多元函数微分在几何中的应用
数二考多元函数微分学的几何应用
数二考多元函数微分学的几何应用微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
而多元函数微分学则是微分学的一个延伸，研究的是多个变量的函数的变化规律。
在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用，尤其在几何学中，可以帮助我们揭示图形的性质和变化规律。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面上的曲线，我们想要研究它的切线方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲线上任意一点的切线方程。
具体的方法是，首先求出曲线的导数，然后将导数代入切线方程的一般式中，即可得到切线方程。
这样，我们就可以通过切线方程来描述曲线的变化情况了。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个三维空间中的曲面，我们想要研究它的切平面方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲面上任意一点的切平面方程。
具体的方法是，首先求出曲面的偏导数，然后将偏导数代入切平面方程的一般式中，即可得到切平面方程。
这样，我们就可以通过切平面方程来描述曲面的变化情况了。
除了切线方程和切平面方程，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲线的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲率可以通过求曲线的二阶导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲线的一阶导数和二阶导数，然后将导数代入曲率公式中，即可得到曲线的曲率。
通过研究曲线的曲率，我们可以揭示曲线的弯曲情况和变化规律。
同样地，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲面的曲率。
曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲面的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲面的曲率可以通过求曲面的二阶偏导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲面的一阶偏导数和二阶偏导数，然后将偏导数代入曲率公式中，即可得到曲面的曲率。
通过研究曲面的曲率，我们可以揭示曲面的弯曲情况和变化规律。
除了切线方程、切平面方程和曲率，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的极值。
极值是描述函数在某个区间内取得最大值或最小值的点，可以帮助我们了解函数的最优解。
多元函数微分法在几何中的应用
⇒
dy z − x , = dx y − z dz x − y = , dx y − z
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量
T = {1, 0,−1},
x −1 y + 2 z −1 = = , 所求切线方程 切线方程为 所求切线方程为 1 0 −1
x = t; 例；求曲线 y = t 2 ;在点(1,1,1)处的切线方程和法平面 方程 . z = t 3;
解：对应与点(1,1,1), t = 1, dx dy = 1, = 2t t =1 = 2, dt dt
dz = 3t 2 t 1 = 3, = dt
dx dy dz ∴T = , , = {1,2,3}, dt dt dt t = 1 在点(1,1,1)处的切线方程为： 处的切线方程为：
x −1 y −1 z −1 , = = 1 2 3 法平面方程为： 法平面方程为：
( x − 1) + 2( y − 1) + 3( z − 1) = 0,
即： x + 2 y + 3 z − 6 = 0
例1
x = te t , y = 2 sin t + cos t , z = 1 + e 3 t 求曲Γ :
的任意一条曲线， 由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线， 垂直， 它们在 M 的切线都与同一向量 n 垂直，故曲面上 通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面 切平面. 上，这个平面称为曲面在点 M 的切平面 切平面方程为
′ ′ Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
D2-10多元函数微分学二(61p)
例6. (08.11分) 已知曲线 C : 求 C 上距离xoy 面最远的点和最近的点. 分析: 分析 点(x ,y ,z) 到xoy 面的距离为|z|.故求曲线 C 上 距离xoy面最远点和最近点的坐标,等价于求函数 (目标函数) 在条件 束下的最大值点和最小值点. 解: 令
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极值极其应用
一,知识点与考点
1. 二元函数z = f (x , y)极值的概念及求法 某邻域内一切异于 对于二元函数 z = f (x , y),若在 的点(x , y) 恒有 为 f (x , y) 在该邻域的一个极大(小)值. 函数的极大值与极小值通称函数的极值. 函数取得极值的点 称为函数的极值点. (1) 二元函数取得极值的必要条件: 可导函数的极值点必为函数的驻点. 驻点即方程组 的实根.
