最新几何模型在现实生活中的应用
数学建模 几何在生活中应用
数学建模几何在生活中应用
数学建模在几何学的应用在生活中非常广泛，以下是一些具体的应用实例：
1.购房贷款：在购房过程中，数学模型可以帮助我们理解和分析贷款的各种可能方案。
例
如，利用数学模型，我们可以比较等额本金和等额本息这两种不同的还款方式，并计算出在不同利率和还款期限下，每种方式的还款总额和每月还款金额。
这样，我们就可以选择最适合自己的还款方案。
2.时尚穿搭：高跟鞋是一种时尚单品，但穿多高的高跟鞋才能达到最佳的视觉效果呢？这
时，我们可以借助数学模型来解决这个问题。
根据黄金分割原理，当女生的腿长和身高比值是0.618时，身材会显得最迷人。
因此，我们可以计算出最适合女生身高的高跟鞋高度，使她们在穿搭上更加出彩。
3.银行利率：在金融领域，数学建模也发挥着重要作用。
例如，我们可以通过建立数学模
型来分析银行利率的变化对存款或贷款的影响。
这种分析可以帮助我们更好地理解金融市场的运作，从而做出更明智的决策。
几何概念在日常生活中的隐藏应用有哪些
几何概念在日常生活中的隐藏应用有哪些在我们的日常生活中，几何概念看似抽象高深，但实际上却无处不在，潜移默化地影响着我们的方方面面。
从建筑设计到家居布置，从艺术创作到运动竞技，几何的身影随处可见。
先来说说建筑领域。
当我们漫步在城市的街道上，各式各样的建筑映入眼帘。
那些宏伟壮观的高楼大厦、造型独特的桥梁，无一不是几何概念的巧妙运用。
比如，三角形具有稳定性，这一特性在建筑结构中被广泛应用。
许多大型建筑的框架结构中都会使用大量的三角形来增强稳定性，以抵御地震、强风等自然灾害的影响。
而圆形在建筑中的应用也不少，比如穹顶的设计，它能够有效地分散压力，使得建筑内部空间更加开阔和美观。
再看看家居布置。
我们在布置房间时，几何概念同样发挥着重要作用。
比如，在选择家具时，我们会考虑其形状和尺寸是否与房间的空间相匹配。
长方形的沙发和正方形的茶几，能够更好地适应矩形的客厅空间。
而在摆放家具时，我们也会遵循一定的几何规律，以达到视觉上的平衡和舒适感。
比如，对称摆放可以营造出一种整齐、庄重的氛围；而错落有致的摆放则能增添一份活泼和灵动。
在艺术创作中，几何更是不可或缺的元素。
画家们常常运用几何形状来构建画面的构图和结构。
例如，蒙德里安的作品以简洁的几何形状和鲜明的色彩组合而闻名。
他通过直线、矩形和正方形等元素的组合，创造出了极具现代感和秩序感的画作。
雕塑家们也会运用几何形状来塑造作品的形态和体积。
一件优秀的雕塑作品往往在几何比例和空间关系上达到了完美的平衡。
在运动竞技中，几何概念同样有着重要的应用。
比如，在足球比赛中，球员们需要根据场地的形状和尺寸来制定战术。
球场的长方形形状决定了球员们在进攻和防守时的跑位和传球路线。
而在篮球比赛中，三分线、罚球线等的划定都是基于几何原理。
运动员们需要准确地掌握这些线条的位置和角度，才能在比赛中发挥出最佳水平。
在农业生产中，几何概念也有其用武之地。
农田的规划和布局往往需要考虑几何形状。
例如，为了提高灌溉效率，农民们会将农田划分成规整的矩形或正方形地块，以便于铺设灌溉管道。
几何知识在解决实际问题中的应用有哪些
几何知识在解决实际问题中的应用有哪些在我们的日常生活和众多领域中，几何知识都发挥着至关重要的作用。
它不仅仅是书本上的理论，更是解决实际问题的有力工具。
从建筑领域来看，几何知识是设计师和工程师们的基石。
在设计建筑物的结构时，需要运用到各种几何形状和原理。
例如，三角形的稳定性被广泛应用于建筑框架的设计中。
我们常见的屋顶桁架结构，很多就是由多个三角形组成，这能够有效地分散和承受建筑物所受到的各种力，增强结构的稳定性，抵御风雨和地震等自然灾害。
而圆形在建筑中的应用也不少。
像一些大型的体育场馆，其屋顶常常采用圆形拱顶的设计。
这是因为圆具有均匀分散压力的特性，能够承受较大的重量，同时也提供了宽敞的内部空间。
在家具设计方面，几何知识同样不可或缺。
椅子和桌子的腿与面之间的角度和长度关系，需要符合几何原理，以保证其稳定性和舒适性。
例如，四腿椅子的腿如果长度不一致或者与椅面的连接角度不合理，就容易导致椅子摇晃不稳。
在交通领域，几何知识也有着广泛的应用。
道路的设计，包括弯道的曲率、坡度的设计，都需要精确的几何计算。
弯道的曲率如果不合理，车辆在行驶过程中就容易失控；而坡度设计不当，则会影响车辆的行驶速度和安全性。
高速公路的进出口匝道通常设计成螺旋状，这也是基于几何原理。
螺旋状的匝道可以在有限的空间内实现车辆的平稳加速或减速，同时减少对主线交通的干扰。
在地图绘制中，几何知识更是基础中的基础。
地图的比例尺就是一个典型的几何概念。
通过比例尺，我们可以将实际的地理距离按照一定比例缩小或放大，准确地在地图上表示出来。
在导航系统中，几何中的距离和角度计算帮助我们确定最佳的行驶路线。
比如，通过计算两点之间的直线距离和道路的夹角，导航软件能够为我们规划出最短、最快或者最省油的路径。
在农业生产中，几何知识也能发挥作用。
农民在规划农田时，需要考虑田地的形状和面积，以便合理安排种植作物的种类和数量。
例如，矩形的田地更容易进行机械化耕作和灌溉，而圆形的灌溉区域则可以更均匀地分配水资源。
几何知识在日常生活中的应用有哪些实例
几何知识在日常生活中的应用有哪些实例在我们的日常生活中，几何知识无处不在，从房屋的设计到日常用品的制造，从城市的规划到艺术作品的创作，几何知识都发挥着重要的作用。
接下来，让我们一起探索一些几何知识在日常生活中的具体应用实例。
首先，家居装修是几何知识大展身手的领域之一。
当我们布置家具时，需要考虑房间的形状和尺寸，以确定家具的摆放位置和方向。
比如，一个长方形的客厅，如果要摆放一组沙发，我们需要根据客厅的长度和宽度，计算出沙发所占的空间，确保沙发摆放后不会让房间显得过于拥挤，同时还要留出足够的通道空间。
在选择地毯时，也需要根据房间的几何形状来确定合适的尺寸和款式。
圆形的地毯可能更适合放在客厅的中央，而长方形的地毯则更适合放在床边或过道。
建筑设计更是离不开几何知识。
从古老的金字塔到现代的摩天大楼，几何形状在建筑结构中起着关键作用。
金字塔的三角形结构使其具有稳定性，能够经受住时间的考验。
现代的高层建筑通常采用矩形或方形的基础结构，以提供稳定的支撑。
此外，建筑中的拱门、穹顶等元素，也是基于几何原理设计的，它们能够分散重量，增加建筑物的承载能力。
在室内设计方面，几何图案的运用可以营造出不同的氛围和效果。
例如，菱形的地砖图案可以让空间看起来更加开阔，而正方形的瓷砖排列则给人一种整齐、简洁的感觉。
在交通领域，几何知识同样至关重要。
道路的设计需要考虑直线、曲线、坡度等几何元素。
弯道的半径要根据车辆的行驶速度和转弯能力来确定，以确保行驶的安全和顺畅。
高速公路的坡度和坡长也需要经过精确计算，以避免车辆在行驶过程中出现失控的情况。
在交通标志和标线的设计中，几何图形如圆形、三角形、长方形等都有着特定的含义。
例如，圆形的交通信号灯表示禁止或通行，三角形的交通标志通常表示警告，长方形的交通标志则用于指示和指路。
农业生产中也有几何知识的身影。
在农田的规划和灌溉系统的设计中，几何原理被广泛应用。
为了最大限度地利用土地资源，农民会将农田划分成规则的几何形状，如长方形、正方形或梯形。
深入剖析数学几何模型在实际中的应用
深入剖析数学几何模型在实际中的应用数学几何模型是数学与现实世界的有机结合，通过数学的抽象和几何的直观性，可以对实际问题进行深入分析和解决。
在工程、建筑、地理、生物学等领域，数学几何模型的应用广泛而重要。
本文将从几个具体的实例出发，深入剖析数学几何模型在实际中的应用。
一、建筑设计中的数学几何模型在建筑设计中，数学几何模型是不可或缺的工具。
以建筑的外形设计为例，设计师需要根据建筑的功能和审美要求，确定建筑的形状和尺寸。
在这个过程中，数学几何模型可以帮助设计师精确地计算建筑的各个部分的尺寸和角度，确保建筑的稳定性和美观性。
另外，数学几何模型在建筑结构的设计中也发挥着重要的作用。
例如，在设计桥梁时，工程师需要考虑桥梁的荷载、材料的强度等因素。
通过数学几何模型，工程师可以对桥梁的结构进行分析和优化，确保桥梁在承载荷载时不会发生塌陷或破坏。
二、地理信息系统中的数学几何模型地理信息系统（GIS）是一种将地理空间数据与属性数据相结合的系统。
在GIS中，数学几何模型被广泛应用于地图的绘制、地理数据的分析和空间模拟等方面。
例如，在地图的绘制中，数学几何模型可以帮助确定地图的比例尺，保证地图的准确性和可读性。
此外，数学几何模型还可以用于分析地理数据中的空间关系。
例如，在城市规划中，通过对城市道路、建筑物等要素进行几何建模，可以帮助规划师评估城市的交通流量、绿地分布等因素，为城市规划提供科学依据。
三、生物学中的数学几何模型生物学是研究生命现象和生物系统的科学。
数学几何模型在生物学中的应用非常广泛，从分子结构到生物体的形态，都可以通过数学几何模型进行描述和分析。
以分子结构为例，通过数学几何模型可以描述和预测分子的几何构型、键长和键角等特性。
这对于药物研发和生物化学研究具有重要意义。
另外，在生物体的形态研究中，数学几何模型也发挥着重要作用。
例如，在植物学中，通过几何模型可以描述植物的分枝结构、叶片的形态等特征，帮助研究者理解植物的生长规律和适应环境的能力。
几何概念在日常生活中的实际应用案例有哪些
几何概念在日常生活中的实际应用案例有哪些在我们的日常生活中，几何概念无处不在，从简单的家居布置到复杂的建筑设计，从日常的交通出行到各种工业制造，几何知识都发挥着重要的作用。
接下来，让我们一起来看看几何概念在生活中的一些实际应用案例。
首先，在建筑领域，几何概念是至关重要的。
无论是古老的金字塔还是现代的摩天大楼，其设计和建造都离不开几何原理。
比如，金字塔的形状是一个稳定的四面体，这种几何结构使得金字塔能够历经千年而不倒。
