高中数学主元思想在含参问题中的应用学法指导
高中数学 运用主元思想 探究解题途径 学法指导
高中数学 运用主元思想 探究解题途径 学法指导史建军根据具体条件和解题需要，从不同的角度出发，在众多变元中选用一个变元为主元，并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法。
许多数学问题，都含有常量、参量和变量（统称为元素），这些元素中，必有某个元素在问题中处于突出的、主导的地位，我们在解题时把这个元素看作主元。
那么，如何灵活的选择主元从而用主元法解题？实施主元法解题的技巧有哪些？本文就此作一些探讨。
一、抓住特征，确立主元在众多变元中，选择其中一个变元为主元，视其他变元为参量，突出主要矛盾，淡化次要矛盾，促成问题转化。
例1. 已知z ,y ,x R ∈且2z y x ,z y x 2222π=++π=++。
求证：π≤≤32z ,y ,x 0。
解析：条件中有3个变量，却只有两个等式，证明似乎无从下手。
考虑到本题是一个多变量问题，因此可先减少变元的个数，由)y x (z +-π=代入2z y x 2222π=++可得：2)y x (y x 2222π=--π++，选择变量x 为主元，视y 为参数，则上式可化为关于x 的二次三项式即：02y 2y 2x )y (2x 2222=π+π-+-π-（*），以上述方程有实数解为突破口，证明思路便十分清楚。
在上述方程（8）中，因为0≥∆，即)2y 2y 2(8)y (4222π+π---π=∆ 0y 12y 84y 16y 164y 8y 422222≥-π=π-π+-π+π-=。
所以0)y 32(y ≥-π，所以π≤≤32y 0，同理可得：π≤≤π≤≤32z 0,32x 0。
所以π≤≤32z ,y ,x 0。
评注：解决一个多变元问题，其关键是减少变元个数，由条件代入可消去一部分变元，但未必能达到最终变“多元”为“一元”的目的。
此时，若选择其中一个变元为主元，视其它变元为参量，则能突出主要矛盾，变“多元”问题为“一元”问题。
二、集中变量，整体消元在处理多变元问题时，选取含有若干变元的表达式为主元一一集中变元，通过消去主元（或非主元）逐步减少变元个数，达到解决问题的目的。
谈数学思想方法在高中数学教学中的应用
谈数学思想方法在高中数学教学中的应用数学思想方法是指运用逻辑、抽象、严密推理等数学思想来解决实际问题的方法。
在高中数学教学中，教师应该利用数学思想方法来指导学生进行数学学习，引导学生掌握数学基本概念，分析问题，解决问题，提高数学证明和推理能力，培养学生的数学思维和创新能力。
数学思想方法旨在帮助学生了解数学的本质，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的问题解决能力，使学生对数学产生浓厚的兴趣和热情。
要想成功应用数学思想方法进行高中数学教学，就需要教师具备深厚的数学功底和丰富的教学经验。
也需要学生具备一定的数学基础和较强的数学求知欲。
数学思想方法可以帮助学生理解数学公理和定理。
在高中数学课程中，许多数学概念和理论都是从公理和定理出发的，通过数学思想方法教学，可以让学生更深入理解数学公理和定理的本质，帮助学生建立起逻辑思维框架，提高他们的数学抽象能力。
在教授中学数学中的平行公设定理时，可以通过数学思想方法来引导学生构建平行线的概念，探讨平行线的性质和应用，以及相关定理的证明过程，使学生理解平行公设定理的本质和重要性。
数学思想方法可以帮助学生分析和解决实际问题。
数学思想方法强调从实际问题出发，通过建立数学模型，利用数学原理和方法解决实际问题。
在高中数学教学中，可以通过讲解实际问题，引导学生分析实际问题的本质和特点，发现其中的数学规律和联系，然后运用数学思想方法解决问题。
在教学中学数学中的函数问题时，可以通过实际生活中的例子引出函数的概念，然后通过数学思想方法进行分析和解决，让学生理解函数的应用和意义。