(数二数三不要求 数二数三不要求) 数二数三不要求
切线方程为: 法平面方程为:
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若空间曲线Γ 的方程为 此时曲线方程可视为 以x为参数的参数方程 则 对应的曲线Γ上的点 处的
切线方程为: 法平面方程为:
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2.曲面的切平面方程和法线方程 曲面∑: F (x , y , z) = 0 上点 切平面方程为: 法线方程为:
(数二,数三不要求 数二,数三不要求) 数二
处
曲面∑: z = z (x , y)上点 切平面方程为:
处
法线方程为:
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二,典型例题分析与解答
题型1. 空间曲线的切线方程与法平面方程 题型2. 曲面的切平面方程和法线方程
§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用
8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。
下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。
第二章 多元函数微分法及其应用 第四节 多元函数微分法在几何上的应用
Fz ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 ) 0
- 15 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
令 T { ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 )}
第 八 章 切向量 T n 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )}
第四节
多元函数微分在几何上的应用
切平面方程
第 八 章
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
多 元 通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线称为曲 函 数 面在该点的法线.法线方程 微 分 x x0 y y0 z z0 法 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 应 用
第 八 章
在
解: 由于
M 0 (0 , R , k ) 2 z
多 对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故 元 函 yR zk x 2 切线方程 数 微 0 R k 分 法 k x Rz R k 0 2 即 及 其 yR0 应 用 法平面方程 R x k ( z k ) 0 2
- 17 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M 处的法向量即
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
多元函数微分法习题课2
t 解： 因 xt 1 cos t , yt sin t , zt 2cos 2 故在点 ( 1, 1, 2 2) 处的切向量为 2 T ( xt , yt , zt ) ( 1,1,2 2 ) (1, 1, 2)
处的切线及法平面方程。 分析：此曲线可视 x 为参数, 则求出切向量为
dy dz T (1, , ), 即可得切线及法平面方程。 dx dx
dy m 由 y 2mx 得 , dx y
2
dy dz 解： 视 x 为参数, 则切向量为T (1, , ); dx dx
m 1 , ). 故在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为T (1, y0 2 z0 x x 0 y y0 z z 0 所求切线方程为 m 1 1 y0 2 z0
2x Fx yz 2 0 a 2z Fz xy 2 0 c
2
2
2
2y Fy xz 2 0 b x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
三式相加得 3 xyz 2
a b c 解得 x , y ,z 3 3 3 2x 2y 或 yz 2 xz 2 a b 2 2 2 2 2 x z y b x x y 两式相除 2 2 2 同理 2 2 x a y a b a c
无条件极值 多元函数的极值 条件极值
(1) 无条件极值求法步骤：
①求 f x ( x, y) 0 , f y ( x, y) 0 得全部驻点. ②求 f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C ③由判别驻点为极值点的条件，验证 AC B 的符号,
§8.6微分学几何应用
r Fy Fz 切向量为: 切向量为 T = , G y Gz M0
切线方程为: 切线方程为
F( x, y, z) = 0 的情形: 的情形 G( x, y, z) = 0
x − x0 y − y0 z − z0 , = = Fy Fz Fx Fy Fz Fx Gy Gz M Gz Gx M0 Gx Gy M
Fz′ |(1, 2 , 0 ) = 1 − e z |(1, 2 , 0 ) = 0,
4( x − 1) + 2( y − 2) + 0 ⋅ ( z − 0) = 0, 2 x + y − 4 = 0, 即 x −1 y − 2 z − 0 . = = 法线方程为: 法线方程为 2 1 0 例5: 求曲面 x2+2y2+3z2=21平行于平面 x+4y+6z=0 平行于平面 的切平面方程. 的切平面方程 )为曲面上的切点 为曲面上的切点, 解: 设(x0, y0, z0)为曲面上的切点, 曲面在该点处的 r 法向量为: 法向量为 n = ( 2 x0 , 4 y0 , 6 z0 ), 切平面方程为: 切平面方程为 2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
§8.6 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线和法平面
定义: 是空间曲线L上的一个定点 是 上 上的一个定点, 定义 设M0是空间曲线 上的一个定点 M是L上 割线M 的极限 的一个动点, 沿曲线L趋于 的一个动点 当M沿曲线 趋于 0时, 割线 0M的极限 沿曲线 趋于M 位置MT0(如果极限存在 称为曲线 在M0处的切线 如果极限存在)称为曲线L在 处的切线. 位置 如果极限存在 称为曲线 z M L 下面导出空间曲线的切线方程. 下面导出空间曲线的切线方程 1. 空间曲线方程为参数方程的情形 空间曲线方程为参数方程的情形: T M x = ϕ(t ) L: y =ψ (t ) (1) o y z = ω(t ) x (1)式中的三个函数均可导 且导数不同时为零 式中的三个函数均可导. 式中的三个函数均可导 且导数不同时为零. 设M0(x0, y0, zo)对应参数 t=t0, M(x0+∆x, y0+∆y, zo+∆z) 对应参数 则割线M 的方程为 的方程为: 对应参数 t=t0+∆t. 则割线 0M的方程为
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:
zy
(x) (x)
的切向量有何特点?
