形沿着一个轴线旋转一定角度。
旋转不改变图形的大小和形状，但会改变其方向。
旋转的变换规则是通过坐标的旋转公式来实现的。
3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形按照一定的比例进行放大或缩小。
缩放可以改变图形的大小和形状，但不改变其方向。
缩放的变换规则是通过坐标的乘除运算来实现的。
4. 镜像（Reflection）镜像是指将图形按照某条直线或平面进行对称反转。
镜像可以改变图形的方向，但不改变其大小和形状。
镜像的变换规则是通过坐标的变号来实现的。
这些几何变换具有一些重要的性质。
例如，平移和旋转是可逆的，即可以通过逆变换将图形恢复到原来的位置和方向；缩放和镜像也是可逆的，但镜像时需要注意选择合适的对称轴；任意两个几何变换都可以通过组合来实现更复杂的变换效果。
总之，几何变换是数学和计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和镜像等变换可以实现对图形的形态变化。
掌握几何变换的基本概念和性质对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
参考资料：。
几何g6工程模式
几何g6工程模式几何G6工程模式是我国自主研发的一种高效工程管理模式，它以项目为导向，强调团队协作和过程管理。
近年来，该模式在我国各类工程项目中得到了广泛应用，取得了显著的效果。
一、几何G6工程模式简介几何G6工程模式是基于几何思维和系统论原理构建的，它将工程项目的各个环节有机地结合起来，形成一个整体。
该模式以项目目标为依据，通过明确任务、分工协作、动态调整等手段，实现项目资源的优化配置，提高项目的整体效益。
二、几何G6工程模式的核心特点1.项目导向：几何G6工程模式强调项目目标的重要性，所有工作都围绕项目目标展开，确保项目方向的正确性。
2.团队协作：几何G6工程模式注重团队建设，通过明确分工、强化沟通、协同工作，提高团队执行力和创新能力。
3.过程管理：几何G6工程模式对项目过程进行精细化管理，确保项目按照预定计划和质量标准顺利完成。
4.动态调整：几何G6工程模式允许根据项目实际情况进行动态调整，使项目资源得到优化配置，提高项目效益。
三、几何G6工程模式的实战应用几何G6工程模式在我国众多工程项目中得到了广泛应用，如航空航天、基础设施建设、信息技术等领域。
通过采用该模式，企业能够提高项目管理和执行效率，降低项目风险，实现项目目标的有效达成。
四、几何G6工程模式的优缺点分析1.优点：- 强化项目目标，提高项目成功率；- 促进团队协作，提升团队执行力；- 精细化过程管理，确保项目质量；- 动态调整，优化资源配置。
2.缺点：- 對项目管理团队的要求较高；- 实施过程较为复杂，需要一定的学习成本。
五、几何G6工程模式的发展前景随着我国工程项目的不断增多和对高效项目管理的需求增加，几何G6工程模式的发展前景十分广阔。
未来，该模式将在更多领域得到应用，为我国工程项目管理提供有力支持。
总之，几何G6工程模式是我国工程项目管理的一大创新，具有很高的实用价值和推广价值。
几何中的计数问题公式
几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。
这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。
几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。
其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。
欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。
该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。
公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。
例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。
另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。
比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。
此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。
该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。
公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。
例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。
此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。
伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。
其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。
因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。
欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。
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解法2 方程组两边对 x 求导, 得
x 1 dy 解得 y dx 1
z 1 z 1
y x 1 1 x y z x dz , y z yz y z dx 1 1
2 2 2
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
dy z x y z d 6 T 1, , (1, 0 , 1) x z d x dy M 0 x M
T
M
点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为 f (t ) ( (t ), (t ), (t ))
利用 点向式可建立曲线的切线方程
点法式可建立曲线的法平面方程
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1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
T 1, ( x0 ) , ( x0 )
1 , 1 (F , G) J ( z , x)
M
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1 (F , G) , J ( x , y) M
或
(F , G) T ( y, z )
M
(F , G) , ( z , x)
求曲线 上对应于 解: 的点处的单位切向量.
