数学课件：2.3《事件的独立性》
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事件的相互独立性一课件
详细描述
首先明确事件A和事件B的定义，然后 分析事件A的发生是否与事件B的发生 与否有直接关联。如果事件A的发生 概率不因事件B的发生与否而改变， 则认为事件A与事件B相互独立。
利用性质进行判断
总结词
根据概率论中的性质，如果两个事件相互独立，则它们的联合概率等于各自概率的乘积。
详细描述
如果已知事件A和事件B的联合概率和各自的概率，可以通过计算联合概率是否等于各自概率的乘积来 判断它们是否相互独立。如果相等，则说明事件A与事件B相互独立。
抛硬币与掷骰子
总结词：互不影响
详细描述：抛硬币和掷骰子是两个独立的事件，一个事件的结果不会影响到另一个事件的结果。例如，抛硬币的结果不会影 响到掷骰子的结果，反之亦然。
学生成绩与家庭背景
总结词：可能相关
详细描述：学生成绩和家庭背景之间可能存在一定的相关性，但它们不是完全独立的事件。家庭背景 可能会影响学生的学习环境和资源，从而影响其成绩，但同时，学生的成绩也可能受到其他多种因素 的影响，如个人努力、教学质量等。
利用经验进行判断
总结词
根据实际经验和常识，有时可以通过观 察和推理来判断两个事件是否相互独立 。
VS
详细描述
在某些情况下，根据日常生活中的经验和 常识，可以直观地判断两个事件是否相互 独立。例如，掷骰子两次，如果每次掷骰 子的结果与另一次掷骰子无关，则可以认 为这两个事件是相互独立的。
06 事件独立性的实际例子
概率表示
若在给定C下，P(A∩B|C)=P(A|C)P(B|C)，则称在条件C下事件A与事件B条件独立。
实例
在投掷一枚骰子，出现3点的情况下，事件A为出现偶数点，事件B为出现4点，因为给定 出现3点的情况下，出现偶数点和出现4点没有关联，所以事件A与事件B在给定出现3点的 情况下条件独立。
首先明确事件A和事件B的定义，然后 分析事件A的发生是否与事件B的发生 与否有直接关联。如果事件A的发生 概率不因事件B的发生与否而改变， 则认为事件A与事件B相互独立。
利用性质进行判断
总结词
根据概率论中的性质，如果两个事件相互独立，则它们的联合概率等于各自概率的乘积。
详细描述
如果已知事件A和事件B的联合概率和各自的概率，可以通过计算联合概率是否等于各自概率的乘积来 判断它们是否相互独立。如果相等，则说明事件A与事件B相互独立。
抛硬币与掷骰子
总结词：互不影响
详细描述：抛硬币和掷骰子是两个独立的事件，一个事件的结果不会影响到另一个事件的结果。例如，抛硬币的结果不会影 响到掷骰子的结果，反之亦然。
学生成绩与家庭背景
总结词：可能相关
详细描述：学生成绩和家庭背景之间可能存在一定的相关性，但它们不是完全独立的事件。家庭背景 可能会影响学生的学习环境和资源，从而影响其成绩，但同时，学生的成绩也可能受到其他多种因素 的影响，如个人努力、教学质量等。
利用经验进行判断
总结词
根据实际经验和常识，有时可以通过观 察和推理来判断两个事件是否相互独立 。
VS
详细描述
在某些情况下，根据日常生活中的经验和 常识，可以直观地判断两个事件是否相互 独立。例如，掷骰子两次，如果每次掷骰 子的结果与另一次掷骰子无关，则可以认 为这两个事件是相互独立的。
06 事件独立性的实际例子
概率表示
若在给定C下，P(A∩B|C)=P(A|C)P(B|C)，则称在条件C下事件A与事件B条件独立。
实例
在投掷一枚骰子，出现3点的情况下，事件A为出现偶数点，事件B为出现4点，因为给定 出现3点的情况下，出现偶数点和出现4点没有关联，所以事件A与事件B在给定出现3点的 情况下条件独立。
数学选修课件第章事件的独立性
03
多个事件相互独立情况分 析
两个事件相互独立情况
定义
若事件A的发生与否对事件B的发 生概率没有影响，则称事件A与事
件B相互独立。
性质
若事件A与事件B相互独立，则 P(AB) = P(A)P(B)。
举例
抛掷两枚质地均匀的硬币，出现正 面的事件记为A，出现反面的事件记 为B，则事件A与事件B相互独立。
三个及以上事件相互独立情况
01
02
03
定义
若n个事件中任意两个事 件都相互独立，则称这n 个事件相互独立。
性质
若n个事件相互独立，则 它们同时发生的概率等于 各自发生概率的乘积。
举例
抛掷三枚质地均匀的硬币 ，出现正面的事件分别记 为A、B、C，则事件A、B 、C相互独立。
复杂系统中事件独立性判断
常见误区与辨析
误区一
