常微分 第一章

dy 一阶微分方程 f ( x, y )的解 dx y ( x)表示x, y平面的一条曲线， 我们称它为微分方程的积分曲线。 而微分方程的通解 称它们为微分方程的积分曲线族。
y ( x, c)表示x, y平面的一族曲线，
初值问题的几何意义
y f ( x, y ) 一阶 : 过定点的积分曲线; y y 0 x x0
( n 1) , y ( n 1) y0 .
( n1) ( n1) y( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 , , y ( x0 ) y0 .
y
x x0
y0 , y
x x0
, y y0
x x0
若关系式( x, y ) 0决定的函数y ( x)是方程的解. 我们称( x, y ) 0为方程的隐式解.
dy x 2 一阶微分方程 有解y 1 x dx y
即关系式 x y 1 就是方程的隐式解.
2 2
4、通解和特解
• 如果微分方程的解中含有任意 常数，且任意常数的个数与微 分方程的阶数相同，这样的解 叫做微分方程的通解.
常微分方程的基本概念
• • • • • • 常微分方程和偏微分方程 线性和非线性 解和隐式解 通解和特解 积分曲线和方向场 微分方程组
方程 equation
• 是表示两个数学式（如两个数、函 数、量、运算）之间相等关系的一 种等式，通常在两者之间有一等号 “=”。 • 是含有未知数的等式（通常设未知 数为x），
方程的种类
• • • • • 代数方程 非代数方程（超越方程） 函数方程（微分方程、积分方程） 不定方程（丢番图方程） 差分方程
方程的种类
一元 代 有理方程 整式方程 二元 数 多元 方 分式方程 程 无理方程
微分方程
•凡含有未知函数的导数或微 分的方程叫做微分方程，有
2 2
T T T 0, 2 2 2 x y Z
2 2 2
T T 4 . 2 x t
2
2
x y x y 4 xy 3x .
3 2
y
(4)
4 y 10 y 12 y 5 y sin 2 x.
常见表示
一阶常微分方程的一般可表示为：
例如
d y dy b cy f (t ) 2 dt dt dy dy y0 t dt dt
2 2
y P( x) y Q( x), x( y) 2 yy x 0.
2
n阶线性微分方程的一般形式
a0 ( x) y
(n)
a1 ( x) y
• 用两个或两个以上的关系式 表示的微分方程称为微分方
程组。
例
小结：
作业：
隐式 F ( x, y, y) 0 显式 y f ( x, y )
高阶(n)常微分方程的一般可表示为：
隐式 F ( x, y, y, , y ) 0 (n) ( n 1) 显式 y f ( x , y , y , , y )
(n)
注
n 阶微分方程 F ( x, y, y, , y ) 0
( x, y) 1, f ( x, y)
所指向的方向定义为直线的方向.这样对于D内每一点M ( x, y)， 方程 y f ( x, y)都确定一个方向与之对应， 于是我们就说方程 y f ( x, y)在D内确定了一个方向场.
等斜线
方向场中具有同一方向( y k )的点的轨迹 叫做方程 y f ( x, y)的等倾斜线或等斜线.
t 0
dx kC1 sin kt kC2 cos kt , dt 2
解：
d x 2 2 k C cos kt k C2 sin kt , 1 2 dt
d 2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
k (C1 cos kt C2 sin kt ) k (C1 cos kt C2 sin kt ) 0.
2 2
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
dx x t 0 A, 0, dt t 0 所求特解为 x A cos kt.
C1 A, C2 0.
5、积分曲线和方向场
• 微分方程的解的图形是一条曲线， 叫做微分方程的积分曲线. • 若对全空间或其中某一区域V中每 一点M，都有一个数量（或向量） 与之对应，则称在V上给定了一个 数量场（或向量场）
, y0
, y ( n 1)
x x0
( n 1) y0 .
定解问题
• 求微分方程满足定解条件的解的问 题，就是所谓定解问题. • 当定解条件为初值条件时，相应的 定解问题，就称为初值问题.