=6
故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 2 2 1 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为( , , ) 3 3 3
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例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺 求 旋式上升, 其位置向量为 (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;
( F , G) ( y, z )
则
M
2 y 2z 1 1
2 ( y z)
M
M
6 ;
x
切向量 切线方程
T ( 6, 0 , 6 )
y
x z 2 0 即 y20
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z
结束
法平面方程
即
6 ( x 1) 0 ( y 2) 6 ( z 1) 0 xz 0
导数：f (t ) ( f1(t ), f 2(t ), f3(t ))
t t0
f (t0 ) lim
t t0
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f (t0 t ) f (t0 ) Δt
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向量值函数的导数运算法则: (P92) 设 u, v 是可导向量值函数, C 是常向量, c 是任一常数, (t ) 是可导函数, 则
Δ r f (t0 Δ t ) f (t0 ) Δr lim f (t0 ) t t0 Δ t
设 f (t0 ) 0 , 则
r
O
Δr N
Δr Δt
y
x
f (t0 ) 表示终端曲线在t0处的
切向量, 其指向与t 的增长方 向一致.
切线的生成
点击图中任意点动画开始或暂停
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第六节 多元函数微分学的几何应用
一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面
第九章
三、曲面的切平面与法线
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一、一元向量值函数及其导数 z M 引例: 已知空间曲线 的参数方程: r x (t ) y O y (t ) t [ , ] x z (t ) 记 r ( x, y, z ), f (t ) ( (t ), (t ), (t ))
(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率; (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
解: (1)
(3) 由
即
得 t 0 , 即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
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二、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位
置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 给定光滑曲线 ：f (t ) ( (t ), (t ), (t )) 则当 ， ， 不同时为 0 时， 在
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定义: 给定数集 D R , 称映射f : D R n 为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 定义域 r f (t ), t D
因变量 自变量
向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 进行讨论. 严格定义见P91
d (1) d t C O d (2) d t [c u (t )] c u(t )
d (3) d t [u (t ) v(t )] u(t ) v(t ) d (4) d t [ (t )u (t )] (t )u (t ) (t )u(t ) d (5) d t [u (t ) v(t )] u(t ) v(t ) u (t ) v(t ) d (6) d t [u (t ) v(t )] u(t ) v(t ) u (t ) v(t )
x x0 Fx ( M ) y y0 Fy ( M ) z z0 Fz ( M ) 0
(自己验证)
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也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
x 2 y 2 z 2 6 , x y z 0 在点 例5. 求曲线
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1 令
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证:
在 上,
F ( (t ) , (t ) , (t ) ) 0
T
M
两边在 t t0 处求导,注意 t t0 对应点M ,
得
Fx ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) (t0 )
M
(F , G) , ( x , y)
M
则在点 M ( x0 , y0 , z0 )有
切线方程
x x0 (F , G) ( y, z )
(F , G) ( y, z )
M
y y0
(F , G) ( z , x)
M
z z0 (F , G) ( x , y )
为0, 则 在点M 的导向量为
f (t0 ) ( (t0 ), (t0 ), (t0 ))
因此曲线 在点 M 处的 x x0 y y0 z z0 切线方程 (t0 )Байду номын сангаас (t0 ) (t0 ) 法平面方程
M
f (t0 )
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
t4 t4 t4 t4
2 2 π i j k ( f ( π ) ) 4 2 2 4
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向量值函数导数的几何意义:
在 R3中, 设 r f (t ), t D 的终端曲线为 , z M OM f (t0 ), ON f (t0 Δ t )
f (t0 )
的向量方程 r f (t ), t [ , ] 此方程确定映射 f : [ , ] R 3 ,称此映射为一元向量
值函数. 即 对 上的动点M , 显然 r OM， 是 r 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .
要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念.
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
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M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
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法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
d
(7 )
dt
u (t ) (t )u (t )
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例1. 设 f (t ) (cos t ) i (sin t ) j t k , 求 lim f (t ). π
t 4
解：lim f (t ) (lim cos t ) i (lim sin t ) j lim t k π π π π
向量值函数导数的物理意义:
设 r f (t ) 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 速度向量：v(t ) f (t )
加速度向量： a v(t ) f (t )
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例2. 设空间曲线 的向量方程为 r f (t ) (t 2 1, 4t 3, 2t 2 6t )
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故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
2. 曲线为一般式的情况 F ( x, y , z ) 0 光滑曲线 : G ( x, y , z ) 0 ( F , G) 当J 0 时， 可表示为 ( y, z )