六年级数学下册方程、计数、最值、行程等问题中的数论综合(上)
小升初培优之数论之最值、计数、行程综合(二)
数论最值 (★★) 【例1】 一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除， 则这个数最小是多少？
(★★☆) 【例2】 请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一 个五位数，使它是99的倍数.这个五位数最大是多少？
1
(★★)多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可 【拓展】 以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个 数字整除，求这样的A的最小值.
【今日讲题】 例2，例3，例4 【讲题心得】 _________________________________________________ ____________________________________. 【家长评价】 ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________.
二轮复习——数论之最值、计数、行程综合（二）
本讲主线 1、最值问题 2、因数、倍数问题
知识要点屋 1. 整除特征. ⑴ 截断求和：3、9、99. ⑵ 截断求差：11 奇数位数字之和与偶数位数字之和的差÷11 ⑶ 三位一段，求差：7、11、13、1001 2. 位值原理：125=1 100 2 10 5 1
行程问题 (★★★) 【例5】 有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80 米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米.已知操场跑道周 长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几 分钟后，三个人可以首次相聚？
(★★★)如图，三条圆形跑道，每条跑道的长都是0.5 【拓展】 千米，A、B、C三位运动员同时从交点O出发，分别 沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每 小时8千米，每小时6千米.问：从出发到三人第一次相 遇，他们共跑了多少千米？
小学数学必考的四类行程问题，解题就按这个思路来！
小学数学必考的四类行程问题，解题就按这个思路来！行程问题是小学数学考试的四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。
今天我们一起学习一下如何解决这一类问题！1【一般相遇追及问题】包括一人或者二人时(同时、异时)、地(同地、异地)、向(同向、相向)的时间和距离等条件混合出现的行程问题。
建议熟练应用标准解法，即s=v×t结合标准线段画图(基本功)解答。
由于只用到相遇追及的基本公式即可解决，在解题的时候，一旦出现比较多的情况变化时，结合自己画出的图分段去分析情况。
例题甲乙两人相距200米，甲每分钟走45米，乙每分钟行55米。
几分钟后两人相距500米？分析与解：1.反方向运动：相背：(500-200)÷(45+55)=300/100=3（分钟）相遇再相背：(500+200)÷(45+55)=700/100=7（分钟）2.同方向运动：追上再超过：(500+200)÷(55-45)=700/10=70（分钟）追不上：(500-200)÷(55-45)=300/10=30（分钟）展开剩余84%2【复杂相遇追及问题】（1）多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
比一般相遇追及问题多了一个运动对象，即一般我们能碰到的是三人相遇追及问题。
解题思路完全一样，只是相对复杂点，关键是标准画图的能力能否清楚表明三者的运动状态。
例题有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?（2）多次相遇追及问题即两个人在一段路程中同时同地或者同时异地反复相遇和追及，俗称“反复折腾型问题”。
分为标准型(如已知两地距离和两者速度，求n次相遇或者追及点距特定地点的距离或者在规定时间内的相遇或追及次数)和纯周期问题(少见，如已知两者速度，求一个周期后，即两者都回到初始点时相遇、追及的次数)。
第9讲 数论综合(讲义)人教版六年级下册数学
第9讲小升初专项复习（6）——数论综合思维启航一、训练目标知识传递：掌握数论的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。
能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。
思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。
二、知识与方法归纳1．数的整除（1）熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。
（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。
（4×25=100）（3）一个数的末三位数能被8或125整除。
那么这个数就能被8或125整除。
（8×125=1000）（4）一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。
另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。
（很常用，请牢记。
）（7×11×13=1001）（5）如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。
即如果c︱a，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。
（6）如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。
即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。
（7）如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。
即如果a︱b，b︱c，则a︱c。
（8）如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。
即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。
2．奇数和偶数（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。
反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。
小六数学第21讲：数论综合(学生版)
第二十一讲数论综合数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
基本公式1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a× p22a×...×p k k a（#)其中p1<p2<...<p k为质数，a1,a2,....a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
4.约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(a k+1)所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+P k+P k2+…p k k a）5.用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
6.自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
7.平方数的总结：①平方差：A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。
④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。
8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
9.周期性数字：abab=ab×1011.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。
小学六年级奥数课件：数论问题
一、 整除的特征：
（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数. （2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数. （3）5的倍数特征：末位数是0或5. （4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数. （5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数. （6）11的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数.
