第一部分 专题四 第三讲 空间夹角(浙江、湖南、天津文科专用)

解析： 解析：作 AO⊥β 于 O， ⊥ ， AC⊥l 于 C，连结 OB、OC，则 OC⊥l. ⊥ ， 、 ， ⊥ 设 AB 与 β 所成角为 θ，则∠ABO＝θ， ， ＝ ， AO AC AO 3 ∴sinθ＝AB＝AB·AC ＝sin30°·sin60°＝ 4 . ＝ ＝
3 答案： 答案： 4
(2)证明：由 A1B1⊥平面 BCC1B1，BM⊂平面 BCC1B1，得 证明： 证明 ⊂ A1B1⊥BM. ①
由(1)知，B1M＝ 2，又 BM＝ BC2＋CM2＝ 2，B1B＝2， 知 ＝ ， ＝ ， பைடு நூலகம் ， 所以 B1M2＋BM2＝B1B2，从而 BM⊥B1M. ② ⊥ 再由①② ①②得 又 A1B1∩B1M＝B1，再由①②得 BM⊥平面 A1B1M， ＝ ⊥ ， 而 BM⊂平面 ABM，因此平面 ABM⊥平面 A1B1M. ⊂ ， ⊥
3．二面角 ． ° °． (1)二面角的取值范围：θ∈ [0°，180°] 二面角的取值范围： ∈ 二面角的取值范围 (2)找二面角平面角的方法 找二面角平面角的方法 ①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法． 定义法． 垂面法． 垂线法． 特殊图形法．
用定义法求异面直线所成的角主要步骤： 用定义法求异面直线所成的角主要步骤： (1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为 平移：选择适当的点， 平移 相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点， 相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中 点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点． 点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点． (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角． 证明：证明所作的角是异面直线所成的角． 证明
1．(2010·全国卷Ⅰ)正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 与平面 ． 全国卷Ⅰ 全国卷 正方体 － ACD1 所成角的余弦值为 2 A. 3 2 C. 3 3 B. 3 6 D. 3 ( )
解析： 解析：BB1 与平面 ACD1 所成的角等于 DD1 与平面 ACD1 所成的角，在三棱锥 所成的角， D－ACD1 中，由三条侧棱两两垂直得 － 点 D 在底面 ACD1 内的射影为等边三角 形 ACD1 的垂心即中心 H，连接 D1H， ， ， DH，则∠DD1H 为 DD1 与平面 ACD1 所成的角，设正方体棱 ， 所成的角， 6 a 3 6 长为 a，则 cos∠DD1H＝ a ＝ 3 . ， ∠ ＝
1．异面直线所成角 ． (1)定义 定义 (2)范围θ∈(0,90° (2)范围θ∈(0,90°] 范围 (3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的 求法： 求法 角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角， 然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角， 则这个角的补角才为所求． 则这个角的补角才为所求．
可知 A′M⊥平面 BCD， ′ ⊥ ， A′M⊥CE. ′ ⊥ 取 A′E 的中点 N，连接 NM，NF，所以 NF⊥DE， ′ ， ， ， ⊥ ， NF⊥A′M. ⊥ ′ 因为 DE 交 A′M 于 M，所以 NF⊥平面 A′DE， ′ ， ⊥ ′ ， 所成的角． 则∠FMN 为直线 FM 与平面 A′DE 所成的角． ′ 3 1 在 Rt△FMN 中，NF＝ 2 a，MN＝2a，FM＝a， △ ＝ ， ＝ ， ＝ ， 1 则 cos∠FMN＝2，所以直线 FM 与平面 A′DE 所成 ∠ ＝ ′ 1 角的余弦值为2.
[例1] (2010·湖南高考 如图所示， 例 湖南高考)如图所示， 湖南高考 如图所示 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB － 在长方体 是棱CC ＝AD＝1，AA1＝2，M是棱 1的中点． ＝ ， ， 是棱 的中点． (1)求异面直线 1M和C1D1所成的角的正切值； 求异面直线A 和 所成的角的正切值； 求异面直线 (2)证明：平面ABM⊥平面 1B1M. 证明：平面 证明 ⊥平面A [思路点拨 (1)由C1D1∥B1A1可知∠MA1B1为所求． 思路点拨] 可知∠ 为所求． 思路点拨 由 (2)证明 ⊥面A1B1M. 证明BM⊥ 证明
(2)证明：过点 B 作 BG∥CD，交 AD 证明： ∥ ， 证明 于点 G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.由 ， ＝ ＝ 由 ∠BAD＝45°，可得 BG⊥AB.从而 ＝ ， ⊥ 从而 CD⊥AB.又 CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以 CD⊥平面 ABF. ⊥ 又 ⊥ ， ∩ ＝ ， ⊥ (3)由(2)及已知， 由 及已知 可得 AG＝ 2.即 G 为 AD 的中点．取 EF 的中 及已知， 的中点． ＝ 即 点 N，连接 GN，则 GN⊥EF. ， ， ⊥ 因为 BC∥AD，所以 BC∥EF. ∥ ， ∥
答案： 答案：D
2．(2010·四川高考 如图，二面角 －l－β ． 四川高考)如图 四川高考 如图，二面角α－ － 的大小是60° 线段 ⊂ ， ∈ ， 的大小是 °，线段AB⊂α，B∈l，AB 与l所成的角为 °，则AB与平面 所成的角的正弦值 所成的角为30° 与平面β所成的角的正弦值 所成的角为 与平面 是________． ．
解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影， 解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然 后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角， 后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角，在 某一直角三角形内求解． 某一直角三角形内求解．