而现代的高楼大厦，在设计时需要考虑到几何形状的稳定性和力学原理，以确保建筑能够承受自身的重量和外部的风力等因素。
以常见的桥梁为例，几何形状的选择直接影响到桥梁的承载能力和稳定性。
拱形桥就是一个很好的例子，其拱形结构可以将桥面上的压力转化为对桥两侧的推力，从而大大增强了桥梁的承载能力。
而斜拉桥则利用了三角形的稳定性，通过钢索将桥面的重量分散到桥塔上，使得桥梁能够跨越更长的距离。
在室内设计中，几何概念也被广泛应用。
房间的布局和家具的摆放都需要考虑到几何形状和比例。
例如，客厅中的沙发、茶几和电视之间的位置关系，可以通过几何线条和角度的规划，营造出舒适和美观的空间效果。
在家具设计中，几何形状更是发挥了重要作用。
圆形的餐桌适合多人围坐，交流更加方便；方形的书桌更利于摆放书籍和办公用品，提高工作效率。
而一些具有独特几何形状的灯具和装饰品，能够为室内空间增添艺术感和个性。
在交通领域，几何概念同样不可或缺。
道路的设计需要考虑到弯道的曲率、坡度和直线段的长度等几何参数，以确保车辆行驶的安全和顺畅。
高速公路上的弯道通常采用较大的曲率半径，这样可以减少车辆在转弯时的离心力，提高行驶的稳定性。
而在城市道路中，十字路口的设计也运用了几何原理，通过合理规划车道的宽度和角度，以及设置交通信号灯的位置和时间，来疏导交通流量，减少交通事故的发生。
在汽车制造中，几何形状对于车辆的性能和外观也有着重要的影响。
汽车的车身流线型设计，不仅能够减少空气阻力，提高燃油效率，还能给人带来美观和时尚的感觉。
最新几何模型在现实生活中的应用
几何模型在现实生活中的应用天津师范大学本科生毕业论文（设计）题目：几何模型在现实生活中的应用学号： 02505075姓名：刘静专业：数学与应用数学年级： 2002级学院：数学科学学院完成日期： 2006年5月指导教师：张智广几何模型在现实生活中的应用摘要：几何模型是数学建模的重要工具，合理使用它将使原本复杂的问题变得简单易解，有简化问题的作用．一般来说，几何模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题．它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用．本文从物体运动、运输、汽车设计优化等问题入手，分析如何建立其几何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些．关键词：数学建模，数学模型，几何模型，简化The Application of Geometrical Model in Our Daily LifeAbstract:Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are constructed according to the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing geometrical model from the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these models.Key words:Mathematical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify目录一、前言 (1)二、几何模型在物体运动问题中的应用 (2)（一）步长选择 (2)（二）雨中行走 (3)三、几何模型在运输问题中的应用 (6)（一）冰山运输 (6)四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用 (10)（一）驾驶盲区 (10)（二）车灯线光源的优化设计模型 (12)五、几何模型在其它问题中的应用 (15)（一）医学中的应用 (15)1．血管分支 (15)（二）日常生活中的应用 (16)1．动物的身长与体重 (16)2．拐角问题模型 (17)参考文献 (19)一、前言近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高．但是，到底什么是数学模型和数学建模呢？可能许多人还不是很清楚．所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解．当一个数学结构作为某种形式语言（即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型．换言之，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构．也就是说，数学模型是通过抽象简化的过程，用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，从而便于人们更深刻地认识所研究的对象．数学模型模仿了一个现实系统，是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果．它用精确的语言表达了对象的内在特性，是利用函数、方程等变量描述方法以及数学概念创立的模型．但建立数学模型并非以模型为目标，而是为了解决实际问题．当我们建立一个数学模型时，我们从现实世界进入了充满数学概念的抽象世界．在数学世界内，我们用数学方法对数学模型进行推理、演绎、求解，并借助于计算机处理这个模型，得到数学上的解答．最后，我们再回到现实世界，将模型的数学解“翻译”成现实问题的实际“解答”，如给出现实对象的分析、预报、决策、控制的结果．这些结果还必须经实际的检验，即用现实对象的信息检验得到的解答，确认结果的正确性．我们始于现实世界又终结于现实世界，数学模型是一道理想的桥梁．在实际应用中，数学模型可按不同方式分类．若按建立模型的数学方法分类，则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等．这些模型彼此之间并非绝对孤立，而是互相渗透，互为工具．在可用数学建模的方法解决的问题中，有些比较简单，只使用其中的一种模型即可．例如，一把梯子斜靠在墙上，如何测得梯子和墙的夹角呢？首先建立梯子的几何模型，即将其假设为一线段，忽略其余各部分．接下来，测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离．再利用三角函数，便可计算出夹角．但在解决复杂问题时，仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使用，会达到事半功倍的效果．或者在原有模型的基础上，使用几何模型作为辅助手段，也会为问题的解决带来惊喜．几何模型不是原型，既简单于原型，又高于原型，它是对原物体简化后的产物．几何模型有一定的适用条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在．若问题中没有出现有具体形状的物体，则几何模型也无从谈起．但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以几何模型的应用范围是很广泛的，地位是举足轻重的．下面我们将从四个方面，介绍几何模型的具体应用．二、几何模型在物体运动问题中的应用数学建模过程是由若干个有明显差别的阶段性工作组成的，可以分为问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用等过程．但建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，以上只是机理分析方法建模的一般过程．在本文中，受所研究问题及篇幅所限，部分过程有所省略．物体运动中所涉及到的物体一定是有具体形状的，所以符合几何模型的应用条件．分析运动物体的几何结构，对其进行合理简化，是几何模型的一个重要应用．（一）步长选择问题描述：人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和．在给定速度时，以动作最小（即消耗能量最小）为原则．问走路步长选择多大为合适？问题分析：此问题若陷入人体复杂的生理结构之中，将会得出过于复杂的模型而失去使用价值．对人体进行合理的简化，是解决问题的首要步骤．由于此例要解决的是步长问题，则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的．另外，依靠平时生活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）身高«Skip Record If...»（或腿长«Skip Record If...»）；（2）体重«Skip Record If...»．为简化问题的研究，做以下假设：（1）假设人体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为«Skip Record If...»、质量为«Skip Record If...»的均匀杆；（2）设躯体以匀速«Skip Record If...»前进．模型建立：如图1所示，重心升高«Skip Record If...»（当«Skip Record If...»较小时）．腿的转动惯量«Skip Record If...»，角速度«Skip Record If...»，单位时间的步数为«Skip Record If...»．所以单位时间行走所需的动能为«Skip Record图1If...»．单位时间内使身体重心升高所做的功为«Skip Record If...»，所以单位时间行走所需的总功«Skip Record If...»．代入«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．于是当«Skip Record If...»