8.5怎样判定三角形相似(4)
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
完整版相似三角形的判定方法
（一）相似三角形1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0△ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：•/ DE // BC ,•••△ ABC ADE ;②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADEA（双A型）例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点，DE // AB,DF // AC , 求证：△ ABC DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
三角形判断全等及相似定理
相似三角形的判定定理:(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似).(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C21、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。
05 相似三角形的判定(四)
5.相似三角形的判定（四）预习归纳如果一个三角形的两个角与另一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似。
例题讲解【例】在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠A=60°，∠B=40°，∠A ＇=60°，那么当∠C ＇= 时，△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇。
基础题训练1.如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BA=5，AE=2，则DE=2.（2015海南）如图，点P 是□ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有（ ）A.0对B.1对C.2对D.3对P EB3.如图，∠1＝∠2，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．AB AD ＝AC AE B ． AB AD ＝BC DEC ． ∠B ＝∠D D ． ∠C ＝∠AED4.如图，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ②∠ADC ＝∠ACB ③AC CD ＝ABBC④AC 2＝AB ·A D ．其中单独能判定△ABC ∽△ACD 的有____________.5. （2014·毕节）如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C =∠E ，AD :DE =3：5，AE =8，BD =4，则DC的长等于（ ）A ．154 B ．125 C ．203 D ．1746. 下列命题：①有一个角为30°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③两条边对应成比例的两个等腰三角形相似④底边相等的两个等腰三角形相似.其中正确的有___________.7. 如图，D 、E 在BC 上，FD ∥AB ,FE ∥AC ，求证：△ABC ∽△FDE8. 如图，AD 是⊙O 的内接△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：AB ·AC ＝AD ·AE9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.（1）写出图中所有的相似三角形_______________.（2）求证：①AC2＝AD·AB；②BC2＝BD·AB；③CD2＝AD·DB中档训练题10.（2014南京）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．323423⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，B．313422⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，C．7724423⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，D．7714422⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，11. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°,BC的垂线交BC于D，交AC于E，交BA的延长线于F，求证：BD·DC＝DE·DF12. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC, ∠B＝∠E,求证：AB2＝AD·AE13. 如图，△ACB为等腰直角三角形，点O位斜边AB的中点，∠EOF＝45°（1）求证：△AOE∽△BFO（2）若AB＝4，求AE·BF的值.综合题训练14.如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长.BADBEA（2）在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求BC的长.BDABDA。
1相似三角形的判定
∵∠ADC=∠ACB,又∠A=∠A,∴由判定定理 1,知
△ABC∽△ACD
∵AC CD
=
AB BC
,∴AACB
=
CD BC
,由判定定理
2
知,不能单独判断
△ABC∽△ACD
∵AC2=AD·AB,∴AACB
=
AD AC
,又∠A=∠A,由判定定理
2,知
△ABC∽△ACD
答案:C
3.直角三角形相似的判定 (1)定理1:如果两个果两个直角三角形的两条直角边 对应成比例 ,那么它 们相似 . (3)定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直 角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 ,那么这两个直角三角形 相似.
△ABC中,DE∥BC,则△ABC∽△ADE.
(2)判定定理 1:对于任意两个三角形 ,如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形 相似.简述为: 两角对应 相等,两三角形相似 .
(3)引理:如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的 对应线段 成比例,那么这条直线 平行于三角形的第三边 .
反思感悟 根据三角形相似的定义 ,可由三角形相似得到成比例的 线段,从而可推出线段长度之积相等 .在推理过程中 ,要注意对应边、 对应角 ,避免出现不对应的情况 .
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
变式训练 1如图,在平行四边形 ABCD中,点E在DC上.
若DE∶EC= 1∶2,则BF∶BE=
.
∴∠C'= 55°.
答案:55°
???'????'?= ????'???'?,
思考辨析 判断下列说法是否正确 ,正确的在后面的括号内画 “√ ”错, 误的画
8.5(3)相似三角形判定(SSS)
不相似，因为对应边的比不相等.
