高数(经济数学-微积分) 3-1
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大一高数D3_1中值定理
二、拉格朗日中值定理
1. 几何现象:如图
y
C
y f ( x)
B
C
A
o
a
1
x
2 b
x
若函数y = f (x)代表的曲 线连续. 除端点外处处有 不垂直于x轴的切线. 则 在曲线上至少存在一点 C，使曲线在 C点的切线 平行于曲线两端点的连 线AB .
拉格朗日（Lagrange）中值定理
( 2)
在[1,3]上连续, 在( 1,3)上可导, 且 f ( 1) f ( 3) 0, f ( x ) 2( x 1), 取 1, (1 ( 1,3)) f () 0.
注
① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等；
这三个条件只是充分条件，而非必要条件
(1)
如果函数 f(x)在
闭区间[a , b]上连续,在开区间( a , b ) 内可导,那么在
( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ，使等式
f ( b ) f ( a ) f ' ( )(b a ) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b).
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使 y x0 2 x x0 0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。 例如, y x , x [2,2];
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 f ( x ) 0. 一切条件, 但在内找不到一点能使
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
3-1高等数学(3.1)
y f (x)
O x0
f (x0 ) 0
x0
x
3.费尔马定理的证明 以x U (x0 )时f (x) f (x0 )为例证明：
x
U
( x0
)，当x
x0时,
f
(x) x
f (x0 x0
)
0,
当x
x0时,
f
(x) x
f (x0 x0
)
0.
Q f (x0 )存在， f (x0 ) f(x0 ) f(x0 ),于是
3.拉格朗日定理的证明
我们使用罗尔定理来证明拉格朗日定理.为此， 必须根据拉格朗日定理的条件，构造出一个满足罗尔
定理条件的辅助函数(x).关键在于使得(a) (b).
通常有两种方法：一是几何法，另一是分析法.
证法1
y
L : y f (x)
f (a)
Ll: a
l : y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
tan x sec2 x.Q x
0,
π 2
,sec2
1
cos2
1, tan x
x.
(3)当x 0时,显然等号成立.余下的今后有简便证法，
此处略.
四、柯西中值定理
1.定理3(柯西定理)
若f (x), g(x)满足下列2个条件：
（1）f (x), g(x)在闭区间[a, b]上连续；
(3)x 0,
π 2
,sin x tan x 2x.
证 (1)当x 0时,显然等号成立.
x 0,设f (x) sin x,则f (x)在[0, x]上满足微分中值定
O x0
f (x0 ) 0
x0
x
3.费尔马定理的证明 以x U (x0 )时f (x) f (x0 )为例证明：
x
U
( x0
)，当x
x0时,
f
(x) x
f (x0 x0
)
0,
当x
x0时,
f
(x) x
f (x0 x0
)
0.
Q f (x0 )存在， f (x0 ) f(x0 ) f(x0 ),于是
3.拉格朗日定理的证明
我们使用罗尔定理来证明拉格朗日定理.为此， 必须根据拉格朗日定理的条件，构造出一个满足罗尔
定理条件的辅助函数(x).关键在于使得(a) (b).
通常有两种方法：一是几何法，另一是分析法.
证法1
y
L : y f (x)
f (a)
Ll: a
l : y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
tan x sec2 x.Q x
0,
π 2
,sec2
1
cos2
1, tan x
x.
(3)当x 0时,显然等号成立.余下的今后有简便证法，
此处略.
四、柯西中值定理
1.定理3(柯西定理)
若f (x), g(x)满足下列2个条件：
（1）f (x), g(x)在闭区间[a, b]上连续；
(3)x 0,
π 2
,sin x tan x 2x.
证 (1)当x 0时,显然等号成立.
