几何中的相似应用

几何中的相似应用------旋转中的相似三角形1、如图，矩形ABCD 中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB ，BC 所在的直线相交，交点分别为E ，F ．（1）现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，则PFPE的值______； （2）在（1）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP ：PC=1：2时，如图3，PFPE 的值是_________2、已知：在∠ABC 中，∠ACB=90°，CD∠AB 于点D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF∠BE 交AB 于点F ．如图乙∠，当AC=2BC ，且CE=2EA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系__________3、如图1，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD=∠BGC ． （1）求证：∠AGD∠∠EGF ；（2）如图2，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求的值．4．已知：在∠ABC 中AB=AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，∠BAE=∠BDF ，点M 在线段DF 上，∠ABE=∠DBM ．（1）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为 ；（2）在（1）的条件下延长BM 到P ，使MP=BM ，连接CP ，若AB=7，AE=，求tan∠PCB 和tan∠ACP 的值．5．如图，∠ABC与∠DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为_______6．如图，在∠ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上一点，连接AD，以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．若AC=，CD=2，则线段CP的长_______7、∠ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长_________．8. 如上图, ∠ABC和∠BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝42，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角∠CPD，线段BE与CD相交于点F，设PE＝x，∠PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式___________；9、如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②）①求证：BG⊥GE；②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值．10、已知∠ABC 是等腰三角形，∠BAC=90°，CD=1/2BC ，DE∠CE ，DE=CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点.(1)如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB=4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在∠ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证MN∠AE ；（3）如图3，将图2中的∠CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索ACMN的值并直接写出结果几何中的相似应用1．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥CD 于E ，P 是BE 上一动点．若BC =6，CE =2DE ，则|PC ﹣PA |的最大值是 ．2、如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点(不含B 、C 两点)，将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连结MA ，NA ．则以下结论中正确．．的有 (写出所有正确结论的序号)． ①△CMP ∽△BPA ； ②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ④线段AM 的最小值为25； ⑤当△第16题图PN MFEDCBA第2题图ABP≌△ADN时，BP=42–4．3、4、如图，四边形ABCD中，AC∠BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．（1）判断∠BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断∠MFN与∠BDC之间的关系，并说明理由．5、如图∠，在锐角∠ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∠EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图∠，求证：∠DEG∠∠ECF；（2）在图∠中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．6、在△ABC 中，∠B=45°，∠C=30°，点D 是BC 上一点，连接AD ，过点A 作AG ⊥AD.在AG 上取点F ，连接DF.延长DA 至E ，使AE=AF ，连接EG ，DG ，且GE=DF. （1）若22=AB ，求BC 的长； （2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：CG BD 21=； （3）如图2，当G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出CGAB的值.7、如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”． （1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”； （2）如图在Rt∠ABC 中，∠C=90°，tanA=，求证：∠ABC 是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=2β，点P ，Q 从点A 同时出发，以相同速度分别沿折线AB ﹣BC 和AD ﹣DC 向终点C 运动，记点P 经过的路程为s ． ∠当β=45°时，若∠APQ 是“好玩三角形”，试求的值；∠当tanβ的取值在什么范围内，点P ，Q 在运动过程中，有且只有一个∠APQ 能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．几何中的相似三角形-----一线三等角专题1．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（4，8），则点D 的坐标是____．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形，曲线在第一象限经过点D.则________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD=6, ∠ABC=∠C=70°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，且 ∠BEF=110°, 若AE=3，则DF 的长为________．4．如图设M 为线段AB 中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，EM 交BD 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； （2）连接FG ，设α=45°，AB=4 ,AF=3，求FG 长．5. 如图，已知在∠ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：∠DBE ∠∠ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果∠DEF 与∠DBE 相似，求FC 的长.ABCDOy x第1题 第2题 第3题 FAD6、如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是BC 上一点，且BP=2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

7.等腰∠ABC ，AB =AC =８，∠BAC =120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：∠BPE ～∠CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．① 探究１：∠BPE 与∠CFP 还相似吗？② 探究２：连结EF ，∠BPE 与∠PFE 是否相似？请说明理由； ③ 设EF =m ，∠EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．8．△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN=∠B（1）如图（1）当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于E ，F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．CPEABD A BCPEFABCPEF（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的1/4 时，求线段EF的长．9．已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与边交于点E．（1）直接写出线段AE、BF的长（用含k的代数式表示）；设△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，求证：S1=S2；（3）记△OEF的面积为S．①求出S与k的函数关系式并写出自变量k的取值范围；②以OF为直径作⊙N，若点E恰好在⊙N上，请求出此时△OEF的面积S．（4）当点F在BC上移动时，△OEF与△ECF的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？（5）请探索：是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由．（3）在（2）的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S△AEF=______．（4）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF 之间的数量关系，并说明理由.MNGFECBAH。