一定时，«Skip Record If...»可使«Skip Record If...»最小．由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．求解完毕．（二）雨中行走问题描述：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去．学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校．假设刚刚出发雨就大了，但你也不再打算回去了．一路上，你将被大雨淋湿．一个似乎是很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨的时间．但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略．试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度．问题分析：对于这个实际问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步论述．我们的问题是，要在给定的降雨条件下设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低．分析参与这一问题的因素，主要有：（1）降雨的大小；（2）风（降雨）的方向；（3）路程的远近；（4）你跑的快慢．为简化问题的研究，我们假设：（1）降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度保持不变；（2）你以定常的速度跑完全程；（3）风速始终保持不变；（4）把人体看成是一个长方体的物体（此项为几何方面的假设）．在这些假设下，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：雨中行走的距离«Skip Record If...»（米）、时间«Skip Record If...»（秒）、速度«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）；人的身高«Skip Record If...»（米）、宽度«Skip Record If...»（米）和厚度«Skip Record If...»（米）；身上被淋的雨水总量«Skip Record If...»（升）．关于降雨的大小，在这里用降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）来描述．模型求解：为进一步简化这一问题的研究，首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响，也就是说在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水．经简单论证可知，这是一个荒谬的假设，所建模型用以描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的．按照建模的程序，需要回到对问题所做的假设，推敲这些假设是否恰当．这时我们发现不考虑降雨角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了．若考虑降雨角度的影响，则降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了．现给出降雨的速度，即雨滴下落的速度«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），以及降雨的角度（雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角）«Skip RecordIf...»．显然，前面提到的降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度．我们用«Skip Record If...»来度量雨滴的密度，称为降雨强度系数，它表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占据的空间的比例数．于是有«Skip Record If...»．显然，«Skip Record If...»，而当«Skip Record If...»时意味着大雨倾盆，有如河流向下倾泻一般．如图2所示，在这种情形下为了估计出你被雨水淋湿的程度，关键是考虑雨滴相对于雨中行走方向的下落方向．首先考虑«Skip Record If...»的情况．这时雨水是从前方迎面而来落下的，由经验可以知道，这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前方．因此淋在身上的雨水将分为两部分来计算．先考虑顶部被淋的雨水．雨滴速度垂直方向的分量是«Skip Record If...»，顶部的面积是«Skip Record If...»．不难得到，在时间«Skip Record If...»内淋在顶部的雨水量应该是：«Skip Record If...»．再考虑前方表面淋雨的情况．雨速水平方向的分量是«Skip Record If...»，前方的面积是«Skip Record If...»，故前方表面被淋到的雨水的量应该是«Skip Record If...»．因此在整个行程中被淋到的雨水的总量应该是«Skip Record If...»． （1）如果假设落雨的速度是«Skip Record If...»，由降雨强度«Skip Record If...»可以估算出它的强度系数«Skip Record If...»．把这些参数值代入（1）式可以得到«Skip Record If...»．在这个模型里有关的变量是«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是落雨的方向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值；而图2v«Skip Record If...»是要选择的雨中行走的速度．由于在我们讨论的情形下有«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的减函数，因此当«Skip Record If...»增大时淋雨量«Skip Record If...»将逐渐减小．考虑«Skip Record If...»的情形．在这种情形下，雨滴将从后面向你身上落下．令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．这个情形还要按照你在雨中行走的速度再分成两种情况．首先考虑«Skip Record If...»的情形，也就是说行走的速度慢于雨滴的水平运动速度．这时雨滴将淋在后背上．淋在背上的雨水的量是«Skip Record If...»，于是淋在全身的雨水的总量应该是«Skip Record If...»．当你以可能的最大速度«Skip Record If...»在雨中行进时，雨水的总量的表达式可以化简为«Skip Record If...»．它表明你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了．实际上，这意味着你刚好跟着雨滴向前走，所以身体前后都没有淋到雨．如果你的速度低于«Skip Record If...»，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加．因此在这种情形下淋雨量仍然是行走速度的减函数．第二个情形是«Skip Record If...»的情形，这时在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动速度．这时人将不断地追赶雨滴，雨水将淋在你的胸前．被淋的雨量是«Skip Record If...»．于是全身被淋的雨水的总量是«Skip Record If...»．综合上面分析的结果，我们可以得到淋雨量的数学模型为：«Skip Record If...»正如上面分析所得到的，模型中前两个式子都是速度«Skip Record If...»的减函数．但是第三个式子的情形就比较复杂了，它的增减性将取决于括号内的式子«Skip Record If...»是正还是负，它刚好是关于人的体形的一个指标．从这个模型我们可以得到如下结论：（1）如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑；（2）如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量．这时雨滴不会淋到你的前胸和后背，只淋到了头顶上．小结：通过研究前面两个问题，我们作以下三点总结：（1）在第一个问题中，我们用几何模型结合物理知识，解决了人体行走中的步长问题．建立模型时，把人体只看作由躯干和下肢两部分组成，是对人体的第一次简化；接着又将下肢看作长为«Skip Record If...»、质量为«Skip Record If...»的均匀杆，是对人体的第二次简化．两次简化对问题的解决起到了关键作用，既合理简化了问题，又未因过分简化而使模型失去其使用价值．而在第二个问题的模型建立中，将人体直接看成是一个长方体的物体．通过对比我们可以看出，在解决不同的实际问题时，对同一物体可根据实际需要做出不同的模型假设．（2）通过解决第二个问题我们还可以发现，数学模型的建立是一个对模型反复推敲不断完善的过程．虽然建立模型是为了简化问题，但有时这种简化是过度的，即得到的结果与现实情况出入过大．这时就需要返回问题分析这一步骤，对模型原有假设进行修改，使其逐渐向原型靠近，从而得出合理的结论．