几何模型在现实生活中的应用

天津师范大学本科生毕业论文（设计）题目：几何模型在现实生活中的应用学号： 02505075姓名：刘静专业：数学与应用数学年级： 2002级学院：数学科学学院完成日期： 2006年5月指导教师：张智广几何模型在现实生活中的应用摘要：几何模型是数学建模的重要工具，合理使用它将使原本复杂的问题变得简单易解，有简化问题的作用．一般来说，几何模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题．它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用．本文从物体运动、运输、汽车设计优化等问题入手，分析如何建立其几何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些．关键词：数学建模，数学模型，几何模型，简化The Application of Geometrical Model in Our Daily LifeAbstract:Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are constructed according to the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing geometrical model from the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these models.Key words:Mathematical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify目录一、前言 (1)二、几何模型在物体运动问题中的应用 (2)（一）步长选择 (2)（二）雨中行走 (3)三、几何模型在运输问题中的应用 (6)（一）冰山运输 (6)四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用 (10)（一）驾驶盲区 (10)（二）车灯线光源的优化设计模型 (12)五、几何模型在其它问题中的应用 (15)（一）医学中的应用 (15)1．血管分支 (15)（二）日常生活中的应用 (16)1．动物的身长与体重 (16)2．拐角问题模型 (17)参考文献 (19)一、前言近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高．但是，到底什么是数学模型和数学建模呢？可能许多人还不是很清楚．所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解．当一个数学结构作为某种形式语言（即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型．换言之，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构．也就是说，数学模型是通过抽象简化的过程，用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，从而便于人们更深刻地认识所研究的对象．数学模型模仿了一个现实系统，是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果．它用精确的语言表达了对象的内在特性，是利用函数、方程等变量描述方法以及数学概念创立的模型．但建立数学模型并非以模型为目标，而是为了解决实际问题．当我们建立一个数学模型时，我们从现实世界进入了充满数学概念的抽象世界．在数学世界内，我们用数学方法对数学模型进行推理、演绎、求解，并借助于计算机处理这个模型，得到数学上的解答．最后，我们再回到现实世界，将模型的数学解“翻译”成现实问题的实际“解答”，如给出现实对象的分析、预报、决策、控制的结果．这些结果还必须经实际的检验，即用现实对象的信息检验得到的解答，确认结果的正确性．我们始于现实世界又终结于现实世界，数学模型是一道理想的桥梁．在实际应用中，数学模型可按不同方式分类．若按建立模型的数学方法分类，则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等．这些模型彼此之间并非绝对孤立，而是互相渗透，互为工具．在可用数学建模的方法解决的问题中，有些比较简单，只使用其中的一种模型即可．例如，一把梯子斜靠在墙上，如何测得梯子和墙的夹角呢？首先建立梯子的几何模型，即将其假设为一线段，忽略其余各部分．接下来，测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离．再利用三角函数，便可计算出夹角．但在解决复杂问题时，仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使用，会达到事半功倍的效果．或者在原有模型的基础上，使用几何模型作为辅助手段，也会为问题的解决带来惊喜．几何模型不是原型，既简单于原型，又高于原型，它是对原物体简化后的产物．几何模型有一定的适用条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在．若问题中没有出现有具体形状的物体，则几何模型也无从谈起．但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以几何模型的应用范围是很广泛的，地位是举足轻重的．下面我们将从四个方面，介绍几何模型的具体应用．二、几何模型在物体运动问题中的应用数学建模过程是由若干个有明显差别的阶段性工作组成的，可以分为问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用等过程．