第4讲 三角形相似条件判定
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法如下：
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似。
2.三边成比例的两个三角形相似。
3.两边成
比例且夹角相等的两个三角形相似。
4.两角分别相等的两个三
角形相似。
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应
的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两
个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS）
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
（简
叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直
角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）
判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。
九年级相似三角形的性质及判定讲
龙文教育学科教师辅导讲义全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 29、三角形三条中线的交点叫做重心；三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点距离的的两倍。
三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。
在利用定理证明时要注意A 型图的比例AD AB DE BC AEAC==，每个比的前项是同一个三 角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成AD DB DE BC AEEC==的错误。
2、 相似三角形的基本图形Ⅰ.平行线型：即A 型和8型。
Ⅰ.相交线型 A.具有一个公共角，在△ABC 与△ADE 中∠A 是它们的公共 角，且∠A DE =∠C具有一条公共边和一个公共角在△ABC 与△BDC 中CB 是它们的公共边， 且∠C BD =∠A ，∠C 是它们的公共角。
相似形的判定定理
相似形的判定定理一、相似三角形的判定定理（一）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
1. 证明思路- 例如在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
- 因为DE∥BC，所以∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB（两直线平行，同位角相等），∠A是公共角。
- 根据两角分别相等的两个三角形相似，就可以得出△ADE∽△ABC。
（二）两角分别相等的两个三角形相似。
1. 证明示例- 已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'。
- 在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B，在△A'B'C'中，∠C' = 180°-∠A' - ∠B'。
- 因为∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，所以∠C = ∠C'。
- 根据三角形内角和定理以及两角相等的条件，可知这两个三角形相似。
（三）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
1. 举例说明- 若在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(AC)/(A'C')，且∠A = ∠A'。
- 可以通过构造辅助线等方法来证明这两个三角形相似。
- 例如将△A'B'C'平移、旋转、缩放等操作后，使∠A与∠A'重合，然后根据已知的边的比例关系和夹角相等，证明对应边平行，从而得出相似的结论。
（四）三边成比例的两个三角形相似。
1. 证明要点- 设△ABC和△A'B'C'三边满足(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C')=(AC)/(A'C')。
- 可以通过在较大的三角形中截取与较小三角形对应边相等的线段，构造出全等三角形，再利用边的比例关系逐步证明其他角相等，最终得出相似的结论。
全等三角形和相似三角形的判定定理
全等三角形和相似三角形的判定定理示例文章篇一：哎呀呀，亲爱的小伙伴们，你们知道啥是全等三角形和相似三角形不？今天我就来和你们好好唠唠！咱先来说说全等三角形。
全等三角形就像是一对双胞胎，长得那叫一个一模一样！每一条边、每一个角都完全相同。
那怎么才能判断两个三角形是不是全等呢？这可得好好说道说道。
比如说“边边边”定理，就是如果两个三角形的三条边都对应相等，那它们就是全等三角形。
这就好比你有两双一模一样长的筷子，那不就是完全一样嘛！再比如“边角边”定理，要是两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，那这两个三角形也全等。
这就像你有两个形状一样的风筝，骨架长度一样，中间的夹角也相同，那能不一样嘛？还有“角边角”定理，两个三角形的两个角和它们夹的边对应相等，那就是全等三角形啦！这就好像你有两个同样的三角板，角的大小一样，夹着的边也一样长，能不全等嘛！说完全等三角形，咱再聊聊相似三角形。
相似三角形就像是表兄弟，长得有点像，但大小可能不一样。
判断相似三角形也有几个厉害的定理呢！“两角对应相等的两个三角形相似”，这就好比两个小伙伴笑起来的样子很像，那整体感觉不就像了嘛！还有“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，这就好像两根粗细不一样的橡皮筋，长度的比例一样，中间弯曲的角度也相同，能不相似嘛？“三边对应成比例的两个三角形相似”，这就跟三把不同长度的尺子，它们的长度比例都一样，那能不相似嘛？在学习这些定理的时候，我一开始也有点迷糊，但是多做几道题，多和小伙伴们讨论讨论，慢慢地就搞清楚啦！我觉得呀，数学虽然有时候有点难，但只要咱们肯用心，就一定能战胜它！所以说，小伙伴们，只要咱们认真学，这些定理都不在话下，你们说对不对？示例文章篇二：嘿，同学们！今天我来和大家聊聊全等三角形和相似三角形的判定定理，这可有意思啦！你们想啊，三角形就像我们身边各种各样的东西。
全等三角形呢，就好比两个一模一样的玩具人偶，哪儿哪儿都相同。
相似三角形题型讲解解析
相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。
评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABCA B C DEF G 1234ABCD分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
