高数,不定积分补
高数知识点总结大一不定积分公式
高数知识点总结大一不定积分公式大一学习高数时，不定积分是一个非常重要的知识点。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在本文中，将对大一学习中的不定积分公式进行总结和归纳。
1. 基本的不定积分公式基本的不定积分公式是我们学习不定积分的基础。
以下是几个常见的基本不定积分公式：a) ∫ x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数，n为非负整数，n≠-1。
b) ∫ 1/x dx = ln|x| + C。
c) ∫ e^x dx = e^x + C。
d) ∫ sin x dx = -cos x + C，∫ cos x dx = sin x + C。
2. 分部积分法分部积分法是求解一些复杂积分时经常使用的方法。
其公式为：∫ u dv = uv - ∫ v du其中u和v是可导函数。
通过适当选择u和dv，可以将原积分转化为更简单的形式。
3. 第一类换元法第一类换元法也是解决一些复杂积分的有效方法。
其公式为：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du其中u = g(x)。
这个方法常常用于变量代换时，将积分变为更容易计算的形式。
4. 第二类换元法第二类换元法在解决特定类型的积分时非常有用。
其公式为：∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt其中t = φ(x)，给定了x和t之间的函数关系。
通过这个方法，我们可以将原来的积分转换为对新变量t的积分。
5. 万能换元法万能换元法是解决一类特殊积分的常用方法。
其思想是通过合适的换元将形如∫ f(x)dx的积分转化为∫ φ'(x)/φ(x)dx的形式。
这样的一个换元称为万能换元。
除了上述提到的基本不定积分公式，还有许多其他的不定积分公式，如三角函数的复合积分公式、积分中的三角恒等式等。
在学习不定积分时，掌握这些公式对于解决各种复杂的积分问题非常重要。
除了公式的掌握，还需要注意一些常见的积分技巧，如分母分子分解、倒代换等。
高数上册第4章不定积分
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 x ex x ex 分析: x x x e (1 x e ) x e x (1 x e x )
( x 1) e x dx xe x dx e x dx
n 2 k 1 或 sin x cos x (其中k N ) (i). 对于 型函数的积分，可依次作变换 u cos x 或 u sin x ，求得结果 .
2k 2l (ii). 对于 sin x cos x(其中k , l N ) 型函数的积分
可利用倍角公式： sin 2 x 1 cos 2 x ,cos 2 x 1 cos 2 x
得
1 ∴原式 = 2 (cos 5 x cos x)dx 1 1 cos 5 xd (5 x) cos xdx 10 2
1 cos 3x cos 2 x (cos 5 x cos x) 2
例11. 求 解: 原式 =
e
ex
x
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x 2 sec x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
则
推论: 若
k
i 1
n
i
f i ( x ) dx k i f i ( x )dx
i 1
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考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第四章 不定积分⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪→→⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩性质第一类换元法计算第二类换元法原函数不定积分分部积分法简单分式的积分分段函数的积分1第一节 不定积分的概念与性质一、原函数的定义原函数：若对于,有或,称为在区间内的原函数。
I x ∈∀∈)()(x f x F='dx x f x dF )()(=)(x F )(x f I2原函数存在定理：连续函数必有原函数-—即若在上连续，则必存在，使得当时，。
)(x f I )(x F x∈I )()(x f x F='3【例1】设是在上的一个原函数,则在上（ )（A ）可导 （B ）连续（C)存在原函数 （D)是初等函数 【答案】（C ）)(x F )(x f (,)a b ()()fx F x(,)a b4【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为（A ）. （B ）。