二、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。 唯一分解定理：N a1p1 a2 p2 a3 p3 an pn (a1、a2an 为N不同的质因数）
那么N的因数个数n=（1+p1）×(1+p2) × …(1+pn) 三、辗转相除法
辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。 就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余
原数：A1994BC
（2）七位数可被8整除,则后三位数"4B0"可被8整除,
故B只能为0、4或8。
（3）七位数又能被9整除,则各位数字之和可被9整除.
故当B=0时,A=4; 当B=4时,A=9; 当B=8时,A=5.
所以符合条件的七数为4199400、9199440或5199480。
例3. 求281
x+y=101 x=50
y-x=1
51× 51=2601（人）
课后作业
2001个连续的自然数之和为a× b× c× d，若a、b、c、d都 是质数，则a+b+c+d的最小值是多少？
解析
辗转相除法求最大公因数 2821÷ 1519=1……1302 1519÷ 1302=1……217 1302÷ 217=6 （2821,1519）=217
例4.有一个三位数，被4除余1， 被5除余4，被7除余2，这个 数最小是多少？
高思数学_6年级下第四讲数论与方程.pdf
数论是研究自然数规律的学科，至今我们已经学过了整除、同余、约数、倍数等许许多多的数论知识，了解了很多与自然数有关的现象与规律．这些规律都颇为优美而实用，帮我们解决了很多问题．为了进一步挖掘这些规律的本质，我们需要引进用字母表示数的想法，将数论与代数，尤其是方程结合起来．2的个位数字是多少，考虑数列2，22，32，42，…，用余数可替代性比如，求100结合找规律的想法，发现该数列每一项的个位数字组成的数列是以4为周期的：2，4，8，6，2，4，8，6，…，因而1002的个位数字与42的个位数字相同，故个位数字为6．那么为什么会有“4”这一个周期呢？用代数方法很容易说明：对任意正整数n ，由于()4422221215n n n n +−=−=×（其中15是5的倍数，2n 是2的倍数），故422n n +−一定是10的倍数，所以42n +与2n 个位数字相同．引入代数思想，能帮助我们很好地解释数论中存在的各种规律．当然，要熟练地应用代数思想来解释数论规律并不是一件容易的事情．在这一讲，我们只学习几个典型问题，目的在于实现小学数论到初中数论知识的过渡．分析 2n 可以用来表示所有偶数，21n −可以表示所有奇数，如n 取2时，22×是第2个正偶数，221×−是第二个正奇数．那么能否用一个类似的式子来表示出所给数列的每一项呢？练习1. 在数列5，10，15，20，25，…中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前2n +个数的乘积的末尾0的个数少5个，那么n 最小是多少？分析 要了解什么样的数是智慧数，不妨先计算一些智慧数，看看其中藏着什么玄机，有什么规律？的乘积的末尾最小是多少？练习2. 一只乌龟，它10年前的年龄是完全平方数，10年后的年龄也是完全平方数，这只乌龟今年几岁？分析 小高扔的石子总数与扔石子次数之间是什么关系呢？练习3. 卡莉娅天天吃零食，第一天吃了100颗巧克力豆，第二天吃了99颗，第三天吃了98颗，……，不到60天，所有巧克力豆都被吃光了．已知开始时，这些巧克力豆都是装在袋子里的，每个袋子30颗，那么卡莉娅共吃了多少袋巧克力豆？分析 设与4相邻的数为a ，则4a 要是4a +的倍数．这里的自然数a 有哪些可能取值？2颗石子，第三次扔子总数是练习4. 有甲、乙两个自然数，甲是乙的10倍，甲与乙的乘积能被甲与乙的和整除，那么甲数最小是多少？分析 不妨设小高、小娅分别胜了m 局和n 局，那么最后的得分之差怎么表示？它要是110的倍数，意味着什么？练习5. 墨莫和萱萱玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变．最后墨莫获胜，他比萱萱多的分数是39的倍数，那么他们最少玩了多少局？每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以最后小高获胜，连续自然数．现在设置指针第一秒转动的角度为的整数）如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么置方法？最小可以被设成多少？本讲知识点汇总一、复习所学过的各种数论知识，初步学会用代数思想来解释余数的周期性．二、学习用代数方法来表示数列的通项．三、用代数思想来处理一些特殊的不定方程问题：1. 平方差问题：两个正整数的平方差要么是奇数，要么是4的倍数； 2.二次不定方程及指数不定方程问题．这类问题常结合整除、余数知识来进行处理．作业1. 在数列2，5，8，11，14，17，20，…中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前1n +个数的乘积的末尾0的个数少2个，那么n 最小是多少？2.“勾三、股四、弦五”是一组勾股数，满足：222345+=且3、4、5都是正整数．当“勾七”时，股和弦各是多少？3. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹， ，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼多少仙丹？4. 请你在5与6之间插入两个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的乘积．5. 一只怪兽的现在的攻击力是1点．该怪兽带着一枚硬币，硬币有正反两面．每次投掷硬币，如果投到正面，则现有攻击力翻倍；如果投到反面，则现有攻击力减11，如果不够减，则怪兽死亡．已知这只怪兽投掷了若干次（至少一次）硬币之后，依然活着，而且攻击力依然为1点，那么它最少掷了多少次硬币？。
