山东省青岛市崂山区育才学校2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册第一次月考试卷(

山东省青岛市崂山区育才学校2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册第一次月考试卷（九月第一二章）考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，AE:DE =4:3，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE =3cm ；②BE =1cm ；③S 菱形=15cm 2；④AC =2√10cm ．A.4个B.3个C.2个D.1个2.方程(3x −1)(2x +4)=1的解是（ ） A.23或−32 B.5±√56C.−5±√556D.233.有下列方程：①t 2=2；②(2x 2−1)2−7x =9；③2(x −3)=−4+3x ；④2x −√3x 2−5=0；⑤x 3−x 2=0；⑥y4−y 2=1．其中，是一元二次方程的有（ ）A.①②③B.②③④C.①②⑥D.①④⑥4.下列说法正确的是（ ）A.一组邻边相等，一组对边平行的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形5.关于x 的方程(m +1)x 2−4x −1=0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A.m >−5 B.m ≥−5且m ≠−1C.m >−5且m ≠−1D.m ≥−5 6.若关于x 的方程x 2+(m +1)x +12=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是（ ）A.−52B.12C.−52或12D.17.用配方法解方程13x 2−x −4=0，配方后得（ ） A.(x −32)2=394B.(x −32)2=−394C.(x −32)2=574D.(x −32)2=12 8.在矩形ABCD 中，∠AOB =120∘，AD =3，则AC 为（ ） A.1.5 B.3 C.6 D.9 9.已知方程(x +1)(x −1)=(x −1)，则x 的值为（ ） A.−1 B.1或0 C.0 D.−1或010.如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60∘，则它们重叠部分的面积为（ ）A.1B.2C.√3D.2√33二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）11.如果四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD 是________形，如果∠AOB =60∘，则AB:AC =________．12.如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，若通道的宽设计成xm，则阴影部分的面积是________m2（用含x的代数式表示）13.若关于x的方程(k−1)x2−4x−5=0有实数根，则k的取值范围是________．14.如图，先画一个边长为1的正方形，以其对角线为边画第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边画第三个正方形，…，如此反复下去，那么第n个正方形的对角线长为________．15.某校八年级有一部分同学的生日在同一天，在生日聚会上每两位同学之间都要交换一次生日礼物，别人所赠礼物必须由自己保存，交换的礼物共有56件，则生日在同一天的同学有________位．16.要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是________．（填一个正确的条件即可）17.方程x(x+2)=0的根是________．18.某公司今年4月份营业额为100万元，6月份营业额达到121万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为________．19.△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACB=45∘，AD=2，DB=3，则△ABC的面积是________．20.欢欢到商店买一块手帕（四边形），为了检验这块手帕是否是方的（正方形），她的做法如下：第①步：分别以对角线为折叠线进行折叠，结果另两个顶点都能互相重合；第②步：以一组对边的中点所在的直线为折叠线进行折叠，四个顶点两两重合．结果欢欢认定这块手帕是方的．其中步骤①验证了手帕是________（填“平行四边形”、“矩形”或“菱形”）．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.解方程(1)(2x−1)2=9(2)(x+1)(x+2)=2x+4(3)x2+3x−4=0(4)x2+4x=2．22.如图：已知：AD是△ABC的角平分线，DE // AC交AB于E，DF // AB交AC于F．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？23.如图，O为菱形ABCD对角线的交点，DE // AC，CE // BD．(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；(2)若AC=6，BD=8，求线段OE的长．24.已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45∘，连接MN．(1)若正方形的边长为a，求BM⋅DN的值．(2)若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．25.已知，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG // AD，NF // AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E．(1)如图1，求证：四边形AMEN是菱形；(2)如图2，连接AC在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积相等的四边形．