（3）除人在行走中的步长选择问题以及雨中行走问题外，还有很多物体运动值得我们研究．例如汽车刹车距离问题，即两车之间保持多长距离能保证司机在发生意外时可以及时刹车．在汽车驾驶中有这样的规则：正常驾驶条件下车速每增加10«Skip Record If...»，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度．有人根据这一规则，推出了所谓的“2秒准则”，即后车司机若能在前车经过某一标志的2秒钟后到达同一标志，则此时两车之间的距离刚好．这个准则的合理性如何，是否有更好的准则？这些问题都值得研究．如果此准则合理，就可以确定两车在驾驶过程中应保持的车距了．三、几何模型在运输问题中的应用英国媒体于近日报道，英国最大的供水厂商泰晤士自来水公司正在考虑将北极冰山拖运到伦敦，以化解可能面临的百年来最严重的水荒．该公司在伦敦举行的一次会议上说：“我们不得不考虑任何可能的方案，包括从北极拖运冰山及人工造雨．尽管许多人可能觉得利用冰山的想法愚蠢荒唐，但不能排除这种可能性．”那么拖运冰山这一想法可行吗？用数学建模的方法便可解决这一问题．（一）冰山运输问题描述：在水资源十分贫乏的国家，政府不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水«Skip Record If...»英镑．有些专家提出从南极用拖船运送冰山到本国，以取代淡化海水的办法．这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性．问题分析：为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用，我们需要搜集关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据，以此作为建模必须的准备工作．在此我们只研究冰山几何模型的建立方法，故只给出冰山运输过程中的融化速率的数据表（见表1）．所谓融化速率是指在冰山与海水、大气接触处冰山每天融化的速度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关．这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故．建立模型的目的是选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较．模型假设：根据建模目的和搜集到的有限的资料，需要作如下的简化假设．（1）拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响．总航行距离为9600«Skip Record If...»．（2）冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同．这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，这样体积的变化才能简单地计算．（3）冰山到达目的地后，1«Skip Record If...»冰可以融化成0.85«Skip Record If...»水．模型建立：首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行中的燃料消耗，由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费．在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式．模型构成可分为以下几步．（1）冰山融化规律根据假设（2）先确定冰山球面半径的减小量，从而得到冰山体积的变化规律．记冰山球面半径融化速率为«Skip Record If...»«Skip Record If...»，船速为«Skip Record If...»，拖船与南极距离为«Skip Record If...»．根据表1中融化速率的数据，可设«Skip Record If...»是船速«Skip Record If...»的线性函数，且当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»与«Skip Record If...»成正比，而当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»与«Skip Record If...»无关，即设«Skip Record If...»（2）其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为待定参数．这可以解释为«Skip Record If...»相当于从南极到赤道以南，海水温度随«Skip Record If...»增加而上升，使融化速率«Skip Record If...»也随«Skip Record If...»的增加而变大．而«Skip Record If...»后海水温度变化较小，可以忽略．利用表1所给数据确定出«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»．（3）当拖船从南极出发航行第«Skip Record If...»天时，与南极的距离为«Skip Record If...»．（4）记第«Skip Record If...»天冰山球面半径融化速率为«Skip Record If...»，将（3）、（4）式代入（2）式得«Skip Record If...»（5）记第«Skip Record If...»天冰山半径为«Skip Record If...»，体积为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，（6）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，（7）其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为从南极启运时冰山的初始半径和体积．由（5）～（7）式可知冰山体积是船速«Skip Record If...»、初始体积«Skip Record If...»和航行天数«Skip Record If...»的函数，记作«Skip RecordIf...»，有«Skip Record If...»，（8）其中«Skip Record If...»由（5）式表示．（2）燃料消耗费用：记为«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）．已知燃料消耗对船速«Skip Record If...»和冰山体积«Skip Record If...»的对数«Skip Record If...»均按线性关系变化．利用搜集的数据，计算出«Skip Record If...»．（3）运送冰山费用：记为«Skip Record If...»．费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成．根据搜集的数据，得«Skip Record If...»．（9）其中，«Skip Record If...»表示日租金，且«Skip Record If...»（4）冰山运抵目的地后可获得水的体积：将«Skip Record If...»代入（7）式，得冰山运抵目的地后的体积．再由假设（3），得水的体积为«Skip Record If...»．（10）（5）每立方米水所需费用：记为«Skip Record If...»．由（9）、（10）式显然有«Skip Record If...»．模型分析：此题假设冰山呈球形，简化了计算．但球形与现实中冰山的形状相去甚远，将其假设为圆台更为接近．此举势必将加大解题难度，甚至导致结果的变更．下面我们简单分析一下，将冰山的形状从球形改为圆台后，会对整个建模过程造成何种影响．若假设为圆台，则圆台的上下底面半径«Skip Record If...»、«Skip RecordIf...»及高度«Skip Record If...»的变化都要考虑．在拖运之初测量冰山圆台的上下底面半径«Skip Record If...»、«Skip Record If...»及初始高度«Skip Record If...»，有以下关系：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．（11）且此比例在冰山融化过程中不变．记冰山圆台下底面半径融化速率为«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»．与例题一样，设«Skip Record If...»是船速«Skip Record If...»的线性函数，且当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»与«Skip Record If...»成正比，而当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»与«Skip Record If...»无关，即设«Skip Record If...»（12）其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为待定参数．要确定«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的值，需要给出另外一组测量数据．将«Skip Record If...»代入（12）式，即得第«Skip Record If...»天冰山圆台下底面半径的融化速率«Skip Record If...»．