万有引力定律(5)

GMm 4π 2 R F= = ma = m 2 2 R T R 3 GM ⇒ 2 = = 定值 2 T 4π
R M
m
例題：如果重力定律中兩質點間引力的大小與其距離的 n 次 方（n≠2）成反比，考慮一群以圓形軌道繞行恆星的行星， 設各行星的週期與其軌道半徑的平方成正比，則 n 的值應為： (A) 1 (B) 3/2 (C) 5/2 (D) 3。 [74日大] 答案：D M
rmin
c = a −b
•
c ： e = ，0 ≤ c < 1 a
橢圓的 程 。
2) 克卜勒行星第二運動定律： 由太陽至一行星的連線，於 相等時間中掃過相等面積。 推論一：行星與太陽之間距離 r 的平方與其公轉角速度 ω的乘積為一定值。 即
r 2ω = 定值
證明：面積掃描速率 = 定值 ∆A 1 ∆θ ⇒ lim = lim r 2 ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 2 ∆t 1 2 = r ω = 定值。 2
(a) 卡文迪西的扭擺實驗裝置。 (b) 現今教學實驗室所使用的實驗裝置。
利用所測出的 G 值，卡文迪西是第一位推算出地球質量與 密度的科學家。推算過程如下：
如地球的半徑為 R ，質量為 M ，則質量為 m 的物體 在地球表面所受到的重力為 GMm GM ⇒g= 2 R2 R 因此如知道地球的半徑（R mg = 推算出地球的質量與密度 gR 2 9.8 × 6.378 × 106 M= 5.97 ×1024 kg G 6.67 × 10−11 M 5.97 × 1024 ρ= 5.49( g / cm3 ) 4 4 3 πR × 3.14 × (6.378 × 106 )3 3 3
3. 牛頓對克卜勒定律的解釋：
• 第一定律的解釋：若行星受到太陽的引力遵守距離平方反 比定律，且行星的力學能小於零，利用微積分可以證明行 星的公轉軌道將會是以太陽為焦點的橢圓形軌道。 • 第二定律的解釋：牛頓指出，行星與太陽之間的引力為聯 心力，由角動量守恆定律可證明行星與太陽的連線於相同 的時間內將掃過相等的面積。 • 第三定律的解釋：行星的公轉如為圓形軌道，則第三定律 的証明是容易的。太陽對行星的引力提供行星作圓周運動 所需的向心力，因此
萬有引力定律
§ 6-1 克卜勒行星運動定律 § 6-2 萬有引力定律 § 6-3 萬有引力定律的應用 § 6-3 重力場
§ 6-1 克卜勒行星運動定律
1. 科學家對太陽系的了解：
• 西元二世紀時，托勒密認為地球是宇宙的中心，提出「地 心說」。 • 西元十六世紀哥白尼提出「日心說」，認為太陽才是宇宙 的中心，建構了我們現在所認識的太陽系。 • 克卜勒利用第谷所遺留給他的大量有關行星運動的精確數 據，發現了行星運動的規律，稱為克卜勒定律。 • 牛頓發現了萬有引力定律，從理論上直接的導出了克卜勒 定律。牛頓證明了天體運動和地面物體的運動都遵守同樣 的力學定律。
例題：已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞太陽運轉 平均距離的 10倍，則土星繞太陽一周需時__________年。 [83.日大]
答案：10 10 年。
例題：海爾—波普慧星的週期約為 2500年，則其與太陽的 平均距離，為地球與太陽平均距離的多少倍？ (A)2500 (B)1665 (C)615 (D)185 (E)50。 [86.日大] 註：這顆彗星是在一九九五年七月廿三日由兩位天文學家 Hale 和 Bopp 同時發現的。 答案：D D
在近日點與遠日點時 θ = 900 ，因此如在 近日點與遠日點時行星的速率分別為 v近 與 v遠 ，與太陽的距離分別為 rmin 與 rmax ， 則
s
v r
θ
v v
r sin θ r
θ
v∆t
1 ∆A = v∆t (r sin θ ) 2
rmin v近 = rmax v遠
3) 克卜勒行星第三運動定律：行星與太陽的平均距離 R 的 立方，與行星繞太陽週期 T 的平方之比值對各個行星皆 相同。
質點受到均勻球體的吸引力 F 隨其與 球心距離 r 的關係圖如右圖所示。 R
R
r m
F
r
例題：獨立系統中，密度均勻，質量 M、 半徑 R 之實心球，挖掉切過球面且半徑為 R⁄2 的球體，如右圖所示，則在下列條件 下，質量 m 之質點所受之引力若干？ 質點在 (A) 離球表面垂直距離 R 處之 A 點 (B) 球表面上之 B 點 (C) 球心 O 點 (D) 空球心 C 點。
例題：繞太陽運轉的某彗星，其週期為 64年，且近日點距太 陽為 2 A.U.，則該彗星在近日點的速率與在遠日點的速率的比 值為若干？ 答案：15
例題：設一行星繞太陽在橢圓形軌道運 行，其橢圓的長軸與短軸各為 10R 與 8R， 而太陽 S 至橢圓形軌道對稱中心 O 點之 距離為 3R，且行星在遠日點 B 之速率為 v，則行星在 C 點之速率為何？ 答案：2v