但建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，以上只是机理分析方法建模的一般过程．在本文中，受所研究问题及篇幅所限，部分过程有所省略．物体运动中所涉及到的物体一定是有具体形状的，所以符合几何模型的应用条件．分析运动物体的几何结构，对其进行合理简化，是几何模型的一个重要应用．（一）步长选择问题描述：人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和．在给定速度时，以动作最小（即消耗能量最小）为原则．问走路步长选择多大为合适？问题分析：此问题若陷入人体复杂的生理结构之中，将会得出过于复杂的模型而失去使用价值．对人体进行合理的简化，是解决问题的首要步骤．由于此例要解决的是步长问题，则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的．另外，依靠平时生活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）身高H （或腿长h ）；（2）体重M ．为简化问题的研究，做以下假设：（1）假设人体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为h 、质量为m 的均匀杆；（2）设躯体以匀速v 前进．模型建立：如图1所示，重心升高12222cos 148l l h h h h h h δθ⎛⎫=-=--≈ ⎪⎝⎭（当l h 较小时）． 腿的转动惯量23mh I =，角速度v w h =，单位时间图1的步数为v l ．所以单位时间行走所需的动能为32126e v mv W Iw l l==． 单位时间内使身体重心升高所做的功为8v Mglv W mg l hδδ==，所以单位时间行走所需的总功368e mv Mglv W W W l h δ=+=+．代入v n l =，得2168m Mg W v n h n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．于是当v 一定时，n =W 最小．由0v l n =，得0l =．求解完毕． （二）雨中行走问题描述：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去．学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校．假设刚刚出发雨就大了，但你也不再打算回去了．一路上，你将被大雨淋湿．一个似乎是很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨的时间．但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略．试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度．问题分析：对于这个实际问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步论述．我们的问题是，要在给定的降雨条件下设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低．分析参与这一问题的因素，主要有：（1）降雨的大小；（2）风（降雨）的方向；（3）路程的远近；（4）你跑的快慢．为简化问题的研究，我们假设：（1）降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度保持不变；（2）你以定常的速度跑完全程；（3）风速始终保持不变；（4）把人体看成是一个长方体的物体（此项为几何方面的假设）．在这些假设下，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：雨中行走的距离D （米）、时间t （秒）、速度v （米秒）；人的身高h （米）、宽度w （米）和厚度d （米）；身上被淋的雨水总量C （升）．关于降雨的大小，在这里用降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）I （厘米时）来描述．模型求解：为进一步简化这一问题的研究，首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响，也就是说在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水．经简单论证可知，这是一个荒谬的假设，所建模型用以描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的．按照建模的程序，需要回到对问题所做的假设，推敲这些假设是否恰当．这时我们发现不考虑降雨角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了．若考虑降雨角度的影响，则降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了．现给出降雨的速度，即雨滴下落的速度r （米），以及降雨的角度（雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角）θ．显然，前面提到的降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度．我们用ρ来度量雨滴的密度，称为降雨强度系数，它表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占据的空间的比例数．于是有I pr =．显然，1p ≤，而当1p =时意味着大雨倾盆，有如河流向下倾泻一般．