443三角形相似的判定条件
相似三角形的判定条件
相似三角形的判定条件在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在解决几何问题时经常出现，还与实际生活中的许多场景有着紧密的联系。
那什么是相似三角形呢？简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，它们就是相似三角形。
而要判断两个三角形是否相似，就需要依据一定的判定条件。
相似三角形的判定条件主要有以下几种：第一种判定条件是“两角分别相等的两个三角形相似”。
这是一个非常重要的判定方法，也比较容易理解。
比如说，有两个三角形，一个三角形的两个角分别是 30 度和 60 度，另一个三角形也有两个角分别是 30 度和 60 度。
因为三角形的内角和是 180 度，所以第三个角的度数也就确定了。
这样一来，这两个三角形的三个角都分别相等，它们的形状就相同，从而可以判定这两个三角形是相似的。
第二种判定条件是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设我们有两个三角形，其中一个三角形的两条边的长度分别是 4 和 6，夹角是 60 度；另一个三角形对应的两条边的长度分别是 8 和 12，夹角也是 60 度。
我们可以计算出这两组对应边的比例，4∶8 ＝ 1∶2，6∶12 ＝ 1∶2，比例相等，而且夹角也相等，所以这两个三角形就是相似的。
第三种判定条件是“三边成比例的两个三角形相似”。
比如一个三角形的三条边分别是3、4、5，另一个三角形的三条边分别是6、8、10。
我们来计算一下它们对应边的比例，3∶6 ＝ 1∶2，4∶8 ＝ 1∶2，5∶10 ＝ 1∶2，三边的比例都相等，那么这两个三角形就是相似的。
为了更好地理解和运用这些判定条件，我们来看一些实际的例子。
假设在一个建筑工地上，有一个工人需要测量一个大型三角形广告牌的高度，但他无法直接测量。
不过，他在地面上立了一根已知长度的杆子，然后分别测量出杆子的影子长度和广告牌的影子长度。
通过这种方法，就可以利用相似三角形的知识来计算出广告牌的高度。
在这个例子中，杆子和它的影子以及广告牌和它的影子分别构成了两个直角三角形。
中考数学《三角形》考点：相似三角形的判定方法
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中考数学《三角形》考点：相似三角形的判定方法
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
1、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似;
2、如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似;
3、如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是数学几何中的一个重要概念，它在解决实际问题和证明定理时起着关键作用。
相似三角形的判定是基于其边比和角相等的条件，而相似三角形的性质则涉及到各个角的对应关系和边的比例关系。
本文将详细介绍相似三角形的判定方法和性质。
一、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，常用的判定方法有以下几种：1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的一个角相等，且对应边的夹角也相等，那么它们是相似的。
2. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三边分别成比例，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们是相似的。
3. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角相等，且两个角的对边成比例，那么它们是相似三角形。
这些判定方法是相似三角形性质的基础，通过判定可以确定两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质1. 两个相似三角形的对应角相等，即相应的角相等。
这是相似三角形定义的直接性质，对应角相等是相似三角形的必要条件。
2. 两个相似三角形的对应边成比例。
如果两个三角形相似，则它们的对应边的长度之比等于任意两个对应边的长度之比。
具体来说，设两个相似三角形的对应边分别为AB和A'B'、AC和A'C'、BC和B'C'，则有AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'。
3. 两个相似三角形的高线成比例。
如果两个相似三角形的高线分别为h和h'，那么h/h'等于相应的边的长度之比。
4. 两个相似三角形的面积之比等于对应边长度之比的平方。
设两个相似三角形的面积分别为S和S'，对应边的长度之比为k，则有S/S' = k^2。
5. 两个相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
三角形的相似判定
三角形的相似判定相似三角形是初中数学中的基本概念之一，掌握相似三角形的判定方法对于解决与三角形相关的各种问题具有重要意义。
本文将介绍三角形相似的判定方法，并给出相应的几何证明。
三角形相似的判定方法有三种，它们分别是AAA判定法、AA判定法和SAS判定法。
AAA判定法：如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角所对的边成比例，那么这两个三角形是相似的。
SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且这个角的两边与另一个三角形的两边成比例，那么这两个三角形是相似的。
现在，我们来依次证明这三种判定法。
首先，证明AAA判定法。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们需要证明这两个三角形是相似的。
我们可以通过旋转、翻转或平移来使两个三角形重合，使得∠A与∠D对应，∠B与∠E对应，∠C与∠F对应。