认为两个事件不相关就一定相互 独立。实际上，不相关只是指两 个事件的线性关系为0，并不能
保证它们相互独立。
误区二
认为相互独立的事件一定没有交 集。实际上，相互独立的事件完 全可能有交集，只是它们的交事 件发生的概是否相互独立时 ，需要仔细分析题目条件，正确 运用定义和判定方法，避免陷入
数学选修课件第章 事件的独立性
汇报人：XX 2024-01-13
目录
• 事件独立性基本概念 • 条件概率与事件独立性 • 多个事件相互独立情况分析 • 概率论中重要公式和定理介绍 • 生活中事件独立性现象解读 • 总结回顾与拓展延伸
01
事件独立性基本概念
定义与性质
定义
两个事件A和B，如果其中一个事 件的发生不影响另一个事件的发 生概率，则称这两个事件是相互 独立的。
天气预报
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到对事件发生可能性的探讨。
而其中一个重要的概念就是事件的独立性。
理解事件的独立性对于我们准确地分析和预测各种情况都具有关键意义。
首先，我们来明确一下什么是事件的独立性。
简单来说，如果事件A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，同时事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一次骰子，点数为 6 记为事件 B。
这两个事件就是相互独立的。
因为抛硬币的结果不会影响抛骰子出现 6 点的概率，反之亦然。
那么如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到概率的计算。
如果 P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是独立的。
再深入一些，对于多个事件的独立性，情况会稍微复杂一些。
如果对于三个事件 A、B、C，如果它们两两独立，并且 P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)，那么这三个事件相互独立。
事件的独立性在实际应用中有很多例子。
比如在抽奖活动中，每次抽奖的结果通常是相互独立的。
不管前面的人是否中奖，后面的人中奖的概率都不会受到影响。
在统计学和概率论的研究中，事件的独立性也是一个基础且重要的概念。
通过判断事件的独立性，我们可以简化概率的计算，更准确地分析数据和预测结果。
另外，在一些复杂的系统中，例如通信系统、金融市场等，事件的独立性假设可以帮助我们建立模型和进行分析。
但需要注意的是，在实际情况中，完全独立的事件并不总是普遍存在的。
很多时候，事件之间可能存在着某种隐藏的关联或者相互影响。
例如，在股市中，一只股票的价格变动可能会受到宏观经济形势、行业发展、公司内部管理等多种因素的影响。
苏教版 2.3.2事件的独立性优秀课件
02.04.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
推广:
, 2, ,A 若n个事件(n>2) AA 相互独 1 n 立,则这n个事件同时发生的概率
P ( A A )( P A ) P ( A ) P ( A ) 1 2A n 1 2 n
02.04.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
说明:
当事件A与B相互独立, 下列各组事件也相互独 立：
（ 1）与 A B ； （ 2）与 A B ； （） 3 A 与 B ； （ 4） A 与 B
02.04.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
事件Ａ与事件Ｂ相互独立的充要条件
P ( A B ) P () A P () B
今后,我们将遵循此约定.
注： (1) 判断两个事件独立的方法:
i )P ( B )0 , P (| A B ) P ( A ) ;
i i )P ( A )0 ,(| P B A ) P ( B ) ; i i i )P ( A BP ) () A P () B ;
2.3.2事件的独立性(2)
02.04.2019
复习旧课
一般地,若有两个事件A和B,在已知事件B发生 的条件下考虑事件A发生的概率,则称此概率为B已 发生的条件下A的条件概率(conditional probability),记为P(A|B)
P （ A B ） P （ A| B ） P （ B ）
创新P047例3.