记圆台所在圆锥的高为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．（13）记第«Skip Record If...»天冰山上下底面半径为«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，高为«Skip Record If...»，圆台所在圆锥的高为«Skip Record If...»，体积为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，（14）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，（15）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．（16）由（11）～（16）式可知冰山体积是船速«Skip Record If...»、初始体积«Skip Record If...»和航行天数«Skip Record If...»的函数，记作«Skip Record If...»．至此，只要给出所需数据，我们便可计算出«Skip Record If...»．由于«Skip Record If...»的改变，之后的燃料消耗费用、运送冰山费用、冰山运抵目的地后可获得水的体积、每立方米水所需费用都会发生变化，从而可能导致此方案的可行性发生变更．四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用汽车在我国的普及率正在稳步提升，它以其便捷高速的特性吸引着人们的注意力，所以有越来越多的人选择汽车作为了代步工具．但是汽车的设计还有许多有待改进的地方，例如车身的形状、各部件的设计、安全装置等都有继续完善的必要．所以此领域的研究有着重要的应用价值和商业价值，已为更多人所重视．（一）驾驶盲区问题描述：在汽车驾驶过程中会出现这种情况：在拥挤的道路变换车道与转弯时，后方突然有车辆出现，司机防范不及，造成车祸．试分析车祸原因，并给出解决方案．问题分析：汽车上共有内外三面后视镜，驾驶员通过这三面镜子来观察后面的车流情况，以决定何时可以转弯，而不会有危险发生．但是由于后视镜的尺寸都不是很大，这样使驾驶员能看到的范围就很小．需要看到的地方没办法看到，那块地方就是所谓的盲区．存在着盲区就存在着一定的安全问题，车祸出现的原因就在于此．若想避免此类车祸的发生，必须改善后视镜的设计，使盲区的范围缩小或者消失．后视镜的角度虽然可调节，但一般都由司机固定在其最习惯的地方，即可观察到的区域范围已确定，如图3所示．模型假设：（1）设汽车为长方体，俯视为长方形，且关于直线«Skip Record If...»对称，司机位于其对称轴上一点（在车内）；（2）假设两外后视镜与车身的夹角为«SkipRecord If...»，此值固定不变；（3）假设汽车所行驶的车道两旁分别只有一个车道．由对称性，我们只研究左侧车道上的车辆．通常汽车所安装的后视镜均为平面镜，这样设计是为了使驾驶员观察到的物体不变形，符合人的视觉习惯，但缺点是视野较小．扩大视野是解决此问题的关键．众所周知，凸面镜的成像区域要比平面镜大很多，所以考虑将平面镜换为凸面镜是否可以．若直接将平面镜换为凸面镜，势必将影响司机的正常驾驶，从而造成新的隐患．所以我们不妨考虑在外后视镜的外端或内后视镜的上方添加凸面镜（本文只研究在外后视镜的外端添加凸面镜这种情况），这样便可使问题得到解决．接下来，需要考虑的问题是，选择什么弧度的球冠最为合适．球冠的选择不是半径越小、弧度越大就越好，而是使司机可以观察到需要观察的车辆就可以了．根据上面的假设，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：汽车的长«Skip Record If...»、宽«SkipRecord If...»；驾驶时前后两车的车距«Skip RecordIf...»；视野需扩大到«Skip Record If...»角；所需凸面镜的长度«Skip Record If...»．模型建立：球面上各点入射光线的反射光线可根据该点的切平面确定．由于车道上需要观察的车辆与所在车辆位于同一水平位置，所以要确定取何种球冠最为合适，只需研究球冠与此水平面相交的弧上的«Skip Record If...»点的反射光线即可．如图4所示，标出各变量．如图5所示，由汽车的长«Skip Record If...»、宽«Skip Record If...»及车距«Skip Record If...»，可知 θlO 图3图4。
初中数学几何模型在实际问题中的应用
初中数学几何模型在实际问题中的应用数学是一门抽象而又实用的学科，而几何是数学中的一支重要分支。
几何模型是数学几何知识在实际问题中的具体应用，它在日常生活中扮演着重要的角色。
本文将探讨初中数学几何模型在实际问题中的应用，带领读者了解几何模型的实际意义。
首先，让我们来看一个简单的例子。
假设小明要修建一个花坛，他想要在花坛中央修建一个圆形的喷泉。
小明需要知道喷泉的直径，以便购买合适大小的喷泉装置。
这时，几何模型就派上了用场。
小明可以使用圆的几何模型来计算喷泉的直径。
他只需要测量花坛的直径，然后将其除以2，就可以得到喷泉的直径。
通过几何模型，小明能够轻松解决这个实际问题。
几何模型在建筑设计中也发挥着重要的作用。
假设有一座建筑物需要修建一个圆形的天窗，以增加自然光线的进入。
建筑师需要确定天窗的直径，以便购买适当大小的玻璃。
通过几何模型，建筑师可以计算出天窗的直径，并且可以根据需要调整天窗的大小。
几何模型不仅帮助建筑师设计出美观实用的建筑物，还能提高建筑物的能源利用效率。
除了在建筑设计中的应用，几何模型还在工程领域发挥着重要作用。
假设有一座桥需要修建，工程师需要确定桥梁的弧度，以便确保桥梁的稳定性和安全性。
通过几何模型，工程师可以计算出桥梁的弧度，并且可以根据需要调整桥梁的设计。
几何模型在工程领域的应用，不仅能够保证工程的质量和安全，还能够提高工程的效率和可持续性。
几何模型还可以应用于地理学中。
假设有一座城市需要修建一个园区，规划师需要确定园区的形状和面积，以便合理利用土地资源。
通过几何模型，规划师可以计算出园区的形状和面积，并且可以根据需要调整园区的规划。
几何模型在地理学中的应用，不仅能够促进城市的可持续发展，还能够提高城市的生活质量。
总结起来，初中数学几何模型在实际问题中的应用是多样且广泛的。
它们可以帮助我们解决日常生活中的实际问题，如花坛的修建、建筑物的设计、桥梁的建设和园区的规划。
几何模型不仅能够提高问题的解决效率，还能够提高解决方案的质量和可持续性。
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几何模型在现实生活中的应用天津师范大学本科生毕业论文（设计）题目：几何模型在现实生活中的应用学号： 02505075姓名：刘静专业：数学与应用数学年级： 2002级学院：数学科学学院完成日期： 2006年5月指导教师：张智广几何模型在现实生活中的应用摘要：几何模型是数学建模的重要工具，合理使用它将使原本复杂的问题变得简单易解，有简化问题的作用．一般来说，几何模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题．它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用．本文从物体运动、运输、汽车设计优化等问题入手，分析如何建立其几何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些．关键词：数学建模，数学模型，几何模型，简化The Application of Geometrical Model in Our Daily LifeAbstract:Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are constructed according to the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing geometrical model from the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these models.Key words:Mathematical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify目录一、前言 (1)二、几何模型在物体运动问题中的应用 (2)（一）步长选择 (2)（二）雨中行走 (3)三、几何模型在运输问题中的应用 (6)（一）冰山运输 (6)四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用 (10)（一）驾驶盲区 (10)（二）车灯线光源的优化设计模型 (12)五、几何模型在其它问题中的应用 (15)（一）医学中的应用 (15)1．血管分支 (15)（二）日常生活中的应用 (16)1．动物的身长与体重 (16)2．拐角问题模型 (17)参考文献 (19)一、前言近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高．但是，到底什么是数学模型和数学建模呢？可能许多人还不是很清楚．所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解．当一个数学结构作为某种形式语言（即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型．换言之，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构．