这样，由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，三角形ABC与DEF的对应边也重合，因此三角形ABC与DEF是完全重合的，即相似。
接下来，证明AA判定法。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，并且AB/DE = AC/DF，我们需要证明这两个三角形是相似的。
同样地，我们可以通过旋转、翻转或平移来使两个三角形重合，使得∠A与∠D对应，∠B与∠E对应。
根据已知条件，我们可以得出AB/DE = AC/DF，即AB/DE = BC/EF。
由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，根据正弦定理可知AB/DE = BC/EF，因此，三角形ABC与DEF的对应边成比例，即相似。
最后，证明SAS判定法。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，我们需要证明这两个三角形是相似的。
同样地，我们可以通过旋转、翻转或平移来使两个三角形重合，使得∠A与∠D对应。
相似三角形判断条件
相似三角形判断条件相似三角形是指两个三角形，他们彼此的所有内角和外角都相等。
相似三角形的几何原理是三角形具有相似性的基本原理，它指的是两个三角形所有内角和外角都相等。
在几何原理中，最重要的一点是如何证明两个三角形是相似的。
下面我们就来详细看看相似三角形的判断条件。
首先，相似三角形的判断条件是：（1）两个三角形的外角是相等的。
（2）两个三角形的内角是相等的。
（3）两个三角形的边长比相等。
假设三角形ABC，DEF两者的所有角和边长都是已知的，那么在证明他们是否为相似三角形的时候，可以用到几何定理，如半周长定理：两个三角形的半周长比等于它们的定点外角的正弦值的乘积；三角形外角公式：所有三角形的外角之和是180°；三角形内角公式：任何三角形的内角之和是180°；三角形边长比公式：任意一条边的长度比等于两两比的其他两边的比值的乘积；以及内部三角形内外角公式：内部三角形的外角是内角的两倍。
由以上几何定理可以推出，相似三角形存在条件即：（1）两个三角形的外角都相等。
（2）两个三角形的内角都相等。
（3）两个三角形的边长比都相等。
另外，如果有一个相似三角形，它的定点坐标（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），可以用三个定点距离来证明它的相似性，即用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方；用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比。
总之，判断两个三角形是否为相似三角形的原则是：它们的所有外角和内角都相等，它们的边比都相等，或者可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
综上所述，相似三角形的判断条件就包括了三角形的外角、内角和边比都相等，以及可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
相似三角形是几何原理中的基本概念，在几何中有很多应用。
例如，它可以用于解决以下问题：（1）最小外接圆半径：给定三角形ABC，找出最小外接圆半径；（2）最大内接圆半径：给定三角形ABC，求出最大内接圆半径；（3）多边形面积计算：给定由三角形ABC的共同点组成的多边形，计算多边形的面积；（4）共轭多边形：给定三角形ABC，求出其共轭多边形；（5）三角形的中心：给定三角形ABC，找出它的中心点；（6）三角形的重心：给定三角形ABC，找出它的重心；以及（7）三角形的切线：给定三角形ABC，求出三条切线。
三角形相似的充要条件
三角形相似的充要条件在几何学中，三角形相似是指两个或多个三角形之间的对应角相等，并且对应边成比例。
相似的概念在很多几何问题中起着重要的作用，它帮助我们推导和解决各种三角形的性质和问题。
本文将介绍三角形相似的充要条件。
一、充要条件之AA相似法则AA相似法则是指若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E。
首先，我们可以通过角度关系得到一个对应边的比例，即AB/DE = BC/EF。
其次，我们可以通过角度关系得到另一个对应边的比例，即AB/DE = AC/DF。
因此，我们可以得出AB/DE = BC/EF = AC/DF，即符合相似的定义。
所以，由AA相似法则可知，若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
二、充要条件之SAS相似法则SAS相似法则是指若两个三角形的一个角相等，两个对应边成比例，则这两个三角形相似。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF。
首先，根据角度关系可以得到另一个角相等，即∠B = ∠E。
其次，根据对应边的比例可以得到另一条边的比例，即BC/EF =AC/DF。
因此，我们可以得出∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC/EF = AC/DF，即符合相似的定义。
所以，由SAS相似法则可知，若两个三角形的一个角相等，两个对应边成比例，则这两个三角形相似。
三、充要条件之SSS相似法则SSS相似法则是指若两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，其中AB/DE = BC/EF = AC/DF。
首先，根据对应边的比例可以得到一个对应角的形式，即∠A =∠D。
其次，根据对应边的比例可以得到另一个对应角的形式，即∠B = ∠E。
因此，我们可以得出∠A = ∠D，∠B = ∠E，即符合相似的定义。
所以，由SSS相似法则可知，若两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形判定
