微分学几何应用
数二考多元函数微分学的几何应用
数二考多元函数微分学的几何应用微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
而多元函数微分学则是微分学的一个延伸，研究的是多个变量的函数的变化规律。
在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用，尤其在几何学中，可以帮助我们揭示图形的性质和变化规律。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面上的曲线，我们想要研究它的切线方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲线上任意一点的切线方程。
具体的方法是，首先求出曲线的导数，然后将导数代入切线方程的一般式中，即可得到切线方程。
这样，我们就可以通过切线方程来描述曲线的变化情况了。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个三维空间中的曲面，我们想要研究它的切平面方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲面上任意一点的切平面方程。
具体的方法是，首先求出曲面的偏导数，然后将偏导数代入切平面方程的一般式中，即可得到切平面方程。
这样，我们就可以通过切平面方程来描述曲面的变化情况了。
除了切线方程和切平面方程，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲线的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲率可以通过求曲线的二阶导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲线的一阶导数和二阶导数，然后将导数代入曲率公式中，即可得到曲线的曲率。
通过研究曲线的曲率，我们可以揭示曲线的弯曲情况和变化规律。
同样地，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲面的曲率。
曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲面的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲面的曲率可以通过求曲面的二阶偏导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲面的一阶偏导数和二阶偏导数，然后将偏导数代入曲率公式中，即可得到曲面的曲率。
通过研究曲面的曲率，我们可以揭示曲面的弯曲情况和变化规律。
除了切线方程、切平面方程和曲率，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的极值。
极值是描述函数在某个区间内取得最大值或最小值的点，可以帮助我们了解函数的最优解。
多元函数微分学在几何上的简单应用
t
p
2
t0
t 2p
t 2p
14
例5 求曲线 : x2 y2 z2 50, x2 y2 z2
在点 P0(3,4,5) 处的切线与法平面.
解 2x 2 yy' 2zz' 0
2x
2 yy'
2zz '
0
P0 (3, 4, 5)代入上式得
3
3
4 4
y '0 y '0
5z '0 5z '0
M0( x0 , y0 , z0 ) , F ( x, y, z)在点M有连续
的偏导数,且 Fx2 Fy2 Fz2 M0 0 if Fz 0, F ( x, y, z) 0
可确定隐函数 z z( x, y) ,
fx
(
x,
y)
Fx Fz
,
f
y
(
x
,
y)
Fy Fz
n
rx
ry
(
Fx Fz
,
Fy Fz
7
(1) 用参数方程表示的空间曲线:
T
: r ( x(t) , y(t) , z(t)), t . P0 r
r (t0 t)
设 t t0 对应 r (t0 ) OP0 ( x0 , y0 , z0 ) r(t0) O
t t0 t 对应r (t0 t ) OP x0 x, y0 y, z0 z
割线 P0P 的方向向量:
P0P= r =r (t0 t ) - r (t0 )=（x x0，y y0，z z0） 切线的方向向量:
lim r lim r (t0 t ) r (t0 ) dr
t t 0
D2-10多元函数微分学二(61p)
例6. (08.11分) 已知曲线 C : 求 C 上距离xoy 面最远的点和最近的点. 分析: 分析 点(x ,y ,z) 到xoy 面的距离为|z|.故求曲线 C 上 距离xoy面最远点和最近点的坐标,等价于求函数 (目标函数) 在条件 束下的最大值点和最小值点. 解: 令
机动 目录 上页 下页 返回 结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
极值极其应用
一,知识点与考点
1. 二元函数z = f (x , y)极值的概念及求法 某邻域内一切异于 对于二元函数 z = f (x , y),若在 的点(x , y) 恒有 为 f (x , y) 在该邻域的一个极大(小)值. 函数的极大值与极小值通称函数的极值. 函数取得极值的点 称为函数的极值点. (1) 二元函数取得极值的必要条件: 可导函数的极值点必为函数的驻点. 驻点即方程组 的实根.