如图2所示，在这种情形下为了估计出你被雨水淋湿的程度，关键是考虑雨滴相对于雨中行走方向的下落方向． 首先考虑02πθ<≤的情况．这时雨水是从前方迎面而来落下的，由经验可以知道，这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前方．因此淋在身上的雨水将分为两部分来计算．先考虑顶部被淋的雨水．雨滴速度垂直方向的分量是sin r θ，顶部的面积是wd ．不难得到，在时间t D v =内淋在顶部的雨水量应该是：()()1sin C D v wd pr θ=．再考虑前方表面淋雨的情况．雨速水平方向的分量是cos r v θ+，前方的面积是wh ，故前方表面被淋到的雨水的量应该是()()2cos C D v wh p r v θ=+⎡⎤⎣⎦．因此在整个行程中被淋到的雨水的总量应该是()12sin cos pwD C C C dr h r v vθθ=+=++⎡⎤⎣⎦． （1） 如果假设落雨的速度是4r =米，由降雨强度2I =厘米时可以估算出它的强度系数61.3910p -=⨯．把这些参数值代入（1）式可以得到()46.95100.8sin 6cos 1.5C v vθθ-⨯=++． 在这个模型里有关的变量是v 和θ，其中θ是落雨的方向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值；而v 是要选择的雨中行走的速度．由于在我们讨论的情形下有图2v02πθ<≤，而且C 是v 的减函数，因此当v 增大时淋雨量C 将逐渐减小． 考虑2πθπ<<的情形．在这种情形下，雨滴将从后面向你身上落下．令90θα=+ ，则02απ<<．这个情形还要按照你在雨中行走的速度再分成两种情况．首先考虑sin v r α≤的情形，也就是说行走的速度慢于雨滴的水平运动速度．这时雨滴将淋在后背上．淋在背上的雨水的量是()sin pwDh r v α-，于是淋在全身的雨水的总量应该是()cos sin C pwD rd h r v v αα=+-⎡⎤⎣⎦．当你以可能的最大速度sin v r α=在雨中行进时，雨水的总量的表达式可以化简为()cos C pwD rd α=．它表明你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了．实际上，这意味着你刚好跟着雨滴向前走，所以身体前后都没有淋到雨．如果你的速度低于sin r α，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加．因此在这种情形下淋雨量仍然是行走速度的减函数．第二个情形是sin v r α>的情形，这时在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动速度．这时人将不断地追赶雨滴，雨水将淋在你的胸前．被淋的雨量是()sin pwhD v r v α-．于是全身被淋的雨水的总量是()cos sin C pwD rd h v r v αα=+-⎡⎤⎣⎦．综合上面分析的结果，我们可以得到淋雨量的数学模型为：()()()sin cos ,02,cos sin ,02,sin ,cos sin ,02,sin .pwD r d h hv v pwD C r d h hv v r v pwD r d h hv v r v θθθπαααπααααπα⎧++<≤⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎪=+-<<≤⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎪-+<<>⎡⎤⎣⎦⎪⎩正如上面分析所得到的，模型中前两个式子都是速度v 的减函数．但是第三个式子的情形就比较复杂了，它的增减性将取决于括号内的式子cos sin d h αα-是正还是负，它刚好是关于人的体形的一个指标．从这个模型我们可以得到如下结论：（1）如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑；（2）如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量．这时雨滴不会淋到你的前胸和后背，只淋到了头顶上．小结：通过研究前面两个问题，我们作以下三点总结：（1）在第一个问题中，我们用几何模型结合物理知识，解决了人体行走中的步长问题．建立模型时，把人体只看作由躯干和下肢两部分组成，是对人体的第一次简化；接着又将下肢看作长为h、质量为m的均匀杆，是对人体的第二次简化．两次简化对问题的解决起到了关键作用，既合理简化了问题，又未因过分简化而使模型失去其使用价值．而在第二个问题的模型建立中，将人体直接看成是一个长方体的物体．通过对比我们可以看出，在解决不同的实际问题时，对同一物体可根据实际需要做出不同的模型假设．（2）通过解决第二个问题我们还可以发现，数学模型的建立是一个对模型反复推敲不断完善的过程．虽然建立模型是为了简化问题，但有时这种简化是过度的，即得到的结果与现实情况出入过大．这时就需要返回问题分析这一步骤，对模型原有假设进行修改，使其逐渐向原型靠近，从而得出合理的结论．（3）除人在行走中的步长选择问题以及雨中行走问题外，还有很多物体运动值得我们研究．例如汽车刹车距离问题，即两车之间保持多长距离能保证司机在发生意外时可以及时刹车．在汽车驾驶中有这样的规则：正常驾驶条件下车速每增加10英里，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度．有人根据这一规则，推出了所谓的“2秒准则”，即后车司机若能在前车经过某一标志的2秒钟后到达同一标志，则此时两车之间的距离刚好．这个准则的合理性如何，是否有更好的准则？这些问题都值得研究．如果此准则合理，就可以确定两车在驾驶过程中应保持的车距了．