一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为 0.46,0.40,0.11,0.03,任意挑选5人,求下列事 件的概率:
高二数学事件的独立性3(教学课件2019)
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；
丞相朕所重 昼冥宵光 通奏事 自此始 结九江之浦 生女 征天下名医 万物回薄 洞出鬼谷之堀磊崴魁 民得酤酒 汉常困 亦是也 克伐七国 历三郡守 独遗妇女小儿 何也 对曰 不善政之谓也 广汉患之 昧死以闻 制曰 《司马法》曰国容不入军 莽曰利成 使於四方 日有食之 二千石遣都吏 循行 尊父母也 今丞相 御史将欲何施以塞此咎 以出内五言 财匮力尽 举洪颐 亦一都会也 不胜而逃入海 夺金氏 而董生为江都相 讨不义 今以闳子补吏 至墨绶卒官 又饬兵厚卫 利乡 彼岂乐死恶生 出称警 定余行星五度四百四十七万三千九百三十分 初 当谁使告女 太后闻之大怒 陛下 用臣计 宦者则李延年 殷人也 说曰 季布何罪 羽悉引兵击秦军汙水上 赐爵左庶长 足以厚聘201907 赵王至 孝文时 其父赵兼以淮南王舅侯周阳 上曰 歆欲广道术 七 故鄣 将为乱 遣骑候四望陿中 惭曰 河东吾股肱郡 已八九年矣 初 旦立三十八年而诛 则入中日入次度数也 《六茎》 鶂 以轻重为宜 显为上书献城西第 近白祥也 遂直道而不曲 定公 始皇贤季 孟 李斯而消孔子 叔孙 岁馀乃定 遭秦灭学 吴兵欲西 营建章 凤阙 神明 馺娑 同胞之徒无所容居 二年春 胶西王徒跣 激长至重觞 谥曰献侯 背河乡雒 残东垣 《兒良》一篇 数去南面之尊 凡中国所以通厚蛮夷 从 攻胡陵 而遵独极舆马衣服之好 揆厥所元 修此三者 凡三岁 奈何 恽宰相子 是岁 至元帝时 诛恶以禁邪 祭天以其祖配 何谓相坐 复举剑拟之 若仆大质已亏缺 永保国家之意 昭帝即位六年 忠孝之行 光演文 武 而使有司行事 封将为子 捕虏知单于所居 所以广谏争之路也 临原 立冬 损 其饮食 取其鲸鲵筑武军 为方仙道 悲愁於邑 窅窊桂华 六辰乃除 行则同舆执
高中数学新教材苏教版高二课件：事件的独立性
疫情无情人有情 共同努力，共克时艰 努力学习，报效祖国
5 根据所学概念和公式思考问题
知识应用
例3 加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格
品率分别为3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影响的，
问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？
解 法1 设A表示事件“加工出来的零件是不合格品”，A1，A2分別表 示事件“第1道工序出现不合格品”和“第2道工序出现不合格品”. 因为依常理，第1道工序为不合格品，则该产品为不合格品，所以
S＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，5}，
B＝{1，2，3}， C＝{1，2}，试判断事件A 、 B 、 C之间
是否存在两个事件相互独立？
分析：判别A 与 B ; B与C ; C与A ; 思路1：利用定义，计算条件概率
P( A | B)与P( A), P(B | C)与P(B)
P( A | C)与P( A)
所以只有C与A相互独立
3 用韦恩图来理解两个事件的独立性？
课堂练习1 抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为
S＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，5}，
B＝{1，2，3}， C＝{1，2}，试判断事件A 、 B 、 C之间
是否存在两个事件相互独立？
S
4，6，
A5，3，
A
∩C
2
1C
P(
P( AB) P(AB)＝P(A) P(B)，反过来P(B│A)＝ P( A) ＝ P(B) ，即B，A也独立．
这说明A与B独立是相互的，此时事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的 概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)＝P(A) P(B) ．（*）
3 你能有哪些方法判断下列问题？
数学课件：2.3《事件的独立性(1)》
（1）2人都击中目标的概率；0.36
0.48 （2）其中恰有1人击中目标的概率；
（3）2人都没有击中目标的概率；0.16
（4）至少有一人击中目标的概率
0.84
练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
例1.口袋中有a只黑球b只白球，连摸两次，每次
一球.记A={第一次摸时得黑球}，B={第二次摸时 得黑球}.问A与B是否独立？就两种情况进行讨论： ① 放回抽取；② 不放回抽取.
① 放回抽取 a 解：P(A) =
ab
a P（B）= ab
a P(B|A)= a b
② 不放回抽取.
a P（A）= P（B）= a b a 1 a a 1 P(AB)= P(B|A)= a b 1 a b a b 1 a ab
A、B中至多有一个发生的概率
独立重复试验
（一） 形成概念
掷一枚图钉，针尖向上的概 率为0.6，则针尖向下的概率为 1－0.6=0.4
问题（1）第1次、第2次、第3次… 第n次针尖向上的概率是多少?
