定积分在几何中的应用

1.7.1 定积分在几何中的应用

主讲：XXXX 卞志业

教学目标:

1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；

2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；

3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；

教学重难点: 重点 曲边梯形面积的求法

难点 定积分求体积以及在物理中应用 教学过程:

一、复习回顾

1.微积分基本定理是什么？

学生回答：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，

，这就是微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。 2.定积分的几何意义是什么？

学生回答： x=a 、x=b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。

需要注意的是：当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a 、x=b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方。

，那么并且)()(x f x F ='⎰

-=b

a

a F

b F dx x f )()()( 当f (x )≥0时，积分dx x f b

a

)(⎰在几何上表示由y =f (x )、 a b y f (x) ()b a S f x dx

=⎰即：O x y x

y O a b y f (x)

()b

a

S f x dx

=-⎰即：

二、例题讲解

例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.

【分析】从图像中可以看出：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：2

01y x x x y x

⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为

（0，0）、（1，1），

面积Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ

1

1

2

xdx x dx =-⎰

⎰

【点评】

求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤： （1）画草图，求出曲线的交点坐标； （2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积； （3）确定被积函数及积分区间； （4）计算定积分，求出面积。 例2计算由直线y 2x =

曲线y x 4,=-以及x 轴所围图形的面积S.

【分析】

1

2

332x ＝ 1

0331x -＝ ＝ 323

1-31 4

x

y

O

8

4 2

2

B

x

y 2=4

-=x y S 2

S 1 S 2

S 1

4 y O

8

4 2

2 A ⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡⨯⨯-+=

+=⎰⎰442122844

21dx x dx x s s s Ａ： 4

42

1

28

21⨯⨯-=

-=⎰

dx x s s s Ｂ：

解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，

所求面积为下图阴影部分的面积．

解方程组2,

4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩

得直线4y x =-与曲线

2y x =的交点的坐标为（8,4) .

直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0).

因

此

，

所

求

图形的

面积为

S=S 1+S 24

880

4

4

2[2(4)]xdx xdx x dx =

+--⎰

⎰⎰

33

482822044

2222140||(4)|3323

x x x =++-=.

三、巩固练习

求下列曲线所围成的图形的面积。

由学生自己解决，并给出答案。

四、强化训练

求曲线 与直线 所围成平面图形的面积。

解题要点:

启发：结合图形，同学们想一想，是否还有其他方法？ 学生回答：根据对称性，发现S 1=S 2。

2

,0π

=

=x x y x 4

=-2=

y x

.

0,,)2(;

32,)1(2

===+==x e y e y x y x y x x

y x y cos ,sin ==2

1S S S +=dx

x dx x S ⎰

⎰-=40401sin cos ππdx x dx x S ⎰

⎰-=24

242cos sin ππππx

y O 1

2πx

y cos =x

y sin =S 1

S 2

五、小结

1.思想方法：数形结合及转化

2.求解步骤

3.定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解.

六、课后作业

1.课本第67页习题1.7A组第1题；

2.思考题：B组第1题