数学物理方程2.1
数学物理方程
2 u ( x, t ) a t 2
ds dx
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx dx ＝ 2 x x x x x
例4、热传导
当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流 向低温处，求温度随空间时间变化的规律。 所要研究的物理量： 温度 u ( x, y, z, t ) 根据热学中的傅立叶实验定律 在单位时间内从dS流入V的热量为： u ˆ ˆ dS ku dS d Q w dS k dS k u n n 在单位时间内通过S流入V的热量为
H Jc B E t D v B 0 D t
在自由空间：
Jc 0, v 0
D E B H
E H t H E t E 0 H 0
例5、静电势
确定所要研究的物理量： 电势u
根据物理规律建立微分方程： 1 ˆ E E dS dV 0 V 0 S
u E
对方程进行化简：
E (u) u 2u / 0
2u / 0
V
M
S
热场
u 温度发生变化需要的热量为：Q c dV t V
Q1 Q2 Q
u k udV FdV c dV t V V V u k 2 F u 2 u k u c F 热传导方程 t c c t
2
u0
2u 0
大学物理 第二章 薛定谔方程
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
数学物理方程-福州大学-江飞-2.1热传导方程及其定解问题的导出
n
k
u n
k1 u
u1 uΒιβλιοθήκη k k1u nu1
一般形式：u
u n (x,y,z)
g(x, y, z,t)
或
u
u n
g
泛定方程：u t
a2
2u x2
2u y2
2u z2
f
柯 西
初始条件 u
a2u f
问 题
t0
初 边
u g
值边
热管道 1D : ut a2uxx f
t1
则有热源的热传导方程为 ut a2u f a2u F / c .
2. 扩散方程的导出
扩散物从浓度高流向浓度低
* Nerst扩散定律
在该点的扩散系数
扩散物在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷
小面积dＳ的质量dm与扩散物浓度沿曲面dＳ法线
方向的方向导数N 成正比，即
n
t1,t2
由能量守恒：Q流入 Q吸收
t2 k(x, y, z) udSdt
t1
n
N-L公式及交换下积分次
c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y序, z,t1)]dxdydz
t2 t1
ctudxdydzdt
利用高维N-L积分公式，
左端 t2 k(x, y, z) udSdt
dm D(x, y, z) N dSdt
n
因此类似热方程推导：
t2 D(x, y, z) NdSdt
t1
n
(N(x, y, z,t2) N(x, y, z,t1))dxdydz
tN(x, y, z,t) x DxN x DyN x DzN
数学物理方程 2-3章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x Iu u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
数学物理方程
数学物理方程数学物理方程是描述物理现象的数学公式，它们是物理学研究的基础。
物理学家通过对物质运动的观察和实验，总结出了许多数学物理方程，这些方程具有预测和解释自然现象的能力。
在本文中，我们将介绍一些常见的数学物理方程，并讨论它们在现实生活中的应用。
牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动的基本定律之一。
它表明，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
用数学公式表示为： F = ma其中，F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第二定律可以解释许多物理现象，例如自由落体、弹性碰撞等。
在机械工程中，牛顿第二定律被广泛应用于设计和优化机械系统。
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁现象的数学公式。
它由四个方程组成，分别是：1. 麦克斯韦第一方程：电场的散度等于电荷密度。
2. 麦克斯韦第二方程：磁场的旋度等于电场随时间的变化率。
3. 麦克斯韦第三方程：电场的旋度等于磁场随时间的变化率和电流密度的叉积。
4. 麦克斯韦第四方程：磁场的散度等于零。
麦克斯韦方程组被广泛应用于电磁学、光学、通信等领域。
它可以解释电磁波的传播、电磁感应现象等。
热传导方程热传导方程是描述热传导现象的数学公式。
它表明，热量的传导速率与温度梯度成正比。
用数学公式表示为：T/t = αT其中，T表示温度，t表示时间，α表示热传导系数，表示拉普拉斯算子。
热传导方程可以用于解决许多热传导相关的问题，例如热传导率的计算、材料的热稳定性等。
薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学现象的数学公式。
它表明，量子系统的波函数随时间演化的规律。
用数学公式表示为：iψ/t = Hψ其中，i表示虚数单位，表示约化普朗克常数，H表示哈密顿算符，ψ表示波函数。
薛定谔方程可以用于计算量子系统的能量、波函数、概率等物理量。
总结数学物理方程是物理学研究的基础。
它们可以用于解释和预测自然现象，例如牛顿第二定律、麦克斯韦方程组、热传导方程、薛定谔方程等。
这些方程在现实生活中有广泛的应用，例如机械工程、电磁学、光学、热力学、量子力学等领域。
数学物理方程现代数值方法阅读笔记
《数学物理方程现代数值方法》阅读笔记1. 数学物理方程概述数学物理方程是描述自然现象和物理过程的基础工具，它们揭示了物理世界中各种量之间的内在联系和变化规律。
随着科学技术的发展，数值计算方法在解决数学物理方程中的应用越来越广泛。
本章节将介绍数学物理方程的基本概念、分类以及在现代数值方法领域的重要性。
数学物理方程是描述物理现象中各个量之间关系的数学表达式。
根据其性质和特点，可分为微分方程、偏微分方程、积分方程等。
这些方程不仅在数学领域有着重要的应用价值，还在物理、工程、医学等领域发挥着重要作用。
数学物理方程来源于实际生活中的物理问题，通过对物理现象进行数学建模，将实际问题转化为数学形式，从而通过数学手段求解。
这些方程反映了自然界中的基本规律和现象，是科学研究的重要工具。
随着科学技术的进步，越来越多的实际问题需要通过数值计算来解决。
数值方法作为一种有效的求解数学物理方程的手段，具有广泛的应用价值。
通过数值方法，可以求解复杂的偏微分方程、积分方程等，从而揭示物理现象的本质和规律。
微分方程描述的是未知函数与其导数之间的关系，在物理学中，许多动态问题都可以通过微分方程来描述，如力学、电磁学、热力学等。
偏微分方程描述的是未知函数及其导数之间的关系，常出现在物理学中的场论问题中，如波动、扩散、热传导等。
积分方程通过积分形式描述未知函数与其他函数之间的关系，在物理学中，积分方程常应用于描述守恒定律、边界问题等。
本章节介绍了数学物理方程的基本概念、分类以及在现代数值方法领域的重要性。
数学物理方程作为描述自然现象和物理过程的基础工具，具有重要的应用价值。
随着科学技术的发展，数值计算方法在解决数学物理方程中的应用越来越广泛。
随着计算机技术的不断进步，数值方法将在数学物理方程的求解中发挥更加重要的作用。
1.1 定义与分类数学物理方程是数学与物理学紧密结合的产物，它们描述了物理学中各种现象的数学模型。
这类方程通常用于求解各种实际问题，如流体力学、热传导、电磁学等。
数学物理方程
x x0 时，对 y(x,x0,y0)， 有 y 0 ，则称 y 0 解稳定。
定义11:
设 yg(x,y)为方程 的平凡解， 00,x0, 0,y0
若 y0 ，当 x1 x时0 ，
，
有 y(x1,x0,y0)
，则 y(x)bk(x,t)y(t)dt a
y
(
x0
)
y0
称为SturmLiouville方程。
六、微分方程解的理论基础
定义8
对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：
f(x, y, y, y)0, t(, ) a1y()a2y()a3y()a4y()a5
定义9
对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：
y 0
定义10:
设为 yg(x,y) 方程 0,x0 I,(,x0)0, y0的平凡解，
一、散度与通量
设S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量
为 A(x, y, z)，则向量场 AdSAn0dS沿曲面S的第二类曲
面积分
S
S
AdS An0dS
S
S
p(x, y, z)dydzq(x, y, z)dzdxr(x, y, z)dxdy S
(px qy rz)dxdydz V
称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。
求导算子D：
梯度算子
与Laplace算子x,
, y
z
是两个最基本的算符：
x22 y22 z22
uu(x, y, z)
设为向量场，graduu为数值函数，则有
以下公式：
divA A
rot A A
2u u gradu u
( u v ) u v u v
数学物理方程数学物理第一章
偏分方程中所有最高阶 偏导数都是线性的，而 其系数
本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式 一阶线性偏微分方程的一般表达形式
u u a( x, y ) b( x, y ) c( x, y )u f ( x, y ) x y
二阶线性偏微分方程的一般表达形式
2u 2u 2u A( x, y ) 2 2 B( x, y ) C ( x, y ) 2 x xy y u u D( x, y ) E ( x, y ) F ( x, y )u G ( x, y ) 0 x y