[例2] (2010·浙江高考 如图，在平行 例 浙江高考)如图 浙江高考 如图， 四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝ 中 四边形 ＝ ， ＝ 120°，E为线段 的中点，将△ADE沿 ° 为线段AB的中点 为线段 的中点， 沿 直线DE翻折成△ ′ ，使平面A′ ⊥平面BCD，F为线段 直线 翻折成△A′DE，使平面 ′DE⊥平面 翻折成 ， 为线段 A′C的中点 A′C的中点． 的中点． (1)求证：BF∥平面 ′DE； 求证： ∥平面A′ ； 求证 (2)设M为线段 的中点，求直线 与平面 ′DE所成角的 设 为线段 的中点，求直线FM与平面 为线段DE的中点 与平面A′ 所成角的 余弦值． 余弦值．
高考对空间角的考查主要是异面直线所成角、线面角、 高考对空间角的考查主要是异面直线所成角、线面角、 二面角这三类角.它们对空间想象能力和等价转化能力要求较 二面角这三类角.它们对空间想象能力和等价转化能力要求较 高，主要涉及空间向平面的转化.运算技巧及解三角形的一些 主要涉及空间向平面的转化 运算技巧及解三角形的一些 方法.这类问题在命题形式上也较为灵活， 方法 这类问题在命题形式上也较为灵活，复习时要注重知识 这类问题在命题形式上也较为灵活 与能力的全面结合. 与能力的全面结合
[思路点拨 (1)取A′D中点为 ，证明 ∥BF. 思路点拨] 中点为G，证明EG∥ 思路点拨 取 ′ 中点为 (2)取A′E中点 ，证明 ⊥面A′DE可得线面角． 取 ′ 中点 中点N，证明NF⊥ 可得线面角． ′ 可得线面角
[自主解答 (1)证明：取 A′D 的中点 G， 自主解答] 证明： 自主解答 证明 ′ ， 连结 GF，GE，由条件易知 FG∥CD，FG ， ， ∥ ， 1 1 ＝2CD，BE∥CD，BE＝2CD， ， ， ＝ ， 所以 FG∥BE，FG＝BE，故四边形 BEGF 为平行四边形， 为平行四边形， ， ＝ ， 所以 BF∥EG. 因为 EG⊂平面 A′DE，BF⊄平面 A′DE， ⊂ ′ ， ⊄ ′ ， 所以 BF∥平面 A′DE. ′
[自主解答 自主解答] 自主解答
(1)如图，因为 C1D1∥B1A1， 如图， 如图
所以∠ 所成的角． 所以∠MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角． 所以∠ 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°. ＝ 而 A1B1＝1，B1M＝ B1C2＋MC2＝ 2， ， ＝ ， 1 1 B1M 故 tan∠MA1B1＝A B ＝ 2. ∠ 1 1 即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2.
是正方形， 解：(1)因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA∥ED.故∠CED 因为四边形 ∥ 故 所成的角． 为异面直线 CE 与 AF 所成的角． 因为 FA⊥平面 ABCD，所以 FA⊥CD，故 ED⊥CD. ⊥ ， ⊥ ， ⊥ 在 Rt△CDE 中，CD＝1，ED＝2 2，CE＝ CD2＋ED2＝3， △ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ED 2 2 故 cos∠CED＝CE ＝ 3 . ∠ ＝ 2 2 所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 3 .
3．(2010·天津高考 如图，在五面体 ABC ． 天津高考)如图 天津高考 如图， DEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA 是正方形， ⊥平面 ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝ ， ∥ ， ＝ ， ＝ 2 2，∠BAD＝∠CDA＝45°. ， ＝ ＝ (1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； 求异面直线 所成角的余弦值； (2)证明：CD⊥平面 ABF； 证明： ⊥ 证明 ； (3)求二面角 B－EF－A 的正切值． 求二面角 － － 的正切值．
(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形， 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形， 寻找 并解之． 并解之． (4)取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是 °＜θ 取舍：因为异面直线所成的角 的取值范围是 的取值范围是0° 取舍 ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异 ° 所以所作的角为钝角时， 面直线所成的角． 面直线所成的角．
求二面角的大小，关键在于找到二面角的平面角， 求二面角的大小，关键在于找到二面角的平面角，找二 面角的平面角最重要的方法是垂线法，其具体步骤为： 面角的平面角最重要的方法是垂线法，其具体步骤为： (1)弄清该二面角及它的棱． 弄清该二面角及它的棱． 弄清该二面角及它的棱 (2)考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线 考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线 (往往先找垂面再找垂线 ． 往往先找垂面再找垂线)． 往往先找垂面再找垂线 (3)过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结 过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线， 过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线 垂足与另一个端点，所得到的角 或其补角 或其补角)就是该二面角 垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角 就是该二面角 的平面角． 的平面角． (4)解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小． 解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小． 解这个角所在的直角三角形