第六节 微分法在几何上的应用
【微分的几何意义】
【微分的几何意义】
微分的几何意义是指微分在几何学上的应用。
微分是微积分中的重要概念，它是求导的过程。
在几何学中，微分有很多应用，其中最常见的是曲线的切线和曲面的切平面。
一、曲线的微分
曲线的微分指的是通过微分求出曲线在某个点处的切线。
假设曲线方程是y=f(x)，那么它在点(x0,y0)处的切线可以用以下公式求出：y-y0=f'(x0)(x-x0)
其中，f'(x0)表示f(x)在x=x0处的导数。
这个公式可以更好地帮助我们了解曲线的斜率和曲率等几何特征。
二、曲面的微分
曲面的微分指的是通过微分求出曲面在某个点处的切平面。
假设曲面方程是z=f(x,y)，那么它在点(x0,y0,z0)处的切平面可以用以下公式求出：
z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)
其中，fx(x0,y0)和fy(x0,y0)分别表示f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数。
这个公式可以更好地帮助我们了解曲面的切向量和法向量等几何特征。
总之，微分在几何学中有很多应用，包括曲线的切线和曲面的切平面等。
这些应用可以帮助我们更深入地了解几何学的基本概念和特征，提高我们的数学素养和几何思维能力。
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[精品]微分法在几何上的应用
微分法在几何上的应用是一个古老而重要的研究领域。
它在求解几何问题时使用微分法去解决这些问题。
微分法是一种数学工具，它可以对连续函数进行精确解释，以便更好地求解几何问题。
几何中的形状是由点和曲线组成，通常由微积分中的方程和变量来表示。
例如，在圆周上可以用极坐标表示，则有：x = r·cosθ，y = r·sinθ。
通过微分法，我们可以利用该函数的导数来求其一阶导数dx/dθ，以此计算对几何的表示。
另一方面，几何又可以表示为变化的曲线和曲面，例如抛物线，高斯曲线和螺线曲线等。
如何使用微分来研究这些曲线呢？首先，我们可以使用它来计算曲线的曲率，曲率是曲线某一点处的曲线的弯曲程度，可以通过曲线的导数的二阶导数来计算。
其次，可以使用微分来确定曲线的解析求解，例如求解圆心距，高斯曲线的切线等。
在几何中，微分法也可以用于求多边形的面积、体积以及复杂形状的曲线的长度，用来研究凸包、几何车辆、太阳能系统等。
而且，微分法还可以用于求解多边形和曲线等，以及使用计算机视觉技术来实现几何形状识别跟踪等任务。
9-6多元函数微分学的几何应用
对 上的动点M ,显然 r OM，即 是 r 的终点M
的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .
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2、定义: 给定数集 D R , 称映射 f : D Rn 为 一元向量值函数（简称向量值函数）, 记为
r f (t), t D
因变量
自变量
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T (, 2, 3)
切线方程： x y z
法平面方程：( x – 1) + 2 ( y – 1) + ( z – 1) = 0
即： x + 2 y + 3 z = 6
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2、空间曲线 以下面的方程组给出：
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通过点 M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线. 法线方程为：
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即
(t)u(t)
(t)u(t
)
(5)
d dt
[u(t
)
v(t)]
u(t
)
v(t)
u(t)
v(t)
(6)
d dt
[u(t
)
v(t
)]
u(t)
v(t)
《微分学的几何应用》课件
极值点的定义：曲 线上函数值达到最 大或最小的点
微分学的基本概 念：导数、微分、 积分等
利用导数求极值点 的方法：一阶导数 为零，二阶导数不 为零
利用微分学求极值 点的步骤：求导数、 判断极值点、验证 极值点
微分学在几何中的应用：研究函数的图像性质 微分学在几何中的应用：研究函数的极值和拐点 微分学在几何中的应用：研究函数的单调性和凹凸性 微分学在几何中的应用：研究函数的渐近线
微分学在曲线拟合中的应用：通过 微分方程求解，可以拟合出曲线的 函数表达式，从而解决实际问题。
微分学在物理中的应用：微分学在物 理中的应用广泛，如力学、电磁学、 热力学等，通过微分方程求解，可以 解决实际问题。
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微分学在优化问题中的应用：通过 微分方程求解，可以找到最优解， 从而解决实际问题。
理解微分学的基本概念和原理 掌握微分学的几何应用方法 结合实际工作，运用微分学的几何应用解决实际问题 学习微分学的几何应用在工程、科学、经济等领域的应用案例 培养自己的创新思维和解决问题的能力，将微分学的几何应用应用到实际工作和生
活中
汇报人：
微分学在工程中的应用：微分学在工 程中的应用广泛，如机械工程、电子 工程、土木工程等，通过微分方程求 解，可以解决实际问题。
理解基本概念：掌握微分学的基本概念， 如导数、微分、积分等。
学习几何应用：了解微分学在几何中的 应用，如曲线的切线、曲面的切平面等。
动手实践：通过练习题和实际问题来提 高微分学的几何应用能力。
学习资源：利用教材、网络资源、视频 教程等学习微分学的几何应用。
交流讨论：与同学、老师交流讨论，共 同解决学习中遇到的问题。
总结反思：定期总结学习心得，反思自 己的学习方法和技巧，不断改进。
§8.6微分法在几何上的应用.