பைடு நூலகம்
∆A (π r 2 ) ×
∆θ 1 2 = r ∆θ 2π 2
推論二：行星與太陽之間距離 r 與其公轉速度 v 滿足
rv sin θ = 定值 v v θ 為 r 與 v 之間的夾角。
證明：面積掃描速率 = 定值 ∆A 1 v∆t sin θ ⇒ lim = lim r ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 2 ∆t 1 = rv sin θ = 定值。 2
r
m
例題：假如兩顆行星以圓形軌道環繞太陽運行，軌道半徑比 為 1：4 求 (a) 週期比； (b) 軌道速率比； (c) 角速率比； (d) 向心加速度比。 答案：(a) 1：8；(b) 2：1；(c) 8：1；(d) 16：1
牛頓的球殼定理： 均勻薄球殼對球殼內的質點所產生的萬有引力為零
證明：如右圖，取過質點之一對稱角錐，兩錐面與質點的 距離各為 r1 與 r2 ，錐面的質量各為 m1 與 m2 ，對應之面積 為 A1 與 A2 。如角錐的立體角為 ∆θ ，則 ∆θ A1 = 4π r12 × = r12 ∆θ ； A2 = r22 ∆θ 4π 因此 m1 : m2 = A1 : A2 = r12 : r22 兩錐面對質點的吸引力 F1 與 F2 ， Gm1m Gm2 m F1 : F2 = : = 1:1 2 2 r1 r2 即兩錐面對質點的吸引力彼此相抵消。 因此整個球殼對質點所產生的引力為零。
例題：假如我們可以由地球一端沿徑向挖地道，通過地球中 心而到達另一端。忽略摩擦力並假設地球為均勻球體。則將 物體由地道的一端釋放，試求物體到達另一端的時間。
R 答案：所需時間為π ≈ 2538秒 g
2. 萬有引力的性質：
• 兩個具有體積的物體，其間的萬有引力須以積分的方法來 計算，不一定可以看成是所有質量都集中在質心來計算。 • 一個均勻球體對外界物體所產生的吸引力，相當於球體的 質量全部集中於球心處的質點所產生的吸引力。 • 均勻球殼對球殼內的質點所產生的萬有引力為零；對球殼 外的質點所產生的吸引力，相當於球殼的質量全部集中於 球心處的質點所產生的吸引力。
30o
地
例題：如右圖所示，甲、乙兩人造衛星以圓形軌道繞地球運 轉，假設運行的軌道在同一平面上，且運行的方向相反。甲 衛星發現每隔 1⁄9 週期會與乙衛星相遇（即甲、乙兩衛星與地 球恰在一直線上且在地球同側），若忽略甲、乙兩衛星間的 作用力，則甲、乙兩衛星軌道半徑之比為何？ (A) 1：4 (B) 1：2 (C) 1：1 (D) 2：1 (E) 4：1。 [95.指定科考] 答案：E
2003年11月，美國天文學家邁克爾·布朗和他的同事在柯伊 伯帶中發現了一顆被稱作「塞德娜」的行星，它的體積也 和冥王星接近，新行星距離太陽大約 145億公里，公轉週 期為 560年。 在英語中，關於行星 的稱法只有 planet （大行星）和 asteroid（小行星） 兩種。這顆新行星是 否為 planet. 科學家 的看法仍存有歧見。
6.378 ×106 公尺），即可
例題：太空人乘坐火箭離開地球，當其體重減半時，火箭離 地高度為地球半徑之幾倍？
答案：( 2 − 1) R
例題：某星球其平均質量密度與地球相同，半徑為地球之兩 倍，在地球上重量為 64 公斤的人到該星球上時，其重量為： (A)16公斤 (B)32公斤 (C)128公斤 (D)256公斤。 [69.日大] 答案： C
地球
§ 6-2 萬有引力定律
1. 萬有引力定律：
任何兩質點之間存在一互相吸引之力，稱為萬有引力或 重力。此力的大小與兩質點的質量成正比，與兩質點之 間的距離平方成反比
m1m2 F =G 2 r
m1
r F F
m2
Nm 2 萬有引力常數 G = 6.67 ×10−11 ( 2 ) kg
1798年，英國科學家卡文迪西利用兩對大小鉛球之間 的萬有引力對連桿產生的力矩，在實驗室中準確的測 出萬有引力常數 G 值。
m1 r1
r2 m2
例題：密度均勻，質量為 M，半徑為 R 的球體對距離其球心 為 r，質量為 m 的質點，所產生的萬有引力為何？
解：距離球心大於 r 部分的球殼對質點 的吸引力為零。而半徑為 r 的球體部分 r3 質量 M ′ = 3 M ，此部份對質點的 R GmM ′ GmMr 吸引力 F = = 2 r R3
6 答案： T 9
例題：已知某行星繞太陽之面積速率為 A，當時與太陽的距 離為 r，則其繞太陽公轉的瞬時角速度為何？
答案：
2A r2
例題：某行星在近日點時與太陽之連線距離為 r，在單位時 間內掃過之面積為 A，則其軌道之瞬時速度大小為何？
2A 答案： r
例題：設行星繞日之軌道均為圓，由地球觀察某行星與太陽 之最大夾角為 30o，則 (A) 地球軌道半徑為 R，該行星之軌 道半徑為何？ (B)該行星繞日之週期約為幾天？ 答案：(A) 0.5R。 (B) 約為 129天 行 日
解：(A) 23GMm 100 R 2