高中数学第一章立体几何初步4.2空间图形的公理(二)课件北师大版必修2

高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理二课件北师大版必修2

•(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
【训练 1】在空间四边形 ABCD 中，如图所示，AABE＝AAHD，CCFB＝CCGD，则 EH 与 FG 的位置关系是________．
解析连接 BD，如图． ∵AAEB＝AAHD， ∴EH∥BD，又∵CCFB＝CCGD， ∴FG∥BD， ∴EH∥FG. 答案平行
• 答案 D
• 3．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
• 解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．
• 答案 8
•由AB＝CD，知EG＝FG，∴△EFG为等腰三角形． •当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； •当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°. •故EF与AB所成的角为15°或75°.
•规律方法 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点． •(2)求异面直线所成的角的一般步骤： •①作角：平移成相交直线． •②证明：用定义证明前一步的角为所求． •③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．
•所以QD綊C1F. •所以四边形DQC1F为平行四边形． •所以C1Q綊FD. •又因为B1E綊C1Q，所以B1E綊FD. •所以四边形B1EDF为平行四边形．
•规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

数学北师大版必修2课件：第一章4.2空间图形的公理(二) (43张)

[方法归纳] 在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系． (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直线的平行关系．
1．(1)如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，G，H 分别在边 CD，DA 上，且满足 CG＝12GD，DH ＝2HA，则四边形 EFGH 为( D )
Байду номын сангаасA．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
解析：可借助正方体来分析，可知平行、相交及异面都有可
能，故选D.
第一章立体几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
又DHHA＝21，DGGC＝21，所以DHHA＝DGGC，所以 HG 綊23AC，
所以 EF∥HG 且 EF≠HG，所以四边形 EFGH 为梯形． (2)利用三角形中位线的性质和平行公理 4 可知，①、②、③ 中的四个点共面，而④中的四个点不共面．故填④.
(3)证明：如图,连接 PD,PE 并延长分别交 AB，BC 于 M，N. 因为 D，E 分别是△PAB,△PBC 的重心，所以 M，N 分别是 AB，BC 的中点，连接 MN，则 MN∥AC，且 MN＝12AC.① 在△PMN 中，因为PPMD＝PPNE＝23，所以 DE∥MN，且 DE＝23MN.② 由①，②，根据公理 4，得： DE∥AC，且 DE＝23×12AC＝13AC.
第一章立体几何初步
4．2 空间图形的公理(二)
1．问题导航 (1)两条异面直线所成角的范围是什么？ (2)空间四边形的对角线一定不相交吗？ (3)在平面中，我们知道“一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补”，在空间中这个结论还成立吗？

高中数学北师大版必修二课件：第一章立体几何初步§4 4-1 4-2 第2课时

[小组合作型]
公理4的应用
如图 1411，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB， BC，CD，DA 的中点．
(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD. 【导学号：10690012】
图 1411
【精彩点拨】 (1)若证明四边形 EFGH 是平行四边形，只须证明两组对边分别平行，也可证明一组对边平行且相等． (2)若四边形 EFGH 是矩形，则 EH⊥GH，从而推知 AC⊥BD.
【答案】 ①
4．如图 1419，夹在两平行平面间的两条线段 AB，CD 交于点 O，已知 AO ＝4，BO＝2，CD＝9，则线段 CO，DO 的长分别为________．
图 1419
【解析】 ∵AB，CD 相交于 O 点， ∴AC，BD 共面．又 AC 与 BD 不相交，∴AC∥BD， CO AO ∴DO＝BO，又 DC＝9，AO＝4，BO＝2，∴CO＝6，DO＝3.
教材整理 2
等角定理
阅读教材 P26“等角定理”部分内容，完成下列问题． 1．条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行． 2．结论：这两个角相等或互补．
空间中一个角 A 的两边与另一个角 B 的两边平行，若 A＝70° ，则 B＝______.
【解析】若 A 的两边与 B 的两边方向均相同或均相反，则 B＝70° ；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则 B＝110° .
1．下列结论中正确的是(
)
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c. A．①②③ C．③④ B．②④ D．②③

北师大版高中数学必修二课件§4.2空间图形的公理

总结：公理1、公理2及三个推论
公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）. 公理2.经过不在同一条直线上的三点，有且只一个平面（不共线 3点确定一个平面）.
推论1.经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面推论2.经过两条相交直线，可以确定一个平面推论3.经过两条平行直线，可以确定一个平面
公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判
定两平面相交的依据，提供了确定两个平面
新疆王新敞
奎屯
交线的方法．新疆王新敞奎屯
指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(或直线).
问题5、长方体中，棱AA1，BB1D，1 CC1是否平行C1？
A1
B
D
1
C
A
B
公理4：平行于同一条直线的两直线平行
C
C
A D
B
A
B(D)
问题4：图中的两个平面有几个交点？ α
β
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么有且只有一条通过这个点的公共直线.
即：两平面若相交，则公共部分必是一
条直线.
a
Aα
推理模式：A A

