高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第5节 数系的扩充与复数的引入课件 理
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 平面向量的应用课件 文
【跟踪训练】
1．[2015·沈阳一模]在△ABC 中，|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，AB＝2，AC＝1，E，F 为 BC 的三等分点，
则A→E·A→F＝( )
8
10
A.9
B. 9
25
26
C. 9
D. 9
解析 由|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，化简得A→B·A→C＝0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，不可能为 0， 所以A→B与A→C垂直，所以△ABC 为直角三角形．以 AC 为 x 轴，以 AB 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图 所示，则 A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由 E，F 为 BC 的三等分点知 E23，23，F31，34，所以A→E＝32，32，A→F＝13，43， 所以A→E·A→F＝23×13＋23×43＝190.
2．[2016·兰州诊断]已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )A．0B来自1C．2D. 5
解析 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝ 5，故选 D.
3．在△ABC 中，A→B＝(cos18°，cos72°)，B→C＝(2cos63°，2cos27°)，则角 B 等于( )
考点多维探究
考点 1 向量在平面几何中的应用
典例1
(1)[2014·天津高考]已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC
上，BE＝λBC，DF＝μDC.若A→E·A→F＝1，C→E·C→F＝－23，则 λ＋μ＝(
)
1
2
A.2
B.3
5
7
C.6
D.12
(2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋
(新课标)高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第5讲 数系的扩充与复数的引入
2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第5讲 数系的扩充与复数的引入习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·某某调研)复数z ＝1－i 的虚部是导学号 25401141( ) A ．1 B.－1 C ．i D ．－i[答案] B[解析] 由复数a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )的虚部为b ，得z ＝1－i 的虚部为－1，故选B. 2．(2015·)复数i(2－i)＝导学号 25401142( ) A ．1＋2i B.1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i[答案] A[解析] i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.选A.3．(2015·某某)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为导学号 25401143( ) A ．i B.－i C ．1 D ．－1[答案] A [解析] i 607＝i4×151·i 3＝－i ，又－i 的共轭复数为i ，选A.4．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝导学号 25401144( )A ．－4 B.－3 C ．3 D ．4[答案] D[解析]∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，∴a ＝4.5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝导学号 25401145( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2[答案] A[解析] 由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝i －12i ＋1i －1＝i ，所以|z |＝1.6．(2015·某某某某市高三质量预测)在复平面内与复数z ＝5i1＋2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为导学号 25401146( )A ．1＋2i B.1－2i C ．－2＋i D ．2＋i[答案] C[解析] 依题意得，复数z ＝5i 1－2i1＋2i 1－2i＝i(1－2i)＝2＋i ，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A (－2,1)对应的复数为－2＋i ，选C.7．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是导学号 25401147( )A ．1－2i B.－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i[答案] D[解析] 因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.8．(2015·某某普通高中期末联考)设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z1＋i ＝2－i 成立，则点P (a ，b )在导学号 25401148( )A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] A[解析]z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，对应的点在第一象限．9．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于导学号 25401149( )A. 2B.23 C ．－23D ．2 [答案] C[解析]2－b i 1＋2i ＝2－b i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝2－2b －4＋b i5，由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23.10．(2015·某某某某市高三摸底考试)已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是导学号 25401150( )A ．z 21＝z 2 B.|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1 D ．z 1，z 2互为共轭复数[答案] C[解析] 依题意，注意到z 21＝(－12＋32i)2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝(－12＋32i)2·(－12＋32i)＝(－12－32i)(－12＋32i)＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.二、填空题11．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值X 围是________.导学号 25401151[答案]m ＜23[解析]z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2＜0且m －1＜0，∴m ＜23.12．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.导学号 25401152[答案] 3[解析]3＋b i 1－i ＝3＋b i 1＋i2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.13．(2015·某某某某质检)若复数z 满足(1＋2i)z ＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数z 等于________.导学号 25401153[答案] 1－2i[解析]∵(1＋2i)z ＝|3＋4i|＝5， ∴z ＝51＋2i ＝51－2i1＋2i 1－2i＝1－2i.14．i 是虚数单位，(21－i )2 014＋(1＋i 1－i )6＝________.导学号 25401154[答案] －1－i[解析] 原式＝[(21－i )2]1 007＋(1＋i 1－i )6＝(2－2i )1 007＋i 6＝i 1 007＋i 6＝i 4×251＋3＋i 4＋2＝i 3＋i 2＝－1－i.三、解答题 15．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，某某数a 的值.导学号 25401155[答案] 3 [解析]z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a)＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.B 组 能力提升1．(2015～2016学年某某省某某市长葛一中高三月考试题)复数1＋52－i (i 是虚数单位)的模等于导学号 25401156( )A.10B.10C. 5D ．5[答案] A[分析]首先将复数化简为a＋b i的形式，然后求模．[解析]1＋52－i＝1＋52＋i2－i2＋i＝1＋52＋i5＝3＋i，故模为32＋12＝10；故选：A.[点拨] 本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法；属于基础题．2．若复数z＝a＋2i1－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点在虚轴上，则实数a的值为导学号 25401157( )A．－2 B.2 C．－1 D．0 [答案] B[解析]z＝a＋2i1＋i1－i1＋i＝a－2＋a＋2i2，复数z在复平面内对应的点在虚轴上，则a－2＝0，即a＝2，故选B.3．对于复数z＝1＋i21－i，若命题p：“复数z在复平面内对应的点位于第一象限”，命题q：“设复数z的共轭复数为z，则z＝－1－i”，则下列命题为真命题的是导学号 25401158( )A．