§8.6微分法在几何上的应用 重点：1.空间曲线的切线与法平面的求法2.曲面的切平面与法线的求法.难点：空间曲线作为曲面 F(x,y,z)=O 与曲面 一.空间曲线的切线与法平面切线方程为：1y+2=0法平面方程：(x-1)+0 (y+2)-(z-1)=0 即 x-z=0 二.曲面的切平面与法线1.曲面由F(x,y,z)=O 给出可以证明：Fx(xo, yo , zo ), Fy (xo , yo , zo), Fz (xo, yo , zo )= n 垂直于M (x °,y °,Z o )点的任何曲线 在M 点的切线,即所有这些切线共面，其法线方向为n ,这个平面称为切平面•其方程为：X X y (t) z1.设的参数方程为y (t)z(t)在 (1)式 中，用t 除 各 分母.令M 1M ( t o)得：切程:X X o y y o z Z o⑵'(t o )'(t o )'(t o)法平面方程 :'(t o )(x X o )+'(t o )(y y o ) + '(t o)(zZ o ) =o (3)X o(1)线方X 割线MM '勺方程是：上的交线时，其切线与法平面的求法G(x,y,z)=Oz Z o y y o 例1. 求曲线x= t, yt 2,z 3t 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.2.空间曲线 的方程 (X),曲线在点(X)M( X o , y o ,z o )F x(x°, y°,z°)(x X o) + F y(x。
，y o,Z o)(y y°) + F z(x°, y°,z°)(z z°) 0法线方程为:肾y y。
F y z Z o Fz2.曲面由z=f(x,y)给出此时令 F(x,y,z)=z-f(x,y)或 F(x,y,z)=f(x,y)-z,可化为 I 由曲面 F(x,y,z)=0 给出的情形.解此方程组得：y',z',(x 。
微分法在几何上的应用
……………………切线方程
′ ( x − x 0 ) + y′ x ( x0 ) ( y − y0 ) + z x ( x0 ) ( z − z 0 ) =0
…………………法平面方程
3）设空间曲线 Γ 的方程为：
F ( x, y , z ) = 0 G ( x, y , z ) = 0
曲线在 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切向量为： 根据隐函数关于上式的求偏导数的方法，接合一定的 《向量与空间解析几何》知识，可求得:
推理 1: 在曲面∑上通过点 M 且在点 M 处具有切线的任何曲线， 它们在 M 处的切线在同一个平面上。 法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
证明：
∵ F ( x, y , z ) = 0 点 M 在曲面上，则：
……………………………两向量点乘的坐标式 简化为：
T •n = 0
即得到曲面的法向量 ：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
可以得到切平面的方程：
Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
而通过一点，法向量为 T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 )) 的法平面 方程为：
φ ′(t 0 ) ( x − x 0 ) + ϕ ′(t0 ) ( y − y0 ) + w′(t0 ) ( z − z0 ) =0
7(7)微分法在几何上的应用解析
dz G x G y dx Fy Fz
Gz
G y Gz Gy x x0 y y0 利用2.结果, 1 y( x0 )
z z0 z( x0 )
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微分法在几何上的应用
F ( x, y, z ) 0 , 在点 M(x0, y0, z0)处的 G( x, y, z ) 0 x x0 y y0 z z0 切线方程为 , Fz Fx Fy Fz Fx Fy
(t0 )( x x0 ) y.(t0 )( y y0 ) z(t 0 )( z z0 ) 0 x 中心的某球面上 证 任取曲线上一点 ( x( t ), y( t ), z ( t )),
曲线过该点的法平面方程为 x( t )[ X x( t )] y( t )[Y y( t )] z( t )[ Z z( t )] 0 因原点 (0,0,0) 在法平面上, 故有 x(t ) x(t ) y(t ) y(t ) z(t )z(t ) 0
即 [ x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t ) ] 0
于是
x 2 (t ) y 2 (t ) z 2 (t ) C
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微分法在几何上的应用
隐式方程 1. 设曲面Σ的方程为 F ( x , y , z ) 0 的情形 M ( x0 , y0 , z0 ) , 函数 F ( x , y , z ) z F ( x, y, z ) 0 的偏导数在该点连续且不同 时为零. M ( x0 , y0 , z0 ) 今在曲面Σ上任取一条 过点M 的曲线Γ, 设其参数 方程为
第六讲 多元函数微分学的几何应用
第六讲 多元函数微分学的几何应用授课题目：§8.6多元函数微分学的几何应用 教学目的与要求：1、理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线．2、会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程． 教学重点与难点：重点与难点是求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程． 讲授内容：一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线Γ的参数方程为x =ϕ(t )，y =ψ(t )，z =ω(t )这里假定ϕ(t )，ψ(t )，ω(t )都在[α, β]上可导.在曲线Γ上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0, y 0, z 0)及对应于t =t 0+∆t 的邻近一点M (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ). 作曲线的割线MM 0, 其方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000, 当点M 沿着Γ趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线.