• 满足初值条件的解称为微分方程的 特解.
初值问题的表示
y f ( x, y ) 一阶 : y ( x0 ) y0
( n 1)
an ( x) y g ( x)
其中a0 ( x) 0, a0 ( x), a1 ( x), , an ( x), g ( x)均为x的已知函数.
如：2 阶线性方程的一般形式
a0 ( x) y a1 ( x) y a2 ( x) y g ( x)
则称函数y ( x)为微分方程的解.
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如
dy 2x dx
y x C,
2
y x 1.
2
隐式解
• 若方程的解是某关系式的隐函 数，称这个关系式为该方程的 隐式解。
• 把方程解和隐式解统称为方程 的解。
确切的说，对于n 阶微分方程
(n) F ( x, y, y , , y ) 0
• 特解是确定了通解中任意常数 以后的解.
例如
y y,
y y 0,
dy 2x dx
通解 y ce ;
x
通解 y c1 sin x c2 cos x;
通解y x c,
2
注
• 这里所说的任意常数是相互独 立的，就是说，它们不能合并 而使得任意常数的个数减少.
y f ( x, y, y) 二阶 : y ( x ) y , y ( x ) y 0 0 0 0
初值问题的表示
,y ) y , y( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 , y( x0 ) y0
(n) ( n 1) (n) F ( x, y, y , , y ) 0 , y( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 , y( x0 ) y0
等斜线的方程为
f ( x, y) k
若D内的一条曲线在任一点处的切线方向 都和方向场在该点处的方向一致，这样 的曲线就是方程y f ( x, y )的积分曲线.
常微分方程求解的几何意义是：
• 在方向场中寻求一条曲线， 使这条曲线上每一点切线的
方向等于方向场中该点的方 向
6、微分方程组
定解条件
• 为了确定微分方程的一个特定的解 ，通常给出这个解所必须的条件， 这就是所谓的定解调件.
• 常见的定解条件是
初值条件
边值条件
初值条件
(n) 对于n 阶微分方程 F ( x, y, y , , y ) 0
的初值条件是指如下的n 个条件： , 当x x0时，y y0 , y y0
时也简称方程.
y xy.
2
微分方程的例子
x
y 2 y 3 y e .
(t x)d t x d x 0.
z x y. x
实质
•联系自变量,未知函数以 及未知函数的某些导数( 或微分)之间的关系式.
微分方程定义
一般的，凡表示未知函数， 未知函数的导数（或微分）
与自变量之间的关系的方程 ，叫做微分方程.
例：一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点 M ( x, y)处的切线斜率为2 x，求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y ( x)
dy 2x 其中 x 1时, y 2 dx 2 y 2 x d x 即 y x C,
(n)
中，y 是必须出现的，而x, y, y, , y
(n)
( n 1)
等变量则可以不出现.例如n 阶微分方程 y +1=0 中，除y 外，其他变量都没出现.
(n) (n)
2、线性和非线性微分方程
如果微分方程 F ( x, y, y, , y ) 0
(n)
的左端为未知函数及其各阶导数的 一次有理整式，则称它为线性微分 方程，否则，称它为非线性微分方 程。
2
dy dy t y 0 dt dt
2
偏微分方程的例子
T T T 0 2 2 2 x y Z
2 2 2
T T 4 2 x t
2
微分方程的阶
• 微分方程中所出现的未知函数
最高阶导数的阶数称为称为微 分方程的阶数。
例
d y dy dy dy b cy f (t ), t y 0. 2 dt dt dt dt
y x y y sin x xe
2
x
3、 解和隐式解
微分方程的解: 代入微分方程能使 方程成为恒等式的函数.
对于n 阶微分方程 F ( x, y, y, , y ( n ) ) 0 若将函数y ( x)代入方程后，能使其变为恒等式,即
(n) 0 F x , ( x ), ( x ), , ( x)
把条件x 1时, y 2代入，求得C 1,