p∨(¬q) B.p∧qC．(¬p)∧q D．p∧(¬q)[答案] C[解析]因为z＝1＋i21－i＝2i1＋i1－i1＋i＝i(1＋i)＝－1＋i，所以在复平面对应的点在第二象限，命题p假，因为z＝－1－i，所以命题q为真，所以C正确．4．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值X围是导学号 25401159( )A．[－1,1] B.[－916，1]C ．[－916，7]D ．[916，7][答案] C[解析] 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈[－916，7]．5．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i 3＋i2.导学号 25401160[答案] (1)－1－3i (2)15＋25i (3)－1(4)－14－34i[解析] (1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)1＋2i2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i2－i 5＝15＋25i. (3)1－i1＋i2＋1＋i 1－i2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i 2＝3＋i－i3＋i 2＝－i 3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.6．已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，某某数a 的取值X 围.导学号 25401161[答案] 2<a <6[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， ∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0a －2>0，解得2<a <6，所以实数a 的取值X 围是2<a <6.。
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得 a＝2，b＝1，∴ab＝2.]
[规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关 键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i；(2)11＋－ii＝i；(3)11－ ＋ii＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1； i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．
复数的有关概念
(1)若
z＝1＋2i，则 z
z4－i 1＝(
)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
(2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数 a 的值为________．
(1)C (2)－2[(1)因为 z＝1＋2i，则 z ＝1－2i，所以 z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，
2．复数的几何意义
复数 z＝a＋bi 量__O→_Z__＝__(a_，__b_)__．
复平面内的点_Z_(_a_，_b_)___
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝_(_a_±_c)_＋_(_b_±_d_)_i ____. z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_a_c_－_b_d_)＋__(b_c_＋__a_d)_i _____. zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c＋di≠0)．
抓
基
础
·
自
主
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
学
课
习
时
第四节 数系的扩充与复数的引入
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第四节 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图441所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.图4411．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2. (教材改编)如图442，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图442A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．] 3．设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．0 B ．2 C ．2iD ．2＋2iC [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.] 4．复数1＋2i 2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i A [法一：1＋2i2－i ＝＋＋－＋＝5i5＝i. 法二：1＋2i 2－i＝＋－＝＋2i ＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________． －1 [i(1＋i)＝－1＋i ，所以实部为－1.](1)若z ＝1＋2i ，则z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． (1)C (2)－2[(1)因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z －1＝4i4＝i.故选C.(2)由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1] (1)(2017·嘉兴二次质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝i2＋i的虚部为( )A ．－15B ．－25C.15D.25(2)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2 (1)D (2)B [(1)复数z ＝i 2＋i＝－＋－＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D.(2)z ＝11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.]A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________.【导学号：51062150】(1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.(2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴ab＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(n ∈N )．[变式训练2] (1)已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________.(1)D (2)1＋i [(1)由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－＋－＝－1－i ，故选D.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.](1)则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(1)A (2)A [(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] (2017·湖州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i －i ，2i ＝0的复数z 对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [由题意得z ×2i－(1＋i)(－i)＝0，所以z ＝＋－2i＝－12－12i ，则z ＝－12＋12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，位于第二象限，故选B.][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，且b ≠0时，z 为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数． 3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．[易错与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，应注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．课时分层训练(二十五) 数系的扩充与复数的引入A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·宁波一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [复数(1＋3i)i ＝－3＋i 在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3A [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.] 3．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i B [∵z ＝21－i＝＋－＋＝＋2＝1＋i ，∴z －＝1－i.]4．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0C [实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，，则b ＝0，或a ，b 都为0，即z 为实数，故选项A为真，同理选项B 为真；选项C 为假，选项D 为真．]6．若i 为虚数单位，图443中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图443A ．