，考虑t z z z ty y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000, 当M →M 0, 即∆t →0时, 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-. 曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量．向量T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0))就是曲线Γ在点M 0处的一个切向量．法平面：通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M 0 处的法平面, 其法平面方程为ϕ'(t 0)(x -x 0)+ψ'(t 0)(y -y 0)+ω'(t 0)(z -z 0)=0.例1 求曲线x =t +11，y =tt 1+，z =t 2在点(21，2，1)处的切线及法平面方程. 解 因为x t '=2)1(1t +，y t '=21t -，z t'=2t ，而点(21，2，1)所对应的参数为t =1, 所以T =(2,1,41-). 于是，切线方程为21124121-=--=-z y x , 法平面方程为0)1(2)2(1)21(41=-+-⋅--z y x 提问：1. 若曲线Γ的方程为y =ϕ(x )，z =ψ(x ).问其切线和法平面方程是什么形式?提示：曲线方程可看作参数方程: x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 切向量为T =(1,ϕ'(x ), ψ'(x )).2. 若曲线Γ的方程为F (x , y , z )=0，G (x , y , z )=0.问其切线和法平面方程又是什么形式?提示：两方程确定了两个隐函数:y =ϕ(x )，z =ψ(x )，曲线的参数方程为x =x ，y =ϕ(x )，z =ψ(x ),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x当0),(),(≠∂∂=z y G F J 时，可解得dx dyzyz yxz x zG G F F G G F F x ='=)(ϕ，zy z y y x y x G G F F G G F F x dxdz='=)(φ.点M(000,,z y x )处的切向量为),,1(00）（）（x x ϕϕ''=1T . 000)(zyz y x z x z G G F F G G F F x ='ϕ，000)(zyz y y x y xG G F F G G F F x ='φ点M(000,,z y x )处的切向量可取T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000y x y x x zxz z y zyG G F F G G F F G G F F ，， 例2 求曲线x 2+y 2+z 2=6, x +y +z =0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程.解．设6),,(222-++=z y x z y x F ，z y x z y x G ++=),,( 2)1,2,1(=-x F ，4)1,2,1(-=-y F ，2)1,2,1(=-z F 1)1,2,1(=-x G ，1)1,2,1(=-y G ，1)1,2,1(=-z G 从而T ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1142,1122,1124(－6, 0, 6)＝－6（1,0,－1）. 所求切线方程为110211--=+=-z y x , 法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0.二、曲面的切平面与法线设曲面∑的方程为F (x , y , z )=0,M 0(x 0, y 0, z 0)是曲面∑上的一点，并设函数F (x , y , z )的偏导数在该点连续且不同时为零．在曲面∑上，通过点M 0任意引一条曲线Γ，假定曲线Γ的参数方程式为x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) ,t =t 0对应于点M 0(x 0, y 0, z 0), 且ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)不全为零. 曲线在点的切向量为T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)).考虑曲面方程F (x , y , z )=0两端在t =t 0的全导数:F x (x 0, y 0, z 0)ϕ'(t 0)+F y (x 0, y 0, z 0)ψ'(t 0)+F z (x 0, y 0, z 0)ω'(t 0)=0.引入向量n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),易见T 与n 是垂直的．因为曲线Γ是曲面∑上通过点M 0的任意一条曲线, 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直，所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上．这个平面称为曲面∑在点M 0的切平面．这切平面的方程式是F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0)+F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0)+F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0)=0.曲面的法线：通过点M 0(x 0, y 0, z 0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0))就是曲面∑在点M 0处的一个法向量．例3 求曲面z 2=222y x +-7在点(1, 3, 2)处的切平面及法线方程. 解 F (x , y , z )= 2x 2+y 2-z 2-7F x =2x , F y =2y , F z =-2z ,F x (1, 2, 3)=4, F y (1, 2, 3)=6, F z (1, 2, 3)=-4.法向量为n =(4，6，-4), 或n =(2, 3, -2). 所求切平面方程为2(x -1)+3(y -2)-2(z -3)=0, 即2x +3y -2z -2=0.法线方程为223321--=-=-z y x . 例4 求旋转抛物面z =x 2+y 2-1在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程. 解 f (x , y )=x 2+y 2-1,n =(f x , f y , -1)=(2x , 2y , -1), n |(2, 1, 4)=(4, 2, -1).所以在点(2, 1, 4)处的切平面方程为4(x -2)+2(y -1)-(z -4)=0, 即4x +2y -z -6=0.法线方程为142142--=-=-z y x .课外作业： 习题8-6：P 45-2，6，9。