数学思想方法可以帮助学生培养数学思维和创新能力。
数学思维和创新能力是数学学习和研究的核心能力，也是数学思想方法的最终目标。
通过数学思想方法教学，可以引导学生进行数学探究和发现，培养学生的数学直觉和想象力，激发学生对数学探索的兴趣和热情，促进学生的数学创新思维和创新能力的培养。
在教学中可以引导学生进行一些数学探究项目，让学生自主研究和发现数学规律和定理，激发学生的数学思维和创新能力。
谈数学思想方法在高中数学教学中的应用
谈数学思想方法在高中数学教学中的应用
数学思想方法是概念性的有机整体,在高中数学教学中是极其重要的。
许多学者把它认为是数学思维方法的基础，而这种基础可以帮助学生更好地理解数学知识，以及把数学思维与其他学科的思想相关联。
因此，在高中数学教学中，将数学思想方法融入到日常教学中至关重要。
首先，在高中数学教学中，要特别注意思想方法跟数学概念之间的联系。
通过引入有关数学思想方法的课程，可以帮助学生更好地理解和运用数学知识。
例如，在解决有关加减乘除概念的问题时，可以让学生学习解题方法，以及思考运算过程中的细节。
其次，高中数学教学中也应特别强调数学思想的运用。
教师可以根据学生的特点，运用各种思维模式帮助学生认识和理解相关数学知识。
例如，教师可以用演示图片和动画来丰富教学，可以引入图形概念，让学生把数学思维应用到实际问题解决中。
此外，要建立良好的数学实践和思考环境，激发学生思考与创新的能力。
在课堂上，我们可以设计思维活动来激发学生的思维，教师要给学生充足的时间去思考深入，避免出现“重新回到冰冻的问题上”的现象。
另外，给学生提供小组学习的平台，让学生在交流和讨论中发挥创造性思维，真正做到学以致用。
综上，在高中数学中，教学应该着重于数学思想方法的学习与应用，而不是单纯的数学技能。
只有让学生掌握有效的数学思想方法，学生才能在之后的终生教育过程中更好地理解和应用数学知识。
最后，在数学教学实践中，要建立良好的思想环境，培养学生创造性思维与能力，拥有更强厚的数学素养。
例讲高中数学思想在解题中的应用
例讲高中数学思想在解题中的应用【内容摘要】数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。
高中数学涉及很多的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想等，用于解答数学习题，能够少走弯路，提高解题正确率。
授课中应注重为学生逐一讲解这些数学思想，总结这些思想适用的数学题型。
与此同时，针对不同的数学思想，与学生一起剖析经典的例题，以达到锻炼学生思维，提升其举一反三能力。
【关键词】高中数学思想解题应用例讲高中数学习题类型复杂多变，解题的思路方法不尽相同，尤其在解题的过程中注重相关数学思想的应用，可获得事半功倍的解题效果。
为提高学生对数学思想的重要性认识，自觉认真的学习、总结高中阶段相关的数学思想，并能具体问题具体分析，应注重为学生做好相关数学思想在解题中的应用示范。
一、函数与方程思想的应用例讲函数与方程是高中数学的重要知识点，两者有着千丝万缕的联系。
解题的过程中通过函数与方程之间的灵活转换，可有效地突破相关习题。
教学中应注重与学生一起总结函数与方程之间的契合点，使学生更好地把握两者之间转化的相关细节。
如涉及方程、零点问题，可将方程拆分成两个常见函数，其中两个函数图象交点的横坐标为方程的根，函数图象交点个数为零点个数，为函数与方程思想的应用做好铺垫。
不仅如此，授课中还应为学生系统的讲解高中阶段的常见函数，使其牢固掌握常见函数的相关性质、常见函数之间的联系，如指数函数图象和对数函数图象关于y=x对称，使学生能够根据题干创设的情境将方程迅速地拆分成相关函数，通过函数与方程思想的应用，进行函数与方程的转化，尽快地求出数学问题的正确结果。