26.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数；小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于________．（直接写答案）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2√2，PB=1，PD=√17．(2)求∠APB的度数；(3)求正方形的边长．答案1.B2.C3.D4.C5.D6.C7.C8.C9.B10.D11.矩√3:312.(70x−2x2)13.k≥1514.(√2)n15.816.∠A=90∘或AC=BD17.x1=0，x2=−218.100(1+x)2=12119.1520.菱形21.解：(1)∵(2x−1)2=9，∴2x−1=3或2x−1=−3，解得：x=2或x=−1；(2)∵(x+2)(x+1−2)=0，即(x+2)(x−1)=0，∴x+2=0或x−1=0，解得：x=−2或x=1；(3)∵(x−1)(x+4)=0，∴x−1=0或x+4=0，解得：x=1或x=−4；(4)∵x2+4x=2，∴x2+4x+4=2+4，即(x+2)2=6，则x+2=±√6，∴x=−2±√6．22.解：(1)证明：∵DE // AC，DF // AB，∴DE // AF，DF // AE，∴四边形AEDF是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），∴∠EAF=∠EDF（平行四边形的对角相等）；又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠EDA（平行四边形的对角线平分对角），∴AE=DE（等角对等边），∴四边形AEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；(2)由(1)知，四边形AEDF 是菱形，∵当四边形AEDF是正方形时，∠EAF=90∘，即∠BAC=90∘，∴△ABC的∠BAC=90∘时，四边形AEDF是正方形．23.解：(1)四边形OCED是矩形．理由如下：∵DE // AC，CE // BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90∘，∴四边形OCED是矩形；(2)在菱形ABCD中，∵AC=6，BD=8，∴OC=12AC=12×6=3，OD=12BD=12×8=4，∴CD=√OC2+OD2=√32+42=5，在矩形OCED中，OE=CD=5．24.解：(1)∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM=∠CDN=45∘，∴∠ABM=∠ADN=135∘，∵∠MAN=45∘，∴∠BAM+∠NAD=45∘，在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45∘，∴∠NAD=∠AMB，在△ABM和△NDA中，{∠ABM=∠ADN∠NAD=∠AMB，∴△ABM∽△NDA，∴AB DN =BMAD，∴BM⋅DN=AB⋅AD=a2；(2)以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF=AN，连接BF、FM，∵∠1+∠BAN=90∘，∠3+∠BAN=90∘，∴∠1=∠3，在△ABF和△ADN中，{AB=AD ∠1=∠3 AF=AN，∴△ABF≅△ADN(SAS)，∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135∘，∵∠FAN=90∘，∠MAN=45∘，∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45∘，在△AFM和△ANM中，{AF=AN∠FAM=∠MANAM=AM，∴△AFM≅△ANM(SAS)，∴FM=NM，∴∠FBP=180∘−∠FBA=180∘−135∘=45∘，∴∠FBP+∠PBM=45∘+45∘=90∘，∴△FBM是直角三角形，∵FB=DN，FM=MN，∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．25.(1)证明：∵MG // AD，NF // AB，∴四边形AMEN是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵BM=DN，∴AB−BM=AD−DN，∴AM=AN，∴四边形AMEN是菱形；(2)解：∵四边形AMEN是菱形，∴S△AEM=S△AEN，同理：四边形CGEF是菱形，∴S△CEF=S△CEG，∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABC=S△ADC，∴S四边形MBFE=S四边形DNEG，S四边形MBCE=S四边形DNEC，S四边形MBCG=S四边形DNFC，S四边形ABFE=S四边形ADGE，S四边形ABFN=S四边形ADGM．26.150∘．(2)如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90∘得到△ADP′，由旋转的性质，P′A=PA=2√2，P′D=PB=1，∠PAP′=90∘，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=√2PA=4，∠AP′P=45∘，∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=(√17)2=17，∴PP′2+P′D2=PD2，∴∠PP′D=90∘，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45∘+90∘=135∘，故∠APB=∠AP′D=135∘，(3)∵∠APB+∠APP′=135∘+45∘=180∘，∴点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，则AE=PE=12PP′=12×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB=√AE2+BE2=√22+32=√13．。