也就是说，数学模型是通过抽象简化的过程，用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，从而便于人们更深刻地认识所研究的对象．数学模型模仿了一个现实系统，是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果．它用精确的语言表达了对象的内在特性，是利用函数、方程等变量描述方法以及数学概念创立的模型．但建立数学模型并非以模型为目标，而是为了解决实际问题．当我们建立一个数学模型时，我们从现实世界进入了充满数学概念的抽象世界．在数学世界内，我们用数学方法对数学模型进行推理、演绎、求解，并借助于计算机处理这个模型，得到数学上的解答．最后，我们再回到现实世界，将模型的数学解“翻译”成现实问题的实际“解答”，如给出现实对象的分析、预报、决策、控制的结果．这些结果还必须经实际的检验，即用现实对象的信息检验得到的解答，确认结果的正确性．我们始于现实世界又终结于现实世界，数学模型是一道理想的桥梁．在实际应用中，数学模型可按不同方式分类．若按建立模型的数学方法分类，则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等．这些模型彼此之间并非绝对孤立，而是互相渗透，互为工具．在可用数学建模的方法解决的问题中，有些比较简单，只使用其中的一种模型即可．例如，一把梯子斜靠在墙上，如何测得梯子和墙的夹角呢？首先建立梯子的几何模型，即将其假设为一线段，忽略其余各部分．接下来，测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离．再利用三角函数，便可计算出夹角．但在解决复杂问题时，仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使用，会达到事半功倍的效果．或者在原有模型的基础上，使用几何模型作为辅助手段，也会为问题的解决带来惊喜．几何模型不是原型，既简单于原型，又高于原型，它是对原物体简化后的产物．几何模型有一定的适用条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在．若问题中没有出现有具体形状的物体，则几何模型也无从谈起．但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以几何模型的应用范围是很广泛的，地位是举足轻重的．下面我们将从四个方面，介绍几何模型的具体应用．二、几何模型在物体运动问题中的应用数学建模过程是由若干个有明显差别的阶段性工作组成的，可以分为问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用等过程．但建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，以上只是机理分析方法建模的一般过程．在本文中，受所研究问题及篇幅所限，部分过程有所省略．物体运动中所涉及到的物体一定是有具体形状的，所以符合几何模型的应用条件．分析运动物体的几何结构，对其进行合理简化，是几何模型的一个重要应用．（一）步长选择问题描述：人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和．在给定速度时，以动作最小（即消耗能量最小）为原则．问走路步长选择多大为合适？问题分析：此问题若陷入人体复杂的生理结构之中，将会得出过于复杂的模型而失去使用价值．对人体进行合理的简化，是解决问题的首要步骤．由于此例要解决的是步长问题，则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的．另外，依靠平时生活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）身高«Skip Record If...»（或腿长«Skip Record If...»）；（2）体重«Skip Record If...»．为简化问题的研究，做以下假设：（1）假设人体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为«Skip Record If...»、质量为«Skip Record If...»的均匀杆；（2）设躯体以匀速«Skip Record If...»前进．模型建立：如图1所示，重心升高«Skip Record If...»（当«Skip Record If...»较小时）．腿的转动惯量«Skip Record If...»，角速度«Skip Record If...»，单位时间的步数为«Skip Record If...»．所以单位时间行走所需的动能为«Skip Record图1If...»．单位时间内使身体重心升高所做的功为«Skip Record If...»，所以单位时间行走所需的总功«Skip Record If...»．代入«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．于是当«Skip Record If...»一定时，«Skip Record If...»可使«Skip Record If...»最小．由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．求解完毕．（二）雨中行走问题描述：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去．学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校．假设刚刚出发雨就大了，但你也不再打算回去了．一路上，你将被大雨淋湿．一个似乎是很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨的时间．但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略．试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度．问题分析：对于这个实际问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步论述．我们的问题是，要在给定的降雨条件下设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低．分析参与这一问题的因素，主要有：（1）降雨的大小；（2）风（降雨）的方向；（3）路程的远近；（4）你跑的快慢．为简化问题的研究，我们假设：（1）降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度保持不变；（2）你以定常的速度跑完全程；（3）风速始终保持不变；（4）把人体看成是一个长方体的物体（此项为几何方面的假设）．在这些假设下，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：雨中行走的距离«Skip Record If...»（米）、时间«Skip Record If...»（秒）、速度«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）；人的身高«Skip Record If...»（米）、宽度«Skip Record If...»（米）和厚度«Skip Record If...»（米）；身上被淋的雨水总量«Skip Record If...»（升）．关于降雨的大小，在这里用降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）来描述．模型求解：为进一步简化这一问题的研究，首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响，也就是说在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水．经简单论证可知，这是一个荒谬的假设，所建模型用以描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的．按照建模的程序，需要回到对问题所做的假设，推敲这些假设是否恰当．这时我们发现不考虑降雨角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了．若考虑降雨角度的影响，则降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了．现给出降雨的速度，即雨滴下落的速度«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），以及降雨的角度（雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角）«Skip RecordIf...»．显然，前面提到的降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度．我们用«Skip Record If...»来度量雨滴的密度，称为降雨强度系数，它表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占据的空间的比例数．于是有«Skip Record If...»．显然，«Skip Record If...»，而当«Skip Record If...»时意味着大雨倾盆，有如河流向下倾泻一般．如图2所示，在这种情形下为了估计出你被雨水淋湿的程度，关键是考虑雨滴相对于雨中行走方向的下落方向．