（C ）。
（D). 【答案】（B ）)(x f x sin )(x f x sin 1+x sin 1-x cos 1+x cos 1-5二、不定积分的定义不定积分：在区间内,的带有任意常数I )(x f6项的原函数称为在区间内的不定积分，记为:，即 计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数即可。
C x F+)()(x f I ⎰dx x f )(⎰+=C x F dx x f )()(C不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇-—无穷多条积分曲线,被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。
(完整版)考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
12 四、基本积分表 （1）kdx （2）dxx （3）xdx （4）dxax ；dxex （5）21xdx （6）21xdx
持之以恒，厚积薄发
13 （7）xdxcos （8）xdxsin （9）xdxdxx22seccos1 （10）xdxdxx22cscsin1 （11）xdxxtansec （12）xdxxcotcsc
持之以恒，厚积薄发
23 （5）dxxx21； （6）xdxtan； 【答案】（5）()322113xC； （6）ln|cos|xC
第四章 不定积分
24 （7）)ln21(xxdx； （8）xdxx52cossin； 【答案】（7）ln||1122xC； （8）sinsinsin357121357xxxC
第四章 不定积分
44 2211=()dxdxaxbxcaxhk公式求解 =2222(2)221ln||22mmbaxbnmxnaadxdxaxbxcaxbxcmmbaxbxcndxaaaxbxc
持之以恒，厚积薄发
45 【例1】求下列不定积分 （1）2239dxxx ； 【答案】（1）21ln|23|ln|3|99xxC
第四章 不定积分
46 （2）322xxdx Caxaxadxarctan122； 【答案】（2）11arctan22xC
持之以恒，厚积薄发
47 （3）2(31)23xdxxx； 【答案】（3）231ln|23|2arctan22xxxC
第四章 不定积分
48 （4）321xdxxx 【答案】（4）212321arctan233xxxC
持之以恒，厚积薄发
3 原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若)(xf在I上连续，则必存在)(xF，使得当xI时，)()(xfxF。 【例1】设)(xF是)(xf在(,)ab上的一个原函数，则()()fxFx在(,)ab上（ ） （A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）是初等函数 【答案】（C）
高数 第五章-不定积分概念计算(3-4节)
解 被积函数 cos 2x 是复合函数,基本积分表中无此积分,但被积函数可表示为
cos 2x 1 cos 2x (2x) , 2
因此,可令 u 2x ,则
cos
2xdx
1 2
cos
2x
(2x)'
dx
1 2
cos
2xd
(2x)
例 2 求 (2x 1)20dx .
1 2
cosudu
1 sin u 2
1
(3) 1 dx ln | x | C ；
x
(4) exdx ex C ；
(5) a xdx a x C ； ln a
(6) sin xdx cos x C ；
(7) cos xdx sin x C ； (8) sec2 xdx tan x C ； (9) csc2 xdx cot x C ；
求不定积分的方法叫做积分法,积分法是从某一函数的导数出发寻求这个函数的过程.所以积分法是微分 法的逆运算.
例如,由于 (sin x) cos x ,所以 cos xdx sin x C,
同样, (arctan x) 1 ,则 1 dx arctan x C .
1 x2 1 x2
由不定积分定义,可知下列关系：
3．一曲线通过点 (e2 , 3) ,且在曲线上任意点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求此曲线的方程.
4. 一质点做直线运动,已知加速度为 a(t) 12t2 3sin t ,如果 t 0 时, v0 5, s0 3. 求：(1) 速度 v 与时间 t 的函数关系； (2) 位移 s 与时间 t 的函数关系.
f (x)dx ,
其中 称为积分号, f (x) 称为被积函数, f (x) dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.