在数学物理方程中，我们特别强调通过分析过程推测可能得到 的结论！而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意 味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都 能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么 困难。
正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与 否还需另行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严 格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路， 这是本课程中应该注意的。
2
2u
二阶线性非齐次的
三阶非线性
2
3u x y
2
ln u 0
§2方程及定解问题的物理推导
2.1、弦振动方程 2.1.1、物理模型
设有长为 l一 根 拉 紧 的 均 匀 柔 软 弦 细， 两 端 被 固 定 在 O, A 两 点 ， 且 在 单 位 长 度受 上到 垂 直 于 OA向 上 的 力 F作 用 当 它 在 平 衡 位 置 附 近垂 作直 于 OA方 向 的 微 小 横 向 振 动
18世纪著名数学家、物理学家 达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783））
弦振动的研究先驱
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1.1 有界弦的自由振动
在求解之前我们首先要声明，我们所求的解为非零。 求解过程大体分为三步。
第一步，变量分离 设 u(x,t)= X(x)T(t) (1.5)
将(1.5)代入方程(1.1)，可得 X(x)T"(t)= a2X"(x)T(t)
1.1 有界弦的自由振动
或
数学物理方程
陈有亮 上海理工大学环境与建筑学院
第2章
分离变量法和积分变换法
§1 齐次波动方程的第—边值问题 §2 齐次热传导方程的定解问题 §3 二维拉普拉斯方程 §4 非齐次定解问题的解法 §5 积分变换法 习题二
§1 齐次波动方程的第—边值问题
1.1 有界弦的自由振动 1.2 解的物理意义
1.1 有界弦的自由振动
考虑长为l，两端固定的有界弦的自由振动问题， 其可归结为如下定解问题
2 2u 2 u a ,0 x l 2 2 t x
(1.1)
u|x=0=0, u|x=l=0, t0 其中 φ(x), (x)均为已知函数。
(1.2)
u|t=0=φ(x), u/t|t=0=(x), 0x l (1.3)
1.1 有界弦的自由振动
设u(x,t)为驻波的位移函数, 在时刻t0的波形为 u(x,t0) =X(x)， 在时刻 t1的波形为u(x,t1)，则
u ( x, t1 ) T1 u ( x, t 0 )
其中T1为常数 。 再设在时刻 t2的波形为u(x,t2)，则
u ( x, t 2 ) T2 u ( x, t 0 )
对应于每一个正整数n都有一个形如(1.13)的特解, 所以, 满足 方程(1.1)和边界条件(1.2)的解有无穷多个, 但形如(1.13)的特 解不一定满足初值条件(1.3), 为了得到满足初值条件(1.3)的解, 我们把形如(1.13)的特解叠加起来, 记其和为u(x,t), 则
1.1 有界弦的自由振动
角频率和初位相作简谐振动。
该振动波还有一个特点, 就是在[0,l]范围内还有n+1个点(包括 端点) 永远保持不动, 这是因为在 xm
l
上, sin n xm sin m 0 的缘故, 这些点称为节点。这说明 un(x,t)的 振动是[0,l]上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波叫
X " ( x) 1 T " (t ) 2 X ( x) a T (t ) (1.6)
仔细分析方程(1.6)，左边仅是x的函数，右边仅是t的 函数，若要两边相等，只有两边都等于同一常数时 才有可能。设此常数为-，则
X " ( x) 1 T " (t ) 2 X ( x) a T (t ) (1.7)
这样, 具有上述系数的级数 (1.14) 在形式上既满足方程(1.1), 又满足边界条件(1.2)和初值条件(1.3), 因此, 它就是有界弦的 自由振动问题的形式解。 我们之所以说得到的是形式解，是因为有两个问题还没有解 决:(1) 级数(1.14)是否收敛;(2)u(x,t)对x,t必须两次连续可微， 方程 (1.1) 才有意义，这两点必须解决，解u(x,t)才有意义。
其中T2为另一常数 。
1.1 有界弦的自由振动
设在时刻t的波形为 u(x,t)，则
u( x, t ) Tt u( x, t0 ) (1.4)
其中Tt是一个与x无关的量，它只随时间t的变化而 变化，即T应该是时间t的函数。 由(1.4) 得 u(x,t)= u(x,t0)T(t)=X(x)T(t) 下面介绍用分离变量法求解方程 (1.1) 的全过程 。
T "n a 2T 0
的解是
Tn (t ) Cn cos
nat nat Dn sin l l
1.1 有界弦的自由振动
其中Cn, Dn为待定常数。