x 0,设f (x) sin x,则f (x)在[0, x]上满足微分中值定
高二选修3-1数学知识点
高二选修3-1数学知识点高二选修3-1数学知识点主要包括以下内容：函数与导数、定积分与不定积分、微分方程和空间解析几何。
下面将对这几个知识点进行详细的介绍。
一、函数与导数函数是数学中的基本概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在高中数学中，我们主要研究了一元函数和二元函数。
一元函数表示一个自变量和一个因变量之间的关系，而二元函数则表示两个自变量和一个因变量之间的关系。
导数是函数的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数可以用来求函数的切线方程、极值和最值等问题。
在求导的过程中，需要掌握常见函数的导数公式和求导法则，如常数函数、多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
二、定积分与不定积分定积分是求曲线与坐标轴围成的图形的面积的一个重要工具。
在求解定积分时，我们需要先找到曲线与坐标轴的交点，再将曲线分成若干矩形区域，通过极限过程求和得到图形的面积。
定积分的求解需要掌握基本的积分公式和换元积分法等技巧。
不定积分是求函数的原函数的逆运算，也称为积分。
在求解不定积分时，我们需要找到一个函数的导函数，即该函数的原函数。
不定积分的求解需要掌握基本的积分公式、分部积分法和换元积分法等技巧。
三、微分方程微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了导数或微分。
在求解微分方程时，我们需要找到函数的一个或多个未知函数，并求出满足方程的函数表达式。
常见的微分方程类型有一阶线性微分方程、一阶可分离变量微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程等。
四、空间解析几何空间解析几何是将代数方法应用于几何问题的一个分支，它主要研究了空间中的点、线、面以及它们之间的关系。
在解析几何中，我们需要掌握空间直角坐标系的表示方法、点、线、面的方程、距离公式以及空间曲线的方程等。
综上所述，高二选修3-1数学知识点包括函数与导数、定积分与不定积分、微分方程和空间解析几何。
这些知识点在高中数学中扮演着重要的角色，不仅对学习其他学科有帮助，也为今后的学习和工作打下了坚实的基础。
数学分析3-1习题答案
数学分析3-1习题答案数学分析是大学数学学科的一门重要课程，它是数学的基础和核心内容之一。
而数学分析3-1是数学分析课程中的一个重要章节，涵盖了很多重要的概念和方法。
本文将针对数学分析3-1的习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 习题一：计算函数极限题目：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
解答：我们可以利用泰勒展开的方法来计算这个极限。
根据泰勒展开的公式，我们有sinx = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...，将这个展开式代入极限表达式中，得到：lim(x→0)(sinx/x) = lim(x→0)((x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...)/x) =lim(x→0)(1 - (x^2)/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7! + ...)由于极限lim(x→0)(x^n) = 0，其中n为正整数，所以我们可以得到：lim(x→0)(sinx/x) = 1因此，这个极限的值为1。
2. 习题二：证明函数的连续性题目：证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是连续的。
解答：要证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是连续的，我们需要证明它在该区间的任意一点x0处满足极限lim(x→x0)f(x) = f(x0)。
首先，我们可以计算函数f(x)在x0处的极限：lim(x→x0)f(x) = lim(x→x0)x^2 = x0^2然后，我们需要证明这个极限等于f(x0)。
根据函数f(x) = x^2的定义，我们有f(x0) = x0^2。
因此，我们可以得到：lim(x→x0)f(x) = f(x0)这说明函数f(x)在区间[-1, 1]上是连续的。
3. 习题三：求函数的导数题目：求函数f(x) = e^x的导数。
解答：要求函数f(x) = e^x的导数，我们可以利用导数的定义和指数函数的性质来计算。
高中数学人教新课标A版选修3-1第五讲 微积分的诞生三莱布尼茨的“微积分”
柯 西
魏 尔 斯
特
拉
斯
人类精神的最高胜利
由于牛顿和莱布尼茨的努力，使微积分 成为一门独立学科.利用微积分,掀开了众多 科学问题和自然界的奥秘，也刺激了许多新 的数学学科的兴起.微积分这门学科到达今天 这样精美周密的程度，是众多数学家两个多 世纪辛勤耕耘的结果.因而微积分的创建，被 恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”.
牛顿和莱布尼茨以后的微积分
在牛顿和莱布尼茨之前，微分与 积分被当作两种数学运算、两类数学 问题分别加以研究.只有牛顿和莱布尼 茨明确找出了两者的关系：微分与积 分是互逆的两种运算.这正是建立微积 分学的关键所在.
在整个18世纪，微积分进一步深入 发展，这种发展与应用紧密交错在一起， 刺激和推动了许多新的数学分支的产生， 从而形成了“数学分析”这个新兴的数 学领域.18世纪可以说是数学分析的时代， 也是近代数学向现代数学过渡的重要时 期.
过程与方法
• 结合学生已经学过的数学知识，对莱布尼 茨的数学贡献有更深的了解.
情感态度与价值观
• 了解数学或科学的巨大进步，总是建立在 许多人几十年乃至上百年中做出的一点一滴 的贡献之上.
教学重难点
重点
•莱布尼发展微积分学说的过程，以及理 解微积分的产生是人类精神的最高胜利.
难点
•理解微积分的产生是人类精神的最高胜 利.