(数二数三不要求 数二数三不要求) 数二数三不要求
切线方程为: 法平面方程为:
机动
目录
上页
下页
返回
结束
若空间曲线Γ 的方程为 此时曲线方程可视为 以x为参数的参数方程 则 对应的曲线Γ上的点 处的
切线方程为: 法平面方程为:
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2.曲面的切平面方程和法线方程 曲面∑: F (x , y , z) = 0 上点 切平面方程为: 法线方程为:
(数二,数三不要求 数二,数三不要求) 数二
处
曲面∑: z = z (x , y)上点 切平面方程为:
处
法线方程为:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二,典型例题分析与解答
题型1. 空间曲线的切线方程与法平面方程 题型2. 曲面的切平面方程和法线方程
微分几何及其应用
微分几何及其应用微分几何是数学中的一个分支，它研究的是曲线、曲面以及更一般的流形等几何对象的性质。
它是微积分和几何学的结合，将微积分的工具应用于几何问题，从而深化了对几何结构的理解和研究。
微分几何的应用十分广泛，它在物理学、计算机图形学、机器人学、生物学等众多领域都有重要的应用。
下面将从几个具体的应用领域来介绍微分几何的重要性和作用。
微分几何在物理学中有着重要的地位。
物理学研究的对象往往是具有空间结构的事物，而微分几何为物理学提供了一种描述和分析这些事物的数学工具。
例如，广义相对论就是基于微分几何的理论，它描述了时空的弯曲和引力的性质，对黑洞、宇宙起源等重大问题的研究都依赖于微分几何的方法。
微分几何在计算机图形学中也有着广泛的应用。
计算机图形学主要研究如何利用计算机生成和处理图像，而微分几何为计算机图形学提供了描述和变换几何对象的数学工具。
例如，三维建模、形状分析、曲面重建等领域都离不开微分几何的理论和方法。
微分几何在机器人学中也发挥着重要的作用。
机器人学研究的是机器人的运动和控制，而微分几何为机器人学提供了描述和分析机器人运动的数学工具。
例如，路径规划、运动学分析、姿态控制等问题都需要借助微分几何的方法来解决。
微分几何还在生物学中有着广泛的应用。
生物学研究的是生物体的形态和结构，而微分几何为生物学提供了描述和分析生物体形态的数学工具。
例如，在生物体的形态分析、生物体的运动模拟、生物体的生长发育等问题中，微分几何的方法都可以发挥重要的作用。
微分几何及其应用是数学的一个重要分支，它将微积分的工具应用于几何问题，深化了对几何结构的理解和研究。
微分几何在物理学、计算机图形学、机器人学、生物学等众多领域都有广泛的应用，为这些学科的发展提供了重要的支持和推动。
通过研究微分几何及其应用，我们可以更好地理解和描述自然界中的现象和问题，为解决实际问题提供了有力的数学工具。
数学中的微分几何及其应用
数学中的微分几何及其应用微分几何是数学中的一个重要分支，它是微积分和几何学的有机结合，旨在研究曲线、曲面及其变形、扭曲的性质和规律。
微分几何有着广泛的应用，包括在物理学、自然科学、工程学和计算机科学等领域中都占有重要的地位。
本文将就微分几何的基本概念以及其在现实生活中的应用做一个简单的介绍。
微分几何的基本概念微分几何主要研究的是曲线和曲面的性质，其中最基本的概念是曲率和切向量。
切向量是曲线和曲面上的一种量，表示曲线和曲面上某一点的切线所代表的向量。
而曲率则是表示曲线和曲面上某一点随着其所在点的不同而产生的弯曲度量。
通过研究切向量和曲率，微分几何可以计算曲线和曲面上的各种重要参数，如弧长、曲率半径、法向量等等。
在微分几何的研究中，还有一个重要的概念是黎曼度量，这是指曲面上每个点的切空间上的内积，它刻画了曲面内部的“角度”和“长度”之间的关系。
黎曼度量可以简单地理解为代表了曲面上不同方向之间的距离和角度差异的指标。
这种度量将曲面从不同的角度转化为数学对象，为我们研究曲面的性质提供了一种统一的数学工具。
微分几何的应用微分几何的应用在各个领域中都体现了其独特的价值。
以下就简单介绍一下微分几何在几个领域中的应用情况。
1. 物理学在物理学中，微分几何的应用非常广泛。
其中最为典型的是广义相对论，它是爱因斯坦创立的一种关于时空的理论。
在广义相对论中，物质和能量会使时空产生曲率，因此曲率是该理论中的一个关键概念。
微分几何的研究方法非常适合对时空曲率进行建模和计算，因此在广义相对论中，微分几何的理论和方法得到了广泛的应用。
2. 自然科学微分几何在自然科学中的应用也非常广泛。
例如在地理学中，我们需要通过地球表面曲率的计算来定位，精确测量不同位置之间的距离。
在生物学中，通过对组织、细胞的表面形态进行研究，可以了解它们的功能和机制，而这种研究需要利用微分几何的相关知识和方法。
3. 工程学微分几何在工程学中的应用也非常丰富。
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
微积分在几何学中的应用
微积分在几何学中的应用一、微积分的发明历程如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