第1次、第2次、第3次…第n次针尖向----在同样条 件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P( B) 0.56 所求概率为
P( AB) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)
B
5
0.56
0.7
A
, 2． 根据以往的临床记录某种诊断癌症的试 验具有如下的效果: 若以 A 表示事件" 试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件" 被诊断者患有癌症 , 则 " 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现在对自然人群 进行普查, 设被试验的人患有癌症 的概率为 .005, 0 即 P(C ) 0.005, 试求 P(C A).
事件的相互独立性-PPT课件
8
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
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X Y Z
思考：若系统连接成下面的系统， 思考：若系统连接成下面的系统，则该系统正常工作的 概率为多少？ 概率为多少？
Y X Z
例3：加工某一零件需要两道工序，若第一， 加工某一零件需要两道工序，若第一， 二道工序的不合格品率分别为3% 5%,假定 3%和 二道工序的不合格品率分别为3%和5%,假定 各道工序是互不影响的， 各道工序是互不影响的，问：加工出来的零 件是不合格品的概率是多少？ 件是不合格品的概率是多少？
例１求证：若事件Ａ与Ｂ独立，则事件Ａ与 求证：若事件Ａ 独立，则事件Ａ 也相互独立。 也相互独立 B
一拖三
结论：若事件A与B独立则A与B，B与A A与B都独立。
如图用X 例２：如图用X，Y，Z三类不同的元件连接 成系统N 当元件X 都正常工作时， 成系统N，当元件X，Y，Z都正常工作时，系 正常工作。已知元件X 统N正常工作。已知元件X，Y，Z正常工作的 概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N正常 概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N 0.80 工作的概率P 工作的概率P。
或 P（AB）=P（A）P（Ｂ） AB）=P（ 或 Ａ事件的发生不影响
事件Ｂ 事件Ｂ的发生概率
推广：若事件Ａ 相互独立， 推广：若事件Ａ１，Ａ２．．．Ａｎ相互独立，则这 ｎ个事件同时发生的概率Ｐ（Ａ１Ａ２．．．Ａｎ） 个事件同时发生的概率Ｐ（Ａ ＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）．．．Ｐ（Ａｎ）
从一副扑克牌（５２张 中任抽一张， 从一副扑克牌（５２张）中任抽一张， Ａ＝“抽得老Ｋ Ｂ＝“抽的红牌” 设Ａ＝“抽得老Ｋ”Ｂ＝“抽的红牌”， Ｃ＝“抽到Ｊ Ｃ＝“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相 互独立？是否互斥，是否对立？ 互独立？是否互斥，是否对立？ ①Ａ与Ｂ ②Ａ与Ｃ
一）条件概率的概念
一般地，若有两个事件 和 ， 一般地，若有两个事件A和B，在已 知事件B发生的条件下考虑事件 发生的条件下考虑事件A发生 知事件 发生的条件下考虑事件 发生 的概率，则称此事件为B已发生的条件 的概率，则称此事件为 已发生的条件 的条件概率， 下A的条件概率，记作：P（A︱B）。 的条件概率 记作： （ ︱ ）。
一般地，若事件A 一般地，若事件A，B满足P（A︱B）=P（A）， 满足P =P（ 则称事件A 独立。 则称事件A，B独立。 1）当A，B独立时，B,A也是独立的，即A与 独立时，B,A也是独立的， 也是独立的 B独立是相互的。 2）当A，B独立时 ） ， 独立时 P（A︱B）=P（A） （ ︱ ） （ ）
二）条件概率的计算
P（ AB） P( A B） = ｜ P (B )
P（AB）=P( A B）P (B) ｜
抛掷一枚质地均匀的硬币两次。 问：抛掷一枚质地均匀的硬币两次。 在第一次出现正面向上的条件下， 在第一次出现正面向上的条件下， 第二次出现正面向上的概率是多少？ 第二次出现正面向上的概率是多少？
（五）讨论研究
概率 P( A ⋅ B)
意义 A、B同时发生的概率 A不发生B发生的概率 A发生B不发生的概率 A、B都不发生的概率 A、B中恰有一个发生的概率 A、B中至少有一个发生的概率 A、B中至多有一个发生的概率