A

l

β
或者： A , A l，Al
应用：①确定两相交平面的交线位置； ②判定点在直线上
或者： A，B，C不共线
新疆王新敞
奎屯
存在唯一的平面，使得A，B，C
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
问题3：
（1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？（3）经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？

高中数学北师大版必修二课件：第一章立体几何初步§4 4-1 4-2 第1课时

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点共线与线共点问题
[探究共研型]
探究 1 如图 1-4-3 所示，在空间四边形各边 AD，AB，BC，CD 上分别取 E， F，G，H 四点，如果 EF，GH 交于一点 P，点 P，B，D 共线吗？请说明理由．
图 1-4-3
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【提示】连接 BD. ∵EF，HG 相交于一点 P，且 EF⊂平面 ABD，GH⊂平面 CBD， ∴P∈平面 ABD 且 P∈平面 CBD. 又平面 ABD∩平面 BCD＝BD， ∴P∈BD，∴点 P、B、D 共线．
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点线共面问题证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 【导学号：10690009】
【精彩点拨】先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内．或利用公理 1 的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面 α， β，然后证明 α，β 重合．
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[再练一题] 1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.
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【解】 (1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q. 图形分别如图(1)、(2)、(3)所示．
(4)平面内的直线与不在平面内的直线互为异面直线．( )
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【解析】 (1)不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错． (2)两个平面的交线是直线，故(2)错． (3)正确． (4)可能相交或平行，故(4)错．

高中数学北师大版必修二课件：第一章立体几何初步

向量的加法运算：向量加法遵循平行四边形法则如(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
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向量的减法运算：向量减法遵循平行四边形法则如(x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (x1x2, y1-y2, z1-z2)
向量积的坐标表示：两个向量的向量积的坐标表示为两个向量坐标的乘积
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添加标题
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混合积：三个向量的混合积是一个向量其坐标表示为三个向量坐标的乘积
混合积的坐标表示：三个向量的混合积的坐标表示为三个向量坐标的乘积
总结与展望
本章内容的总结与回顾
本章主要介绍了立体几何的基本概念和性质包括点、线、面、体等。学习了立体几何的度量方法如长度、角度、体积等。掌握了立体几何的证明方法如平行、垂直、相似等。学习了立体几何的应用如空间图形的绘制、空间物体的测量等。展望未来我们将继续深入学习立体几何掌握更多的知识和技能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
棱锥的表面积和体积
棱锥的定义：由一个多边形底面和若干个侧面组成的几何体
棱锥的表面积：底面积+ 侧面积
棱锥的体积：底面积×高 ÷3
棱锥的表面积和体积的计算公式： S=πr²+n(l ×h)V=πr²h /3
棱锥的表面积和体积的应用：建筑、工程等领域
球的表面积和体积
球的表面积：4πr^2 球的体积：4/3πr^3 球的表面积和体积公式推导球的表面积和体积在实际生活中的应用
几何性质：立体几何具有空间位置、形状、大小等性质平面几何具有位置、形状等性质

北师大版高中数学必修二课件4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1,2,3)

Ï 如图①，B∈b,Ba.
（2）空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外.
B 蝍 ,A 蟖 . 如图①，
思考交流 1.观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面的位置关系的例子. 2.观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置关系.
探究点2：空间图形的公理思考1：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的基础．

B
A l ,B l ,A ,B l

作用：判定直线是否在平关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
§4空间图形的基本关系与公理
4.1空间图形基本关系的认识
4.2空间图形的公理（公理1,2,3）
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、面组成,认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的，今天我们就来学习这些关系！
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成----点、线、面的基本位置关系.（难点） 2.掌握空间图形的三个基本公理.（重点）
确定一个平面呢？
用三角架支撑照相机．

2018_2019高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理二课件北师大版必修2ppt版本

语言 ∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
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× √ ×
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在等腰△MEF 中，取 EF 的中点 N，
连接 MN，则 MN⊥EF.
又因为 EF＝
3a，所以
EN＝
3 2 a.
故有
sin∠EMN＝EEMN ＝
3 2.
所以∠EMN＝60°，所以∠EMF＝2∠EMN＝120°.
因为∠EMF＝120°＞90°，所以 AD，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即 AD 和 BC 所成的角为 60°.
AB与B1C不同在任何一个平面内
答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
互动探究
题型三异面直线所成的角
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且 EG＝12CD，GF＝12AB. 所以∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角或其补角，EG＝GF. 因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF.所以∠EGF＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
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