首先考虑«Skip Record If...»的情况．这时雨水是从前方迎面而来落下的，由经验可以知道，这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前方．因此淋在身上的雨水将分为两部分来计算．先考虑顶部被淋的雨水．雨滴速度垂直方向的分量是«Skip Record If...»，顶部的面积是«Skip Record If...»．不难得到，在时间«Skip Record If...»内淋在顶部的雨水量应该是：«Skip Record If...»．再考虑前方表面淋雨的情况．雨速水平方向的分量是«Skip Record If...»，前方的面积是«Skip Record If...»，故前方表面被淋到的雨水的量应该是«Skip Record If...»．因此在整个行程中被淋到的雨水的总量应该是«Skip Record If...»． （1）如果假设落雨的速度是«Skip Record If...»，由降雨强度«Skip Record If...»可以估算出它的强度系数«Skip Record If...»．把这些参数值代入（1）式可以得到«Skip Record If...»．在这个模型里有关的变量是«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是落雨的方向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值；而图2v«Skip Record If...»是要选择的雨中行走的速度．由于在我们讨论的情形下有«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的减函数，因此当«Skip Record If...»增大时淋雨量«Skip Record If...»将逐渐减小．考虑«Skip Record If...»的情形．在这种情形下，雨滴将从后面向你身上落下．令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．这个情形还要按照你在雨中行走的速度再分成两种情况．首先考虑«Skip Record If...»的情形，也就是说行走的速度慢于雨滴的水平运动速度．这时雨滴将淋在后背上．淋在背上的雨水的量是«Skip Record If...»，于是淋在全身的雨水的总量应该是«Skip Record If...»．当你以可能的最大速度«Skip Record If...»在雨中行进时，雨水的总量的表达式可以化简为«Skip Record If...»．它表明你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了．实际上，这意味着你刚好跟着雨滴向前走，所以身体前后都没有淋到雨．如果你的速度低于«Skip Record If...»，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加．因此在这种情形下淋雨量仍然是行走速度的减函数．第二个情形是«Skip Record If...»的情形，这时在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动速度．这时人将不断地追赶雨滴，雨水将淋在你的胸前．被淋的雨量是«Skip Record If...»．于是全身被淋的雨水的总量是«Skip Record If...»．综合上面分析的结果，我们可以得到淋雨量的数学模型为：«Skip Record If...»正如上面分析所得到的，模型中前两个式子都是速度«Skip Record If...»的减函数．但是第三个式子的情形就比较复杂了，它的增减性将取决于括号内的式子«Skip Record If...»是正还是负，它刚好是关于人的体形的一个指标．从这个模型我们可以得到如下结论：（1）如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑；（2）如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量．这时雨滴不会淋到你的前胸和后背，只淋到了头顶上．小结：通过研究前面两个问题，我们作以下三点总结：（1）在第一个问题中，我们用几何模型结合物理知识，解决了人体行走中的步长问题．建立模型时，把人体只看作由躯干和下肢两部分组成，是对人体的第一次简化；接着又将下肢看作长为«Skip Record If...»、质量为«Skip Record If...»的均匀杆，是对人体的第二次简化．两次简化对问题的解决起到了关键作用，既合理简化了问题，又未因过分简化而使模型失去其使用价值．而在第二个问题的模型建立中，将人体直接看成是一个长方体的物体．通过对比我们可以看出，在解决不同的实际问题时，对同一物体可根据实际需要做出不同的模型假设．（2）通过解决第二个问题我们还可以发现，数学模型的建立是一个对模型反复推敲不断完善的过程．虽然建立模型是为了简化问题，但有时这种简化是过度的，即得到的结果与现实情况出入过大．这时就需要返回问题分析这一步骤，对模型原有假设进行修改，使其逐渐向原型靠近，从而得出合理的结论．（3）除人在行走中的步长选择问题以及雨中行走问题外，还有很多物体运动值得我们研究．例如汽车刹车距离问题，即两车之间保持多长距离能保证司机在发生意外时可以及时刹车．在汽车驾驶中有这样的规则：正常驾驶条件下车速每增加10«Skip Record If...»，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度．有人根据这一规则，推出了所谓的“2秒准则”，即后车司机若能在前车经过某一标志的2秒钟后到达同一标志，则此时两车之间的距离刚好．这个准则的合理性如何，是否有更好的准则？这些问题都值得研究．如果此准则合理，就可以确定两车在驾驶过程中应保持的车距了．三、几何模型在运输问题中的应用英国媒体于近日报道，英国最大的供水厂商泰晤士自来水公司正在考虑将北极冰山拖运到伦敦，以化解可能面临的百年来最严重的水荒．该公司在伦敦举行的一次会议上说：“我们不得不考虑任何可能的方案，包括从北极拖运冰山及人工造雨．尽管许多人可能觉得利用冰山的想法愚蠢荒唐，但不能排除这种可能性．”那么拖运冰山这一想法可行吗？用数学建模的方法便可解决这一问题．（一）冰山运输问题描述：在水资源十分贫乏的国家，政府不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水«Skip Record If...»英镑．有些专家提出从南极用拖船运送冰山到本国，以取代淡化海水的办法．这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性．问题分析：为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用，我们需要搜集关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据，以此作为建模必须的准备工作．在此我们只研究冰山几何模型的建立方法，故只给出冰山运输过程中的融化速率的数据表（见表1）．所谓融化速率是指在冰山与海水、大气接触处冰山每天融化的速度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关．这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故．建立模型的目的是选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较．模型假设：根据建模目的和搜集到的有限的资料，需要作如下的简化假设．（1）拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响．总航行距离为9600«Skip Record If...»．（2）冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同．这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，这样体积的变化才能简单地计算．（3）冰山到达目的地后，1«Skip Record If...»冰可以融化成0.85«Skip Record If...»水．模型建立：首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行中的燃料消耗，由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费．在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式．模型构成可分为以下几步．（1）冰山融化规律根据假设（2）先确定冰山球面半径的减小量，从而得到冰山体积的变化规律．记冰山球面半径融化速率为«Skip Record If...»«Skip Record If...»，船速为«Skip Record If...»，拖船与南极距离为«Skip Record If...»．根据表1中融化速率的数据，可设«Skip Record If...»是船速«Skip Record If...»的线性函数，且当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»与«Skip Record If...»成正比，而当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»与«Skip Record If...»无关，即设«Skip Record If...»