高数之不定积分
有理函数的不定积分可以通过有理函数的分解来进行求解。对于形如 (f(x) = frac{P(x)}{Q(x)}) 的有理 函数，其中 (P(x)) 和 (Q(x)) 是多项式，可以将 (f(x)) 分解为多项式和简单分式的和，然后分别对各项 进行积分，最后求得整个函数的不定积分。
03
不定积分的运算技巧
不定积分表的使用
查阅公式
不定积分表包含了大量常见函数的积分公式， 方便学生快速查阅。
简化计算
使用不定积分表可以简化复杂的积分计算过 程，提高解题效率。
避免错误
对于初学者来说，不定积分表可以避免在记 忆和推导过程中出现错误。
注意事项
使用不定积分表时需要注意公式的适用范围 和条件，以及公式的推导和证明。
求解反常积分
反常积分（无穷积分）也可以通 过不定积分来求解，通过不定积 分得到原函数，再根据反常积分 的定义进行计算。
求解函数的零点
对于某些函数，通过不定积分可 以找到函数的零点，或者在求解 过程中作为中间步骤。
在物理问题中的应用
解决动力学问题
01
在经典力学中，不定积分常用于解决与速度、加速度和力相关
03
求解高阶微分方程
不定积分可以用来求解一阶常微 分方程，通过不定积分得到原函 数，再代入初值条件求解。
对于高阶微分方程，不定积分可 以用来求解部分特解，或者在求 解过程中作为中间步骤。
在函数求值中的应用
计算定积分
不定积分是计算定积分的基础， 通过不定积分得到原函数，再根 据定积分的定义计算定积分。
高数之不定积分
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的运算技巧 • 不定积分的应用 • 常见不定积分公式与表格
高数期末复习第四章 不定积分
帮
高数高上数第四章重点
数 高
郭啸龙主编
帮
帮 《不定积分》
数
数
本章说明
高
高
汇总了求不定积分的所有方法与题型，含所有公式
帮 数 高
帮 数 高
帮
帮 第四章 不定积分重要知识点
考点
重要程度
分值
1.直接积分 2.凑积分 3.换元法
数必考
0~3
4.分部积分法
6~10
5.有理化积分
1. kdx kx C
帮 (4) cot xdx ln | sin x | C
(6) csc xdx ln | csc x cot x | C
数 (8)
dx sin 2 x
csc2 xdx cot x C
高 (10) csc x cot xdx csc x C
帮
帮 定义：在区间 I 上， F(x) f (x) （或 dF (x) f (x)dx ）,则 F (x) 称为 f (x) 在区间 I 上
即 x 3 (A B)x (3A 2B) .
帮 数
因是恒等式，两端关于 x 的同次幂的系数应相等,即
A B 1 3A 2B 3,
帮 从中解得 A 5,B 6 .
x2
x
3 5x
dx 6
x52dx
x
6
dx 3
5
ln
|
x
2
|
6
|
x
3
|
C
数
高
数 高
高
帮 数 高
帮 数 高
的一个原函数.
数 定义 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分,记作 f (x)dx ,
不定积分公式运算法则
不定积分公式运算法则
不定积分（Indefinite Integral）是指求函数的原函数的过程，也称为积分的逆运算。
不定积分的计算公式有
多种，主要包括：常数反演公式、幂公式、三角函数公
式、对数公式、指数公式以及反三角函数公式。
这些公式
的详细表述如下：
1.常数反演公式：∫cf(x)dx = c∫f(x)dx + C
2.幂公式：∫x^nf(x)dx = x^(n+1)/(n+1)f(x) + C
3.三角函数公式：∫sin(x)f(x)dx = -cos(x)f(x) + C
∫cos(x)f(x)dx = sin(x)f(x) + C
∫tan(x)f(x)dx = ln|sec(x)| + C
4.对数公式：∫ln(x)f(x)dx = xln(x) - x + C
5.指数公式：∫e^xf(x)dx = e^xf(x) + C
6.反三角函数公式：∫arcsin(x)f(x)dx = √(1-x^2) +
C
∫arccos(x)f(x)dx = √(1-x^2) + C
∫arctan(x)f(x)dx = x + C
不定积分运算法则包括线性公式、分部积分公式和常系数线性微分方程的通解公式。