EB ．FC ．GD ．HD [由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i＝＋－＋i －＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i 的点为H .]7．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 019＝－z 2 0201－z＝1－i 2 0201－i ＝1－i4×5051－i＝0.]二、填空题8．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i2－i 为实数，则a ＝________. 【导学号：51062151】－12 [1＋a i 2－i ＝＋a＋－＋＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i.∵1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________． 3 [∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.] B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( )A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2| C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.]2．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个C [f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________. 【导学号：51062152】3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。
2022版高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第五讲 数系的扩充与复数的引
学习资料2022版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第五讲数系的扩充与复数的引入学案（含解析）新人教版班级：科目：第五讲 数系的扩充与复数的引入知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一 复数的有关概念（1）复数的定义:形如a ＋b i （a ,b ∈R )的数叫做复数．其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．i 是虚数单位．规定i 2＝－1。
由此可知：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i ，1i ＝－i ，全体复数所成的集合C 叫复数集．（2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ,c ,d ∈R ）⇔a ＝c 且b ＝d . （3)共轭复数：若z ＝a ＋b i(a ,b ∈R ），则错误!＝__a －b i__.(4）复数的模：在复平面内，若点Z 的坐标为（a ，b )，则向量错误!的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模,记作__|z ｜__或__|a ＋b i ｜__，即｜z ｜＝｜a ＋b i ｜＝r ＝__错误!__(r ≥0，r ∈R )．知识点二 复数的几何意义（1)复平面的概念:建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面，x 轴叫做__实轴__，y 轴叫做__虚轴__。
(2）实轴上的点都表示__实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示__纯虚数__。
（3）复数的几何表示:复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）错误!复平面内的点Z （a ，b ）错误!向量OZ ，→。
知识点三 复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i,z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ,d ∈R ），则①加法:z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i ）＝__（a ＋c ）＋(b ＋d )i__； ②减法：z 1－z 2＝（a ＋b i)－（c ＋d i)＝__(a －c ）＋（b －d )i__； ③乘法：z 1·z 2＝（a ＋b i ）·（c ＋d i ）＝__(ac －bd )＋(ad ＋bc ）i__； ④除法:错误!＝错误!＝错误!＝错误!；(c ＋d i ≠0）． (2)复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律，即 ①交换律：z 1＋z 2＝__z 2＋z 1__；②结合律：（z 1＋z 2)＋z 3＝__z 1＋(z 2＋x 3）__。
2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与
第4讲 数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0， 则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c， d∈R)．
(4)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的 模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2. 2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)―→平面向量O→Z.
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii））＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c ＋di≠0)．
3．已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平 面上对应的点分别为 A，B，C，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)， 则 λ＋μ 的值是____1____．
[解析] 由条件得O→C＝(3，－4)，O→A＝(－1，2)，
高三数学复习第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
提 升 学 科 素 养
演 练 知 能 检 测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]
回 扣 主 干 知 识
1．下列说法中正确的是
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的长度为零 C．长度相等的两个向量是相等向量
(
)
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相
同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行， 则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反 向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命 题的个数是3. 答案：D
数学(6省专版)
演 练 知 能 检 测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 向量的线性运算
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错 误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故 D错误．
演 练 知 能 检 测
答案：B
数学(6省专版)
第一节
平面向量的概念及其线性运算
2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量 CD
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任 意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向 量概念有关的问题．
——————————————————————————
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演 练 知 能 检 测
回 扣 主 干 知 识
高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算高三全册数学
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
第五页，共四十八页。
知识点一
向量的有关概念
第六页，共四十八页。
第七页，共四十八页。
向量概念的四点注意 (1)注意 0 与 0 的区别，0 是一个实数，0 是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同． (3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但 是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性． (4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
第十九页，共四十八页。
【解析】 (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向 量不一定在同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当A→B∥C→D 时，A→B所在的直线与C→D所在的直线可能重合，故 D 不正确．
(2)对于 A，当|a|＝|b|，即向量 a，b 的模相等时，方向不一定 相同，故 a＝b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小，但 向量不可以比较大小，故 B 不正确；C 显然正确；对于 D，若|a| ＝0，则 a＝0，故 D 不正确，故选 C.