（2）其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为待定参数．这可以解释为«Skip Record If...»相当于从南极到赤道以南，海水温度随«Skip Record If...»增加而上升，使融化速率«Skip Record If...»也随«Skip Record If...»的增加而变大．而«Skip Record If...»后海水温度变化较小，可以忽略．利用表1所给数据确定出«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»．（3）当拖船从南极出发航行第«Skip Record If...»天时，与南极的距离为«Skip Record If...»．（4）记第«Skip Record If...»天冰山球面半径融化速率为«Skip Record If...»，将（3）、（4）式代入（2）式得«Skip Record If...»（5）记第«Skip Record If...»天冰山半径为«Skip Record If...»，体积为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，（6）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，（7）其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为从南极启运时冰山的初始半径和体积．由（5）～（7）式可知冰山体积是船速«Skip Record If...»、初始体积«Skip Record If...»和航行天数«Skip Record If...»的函数，记作«Skip RecordIf...»，有«Skip Record If...»，（8）其中«Skip Record If...»由（5）式表示．（2）燃料消耗费用：记为«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）．已知燃料消耗对船速«Skip Record If...»和冰山体积«Skip Record If...»的对数«Skip Record If...»均按线性关系变化．利用搜集的数据，计算出«Skip Record If...»．（3）运送冰山费用：记为«Skip Record If...»．费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成．根据搜集的数据，得«Skip Record If...»．（9）其中，«Skip Record If...»表示日租金，且«Skip Record If...»（4）冰山运抵目的地后可获得水的体积：将«Skip Record If...»代入（7）式，得冰山运抵目的地后的体积．再由假设（3），得水的体积为«Skip Record If...»．（10）（5）每立方米水所需费用：记为«Skip Record If...»．由（9）、（10）式显然有«Skip Record If...»．模型分析：此题假设冰山呈球形，简化了计算．但球形与现实中冰山的形状相去甚远，将其假设为圆台更为接近．此举势必将加大解题难度，甚至导致结果的变更．下面我们简单分析一下，将冰山的形状从球形改为圆台后，会对整个建模过程造成何种影响．若假设为圆台，则圆台的上下底面半径«Skip Record If...»、«Skip RecordIf...»及高度«Skip Record If...»的变化都要考虑．在拖运之初测量冰山圆台的上下底面半径«Skip Record If...»、«Skip Record If...»及初始高度«Skip Record If...»，有以下关系：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．（11）且此比例在冰山融化过程中不变．记冰山圆台下底面半径融化速率为«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»．与例题一样，设«Skip Record If...»是船速«Skip Record If...»的线性函数，且当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»与«Skip Record If...»成正比，而当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»与«Skip Record If...»无关，即设«Skip Record If...»（12）其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为待定参数．要确定«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的值，需要给出另外一组测量数据．将«Skip Record If...»代入（12）式，即得第«Skip Record If...»天冰山圆台下底面半径的融化速率«Skip Record If...»．记圆台所在圆锥的高为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．（13）记第«Skip Record If...»天冰山上下底面半径为«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，高为«Skip Record If...»，圆台所在圆锥的高为«Skip Record If...»，体积为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，（14）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，（15）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．（16）由（11）～（16）式可知冰山体积是船速«Skip Record If...»、初始体积«Skip Record If...»和航行天数«Skip Record If...»的函数，记作«Skip Record If...»．至此，只要给出所需数据，我们便可计算出«Skip Record If...»．由于«Skip Record If...»的改变，之后的燃料消耗费用、运送冰山费用、冰山运抵目的地后可获得水的体积、每立方米水所需费用都会发生变化，从而可能导致此方案的可行性发生变更．四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用汽车在我国的普及率正在稳步提升，它以其便捷高速的特性吸引着人们的注意力，所以有越来越多的人选择汽车作为了代步工具．但是汽车的设计还有许多有待改进的地方，例如车身的形状、各部件的设计、安全装置等都有继续完善的必要．所以此领域的研究有着重要的应用价值和商业价值，已为更多人所重视．（一）驾驶盲区问题描述：在汽车驾驶过程中会出现这种情况：在拥挤的道路变换车道与转弯时，后方突然有车辆出现，司机防范不及，造成车祸．试分析车祸原因，并给出解决方案．问题分析：汽车上共有内外三面后视镜，驾驶员通过这三面镜子来观察后面的车流情况，以决定何时可以转弯，而不会有危险发生．但是由于后视镜的尺寸都不是很大，这样使驾驶员能看到的范围就很小．需要看到的地方没办法看到，那块地方就是所谓的盲区．存在着盲区就存在着一定的安全问题，车祸出现的原因就在于此．若想避免此类车祸的发生，必须改善后视镜的设计，使盲区的范围缩小或者消失．后视镜的角度虽然可调节，但一般都由司机固定在其最习惯的地方，即可观察到的区域范围已确定，如图3所示．模型假设：（1）设汽车为长方体，俯视为长方形，且关于直线«Skip Record If...»对称，司机位于其对称轴上一点（在车内）；（2）假设两外后视镜与车身的夹角为«SkipRecord If...»，此值固定不变；（3）假设汽车所行驶的车道两旁分别只有一个车道．由对称性，我们只研究左侧车道上的车辆．通常汽车所安装的后视镜均为平面镜，这样设计是为了使驾驶员观察到的物体不变形，符合人的视觉习惯，但缺点是视野较小．扩大视野是解决此问题的关键．众所周知，凸面镜的成像区域要比平面镜大很多，所以考虑将平面镜换为凸面镜是否可以．若直接将平面镜换为凸面镜，势必将影响司机的正常驾驶，从而造成新的隐患．所以我们不妨考虑在外后视镜的外端或内后视镜的上方添加凸面镜（本文只研究在外后视镜的外端添加凸面镜这种情况），这样便可使问题得到解决．接下来，需要考虑的问题是，选择什么弧度的球冠最为合适．球冠的选择不是半径越小、弧度越大就越好，而是使司机可以观察到需要观察的车辆就可以了．根据上面的假设，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：汽车的长«Skip Record If...»、宽«SkipRecord If...»；驾驶时前后两车的车距«Skip RecordIf...»；视野需扩大到«Skip Record If...»角；所需凸面镜的长度«Skip Record If...»．模型建立：球面上各点入射光线的反射光线可根据该点的切平面确定．由于车道上需要观察的车辆与所在车辆位于同一水平位置，所以要确定取何种球冠最为合适，只需研究球冠与此水平面相交的弧上的«Skip Record If...»点的反射光线即可．如图4所示，标出各变量．如图5所示，由汽车的长«Skip Record If...»、宽«Skip Record If...»及车距«Skip Record If...»，可知 θlO 图3图4。