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4) 再 做 一 些 变 换 就 行 了 ， 最 后 化 为 基 本 积 分 求 得 结 果 ( 联 想 到
x
2
1 dx arctan x c )。 1 pM 1 pM 4 ) 2 dx ( N ) dx 2 2 2 (2 x p) 4q p 2 x px q pM 2 2 dx 2 4q p ( 2 x p ) 2 1 4q p 2 N
最后我们可以得到 IV 的一般解形式了
(x
2
Mx+N M 1 1 pM 1 dx (Ndt ) 2 m 2 2 m 1 px q) 2 m 1 (t a ) 2 (t a 2 ) m
M 1 1 pM +(N)I m 2 m 1 2 m 1 ( x px q) 2
1 1 1 t2 dt dt a 2 (t 2 a 2 ) m 1 a 2 (t 2 a 2 ) m
1 1 1 t2 dt dt a 2 (t 2 a 2 ) m 1 a 2 (t 2 a 2 ) m
我们设 I m =
(t
2
1 dt ，可知我们推出了比 I m 低一次的式子 I m -1 ，对积分 a 2 )m
了，别忘了
1 )，显然通过分部积分就变成求解 I m -1 了；分部得到 m 1
t2 1 1 (t 2 a 2 )m dt m 1 td (t 2 a 2 )m1
综合得到
1 t 1 1 dt 2 2 m 1 2 m 1 (t a ) m 1 (t a 2 ) m 1
t2 (t 2 a 2 )m dt 来说要降次的话，用上面的方法就又回到了原来的积分。除了分子
进行变换，也可以对分母凑微分；因为分母是多项式，凑微分使其次数降低，即
t2 t 1 dt d 2 (分子正好是 t 2 ，拿一个 t 进去，微分外只剩 t 2 2 m 2 m 1 m 1 (t a ) (t a )
ln x
3 2
(1 x) 这次说明一下上述问题的方法，如果觉得简单可以不看我对问题的“分析”.
dx ，
ln(x 1 x 2 ) 1 x2
dx ）等，
一．有理函数:
下面只说明实系数有理分式（相信多项式求积大家都会，所以就不提了） 我们知道一个有理分式
P(x) ，如果 deg( P(x)) deg(Q(x)) (即 P(x)次数大于等于 Q(x)
(t
2
2 1 dt 12 2 1 2 m1 dt 12 2 t 2 m dt 2 m a ) a (t a ) a (t a )
1 1 1 1 t 1 1 1 2 dt 2 dt 2 2 2 m 1 2 2 m 1 2 a (t a ) a m 1 (t a ) a m 1 (t a 2 ) m 1 1 1 t 1 m2 1 2 dt 2 2 2 m 1 2 a m 1 (t a ) a m 1 (t a 2 ) m 1
用 Im =
(t
2
1 1 1 t 1 m2 dt 换元，有 I m 2 2 I m 1 (m=2,3,…); 2 2 m 1 2 m a ) a m 1 (t a ) a m 1 1 1 t dt = arctan c ; 2 t a a a
2
m=1 时， I1 =
p2 2 p 回代 x =t ， q =a ， x 2 px q = t 2 a 2 有 4 2
2 1 2x p 4 m2 I m 4q p 2 m 1 ( x 2 px q) m 1 4q p 2 m 1 I m 1 , m 2,3,... 1 1 2x p I1 2 dt c arctan 2 2 2 t a q p q p 4 4
虽然推导过程中并没有用到很难的方法，却是需要耐心和细心的；有些题写起来 有很繁杂，考查的就是看能不能坚持做到最后，仔细检查每一步是不是哪里有遗 漏。 至此，上面四种类型的基本积分就已经完全推导出来了，罗列如下： A I： dx A ln | x a | c xa
2
ii．分母为二次函数，故可以直接配方，再将平方项换元，即 p p2 p x 2 px q =( x ) 2 q ，做变换 x =t ， 2 4 2 q p2 2 =a x 2 px q = t 2 a 2 , 4 pM ) ，dx=dt，那么原式就化为(式子比第一种方法更简明) 2 Mt+(NpM ) 2 dt t 2 a2
2
高（不能直接求出积分）就需要降次（三角函数换元也是需要降次的）,所以就 1 要将 1 分解为 1= 2 (t 2 a 2 - t 2 ) 来降次，得到 a