相似三角形-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第四单元 三角形专题4.4 相似三角形知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例1】已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是( ) A.x:y=3:2 B.x:3=2:y C.x:y=2:3 D.x:2=y:3A1.线段的比：在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比；2.比例线段：对于四条线段a,b,c,d,若其中两条线段的比与另两条线段的比相等(a:b=c:d).我们就说这四条线段成比例,简称比例线段.3.比例的基本性质:4.更比定理:考点聚集ad=bc知识点一典例精讲比例线段1.已知 ,则 的值是____.2.人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底之比是 .某人测得头顶至肚脐长约65cm,肚脐至足底长约102cm,为尽可能达到黄金比的美感效果,作为形象设计师的你,对于她的着装建议为穿一双( )cm的高跟鞋(精确到1cm) A.2 B.3 C.4 D.5B 知识点一强化训练比例线段知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例2】如图,已知△ABC中,∠BAC=90º,延长BA到点D,使AD=0.5AB,点E,F分别是边BC,AC的中点.求证：DF=BE 方法一：证△ADF≌△FEC(SAS)AFDBCE方法二：证△ADF∽△BCA方法三：连接AE,利用平行四边形证明知识点二典例精讲相似三角形的性质与判定1.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是( ) A.∠C=∠AED B.AB:AD=AC:AE C.∠B=∠D D.AB:AD=BC:DE2.如图,△ABC 中,∠A =78º,AB =4,AC =6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )DA 1CEBD2知识点二强化训练三角形相似的性质与判定CAC B78ºAC B78ºAAC B14DAC B 23CAC B 78ºB3.如图,在□ABCD中,连接AC,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S △AEF =4,则S △ADF 的值为_____.4.如图,一束光线从点A(4,4)射出,经y轴上的点C的反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是( ) A.(0,0.5) B.(0,0.8) C.(0,1) D.(0,2)5.在□ABCD中,E是AD上的一点,且点E将AD分为2:3的两部分,连接BE,AC相交于F,则S △AEF :S △CBF =_______.AFE DCB10知识点二强化训练三角形相似的性质与判定B AyxC OB(1,0)知识点比例线段01相似三角形的性质与判定02相似三角形的应用03拓展训练04【例3】如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=_____m.5.5 DAE BFC 知识点三典例精讲相似三角形的应用3.如图,△ABC是一张锐角三角形硬纸片,AD是边BC上的高BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.(1)求证：AM:AD=HG:BC;(2)求矩形EFGH的周长。
相似三角形的判定完整版课件
相似三角形的判定完整版课件一、教学内容1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定两个三角形相似的方法，包括：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、AA（两角对应相等）。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义及性质；2. 学会使用SSS、SAS、AA三种方法判定两个三角形相似；3. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：相似三角形的判定方法及性质的理解和应用。
教学重点：掌握相似三角形的判定方法，并能运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、三角板、量角器；2. 学具：三角板、量角器、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示实际生活中相似三角形的例子（如：电视屏幕与实际画面、三角形放大镜等），引导学生观察并思考相似三角形的特点。
2. 例题讲解：（1）讲解相似三角形的定义及性质；（2）通过例题讲解SSS、SAS、AA三种判定方法；3. 随堂练习：（1）让学生独立完成教材课后练习题；（2）针对学生完成情况进行讲解，纠正错误，巩固知识点；（3）拓展练习：给出一些实际生活中的相似三角形问题，让学生运用所学知识解决。
六、板书设计1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定方法：SSS、SAS、AA；3. 例题解题步骤及思路；4. 课后练习题。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，其中AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，求三角形DEF的周长；（2）已知三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为2：3，求三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值。
2. 答案：（1）三角形DEF的周长为18cm；（2）三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值为9：4。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对相似三角形的判定方法掌握较好，但对性质的理解和应用还需加强。
在今后的教学中，应注重引导学生运用性质解决实际问题。
第四章图形的相似 讲义
第四章 图形的相似4.1 成比例线段【知识点】1. 线段的比：两条线段长度之比称为线段的比（单位一致）。
2.比例线段：若四条线段a 、b 、c 、d 满足d c b a =，则称四条线段a 、b 、c 、d 为成比例线段。
2. 判断线段是否成比例的方法：①一排（从小到大或从大到小排序）②二算（计算比值是否相等）③三判断（判断是否成比例）。
注意：当四条线段成比例时，若其中一条长度未知，那么在确定比例关系时，有多种对应情况，需要分类讨论。
3.比例中项：若db b a =（或ad b =2），则称b 为比例中项。
4.比例基本定义：若a 、b 、c 、d 满足d c b a =（或a ：b=c ：d ），则称a 、b 、c 、d 为比例的项，a 、d 为比例外项，b 、c 为比例内项。
5.比例基本性质：若dc b a =（或a ：b=c ：d ），则ad=bc ； 若ad=bc （a 、b 、c 、d 都不为0），则d c b a =。
3. 合分比性质：若d c b a =，则d d c b b a ±=±；若d c b a =，则dkd c b kb a ±=±。
4. 等比性质：若ba n f db m ec a n m f ed c b a =⋯++++⋯+++=⋯===则,（b+d+f+...+n ≠0）。