微积分是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求合”就是积分。
微分学包括求导的运算，是一套关于变化的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可以用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念、求面积的无限小方法、积分与微分的互逆关系。
前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都做出了各自的贡献。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。
二、微积分的思想从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述。
与此同时，战国时期庄子在《庄子·天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想。
公元3世纪,刘徽在《九章算术》中提及割圆术“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”用正多边形来逼近圆周。
这是极限论思想的成功运用。
他的极限思想和无穷小方法，也是世界古代极限思想的深刻体现。
虽然最后是欧洲人真正的研究和完成了微积分的创立工作，但中国古代数学对于微积分的出色工作也是不可忽视的。
§8.6微分学几何应用
r Fy Fz 切向量为: 切向量为 T = , G y Gz M0
切线方程为: 切线方程为
F( x, y, z) = 0 的情形: 的情形 G( x, y, z) = 0
x − x0 y − y0 z − z0 , = = Fy Fz Fx Fy Fz Fx Gy Gz M Gz Gx M0 Gx Gy M
Fz′ |(1, 2 , 0 ) = 1 − e z |(1, 2 , 0 ) = 0,
4( x − 1) + 2( y − 2) + 0 ⋅ ( z − 0) = 0, 2 x + y − 4 = 0, 即 x −1 y − 2 z − 0 . = = 法线方程为: 法线方程为 2 1 0 例5: 求曲面 x2+2y2+3z2=21平行于平面 x+4y+6z=0 平行于平面 的切平面方程. 的切平面方程 )为曲面上的切点 为曲面上的切点, 解: 设(x0, y0, z0)为曲面上的切点, 曲面在该点处的 r 法向量为: 法向量为 n = ( 2 x0 , 4 y0 , 6 z0 ), 切平面方程为: 切平面方程为 2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
§8.6 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线和法平面
定义: 是空间曲线L上的一个定点 是 上 上的一个定点, 定义 设M0是空间曲线 上的一个定点 M是L上 割线M 的极限 的一个动点, 沿曲线L趋于 的一个动点 当M沿曲线 趋于 0时, 割线 0M的极限 沿曲线 趋于M 位置MT0(如果极限存在 称为曲线 在M0处的切线 如果极限存在)称为曲线L在 处的切线. 位置 如果极限存在 称为曲线 z M L 下面导出空间曲线的切线方程. 下面导出空间曲线的切线方程 1. 空间曲线方程为参数方程的情形 空间曲线方程为参数方程的情形: T M x = ϕ(t ) L: y =ψ (t ) (1) o y z = ω(t ) x (1)式中的三个函数均可导 且导数不同时为零 式中的三个函数均可导. 式中的三个函数均可导 且导数不同时为零. 设M0(x0, y0, zo)对应参数 t=t0, M(x0+∆x, y0+∆y, zo+∆z) 对应参数 则割线M 的方程为 的方程为: 对应参数 t=t0+∆t. 则割线 0M的方程为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
,
M0
Fz Fx Gz Gx
y y0 Fz Fx
,
M0
Fx Gx
z z0
Fx Fy
Fy Gy M0
,
Gy Gz M0 Gz Gx M0 Gx Gy M0
法平面方程为:
Fy Gy
Fz Gz
M0
(
x
x0
)
Fz Gz
Fx Gx
(
M0
y
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
M0
(
z
z0
dy dx
|(1,2, 1)
0,
dz dx
|(1,2, 1)
1,
由此得切向量为:
T (1, 0,1),
所求切线方程为: x 1 y 2 z 1,
1
0 1
法平面方程为: ( x 1) 0 ( y 2) (z 1) 0,
即
ห้องสมุดไป่ตู้
xz0
二、曲面的切平面与法线
1. 曲面的方程为一般方程
则切向量为: T ( x(0), y(0),z(0)) (1,2,3)
故, 切线方程为: x 0 y 1 z 2 ,
1
2
3
法平面方程为: x 2( y 1) 3(z 2) 0,
即
x 2 y 3z 8 0.