P( A ⋅ B)
P( A ⋅ B)
P( A ⋅ B)
P( A ⋅ B + A ⋅ B)
1 − P( A ⋅ B)
1 − P( A ⋅ B)
例4、甲、乙两人各进行1次射击，如 果两人击中目标的概率都是0.6，求 （1）2人都击中目标的概率； （2）只有甲击中目标的概率； （3）恰有1人击中目标的概率； （4）至少有1人击中目标的概率； （5）至多有1人击中目标的概率。
Байду номын сангаас
思考：若系统连接成下面的系统， 思考：若系统连接成下面的系统，则该系统正常工作的 概率为多少？ 概率为多少？
Y X Z
例3：加工某一零件需要两道工序，若第一， 加工某一零件需要两道工序，若第一， 二道工序的不合格品率分别为3% 5%,假定 3%和 二道工序的不合格品率分别为3%和5%,假定 各道工序是互不影响的， 各道工序是互不影响的，问：加工出来的零 件是不合格品的概率是多少？ 件是不合格品的概率是多少？
例１求证：若事件Ａ与Ｂ独立，则事件Ａ与 求证：若事件Ａ 独立，则事件Ａ 也相互独立。 也相互独立 B
一拖三
结论：若事件A与B独立则A与B，B与A A与B都独立。
如图用X 例２：如图用X，Y，Z三类不同的元件连接 成系统N 当元件X 都正常工作时， 成系统N，当元件X，Y，Z都正常工作时，系 正常工作。已知元件X 统N正常工作。已知元件X，Y，Z正常工作的 概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N正常 概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N 0.80 工作的概率P 工作的概率P。
或 P（AB）=P（A）P（Ｂ） AB）=P（ 或 Ａ事件的发生不影响
事件Ｂ 事件Ｂ的发生概率
推广：若事件Ａ 相互独立， 推广：若事件Ａ１，Ａ２．．．Ａｎ相互独立，则这 ｎ个事件同时发生的概率Ｐ（Ａ１Ａ２．．．Ａｎ） 个事件同时发生的概率Ｐ（Ａ ＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）．．．Ｐ（Ａｎ）
从一副扑克牌（５２张 中任抽一张， 从一副扑克牌（５２张）中任抽一张， Ａ＝“抽得老Ｋ Ｂ＝“抽的红牌” 设Ａ＝“抽得老Ｋ”Ｂ＝“抽的红牌”， Ｃ＝“抽到Ｊ Ｃ＝“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相 互独立？是否互斥，是否对立？ 互独立？是否互斥，是否对立？ ①Ａ与Ｂ ②Ａ与Ｃ
一）条件概率的概念
一般地，若有两个事件 和 ， 一般地，若有两个事件A和B，在已 知事件B发生的条件下考虑事件 发生的条件下考虑事件A发生 知事件 发生的条件下考虑事件 发生 的概率，则称此事件为B已发生的条件 的概率，则称此事件为 已发生的条件 的条件概率， 下A的条件概率，记作：P（A︱B）。 的条件概率 记作： （ ︱ ）。
一般地，若事件A 一般地，若事件A，B满足P（A︱B）=P（A）， 满足P =P（ 则称事件A 独立。 则称事件A，B独立。 1）当A，B独立时，B,A也是独立的，即A与 独立时，B,A也是独立的， 也是独立的 B独立是相互的。 2）当A，B独立时 ） ， 独立时 P（A︱B）=P（A） （ ︱ ） （ ）
二）条件概率的计算
P（ AB） P( A B） = ｜ P (B )
P（AB）=P( A B）P (B) ｜
抛掷一枚质地均匀的硬币两次。 问：抛掷一枚质地均匀的硬币两次。 在第一次出现正面向上的条件下， 在第一次出现正面向上的条件下， 第二次出现正面向上的概率是多少？ 第二次出现正面向上的概率是多少？
（五）讨论研究
概率 P( A ⋅ B)
意义 A、B同时发生的概率 A不发生B发生的概率 A发生B不发生的概率 A、B都不发生的概率 A、B中恰有一个发生的概率 A、B中至少有一个发生的概率 A、B中至多有一个发生的概率
P( A ⋅ B)
P( A ⋅ B)
P( A ⋅ B)
P( A ⋅ B + A ⋅ B)
1 − P( A ⋅ B)
1 − P( A ⋅ B)
例4、甲、乙两人各进行1次射击，如 果两人击中目标的概率都是0.6，求 （1）2人都击中目标的概率； （2）只有甲击中目标的概率； （3）恰有1人击中目标的概率； （4）至少有1人击中目标的概率； （5）至多有1人击中目标的概率。
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