这样就得到满足方程(1.1)和边界条件(1.2)的可分离变量的一 系列特解为
un ( x, t ) Tn (t ) X n ( x) ( En cos nat nat nx Fn sin ) sin (1.13) l l l
在本课程的教学中, 只要求出形式解即认为问题已经最后解决。
1.1 有界弦的自由振动
根据以上求解过程可以得到用分离变量法求解方程的一般步骤:
第一步，分离变量。设u(x,t)=T(t)X(x), 代入方程, 分别得到两个关于T(t) 和X(x)的常微分方程, 并由齐边值条件可得固有值问题。
Ae
l Bel源自0 由于1 e
l
1 e
l
0
1.1 有界弦的自由振动
故A=B=0，即X(x)0, 不符合非零解的要求，因此不能 小于零。
(2) 0, 此时方程X″+X=0的通解为 X(x)=Ax+B
由条件X(0) = X(l) =0仍然得到A=B=0, 即X(x)0, 所以也 不能等于零。 (3) 0, 此时方程X″+X=0的通解为
u ( x, t ) ( En cos
n 1
nat nat nx Fn sin ) sin l l l
(1.14)
下面的问题是如何选取待定系数En,Fn, 以使整个级数满足初 值条件(1.3), 将初值条件代入 (1.14), 可得
u ( x,0) ( x) En sin
1.1 有界弦的自由振动
考虑长为l，两端固定的有界弦的自由振动问题，其可归 结为如下定解问题
此定解问题的方程和边值条件都是齐次的，而初值条件是 非齐次的。 先对有界弦振动过程中的波形进行分析。 波形表示波在传播过程中的真实形状(瞬间) ，即若选定 一个坐标轴轴的话，它表示某时刻各点处的位移分布。试 验表明，驻波在不同时刻各点处的位移按同一比例增减。
1.2 解的物理意义
下面来分析解的物理意义。
u ( x, t ) un ( x, t ) Tn (t ) X n ( x) ( En cos
n 1 n 1 n 1
nat nat nx Fn sin ) sin l l l
最终的解是一个无穷级数, 我们来分析其中的任意项un(x,t)。
1.1 有界弦的自由振动
为了解决这两个问题, 只需给φ(x)和(x)加一些约束条件即可。 对于这里讨论的有界弦的自由振动问题, 我们假设φ(x)三次连 续可微, (x)二次连续可微, 且φ(0)=φ(l) =φ"(0) =φ"(l)=(0)=(l) =0。可以证明，给出上述约束条件后，问 题(1.1)-(1.3)的解存在,且可以用(1.14)的形式给出, 系数En,Fn 由 (1.15) 确定。证明过程此处不再赘述。
un ( x, t ) ( En cos nat nat nx n Fn sin ) sin An cos( nt n ) sin x l l l l
n x0 Bn cos( nt n ) l
若固定取一点x=x0, 则
un ( x0 , t ) An cos( nt n ) sin
方程(1.12)中含有待定常数, 且的值对问题的解有很大影响。 对 (1.12)这样要讨论问题的非零解必须先讨论的值的问题， 称为固有值(或特征值)问题，使问题 (1.12)有非零解的称为该 问题的固有值(或特征值), 相应的非零解X(x)称为它的固有(或 特征) 函数。
1.1 有界弦的自由振动
第二步，求解固有值问题。对分三种情况来讨论:
(1) 0 (2) 0 (3) 0
1.1 有界弦的自由振动
(1) 0, 此时方程X″+X=0的通解为
X ( x) Ae
x
Be
x
由条件X(0) = X(l) =0, 可得 A*1+B*1=0
1.1 有界弦的自由振动
由(1.7) 可以得到如下两个常微分方程
X " ( x) X ( x) 0 (1.8)
T " (t ) a 2T (t ) 0 (1.9) 由u(x,t)=X(x)T(t)和边界条件 (1.2)可得
X(0)T(t) =0, X(l)T(t) =0 (1.10)
由于要求的解为非零解，故 u(x,t) 0, 则T(t) 0, (1.10) 变为
1.1 有界弦的自由振动
X(0) = X(l) =0 (1.11)
先通过解如下方程解出X(x)
X " ( x) X ( x) 0 X (0) X (l ) 0 (1.12)
它表示横坐标为x=x0的点的简谐振动，振幅为Bn, 角频率为n, 初位相为n。 若固定一个时刻t=t0, 则
un ( x, t0 ) An cos( nt0 n ) sin n n ' x An sin x l l
它表示一条正弦曲线。
1.2 解的物理意义
un(x,t)=Tn(t)Xn(x) 表示的就是一个振动波, 弦上各点以相同的
第二步，求解固有值问题，即解出固有值以及固有函数。
第三步，确定系数。由选定的固有值来求T(t), 进而得到一系列特解，然 后利用叠加原理叠加特解得到一个无穷级数解，并由初始条件确定无穷 级数解的系数。 在处理工程问题时，为了更贴近工程实际，减小误差，我们一般都是在 三维空间中考虑问题。上述求解过程可以推广到三维情况。
X ( x) A cos x B sin x
1.1 有界弦的自由振动
由条件X(0) = X(l) =0, 可得
X (0) A 1 B 0 0 X (l ) A cos l B sin l 0