多元微分学在几何中的应用
8-6-1多元微分在几何上的应用
三、求出曲线 x t , y t 2 , z t 3 上的点,使在该点的切线平行
于平面 x 2 y z 4 .
z x 2 y 2 的交线在 四、求球面 x y z 6 与抛物面
2 2 2
(1,1,2) 处的切线方程 .
五、求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1上平行于平面 x y 2z 0 的切 平面方程.
6 x 0 2 y0 2 z 0 3 3
y0 x0 ,
z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 x0 2 x0 9 x0 16 0 , 2 2 2 3 x0 2 x0 9 x0 16 0
2.
练习题
例 2 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ， x y z 0 在点(1,2, 1) 处的切 线及法平面方程.
解1 直接利用公式;
解2
将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
dz dy y dx z dx x dy dz 1 dx dx
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
第八章
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
点击图中任意点动画开始或暂停
一、空间曲线的切线与法平面
x (t ) 设空间曲线的方程 y ( t ) z (t )
解
设 ( x0 , y0 , z0 )
为曲面上的切点,
切平面方程为
2 x0 ( x x0 ) 4 y0 ( y y0 ) 6 z0 ( z z0 ) 0
数二考多元函数微分学的几何应用
数二考多元函数微分学的几何应用微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
而多元函数微分学则是微分学的一个延伸，研究的是多个变量的函数的变化规律。
在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用，尤其在几何学中，可以帮助我们揭示图形的性质和变化规律。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面上的曲线，我们想要研究它的切线方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲线上任意一点的切线方程。
具体的方法是，首先求出曲线的导数，然后将导数代入切线方程的一般式中，即可得到切线方程。
这样，我们就可以通过切线方程来描述曲线的变化情况了。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个三维空间中的曲面，我们想要研究它的切平面方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲面上任意一点的切平面方程。
具体的方法是，首先求出曲面的偏导数，然后将偏导数代入切平面方程的一般式中，即可得到切平面方程。
这样，我们就可以通过切平面方程来描述曲面的变化情况了。
除了切线方程和切平面方程，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲线的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲率可以通过求曲线的二阶导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲线的一阶导数和二阶导数，然后将导数代入曲率公式中，即可得到曲线的曲率。
通过研究曲线的曲率，我们可以揭示曲线的弯曲情况和变化规律。
同样地，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲面的曲率。
曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲面的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲面的曲率可以通过求曲面的二阶偏导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲面的一阶偏导数和二阶偏导数，然后将偏导数代入曲率公式中，即可得到曲面的曲率。
通过研究曲面的曲率，我们可以揭示曲面的弯曲情况和变化规律。
除了切线方程、切平面方程和曲率，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的极值。
极值是描述函数在某个区间内取得最大值或最小值的点，可以帮助我们了解函数的最优解。
多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。
二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。
2)多元函数的定义、定义域。
3)二元函数的极限、连续。
(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。
2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。
2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。
(2) 计算方法1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数x x xz =∂∂，就是一元函数),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数x x xz =∂∂（同理）。
2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T
M
利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为
数学强化班(武忠祥)-高数第八章 向量代数与解析几何及多元微分在几何上应用