1675年末，莱布尼茨给出了微积分 基本定理，即后世所称的牛顿——莱布 尼茨公式
b df(x)dx = f(b) - f(a)，
a dx
这个定理说明：作为求和过程的积分 是微分的逆运算.这个公式把微积分的两 个方面——微分和积分联系起来.
两种学说的比较
相同点
莱布尼茨发明的微积分与牛顿发明的 流数术本质上是一样的.两人都使微积分 成为普遍适用的算法，同时又都明确建立 了面积问题与求切线问题的互逆关系.使 瞬时速度、切线、极值和求积等问题有了 统一的解决途径和锋利武器.
经济数学微积分
在微分部分，本书介绍了微分的定义、计算方法和微分在经济学中的应用，如最优化问题、经济 增长等。
在积分部分，本书介绍了积分的定义、计算方法和积分在经济学中的应用，如总成本曲线、总收 益曲线等。
在级数和常微分方程部分，本书介绍了级数的定义、计算方法和级数在经济学中的应用，如经济 增长模型、人口增长模型等。本书也介绍了常微分方程的定义、解法和常微分方程在经济学中的 应用，如经济增长模型、人口增长模型等。
阅读感受
在阅读《经济数学微积分》这本书的过程中，我深感其内容的深度和广度， 以及它如何将数学与经济学巧妙地结合在一起。这本书不仅为我揭示了微积分的 魅力，也让我理解了它如何被广泛应用于经济学中。
这本书的结构和内容非常出色。它以一种清晰、直接的方式介绍了微积分的 基本概念，例如函数、导数和积分，以及它们在经济学中的应用。通过大量的例 子和练习题，作者吴传生让我更好地理解了微积分的原理和应用。书中的图表和 解释也使微积分的学习变得相对容易。
定积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的总值。 这一部分介绍了定积分的概念、性质和计算方法，同时还介绍了定积分在实际问 题中的应用，如面积、体积的计算等。
这一部分介绍了多元函数的微分学和重积分，包括偏导数、全微分、多重积 分等概念和计算方法。这些概念和技巧在实际问题中的应用也非常广泛，如空间 几何、物理学、经济学等领域。
经济数学微积分
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
关键字分析思维导图
介绍
极限数学方法ຫໍສະໝຸດ 帮助知识分析
经济
微积分
经济学 应用
掌握
在积分部分，本书介绍了积分的定义、计算方法和积分在经济学中的应用，如总成本曲线、总收 益曲线等。
在级数和常微分方程部分，本书介绍了级数的定义、计算方法和级数在经济学中的应用，如经济 增长模型、人口增长模型等。本书也介绍了常微分方程的定义、解法和常微分方程在经济学中的 应用，如经济增长模型、人口增长模型等。
阅读感受
在阅读《经济数学微积分》这本书的过程中，我深感其内容的深度和广度， 以及它如何将数学与经济学巧妙地结合在一起。这本书不仅为我揭示了微积分的 魅力，也让我理解了它如何被广泛应用于经济学中。
这本书的结构和内容非常出色。它以一种清晰、直接的方式介绍了微积分的 基本概念，例如函数、导数和积分，以及它们在经济学中的应用。通过大量的例 子和练习题，作者吴传生让我更好地理解了微积分的原理和应用。书中的图表和 解释也使微积分的学习变得相对容易。
定积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的总值。 这一部分介绍了定积分的概念、性质和计算方法，同时还介绍了定积分在实际问 题中的应用，如面积、体积的计算等。
这一部分介绍了多元函数的微分学和重积分，包括偏导数、全微分、多重积 分等概念和计算方法。这些概念和技巧在实际问题中的应用也非常广泛，如空间 几何、物理学、经济学等领域。
经济数学微积分
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
关键字分析思维导图
介绍
极限数学方法ຫໍສະໝຸດ 帮助知识分析
经济
微积分
经济学 应用
掌握
人教A版高中数学选修3-1--5.1-微积分产生的历史背景-课件(共23张PPT)
二、微积分的萌芽
（2）外国数学家的极限、积分思想
◆ 欧几里得(公元前330年～前275年)是古希腊数 学家，以其所著的《几何原本》闻名于世，其中 对不可约量及面积与体积的研究，包含了穷竭法 的萌芽。
◆ 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决 抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和 旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分 学的思想。
五、微积分创立的历史意义
4、其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己 独立研究，在大体上相近的时间里先后完成 的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布 尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分 这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。 他们的研究各有长处，也都各有短处。那时 候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论 竟从1699年始延续了一百多年。