法平面方程为
答:
:
x y
x
(x)
(x 1) 2 ( y 1) 3(z 1) 0
z (x)
即
x 2y 3z 6
切向量 T (1, , )
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2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
:
F ( x, G(x,
y, z) y, z)
f (t0) ((t0), (t0), (t0))
因此曲线 在点 M 处的
切线方程 法平面方程
x x0
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
f (t0)
M
(t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
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M
(
x
x0
)
(F (z
, ,
G) x)
M ( y y0 )
也可表为
(F,G) (x , y)
M (z z0) 0
x x0 y y0 z z0
Fx (M ) Fy (M ) Fz (M ) 0
Gx (M ) Gy (M ) Gz (M )
(自己验证)
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例5. 求曲线 x2 y2 z2 6, x y z 0 在点
由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量
的平面上 , 从而切平面存在 .
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曲面 在点 M 的法向量:
n ( Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx (x0, y0, z0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) ( y y0 ) Fz (x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
y y0 (F , G)
(z , x) M
z z0 (F , G) (x, y) M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
(x x0 )
M
(F,G) (z , x)
( y y0 )
M
(F,G) (x, y)
(z z0) 0
M
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法平面方程
(F , G) ( y, z)
0 0
当 J (F,G) 0 时， 可表示为
(y, z)
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0), (x0)
1,
1 J
(F,G) (z, x)
T (1, 0, 1)
切线方程
即
法平面方程 1 (x 1) 0 ( y 2) (1) (z 1) 0
即
xz 0
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三、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面
通过其上定点
任意引一条光滑曲线
点 M 的切向量为
设 t t0 对应点 M, 且 不全为0 . 则 在
T
T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
,
M
1 (F,G) J (x, y)
M
, 且有
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或 T (F,G) , (F,G) , (F,G) ( y, z) M (z , x) M (x, y) M
则在点 M (x0, y0, z0 )有
切线方程
x x0 (F , G)
( y, z) M
点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的
T
M
法向量均为
f (t) ((t), (t), (t))
点向式可建立曲线的切线方程 利用
点法式可建立曲线的法平面方程
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1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设上的点 M (x0, y0, z0) 对应t t0,(t0), (t0),(t0)不全 为0, 则 在点M 的导向量为
M
得 Fx (x0, y0, z0 ) (t0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) (t0 )
Fz (x0, y0, z0 )(t0 ) 0
令 T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
n (Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )) 切向量 T n
例4. 求曲线 x t, y t2, z t3在点 M (1, 1, 1) 处的切线
方程与法平面方程.
解：x 1, y 2t, z 3t2, 点(1, 1, 1) 对应于
故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3) 思考: 光滑曲线
因此所求切线方程为 x 1 y 1 z 1 1 23
M
切线方程为 x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
在同一平面上. 此平面称为 在该点的切平面.
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证:
在 上,
F( (t), (t), (t) ) 0
T
两边在 t t0 处求导,注意 t t0 对应点M ,
即
xz 0
解法2 方程组两边对 x 求导, 得
x z
y x
解得 dy dx
1 1
yz
zx, yz
dz dx
1 1 yz
xy yz
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:切向量T1xx,2ddyxyy2
Mz,z
2dz 0dx
6
M
(1, 0, 1)
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量
第六节
第八章
多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
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一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位
置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
给定光滑曲线
：f (t) ((t), (t),(t)) 则当， ， 不同时为 0 时， 在
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解法1 令
则
(F ,G)
2y 2z
(y, z) M 1 1
2(y z)
M
6;
M
x
切向量 T ( 6, 0, 6)
切线方程
yz
即
x
y
z
2
2
0
0
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法平面方程 6 (x 1) 0 ( y 2) 6 (z 1) 0