小学数学六年级下册数论之数论综合六年级小升初讲课上课PPT教学课件
练习1：有一些长6厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体木块，如 果用这些木块组成一个正方体，则至少需要这种木块（ ）块 。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：用长为45厘米、宽为30厘米的一批瓷砖，铺成一个正 方形，至少需要瓷砖的块数为（ ）。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加 上5后被5除余1，这个两位数是______.
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
4、位值原理 技巧：
数论基础
例题1：如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所 得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的 和是多少？
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
例题2：某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低 于90分的人数占1/7,得80～89分的人数占1/2，得70～79分得 人数占1/3.那么得70分以下的有________人。
例题3： a、b、c为三个自然数，且a>b>c，它们除以13的余 数分别是2，9，11，那么（a+b+c）(a-b)(b-c)除以13的余数 是_______
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习1：有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个 自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
小学数学六年级知识点：数论综合1
小学数学六年级知识点：数论综合基本公式1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a× p22a×...×p k k a（#)其中p1<p2<...<p k为质数，a1,a2,....a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
4.约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(a k+1)所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+P k+P k2+…p k k a）5.用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
6.自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
7.平方数的总结：①平方差：A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。
④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。
8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
9.周期性数字：abab=ab×101例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？例3：由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？例4：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
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1．不定方程(组) 2．数论计数3．数论最值4．数论行程
解方程
96480
15
a b c
a b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
(其中a、b、c均为自然数)
两个四位数ACCC和CCCB满足，
2
5 ACCC
CCCB
=请问
A×B×C之值是什么？
如图，三条圆形跑道，每条跑道的长都是1千米，A、B、C三位运动员同时从交点O出发，分别沿三条跑道跑步，
他们的速度分别是每小时4
3
千米，每小时
6
5
千米，每小
时8
9
千米。
问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了
多少千米？
2001个连续的自然数之和为a×b×c×d，若a、b、c、d 都是质数，则a＋b＋c＋d的最小值是多少？
有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。
例如：30就能满足上面的要求，因为30＝9＋10＋11；30＝6＋7＋8＋9；30＝4＋5＋6＋7＋8。
请你在700至1000之间找出所有满足上述要求的数。
方程、计数、最值、行程等问题中的数论综合（上）
(★★)
(★★★)
(★★★) (★★★★) (★★★★★)。