2014届高考数学创优导学案X4-4-2

(对应学生用书P 228 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
1．与方程y 2＝x 表示同一条曲线的参数方程是________．
①⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数); ②⎩⎨⎧
x ＝sin 2
t ，y ＝sin t
(t 为参数)； ③⎩⎨⎧
x ＝t ，y ＝|t |
(t 为参数); ④⎩⎨
⎧
x ＝1－cos 2t
1＋cos 2t ，
y ＝tan t
(t 为参数)．
解析 ①中，x ∈R ，故错误；②中，x ∈[0,1]，故错误；③中，x ∈R 故错误． 【答案】 ④
2．曲线的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－1t ，
y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是
________．
解析 由x ＝1－1t ，得t ＝1
1－x ，代入y ＝1－t 2，得
y ＝1－1
(1－x )2＝x (x －2)(1－x )2.
【答案】 y ＝
x (x －2)
(1－x )2
3．直线⎩⎨⎧
x ＝3＋at ，
y ＝－1＋4t
(t 为参数)恒过定点________．
解析 将参数方程化为普通方程得a (y ＋1)－4(x －3)＝0，令⎩⎨⎧
y ＋1＝0，
x －3＝0，解
得⎩⎨⎧
x ＝3，y ＝－1.
∴直线恒过定点(3，－1)． 【答案】 (3，－1)
4．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是________．
解析 圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心到直线的距离d ＝9
5<2，∴直线与圆相交． 【答案】 相交
5．(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧
x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝54t 2，
y ＝t
(t ∈R )，它们的交点坐标为________． 解析 由两曲线参数方程消x ，y ，t 得
5cos θ＝5
4sin 2θ，由此得5cos 2θ＋45cos θ－5＝0.
又∵0≤θ<π，∴解得cos θ＝5
5. ∴sin θ＝1－cos 2θ＝25
5.
∴⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝255.
故交点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
1，
255. 【答案】 ⎝
⎛⎭⎪⎫
1，
255 6．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝1＋t sin α，
y ＝－2＋t cos α(t 为参数)，其中实数α的范围
是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，则直线l 的倾斜角是________． 解析 直线l 的参数方程可化为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋t cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－α，y ＝－2＋t sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α
(t 为参数)，所以根据方程可知直线的倾斜角是π
2－α. 【答案】 π
2－α
7．已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直
线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的普通方程为________．
解析 直线⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点为(－1,0)．
设圆C 方程为(x ＋1)2＋y 2＝r 2，
∵圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴|－1＋0＋3|
2＝r ，
∴r ＝2，即圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝2
8．(2011·陕西高考)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线
C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．
解析 曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝4＋sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －
4)2＝1，可知C 1是以(3,4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2：ρ＝1的直角坐标方程是x 2＋y 2＝1，可知C 2是以原点为圆心，1为半径的圆，由题意知，这两个圆相离，所以|AB |min ＝(3－0)2＋(4－0)2－1－1＝5－1－1＝3.
【答案】 3
9．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎨⎧
x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上，则y
x 的取值范围为
________．
解析 曲线⎩⎨⎧
x ＝－2＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)是以(－2,0)为圆心，以1为半径的
圆，设y x ＝k ，求y
x 的取值范围，即求当直线y ＝kx 与圆有公共点时k 的取值范围，如图结合圆的几何性质可得－33≤k ≤3
3.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－33
，33
10．已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐
标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均
为π3.
(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．
解析 (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π
3，故M 点的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，
3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－1t ，y ＝3π6t
(t 为参数)．
11．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋t ，
y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为
⎩
⎨⎧ x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 解析 由⎩⎨⎧
x ＝1＋t ，
y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由
⎩⎨⎧
x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ
消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，
半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝
|2×2＋0－6|22
＋1
＝25
5，所以所求弦长为2
22－⎝
⎛⎭
⎪⎫2552＝85
5. 12．已知直线C 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参
数)．
(1)当α＝π
3时，求C 1与C 2的交点坐标；
(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解析 (1)当α＝π
3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋
y 2＝1，
解⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，
得⎩⎨
⎧
x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1
2，y ＝－3
2.
∴C 1与C 2交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
，－32.
(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0， A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12sin 2
α，y ＝－12sin αcos α
(α为参数)．
∴P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －142＋y 2＝116.
故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，0，半径为14的圆．。