2.
空间曲线方程为
zy
( (
x) x)
的情形:
在M0(x0, y0, zo)处, 取x为参数, 则
§8.6 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线和法平面
定义: 设M0是空间曲线L上的一个定点, M是L上 的一个动点, 当M沿曲线L趋于M0时, 割线M0M的极限 位置M下T面0(导如出果空极间限曲存线在的)称切为线曲方线程L.在M0处z的切线M. L
1. 空间曲线方程为参数方程的情形:
T
L:
x y
(t) (t)
z (t )
M0
(1)
o
y
x
(1)式中的三个函数均可导. 且导数不同时为零.
设M0(x0, y0, zo)对应参数 t=t0, M(x0+x, y0+y, zo+z) 对应参数 t=t0+t. 则割线M0M的方程为:
x x0 y y0 z z0
x y z
考察割线趋近于极限位置——切线的过程:
F令x(x0曲, yn0线,z(0)F在x点((tx00M),+y处F0y,的(zx00)切,,Fy向0y,(z量x00)满, y(0足t,0z):0+T)F,Fz(zx(n0x,.0由y,0y,曲0z,0z线)0))(在t0)=0
曲 垂 上面直 . 且于这上同张的一平任向面意量的性n法知. 因向, 此量上,为过所点n有, M并这的称些任切n为意线曲曲都面线在的同的切一在线平点都面M 处的法向量; 称这张平面为曲面在点M处的切平面.
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
全微分的几何意义 因为, 曲面z=f(x, y)在M处的切平面方程为
z z0 fx ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面上点的竖 函数z=f(x, y)在(x0, y0)的全微分.
2. 曲面的方程为显函数z=f(x, y)的情形: 令F(x, y, z)=f(x, y)–z, 则曲面在点M(x0, y0, z0)的 法向量为: n ( fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 ), 1) 故, 切平面方程为:
fx ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0 法线方程为:
坐标的增量z.
即dz=fx(x0, y0)x+ fy(x0, y0)y.
函数z=f(x, y)在(x0, y0)的
全微分, 表示曲面z=f(x, y)在
点(x0, y0, z0)处的切平面上的 点的竖坐标的增量, 即以切
切平面的方程为:
Fx(x0, y0, z0)(x–x0)+Fy(x0, y0, z0)(y–y0)+Fz(x0, y0, z0)(y–y0)=0
通过点M(x0, y0, z0)而垂直于切平面的直线称为曲 面在该点的法线. 法线方程为:
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
F(x, y, z)=0的情形:
在曲面上任取一条通过点
M(x0, y0, z0)的曲线
:
x y
(t) (t),
对应M有
z t=t0 .
(t
)
n
T
M
曲线在M处的切向量为:
T ((t0 ), (t0 ), (t0 )),
又因为为曲面上的曲线, 故有
F((t), (t), (t)) 0
上式在t = t0 处对 t 求导得,
切线方程为: 法平面方程为:
x x0 1
y y0 z z0 ,
( x0 ) ( x0 )
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
3.
空间曲线方程为
GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
的情形:
切向量为:T 切线方程为:
Fy Fz Gy Gz
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1:求曲线
x
:
y
t
0
e
u
cos
udu
2sin t cos t
在t=0处的切线
和法平面方程.
z
1
e3t
解: 当t=0时对应曲线上的点的坐标为M0(0, 1, 2),
而
x etcos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,
上式分母同除以t , 得
x x0 y y0 z z0 ,
x y z
t
t
t
当M→M0, 即t →0时, 曲线在M处的切线方程为:
x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
切向量(切线的方向向量)为
T ((t0 ), (t0 ),(t0 ))
法平面(过M0点且与切线垂直的平面)的方程为:
)
0
例2:
求曲线
x2 y2 x y
z z
2 0
6
在点(1,
–2,
1)处的切
线及法平面方程.
解一: 直接利用公式.
解二: 在所给方程的两边对x求导并移项, 得
y dy dx
dy
z dz
dz dx 1
x ,
解得 dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
dx dx 在点(1, -2, 1)处