第三十三页，共四十八页。
方法技巧 向量线性运算的解题策略 1常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点 的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连 的向量的和用三角形法则. 2找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 3用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各 向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系； ④化简结果.
(2)如图，作 OG∥EF 交 DC 于点 G，由 DE＝EO，得 DF＝ FG，又由 AO＝OC 得 FG＝GC，于是D→F＝13D→C＝
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答案 1．(1)(a＋c)＋(b＋d)i (2)(a－c)＋(b－d)i (3)(ac－bd)＋(ad＋bc)i (4)acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i 2．z2＋z1 z1＋(z2＋z3)
4．判断正误 (1)若复数 z1，z2 满足 z1－z2>0，则 z1>z2.( ) (2)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋ z3)可能不成立．( ) (3)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (4) 复 数 加 减 乘 除 的 混 合 运 算 法 则 是 先 乘 除 ， 后 加 减．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设 i 是虚数单位，复数12＋－aii为纯虚数，则实数 a 为
() A．2
B．－2
C．－12
1 D.2
【解析】 (1)当 a＝b＝1 时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反 之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则 a2－b2＝0，2ab＝2，解 得 a＝1，b＝1 或 a＝－1，b＝－1.故“a＝b＝1”是“(a＋ bi)2＝2i”的充分不必要条件，应选 A.
必考部分
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第五节 数系的扩充与复数的引入
[考纲考情] 1.理解复数的基本概念． 2.理解复数相等 的充要条件．
3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4.会进行 复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
主干知识·整合 热点命题·突破
1．判断正误 (1)已知 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 时复数 z 为纯虚 数．( ) (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.( ) (3) 复 数 中 有 相 等 复 数 的 概 念 ， 因 此 复 数 可 以 比 较 大 小．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
3．共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔__________(a，b， c，d∈R)．
4．复数的模：
向量―O→Z 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作
|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝________．
答案 1．虚部 a＝0 且 b≠0 2.a＝c 且 b＝d 3．a＝c，b＝－d 4. a2＋b2
答案：B
复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________；
课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
复数的概念
1．复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它 的实部和______．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a ＋bi 为虚数；若____________，则 a＋bi 为纯虚数． 2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c， d∈R)．
(2)12＋－aii＝12＋－aii·22＋ ＋ii ＝2－a＋（52a＋1）i， ∵12＋－aii是纯虚数，且 a∈R，∴22－ a＋a＝ 1≠0， 0，∴a＝2. 【答案】 (1)A (2)A
【小结归纳】 (1)复数的分类与对应点的位置都可以从复数 z 的实部、
虚部两个方面施加影响，因此只需把复数化为代数形式，进 而列出实部、虚部满足的方程(不等式)组．
(2)利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化，解 题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式.
(1)已知 0<a<2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则|z|的
取值范围是( )
A．(1，5)
B．(1，3)
C．(1， 5)
D．(1， 3)
(2)设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为－z ＝a－bi，
2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应____________． 答案
2．平面向量―O→Z
3．复数 z＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点
位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数 z 在复平面上对 应的点的坐标为(－1，1)，位于第二象限．
2．(2015·天津卷)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是 纯虚数，则实数 a 的值为________．
解析：复数(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i，为纯虚数， 则 a＋2＝0，且 1－2a≠0，解得 a＝－2.
答案：－2
复数的几何意义
1．复数 z＝a＋bi一一对应复平面内的点 Z(a，b)(a，b ∈R)．
则 z－－z 为( )
A．实数
B．纯虚数
C．0
D．故|z|＝ a2＋1， ∵0<a<2，∴1<a2＋1<5， 从而 1< a2＋1< 5，即 1<|z|< 5. (2)∵z－－z ＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi， 当 b＝0 时，z－－z 为 0；当 b≠0 时，z－－z 为纯虚数． 答案：(1)C (2)D
5．已知（1－z i）2＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝(
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解
析
：
z
＝
（1－i）2 1＋i
＝
－2i 1＋i
＝
－2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
－2（2i＋1）＝－1－i. 答案：D
热点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
复数的有关概念
【例 1】 (1)已知 i 是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b
(4)
除
法
：
z1 z2
＝
a＋bi c＋di
＝
（a＋bi）（c－di） （c＋di）（c－di）
＝
______________(c＋di≠0)．
2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3 ∈C，有 z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________．