由点、线、面的连续运动产生的，
否定了以前自己认为的变量是无穷
小元素的静止集合。他把连续变量
叫做流动量，把这些流动量的导数
叫做流数。牛顿在流数术中所提出
的中心问题是：已知连续运动的路
径，求给定时刻的速度（微分法）；
已知运动的速度求给定时间内经过
的路程(积分国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分 的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于
布
怪的名字《一种求极大极小和切线的新方
尼
法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一
茨
片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意
义。他以含有现代的微分符号和基本微分
法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积
分学的文献。他是历史上最伟大的符号学
者之一，他所创设的微积分符号，远远优
于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大
高数3-1
6
有几个实根，并指出它们所在的区间。 方程 f ' ( x ) = 0 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解 由罗尔定理： 由罗尔定理： ξ 1 ∈ (1,2 ), 使得 f ' (ξ 1 ) = 0. ∃
的导数， 例2 不用求函数 f ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)的导数，说明 上连续， 内可导， 显然函数 f ( x )在 [1,2]上连续，在 (1,2 )内可导， f (1) = f (2 ) = 0, 且 同理 ∃ξ 2 ∈ (2,3 ), ξ 3 ∈ (3,4 ), 使得 f ' (ξ 2 ) = 0, f ' (ξ 3 ) = 0. 即 ξ 1、 ξ 2、 ξ 3都是方程 f ' ( x ) = 0 的根。 的根。 为三次方程，它最多有三个根。 注意到 f ' ( x ) = 0为三次方程，它最多有三个根。 我们已经找到它的三个实根 ξ 1、 ξ 2、 ξ 3 , 的全部根。 所以这三个根就是方程 f ' ( x ) = 0 的全部根。
f 则 ( x)在 间a,b) 是 数 数 区 ( 内 常 函 .
∀ x1 , x 2 ∈ ( a , b )(不妨设 x1 < x 2 ),
函 f 若 数 (x)在 间 a,b） 的 数 为 , 区 （ 内 导 恒 零
则 f ( x ) 在 [ x 1 , x 2 ] 上满足拉格朗日定理的条件
f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ )( x2 − x1 ) = 0,
π π 5 是初等函数， （函数 y = lnsin x是初等函数， 且当 x∈ , 时，sin x > 0, 6 6 cos x π π 5 定义域内的一部分； 即 , 是 y = lnsin x定义域内的一部分； y'= sinx = cot x.) 6 6 5π 1 π ln = ln . 且 sin = ln sin 6 6 2 cos x π π 5π 令 y'= = cot x = 0, x= ∈ , . 得 sin x 2 6 6 π π 5π 即∃ ξ = ∈ , , 使得 f ′(ξ ) = 0. 2 6 6
有几个实根，并指出它们所在的区间。 方程 f ' ( x ) = 0 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解 由罗尔定理： 由罗尔定理： ξ 1 ∈ (1,2 ), 使得 f ' (ξ 1 ) = 0. ∃
的导数， 例2 不用求函数 f ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)的导数，说明 上连续， 内可导， 显然函数 f ( x )在 [1,2]上连续，在 (1,2 )内可导， f (1) = f (2 ) = 0, 且 同理 ∃ξ 2 ∈ (2,3 ), ξ 3 ∈ (3,4 ), 使得 f ' (ξ 2 ) = 0, f ' (ξ 3 ) = 0. 即 ξ 1、 ξ 2、 ξ 3都是方程 f ' ( x ) = 0 的根。 的根。 为三次方程，它最多有三个根。 注意到 f ' ( x ) = 0为三次方程，它最多有三个根。 我们已经找到它的三个实根 ξ 1、 ξ 2、 ξ 3 , 的全部根。 所以这三个根就是方程 f ' ( x ) = 0 的全部根。
f 则 ( x)在 间a,b) 是 数 数 区 ( 内 常 函 .