1 2 2 2 (t a t ) 1 1 t2 a2 t2 a2 dt = dt dt (t 2 a 2 )m (t 2 a 2 )m a 2 (t 2 a 2 ) m
xa ，等）和有理式的情况，此外还 bx
有大量的三角函数题（值得一提的是书上经常需要换元为三角函数的几个式子
x a 2 , a 2 x 和“1”的分解 1=1+f(x)-f(x)或 1 sin 2 x cos 2 x ，1 sec2 x tan 2 x
2 2
等） 、不同类型初等函数结合的问题（例
除了次数，其余的和 III 化出的形式无异，但因为次数较高，所以需要对将分母 降次，按照步骤继续下去(同 III)
pM Mt+(N) Mx+N 2 dt dx = ( x 2 px q)m (t 2 a 2 )m
M
t pM 1 dt +(Ndt ) 2 2 m (t a ) 2 (t a 2 ) m
这样就变成求
1 dx 了，和这就相当于 M=0 的情况。有一点要注意的是 x px q
2
常数的微分为 0，所以有时候别忘了在凑微分时给凑在 d 里面的式子加上常数， 使之和积分里某个部分相等（如上） 。 对
1 dx ，只要对分母配方(为了避免配方时出现分数，先分子分母同乘 x px q
Ak A1 A2 （有 k 次 2 x a (x a) (x a) k
因式就需要分解为 1 到 k 次的部分分式的和） ，同理对因式 (x 2 px q ) m ，完全
分解为
M x Nm M1 x N1 M x N2 22 2 m ；对其他的也都是一样。 2 2 x px q (x px q ) (x px q) m
2 N pM 4q p
2
(N
(变换为
1 形式) x +1
2
(
1 2x p 4q p 2
2x p d 2 ) 2 1 4q p
（凑微分）
2 p 2
c
综上得
Mx+N M 2 N pM 2x p dx ln( x 2 px q ) + arctan c 2 x px q 2 4q p 4q p 2
A,M,N,a,p,q 都是实数，并且 x 2 px q 是无实根的（若有就可以因式分解化为 I，II 两种形式） ，则 p 2 -4q 0 ，也表示 x 2 px q >0.
当我们千辛万苦通过分解成基本分式，再通过待定系数法求出系数，得到最 终的分解式，I 和 II 的积分大家都很熟悉了，III 和 IV 稍稍复杂些，下面给出这 四种类型基本分式的积分 A I： dx A ln | x a | c xa
M pM (2 x p) N Mx+N x 2 px q dx = 2 x 2 px q 2 dx (分子需要分出 2x+p 凑微分)
M 1 pM 1 d ( x 2 px q) ( N ) 2 dx 2 2 x px q 2 x px q M pM 1 ln( x 2 px q) ( N ) 2 dx 2 2 x px q
北
科
数
学
协
会
不定积分（补）
刘文陶
概要：几类难度较高积分的补充：有理函数、无理函数、三角函数、双曲函 数及 （虽然理论较复杂， 但方法用起来没难度， 所以可以不看理论直接记住方法， 例题上面就是方法）. 前言：前面选取了不定积分里的一些基本问题进行分析，展示了问题的分析 的思路过程，提供了一种学习方法，重在强调读者自己的行动. 针对上次资料中的不足之处，没有为大家提供类型题的解题方法，多的像遇 到被积函数包含无理式（ x 2 px q ，
Q(x)) ，那么一定可以化为一个多项式（分子分母次数相等时为常数）和一个
真分式
P1 (x) （可知 P1 (x) 比 Q(x) 次数低，这样的分式称为有理真分式）的和， Q(x)
所以下面都是对有理真分式展开讨论的. 书上介绍了有理真分式的部分分式分解方法，然后利用待定系数法求解积 分， 我们来观察多项式 Q(x)可以分解因式为 Q(x) (x a) k (x 2 px q) m 则对 因式 (x a) k ，有理分式中它的完全分解为
p 所以换元 x =t 放在任何含有 x 2 px q 形式的题目里都适用. 2 IV． Mx+N dx ( x px q) m
2
分析：1.同上面的换元法，则积分化为
Mx+N dx = ( x px q) m
2
Mt+(N-
pM ) 2 dt (t 2 a 2 ) m
Mx+N = Mt+(N-