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用第一节 向 量1．数量积1）几何表示：αcos ||||b a b a =⋅. 2) 代数表示: z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ⋅=⋅ii) 分配律: .)(c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅ 4) 几何应用:i) 求模: a a a ⋅=||ii) 求夹角: ||||cos b a ba ⋅=α iii) 判定两向量垂直: 0=⋅⇔⊥b a b a 2.向量积1) 几何表示 b a ⨯是一向量. 模: αsin ||||||b a b a =⨯. 方向: 右手法则.2) 代数表示: zyx z y xb b b a a a k j ib a =⨯. 3) 运算规律 i) b a ⨯= )(a b ⨯-ii) 分配律: ⨯a (c b +)=b a ⨯+c a ⨯. 4)几何应用:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ⨯.ii) 求以a 和b 为邻边的平行四边形面积:=S |b a ⨯|.iii)判定两向量平行: ⇔b a //0=⨯b a . 3.混合积: c b a abc ⋅⨯=)()( 1) 代数表示:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) 几何应用i) 平行六面体V =|)(|abc .ii)判定三向量共面: c b a ,,共面⇔(abc )=0.题型一 向量运算例8.1 设,2)(=⋅⨯c b a 则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a +⋅⨯+⨯+⨯+⨯=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( a c b c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=⋅⋅+⨯⋅⨯))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ⋅+⨯=⋅⋅+⨯⋅⨯ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=⋅b a ,则=⨯||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解 由于2),cos(==⋅∧b a b a b a ，而2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从而4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=⋅==⨯∧b a b a b a题型二 向量运算的应用及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的角平分线向量且使其模为32。
第二章 多元函数微分法及其应用 第四节 多元函数微分法在几何上的应用
Fz ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 ) 0
- 15 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
令 T { ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 )}
第 八 章 切向量 T n 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )}
第四节
多元函数微分在几何上的应用
切平面方程
第 八 章
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
多 元 通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线称为曲 函 数 面在该点的法线.法线方程 微 分 x x0 y y0 z z0 法 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 应 用
第 八 章
在
解: 由于
M 0 (0 , R , k ) 2 z
多 对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故 元 函 yR zk x 2 切线方程 数 微 0 R k 分 法 k x Rz R k 0 2 即 及 其 yR0 应 用 法平面方程 R x k ( z k ) 0 2
- 17 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M 处的法向量即
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
多元函数微分学的几何应用数二考不考
多元函数微分学的几何应用数二考不考多元函数微分学是数学中的一个重要分支，其主要研究多元函数的导数和微分，以及这些概念在几何上的应用。
它在计算机图形学、物理学、经济学、工程学等领域都有很广泛的应用。
在这篇文章中，我们将着重介绍多元函数微分学在几何上的应用，为数学爱好者提供一些指导。
多元函数微分学中最基本的一些概念包括偏导数和全微分。
偏导数是指一个函数在某个指定的方向上的变化率，它只是函数变化率的一个组成部分，这个方向可以是$x$方向，$y$方向，$z$方向。
全微分则是指函数在一个点处的线性近似，可以看作是$\Delta x$和$\Delta y$的一个组合，其中$\Delta x$和$\Delta y$是$x$和$y$方向上的偏移量，常常用于描述某个变量的微小变化。
几何上，偏导数可以理解为函数曲面在某个方向上的斜率，而全微分可以理解为函数曲面在某个点处的切平面。
利用这些概念，我们可以计算函数曲面在某个点处的各种几何量。
例如，函数$f(x,y)=x^2+y^2$是一个二次函数，它的图像是一个平面上的圆。
在某个点$(x_0,y_0)$处，它的偏导数可以表示为$\frac{\partial f}{\partial x}=2x$和$\frac{\partialf}{\partial y}=2y$。
这些偏导数可以告诉我们在这个点处圆上的切线方向。
同时，此点的全微分可以表示为$df=2x\Delta x+2y\Deltay$，它可以告诉我们在这个点处圆上的切平面。
在三维空间中，函数$f(x,y,z)$表示的是一个三维曲面。
同样可以定义偏导数和全微分。
在某个点$(x_0,y_0,z_0)$处，偏导数可以表示为$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}$，而全微分可以表示为$df=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partialf}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}\Deltaz$。