∀ x1 , x 2 ∈ ( a , b )(不妨设 x1 < x 2 ),
函 f 若 数 (x)在 间 a,b） 的 数 为 , 区 （ 内 导 恒 零
则 f ( x ) 在 [ x 1 , x 2 ] 上满足拉格朗日定理的条件
f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ )( x2 − x1 ) = 0,
π π 5 是初等函数， （函数 y = lnsin x是初等函数， 且当 x∈ , 时，sin x > 0, 6 6 cos x π π 5 定义域内的一部分； 即 , 是 y = lnsin x定义域内的一部分； y'= sinx = cot x.) 6 6 5π 1 π ln = ln . 且 sin = ln sin 6 6 2 cos x π π 5π 令 y'= = cot x = 0, x= ∈ , . 得 sin x 2 6 6 π π 5π 即∃ ξ = ∈ , , 使得 f ′(ξ ) = 0. 2 6 6
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( x ) x 1，
1
( R)
1 2 1 1 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
例4 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数. 解
a xh a x (a x ) lim h 0 h ah 1 a x lim h 0 h
五、小结
思考题
1. 导数的实质: 增量比的极限,即瞬时变化率;
2. f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
四、函数可导性与连续性的关系
定理 证 凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导,
y lim f ( x 0 ) x 0 x y f ( x 0 ) x
0 ( x 0 )
x 0 x 0
y f ( x0 )x x
★ 如果 f ( x ) 在开区间a, b 内可导，且 f (a ) 及
f (b ) 都存在，就说 f ( x ) 在闭区间a, b 上可导.
例6 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1, h 0 h 0 h h f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1. h 0 h 0 h h
2.右导数:(right-hand derivatives)
f ( x0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
★ 可导的充要条件：
函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右 导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
M
y
y f ( x)
T
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
1 1 例7 求等边双曲线 y 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
a x ln a .
即
(a x ) a x ln a .
( e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数.
解
y lim
log a ( x h) log a x h 0 h h log a (1 ) x 1 lim h 0 h x x x 1 h h 1 lim log a (1 ) log a e . x h 0 x x
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
lim y lim [ f ( x 0 )x x ] 0
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不一定存在导数.
1. 函数 f ( x )连续 , 若 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0 为函数 f ( x ) 的角点 ,函数在角点不可导 .
a a
1 即(log x) log e. x
1 (ln x) . x
3. 单侧导数
1.左导数:(left-hand derivatives)
f ( x0 ) lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) lim ; x 0 x x0 x
的区别是：一个是数值，另一个是函数．两者 的联系是：在某点 x0 处的导数 f ( x0 )即是导函 数 f ( x ) 在 x0 处的函数值．
练习题
一、 填空题： 1、 设 f ( x ) 在 x x 0 处可导，即 f ( x 0 ) 存在，则 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim _________ , x 0 x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim _________ . x 0 x x2 3 x2 1 2 2、 设 y1 ( x ) 3 x , y 2 ( x ) 2 , y 3 ( x ) ,则 5 x x dy1 它们的导数分别为 =___________________ ， dx dy2 dy3 =_____________ ， =_____________ . dx dx
当 t t 0时,Байду номын сангаас取极限得
t
g(t 0 t) 瞬时速度v lim gt 0 . t t0 2
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
MN 0, NMT 0.
二、导数的定义(derivative)
1. 函数在一点处的导数与导函数
定义
设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内) 时, 因变量 y相应地取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0 时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
例如,
y
y 3 x 1
f ( x ) 3 x 1,
在 x 1处不可导.
0
1
x
1 例8 讨论函数 f ( x ) x sin , x 0, x 0, x0 在x 0处的连续性与可导性 .
1 解 sin 是有界函数 , x 1 lim x sin 0 x 0 x f (0) lim f ( x ) 0 f ( x )在x 0处连续. x 0 1 (0 x ) sin 0 1 y 0 x sin 但在x 0处有 x x x y 当x 0时, 在 1和1之间振荡而极限不存在. x f ( x )在x 0处不可导.
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率 的极限函数.
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2. 求导数举例
步骤: (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
例1 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
f ( x h) f ( x ) C C 解 f ( x ) lim 0. lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0.
例2 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解
例3 求函数 y x n (n为正整数) 的导数. 解
( x h) n x n ( x n ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
( x n ) nx n 1 .
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
三、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
例如,
x2, f ( x) x, x0 , x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x )的角点.
2. 设函数 f ( x )在点 x0连续, 但 y f ( x 0 x ) f ( x0 ) lim lim , x 0 x x 0 x 称函数 f ( x )在点 x0有无穷导数(不可导) .
不连续,一定不可导.
6. 判断可导性
连续
直接用定义;
看左右导数是否存在且相等.
思考题
函数 f ( x ) 在某点x 0 处的导数 f ( x 0 ) 与导函数 f ( x ) 有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的 数值， f ( x ) 是由于 f ( x ) 在某区间 I 上每一 点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x )与之对应，所以两者
第一节 导数概念
一、问题的提出 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系 五、小结 思考题