三、几何模型在运输问题中的应用英国媒体于近日报道，英国最大的供水厂商泰晤士自来水公司正在考虑将北极冰山拖运到伦敦，以化解可能面临的百年来最严重的水荒．该公司在伦敦举行的一次会议上说：“我们不得不考虑任何可能的方案，包括从北极拖运冰山及人工造雨．尽管许多人可能觉得利用冰山的想法愚蠢荒唐，但不能排除这种可能性．”那么拖运冰山这一想法可行吗？用数学建模的方法便可解决这一问题．（一）冰山运输问题描述：在水资源十分贫乏的国家，政府不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水0.1英镑．有些专家提出从南极用拖船运送冰山到本国，以取代淡化海水的办法．这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性．问题分析：为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用，我们需要搜集关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据，以此作为建模必须的准备工作．在此我们只研究冰山几何模型的建立方法，故只给出冰山运输过程中的融化速率的数据表（见表1）．所谓融化速率是指在冰山与海水、大气接触处冰山每天融化的速度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关．这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故．表1 冰山运输过程中的融化速率建立模型的目的是选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较．模型假设：根据建模目的和搜集到的有限的资料，需要作如下的简化假设．（1）拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响．总航行距离为9600km ．（2）冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同．这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，这样体积的变化才能简单地计算．（3）冰山到达目的地后，13m 冰可以融化成0.853m 水．模型建立：首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行中的燃料消耗，由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费．在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式．模型构成可分为以下几步．（1）冰山融化规律根据假设（2）先确定冰山球面半径的减小量，从而得到冰山体积的变化规律． 记冰山球面半径融化速率为r 米，船速为u km h ，拖船与南极距离为d km ．根据表1中融化速率的数据，可设r 是船速u 的线性函数，且当04000d km ≤≤时r 与d 成正比，而当4000d km >时r 与d 无关，即设()()121,04000,1,4000,a d bu d r a bu d +≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ （2）其中1a ，2a ，d 为待定参数．这可以解释为04000d km ≤≤相当于从南极到赤道以南，海水温度随d 增加而上升，使融化速率r 也随d 的增加而变大．而4000d km >后海水温度变化较小，可以忽略．利用表1所给数据确定出51 6.510a -=⨯，20.2a =，0.4d =． （3）当拖船从南极出发航行第t 天时，与南极的距离为24d ut =． （4）记第t 天冰山球面半径融化速率为t r ，将（3）、（4）式代入（2）式得()()310001.561010.4,0,610000.210.4,.6t u u t t u r u t u -⎧⨯+≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩（5） 记第t 天冰山半径为t R ，体积为t V ，则01tt k k R R r ==-∑， （6）343t t V R π=，30043V R π=， （7） 其中0R ，0V 为从南极启运时冰山的初始半径和体积．由（5）～（7）式可知冰山体积是船速u 、初始体积0V 和航行天数t 的函数，记作()0,,V u V t ，有()3014,,3t k k V u V t r π=⎫=⎪⎪⎭∑， （8） 其中k r 由（5）式表示．（2）燃料消耗费用：记为()t V u q ,,0（天英镑）．已知燃料消耗对船速u 和冰山体积V 的对数V lg 均按线性关系变化．利用搜集的数据，计算出()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑=378.043lg 362.7,,1300t k k r V u u t V u q π． （3）运送冰山费用：记为()0,V u S ．费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成．根据搜集的数据，得()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∑∑==T t t k k u r V u u u V f V u S 11300015143lg 362.7400,π． （9） 其中，()0V f 表示日租金，且()5056006704.0,510,6.2,51010,8.0,1010.V f V V V ⎧≤⨯⎪=⨯<≤⎨⎪<≤⎩（4）冰山运抵目的地后可获得水的体积：将T t =代入（7）式，得冰山运抵目的地后的体积．