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2020年4月5日星期日
8
高等数学（下）主讲杨益民
若规定法向量 nr 的方向是向上的（即使得 nr 与z轴正向成锐
角）， 则法向量的方向余弦为：
cos
fx
, cos
fy
, cos
1
1
f
2 x
f
2 y
1
f
2 x
f
2 y
1
f
2 x
f
2 y
r n { fx, fy,1}
其中： f x f x ( x0 , y0 ), f y f y ( x0 , y0 )
高等数学（下）主讲杨益民
1. 空间曲线方程为参数方程
x (t)
:
y
(t
)
,
( x0 (t0 ), y0 (t0 ) , z0 (t0 )) ,
则
z (t)
在(x0, y0, z0)处有 切线方程： x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 ) 切向量： T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
显然，只需证明：
r T
nr
（略）
2020年4月5日星期日
6
高等数学（下）主讲杨益民
通过M点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。
法线方程： x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切线方程
x x0 y y0 z z0
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程
Fy Gy
Fz Gz
0
(x
x0 )
Fz Gz
Fx Gx
0
(y
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
0
(z
z0
)
0
2020年4月5日星期日
4
高等数学（下）主讲杨益民
注意：对于情形3，做题时最好用推导法，而不是死记公式。
例2 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程。
z
注：在方程中一般要求
o
x
y
(t0 ), (t0 ), (t0 ) 不全为0,
如个别为0, 则理解为分子也为 0。
2020年4月5日星期日
2
高等数学（下）主讲杨益民
2. 空间曲线方程为
:
y z
(x) (x)
,
( x0 , y0 , z0 ) ,
例 3 求曲面z ez 2xy 3在(1,2,0)处的切平面及法线方程。
2. 空间曲面方程为： : z f ( x, y), M ( x0 , y0 , z0 )
曲面 在M处的切平面方程为：
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0
2020年4月5日星期日
5
高等数学（下）主讲杨益民
证明： 设曲面上任取一条通过点M的曲线方程为
x (t)
:
y
(t
)
,
M ( x0 , y0 , z0 ) t0
z (t)
n
T
M
则：曲线在M点的切向量为
r
T {(t0 ), (t0 ), (t0 )}
曲Hale Waihona Puke 在M点的切平面 的法向量为nr Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0, y0, z0 )
与且平面程方程。
2020年4月5日星期日
3
高等数学（下）主讲杨益民
3. 空间曲线为一般式方程
F(x, y, z) 0 : G( x, y, z) 0 , P0( x0 , y0 , z0 ) , 则 在P0 (x0, y0, z0)处有
切向量（法向量）：
dy dz T n 1, dx P0 , dx P0
牢记此时：
dy dz T n 1, dx P0 , dx P0
例2 求曲线 x2 y2 z2 6, x y z 0 在点M ( 1,–2, 1)
处的切线方程与法平面方程。
二、空间曲面的切平面与法线
1. 空间曲面方程为： : F ( x, y, z) 0, M ( x0 , y0 , z0 )
例5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21平行于平面 x 4 y 6z 0 的
切平面方程。
解：
设(x0,
y0,
z0)
为曲面上的切点,
则
2 x0 1
4 y0 4
6z0 6
,
且
x02 2 y02 3z02 21 得所求切点为：(1,2,2), (1,2,2),
则在(x0, y0, z0)处有
切线方程： x x0 y y0 z z0
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程：( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0
例3 求曲线 y 2x, z sin x 在P0 ( , 2 , 0)的切线方
切平面上点的 函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
竖坐标的增量
(1) z=f (x, y)在(x0, y0)的全微分等于曲面z=f (x, y)在点(x0, y0, z0) 处的切平面上的点的竖坐标的增量。
(2) z=f (x, y)在(x0, y0)的全微分存在 曲面z=f (x, y)在点(x0, y0, z0)处的切平面存在。
曲面在M处的法线方程为：
x x0 y y0 z z0 fx ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
2020年4月5日星期日
7
高等数学（下）主讲杨益民
例4 求旋转抛物面z=x2+y2-1点(2,1,4)处的切平面及法线方程。
全微分的几何意义：
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
命题： 曲面 上通过M (x0, y0, z0)点的所有曲线在M处的切线都 在同一平面 上，此平面称为 在M点的切平面，其方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
Tn
M
法平面方程： (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0 法向量： n ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
2020年4月5日星期日
1
高等数学（下）主讲杨益民
例1
求曲线
:
x
t
0
eu
cos
udu，
y
2sin
t
cos
t,
z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程。