相似三角形判定相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等的情况。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是一个重要的问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法及其应用。
一、相似三角形的判定条件1. 直角三角形相似判定对于两个直角三角形，若它们的一个角相等（除直角外），并且两个锐角分别相等，那么这两个直角三角形是相似的。
换句话说，如果两个直角三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
2. AAA相似判定对于两个三角形，如果它们的三个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
3. AA相似判定对于两个三角形，如果它们的一个角相等，而且两个角对应的两边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
4. SAS相似判定对于两个三角形，如果它们的一个角相等，而且两边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的应用1. 比例计算相似三角形的边长比例可以用来计算未知长度。
例如，如果我们知道一个三角形的两个边与另一个三角形的两个边成比例，那么我们可以利用这个比例关系计算出未知边的长度。
2. 测量不可达距离在实际测量中，由于一些地方不可达或较难到达，我们可以利用相似三角形的原理来计算这些位置的距离。
通过测量已知距离和相似三角形的比例关系，我们可以确定不可达位置的距离。
3. 设计模型和原型相似三角形的原理也经常用于设计模型和原型。
通过在一个比例上缩小或放大一个已知的三角形，我们可以得到与原三角形相似的模型。
4. 空间推理在几何学中，相似三角形的概念经常被用于进行空间推理。
通过判断不同角度和边长的三角形是否相似，我们可以推断出一些与角度和长度相关的性质。
总结：相似三角形的判定条件包括直角三角形相似判定、AAA相似判定、AA相似判定和SAS相似判定。
相似三角形的应用广泛，包括比例计算、测量不可达距离、设计模型和原型以及空间推理等方面。
通过掌握相似三角形的判定条件和应用，我们可以在几何学和实际问题中更好地运用相似三角形的概念。
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你来做做看吧！
知识间的关系对比
ASA AAS SAS SSS
有两个角对应相等的两个三角形相似。
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角 形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似.
小结
∴ ∠ABD＝∠CBE
2、已知△ABC的三边长分为 2 ， 6 ，2， △A′B′C′的两边长分别是1和 3 ，如果 △ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的
第三边长应该是( A )
A、 2 B、 2
2
C、 6 2
D、 3
3
3、要做两个形状完全相同的三角形框 架，其中一个框架的三边长分别为3、 4、5，另一个框架的一边长为6，怎样 选料可以使两个三角形相似？
注意：6可以是最长边，也可以是 最短边，还可以是最短与最长之间 的边。由此：有三种情况
已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条 件判断它们是否相似.
(1)∠B＝∠B’＝75°， ∠C＝50°， ∠A’＝55°
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
A
c
b
A’
c’ b’
Ba
C B’ a’ C’
△ABC与△A’B’C’都是等边三角形
是否有△ABC∽△A’B’C’
A
A’
c
b
Ba
C
c b1 B’ 1 a1 C’
解:∵△ABC与△A’B’C’都是等边三角形
a b c且a' b' c'
a b＝c a' b' c'
△ABC ∽△A' B' C'
交流展示、揭示新知
4.4.3 探索三角形相似的条件
回顾与反思
1、三角形相似有哪些判定方法？ 2、两个全等三角形一定相似吗？ 两个相似三角形一定全等吗？
交流讨论
在△ABC与△DEF 中，如果 AB BC CA k，
DE EF FD
(1)当K=1时， △ABC与△DEF 有什么关系? (2)当K≠1时， △ABC与△DEF 有什么关系?
D A
B
CE
F
探索:
三边对应成
A
比例
A’
B
C B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
归纳：
A
B
C
E
数学表达式：
D
在△ABC和△DEF中， ∵ AB BC CA
F DE EF FD
∴△ABC∽△DEF
问题:两个等边三角形一定相似吗？
两个三角形相似的判定方法： (1)两角对应相等的两个三角形相似.
(2) 两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似.
C'
6
4
C
3
2
A'
5 B'
A
B
2.5
梳理知识、自我升华
如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？ 你有哪些判断方法？
试一试：
(1) 在△ABC和△A′B′C′中， 已知：AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm， A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． 判定△ABC与△ A′B′C′是否相似，说明理由．
(2)一个三角形三边的长分别为6cm，9cm， 7.5cm， 另一个三角形三边的长分别为 12cm，10cm，8cm，这两个三角形相似吗？ 为什么？
例题欣赏
如图，已知 AB BC CA
BD BE ED
求证：∠ABD＝∠CBE
B
证明：∵
∴ △ABC∽△DBE
A
D C
E
∴∠ABC＝∠DBE
∵∠ABD- ∠DBC ＝∠DBE- ∠DBC