再由假设（3），得水的体积为()313004334.3,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=T t t r V V u W ππ． （10） （5）每立方米水所需费用：记为()0,V u y ．由（9）、（10）式显然有()()()000,,,V u W V u S V u y =． 模型分析：此题假设冰山呈球形，简化了计算．但球形与现实中冰山的形状相去甚远，将其假设为圆台更为接近．此举势必将加大解题难度，甚至导致结果的变更．下面我们简单分析一下，将冰山的形状从球形改为圆台后，会对整个建模过程造成何种影响．若假设为圆台，则圆台的上下底面半径r 、R 及高度h 的变化都要考虑．在拖运之初测量冰山圆台的上下底面半径0r 、0R 及初始高度0h ，有以下关系：010r R ρ=，020h R ρ=． （11） 且此比例在冰山融化过程中不变．记冰山圆台下底面半径融化速率为r 米天．与例题一样，设r 是船速u 的线性函数，且当04000d km ≤≤时r 与d 成正比，而当4000d km >时r 与d 无关，即设()()121,04000,1,4000,a d bu d r a bu d +≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ （12） 其中1a ，2a ，d 为待定参数．要确定1a 、2a 、d 的值，需要给出另外一组测量数据．将24d ut =代入（12）式，即得第t 天冰山圆台下底面半径的融化速率t r ．记圆台所在圆锥的高为H ，则Rh H R r=-． （13） 记第t 天冰山上下底面半径为t r 、t R ，高为t h ，圆台所在圆锥的高为t H ，体积为t V ，则01tt k k R R r ==-∑， （14）1t t r R ρ=，2t t h R ρ=，t t t t tR h H R r =-， （15） ()2213t t t t t t V R H r H h π⎡⎤=--⎣⎦，()2200000013V R H r H h π⎡⎤=--⎣⎦． （16） 由（11）～（16）式可知冰山体积是船速u 、初始体积0V 和航行天数t 的函数，记作()0,,V u V t ．至此，只要给出所需数据，我们便可计算出()0,,V u V t ．由于0V 的改变，之后的燃料消耗费用、运送冰山费用、冰山运抵目的地后可获得水的体积、每立方米水所需费用都会发生变化，从而可能导致此方案的可行性发生变更．四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用汽车在我国的普及率正在稳步提升，它以其便捷高速的特性吸引着人们的注意力，所以有越来越多的人选择汽车作为了代步工具．但是汽车的设计还有许多有待改进的地方，例如车身的形状、各部件的设计、安全装置等都有继续完善的必要．所以此领域的研究有着重要的应用价值和商业价值，已为更多人所重视．（一）驾驶盲区问题描述：在汽车驾驶过程中会出现这种情况：在拥挤的道路变换车道与转弯时，后方突然有车辆出现，司机防范不及，造成车祸．试分析车祸原因，并给出解决方案．问题分析：汽车上共有内外三面后视镜，驾驶员通过这三面镜子来观察后面的车流情况，以决定何时可以转弯，而不会有危险发生．但是由于后视镜的尺寸都不是很大，这样使驾驶员能看到的范围就很小．需要看到的地方没办法看到，那块地方就是所谓的盲区．存在着盲区就存在着一定的安全问题，车祸出现的原因就在于此．若想避免此类车祸的发生，必须改善后视镜的设计，使盲区的范围缩小或者消失．后视镜的角度虽然可调节，但一般都由司机固定在其最习惯的地方，即可观察到的区域范围已确定，如图3所示．模型假设：（1）设汽车为长方体，俯视为长方形，且关于直线l 对称，司机位于其对称轴上一点（在车内）；（2）假设两外后视镜与车身的夹角为θ，此值固定不变；（3）假设汽车所行驶的车道两旁分别只有一个车图3道．由对称性，我们只研究左侧车道上的车辆．通常汽车所安装的后视镜均为平面镜，这样设计是为了使驾驶员观察到的物体不变形，符合人的视觉习惯，但缺点是视野较小．扩大视野是解决此问题的关键．众所周知，凸面镜的成像区域要比平面镜大很多，所以考虑将平面镜换为凸面镜是否可以．若直接将平面镜换为凸面镜，势必将影响司机的正常驾驶，从而造成新的隐患．所以我们不妨考虑在外后视镜的外端或内后视镜的上方添加凸面镜（本文只研究在外后视镜的外端添加凸面镜这种情况），这样便可使问题得到解决．接下来，需要考虑的问题是，选择什么弧度的球冠最为合适．球冠的选择不是半径越小、弧度越大就越好，而是使司机可以观察到需要观察的车辆就可以了．根据上面的假设，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：汽车的长a 、宽b ；驾驶时前后两车的车距d ；视野需扩大到ϕ角；所需凸面镜的长度m ．模型建立：球面上各点入射光线的反射光线可根据该点的切平面确定．由于车道上需要观察的车辆与所在车辆位于同一水平位置，所以要确定取何种球冠最为合适，只需研究球冠与此水平面相交的弧上的A 点的反射光线即可．如图4所示，标出各变量．如图5所示，由汽车的长a 、宽b 及车距d ，可知 arctan b a dϕ=+． （17） 若ϕ角确定，则反射光线也可确定，即两线的夹角可测．设测量结果为α，因入射角等于反射角，故入射角的角度为2α．图4中的φ表示的是法线与凸面镜的边的夹角，显然有()22ααφϕθθϕ=--=+-． （18）故球的半径为 2cos m r φ=． （19） 综合（17）～（19）式，便可确定球的大小及所需球冠的大小．问题得解．模型分析：在本题中，我们选取的是整个球冠．其实，在平时使用时，球冠的上图4图5。