Hale Waihona Puke AB BC AC 如图已知 ， AD DE AE 求证：∠1=∠2
证明: ∵
AB BC AC AD DE AE ∴ △ABC∽△ADE
A
1 3 2
E
∴ ∠BAC=∠DAE
又∵ ∠3是公共角
B
D
C
∴ ∠BAC- ∠3 =∠DAE-∠3 ∴ ∠1 =∠2
如图在边长为的正方形网格上有 A1B1C1和 1 A2 B2C2，它们相似吗？如果相 似，求出相 似比；如果不相似，请 说明理由。
任画一个三角形，再画一个三角形，使
它的各边长都是原来三角形各边长的k倍(任确 定一个倍数)，度量两个三角形的对应角，它 们相等吗？这样的两个三角形相似吗？
例如：画一个三角形使边长为：2cm、2.4cm、3cm ， 再画一个三角形，使它的各边长都是这个三角形各边长的 2或3倍。
请观察两个三角形的三组对应边有什么特点？
A
4 cm
B
三边对应成 比例 4.8 cm
A'
2 cm
2.4 cm
6 cm
C
B' 3 cm C'
A' B' B' C' A' C' 1 AB BC AC 2
是否有 △A'B'C' ∽△ABC？
A' A B'
B
A' C' B'
∠A'＝∠A
F C'
C ∠B'＝∠B
∠A'＝∠A ∠B' =∠B △A'B'C' ∽△ABC
8.5怎样判定三角形相似(王长富)
3、相似三角形判定方法1的应用：
教
学
反
思
本节采用猜想证明的方法，证明方法简单，学生易于接受。
2．判定两个三角形全等的方法有_______________________________________________
3.两个全等三角形一定相似吗？相似三角形一定全等吗？
4.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形________________（填相似或不相似）
5.三角对应相等的两个三角形是否一定相似？
课
内
探
究
课
内
探
究
课
内
探
究
一、自主探究，感受新知
1.一个角对应相等的两个三角形是否一定相似？
画图试试看（每人画一个∆ABC，使得∠BAC=60°，看所画的三角形是否相似。）
2.两个角对应相等的两个三角形相似吗？完成课本40页实验与探究。
3.如果两个三角形有若干个角对应相等，那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似？
四、挑战自我.完成课本41页挑战自我，写出解答过程。
五、小结
（1）知识上的收获（2）数学思想方法的领悟（3）能力上的提高
（4）谈谈学习过程的体验和感受，也可以对本堂课进行质疑
六、当堂测试
1、判断题：
(1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形.（）
(2)两个等腰直角三角形是相似三角形.（）
(3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形.（）
2、填空：（填上“不”、“不一定”或“一定”）
两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形_______相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形_______相似．
数学教案三角形相似的判定(优秀3篇)
数学教案三角形相似的判定（优秀3篇）知识结构本文范文为朋友们整理了3篇《数学教案三角形相似的判定》，可以帮助到您，就是本文范文我最大的乐趣哦。
角形相似的判定篇一（第3课时）一、教学目标1.使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用。
2.继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解。
3.通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力。
4.通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点。
二、教学设计类比学习，探讨发现三、重点及难点1.教学重点：是直角三角形相似定理的应用。
2.教学难点：是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路。
四、课时安排3课时五、教具学具准备多媒体、常用画图工具、六、教学步骤［复习提问］1.我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种）2.叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）. 其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似）3.什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质？【讲解新课】类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
已知：如图，在∽ 中，求证：∽建议让学生自己写出“已知、求征”。
这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到。
应让学生对此有所了解。
定理证明过程中的“ 都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题。
例4 已知：如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽ .解（略）教师在讲解例题时，应指出要使∽ .应有点A与C，B与D，C与B 成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
怎样判定三角形相似（4）
林家村初中 数学备课组编写
学习目标：
1、熟记三角形相似的两个性质
2、进一步巩固相似三角形的判定、性质，并会综合使用它们来解决较复杂的问题。
重点和难点：
相似三角形性质与判定的综合灵活运用
教学过程：
一、【温故知新】
1、相似三角形的性质有哪些？
2、相似三角形的判定方法有哪些？在运用性质与判定时应注意哪些问题？
3、已知三角形三边a 、b 、c ，且a ：b ：c=3：4：5，三角形周长为36，则a 、b 、c 分别为多少？
二、【创设情境】
任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其两角分别对应相
等．用刻度尺量一量这两个三角形的对应边上的高，看看这两个三角形的对应边和他们对应边上的高是否成比例．再探索计算相似三角形面积之比跟对应边之间有什么关系，你能得出什么结论？
三、【探索新知】
通过上面的测量猜测计算得出相似三角形的两另外两个性质
1、相似三角形对应边上的高的比等于对应边的比。
2、相似三角形面积之比等于相似比的平方。
学生背诵并应用得到的结论分析下面的问题
例、已知：如图AD 和BE 分别是△ABC 的高，
A ′D ′和
B ′E ′是△A ′B ′
C ′的高，且 AB A
D =A ′B ′
A ′D ′ ，∠C=∠C ′，求证：
AD •B ′E ′=A ′D ′•BE A A ′
E E ′
B D
C B ′
D ′ C ′
分析：
（1） 引导学生注意观察此题等积式中四条线段分别是△ABC 与△A ′B ′C ′中两条
对应高，只要证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似，就能得出结论。
（2） 培养学生灵活使用“分析综合法”探求解题思路。
教师板书证明过程，培养学生的正确表达能力。
1、 例5、自学指导
（1） 自学课本例5明确本例中的证题思路，并要求学生学会分析；
（2） 检查自学效果（3）学生扮演例5
四、【课堂小结】
本节主要学习了相似三角形两个性质、并利用这两个性质进行有关计算和证明，尤其注意相似三角形面积之比等于相似比的平方要和相似三角形周长之比等于相似比加以区别。
五、【练习】
1、这节学习的相似三角形的性质跟我们前面学习的相似三角形的性质有什么相同点和不同点？
2、三角形ABC 和三角形DEF 相似并且这两个三角形的面积之和是100，并且AB 和DE 分别是这两个三角形的最短边，求△ABC 的面积
3相似三角形对应边的比为0．4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．
六、【达标检测】
练一练：看谁做得又对又快
1、如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度h 应为（ ） 。
A 、2.7米
B 、1.8米
C 、0.9米
D 、 6米
2、△ABC 的三边长分别为
5、12、13，和△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最大边长为26，求△A ′B ′C ′的周长和面积．
3、铁道的栏杆的短臂为OA=1米，长臂OB=10米，短臂端下降AC=0.6米，则长臂端上升BD 是 米。
七、【反思领悟】
通过本节课的学习,谈谈你的收获和疑问
（通过对本节的学习，要明确相似三角形的性质，并能应用相似三角形的性质和判定进行有关练习，要注意相似三角形的面积之比等于对应边的平方比，当出现了相似三角形对应边上的高时，要想到对应高的比等于它们的相似比。
） 5m 10m
0.9m h A。