考点1 线段的比1.如果在比例1：10000000的地图上，A 、B 两地的图上距离为2.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离为 _千米．2.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则在图上距离和实际距离的比是（ ）A.1:2000B. 1:200C. 200:1D. 2000:1考点2 比例线段1.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，则 d 的长度为( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm2.下列四条线段中，不能成比例的是 ( )．A ．a=3，b=6，c=2，d=6B ．a=4，b=6，c=5，d=10C ．a=1，b=2，c=6，d=3D ．a=2，b=5，b=15，d=323.已知三条线段a 、b 、c ，其中 a=1cm ，b=4cm ，c 是 a 、b 的比例中项，则c= cm4.已知三条线段的长分别为 1.5，2，3，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是 ( )A ．1B ．2.25C ．4D ．25.如图，在平行四边形 ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC 找出图中的一组比例线段，并说明理由．考点3 比例性质1.已知 xy=mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 ( )A.y m n x = B ．x n m y = C ．y n m x = D ．ny m x = 2.若 35b a =，则 bb -a = _． 3.已知 a ：b ：c=2:3:4，则b ac a -+= ． 4.已知53f e d c b a ===，b+d+f=50，那么a+c+e= .5.已知k c b a b c a a c b =+=+=+，则 k=6.把一张矩形纸片沿图中虚线裁成三张大小相同的矩形纸片，若得到的小矩形纸片长边与短边的比等于原来大矩形纸片的长边与短边的比，则大矩形纸片的长与宽之比为7.已知线段a 、b 、c ，满足623c b a == ，且a+2b+c=26，求c b a +的值．8.在△ABC 和△DEF 中，已知43===FD CA EF BC DE AB ,且△ABC 的周长为18，求△DEF 的周长。
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三角形相似的条件
1. 如图，在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，EC交AD于点F，则图中相似三角形有( )
A．1对B．2对
C．3对D．4对
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．4对B．3对
C．2对D．1对
3. 下列各组图形中有可能不相似的是( )
A．有一个锐角相等的两直角三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．有一个角相等的两等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
4. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线等于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )
A．0个B．1个
C．2个D．3个
5. 如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是( )
A.1
2
B.
3
2
C.5
2
D.
7
2
6. 在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠D＝40°，∠E＝80°，则△ABC∽△DEF，这两个三角形相似的根据是_____________________
__________.
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E.若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为___.
8. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____.
9. 如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形______________.
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝1，则AD的长是 .
11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD
∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为_____.
12. 如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°.求证：△ABC∽△DEF.
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
14. 如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD.
15. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB. (1) 求证：AB AE ＝AC
AD
；
(2) 若AB ⊥AC ，AE ∶EC ＝1∶2，F 是BC 的中点，求证：四边形ABFD 是菱形．
参考答案： 1. C 2. B 3. C 4. C 5. C
6. 两角对应相等的两个三角形相似
7. 5
8. 5
9. 答案不唯一，如：△DCF ∽△EBF 10. 4 11. 258
12. 证明：在△ABC 中，∠B ＝180°－∠A －∠C ＝79°，在△ABC 和△DEF 中，⎩
⎪⎨
⎪⎧
∠B ＝∠E
∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽
△DEF.
13. 证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE.
14. 证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED ，∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°，∴∠AFB ＝∠D ＝90°，∴△ABF ∽△EAD.
15. 证明：(1) ∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE ，∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB ，又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB ，又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC
AD
；
(2)设AE ＝x ，∵AE ∶EC ＝1∶2，∴EC ＝2x ，由(1)得AB 2
＝AE ·AC ，∴AB ＝3x ，又∵BA ⊥AC ，∴BC ＝23x ，∴∠ACB ＝30°，又∵F 是BC 的中点，∴BF ＝3x ，∴BF ＝AB ＝AD ，又∵∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABD ，∴∠ADB ＝∠CBD ＝30°，∴AD ∥BF ，∴四边形ABFD 是平行四边形，又∵AB ＝AD ，∴四边形ABFD 是菱形．。