另外，为使学生明白如何运用函数与方程思想解题，使其在应用中少走弯路，应结合相关教学内容精心筛选相关习题，与学生一起剖析破题思路，详细的板书解题过程。
如在讲解对数函数知识时，可讲解如下例题：二、数形结合思想的应用例讲数与形有着密切的联系，数与形之间转化的思想，即为数形结合思想。
创界学校主元思想在含参问题中的应用 学习指导 不分本 试题
智才艺州攀枝花市创界学校主元思想在含参问题中的应用余红丹含参数问题通常含有两个或者两个以上变元，我们在解题中可视其中一个为主元，其余视为参数，化多元问题为一元问题，常可降低思维难度。
1.主元与次元互换一般地，可把范围的那个量看作自变量，另一个看作常量。
例1.对于04≤≤p 的一实在数，不等式x px x p 243+>+-恒成立，求x 的取值范围。
分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y ＝x p x p 243+-+-()，于是问题转化为当p ∈[]04，时，y >0恒成立，求x 的范围。
解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是比较复杂的。
假设把x 与p 两个量互换一下角色，即将p 视为变量，x 为常量，那么上述问题可转化为关于p 的一次函数在[0，4]内大于0恒成立的问题。
解：设f p x p x x ()()=-+-+1432。
显然x =1时不满足题意，由题设知当04≤≤p 时，f p ()>0恒成立， 所以只要f ()00>，且f ()40> 即x x 2430-+>且x 210->解得x >3或者x <-1例 2.设方程xax b a b R 222022++-=∈-∞-⋃+∞()()[)，在，，上有实根，求a b 22+的取值范围。
分析：此题假设直接由条件出发，利用实根分布条件求出a ，b 满足的条件，视a b 22+为区域内点与原点间隔的平方，以此数形结合，亦可获解，但过程繁琐。
考虑到变量a ，b 是主变量，反客为主，视方程x ax b 2220++-=为aob 坐标平面上的一条直线l ：xa b x ++-=220，P 〔a ，b 〕为直线上的点，那么ab 22+即为|PO|2，设d 为点O 到直线l 的间隔，由几何条件知 因为x∈-∞-⋃+∞()[)，，22，令t x =+21， 那么t ∈+∞[5)，， 且易知函数t t+9在[5)，+∞上为增函数。
谈数学思想方法在高中数学教学中的应用
谈数学思想方法在高中数学教学中的应用数学思想方法在高中数学教学中的应用一直备受教育界和学者们的关注。
数学思想既包括了数学的概念和原理，也包括了对于解决实际问题的思考逻辑和方法。
数学教学中的数学思想方法则需要传授学生使用逻辑推理和分析问题，积累数学通用的思维方法和技巧。
这一过程对于培养学习者的数学素养和创新能力具有十分重要的作用。
1. 空间想象力 - 在几何学习中，我们常常需要想象出二维和三维空间的关系。
为此，需要进行数学推理和剖析，将复杂的二维及三维空间转换为基于画图和演绎推理的思维过程。
这一能力被称为空间想象力，是高中数学教学中发展学生空间思维能力的基础。
2. 抽象思维 - 在代数学习中，我们需要用变量和符号来代替实际数值，并通过逻辑推理和证明方法证明数学定理。
这一过程涉及到运用符号和符号运算，将实际的数学问题进行数学模拟和抽象描述。
通过抽象思维，我们可以更好的探究数学本质的规律和定律。
3. 分析能力 - 在数学教学中，我们经常需要通过分析问题的方法阐述问题的本质，找到问题的关键点。
高中数学中的各种问题，拓宽了学生的思维空间，同时也需要学生对不同问题进行分析和总结。
数学分析能力不仅有利于数学学科自身的发展，也有益于学生的其他学科和生活中的判断分析能力的发展。
4. 探究精神 - 数学中最初的发现和推理大多数来自于探究精神。
高中数学课堂中，培养学生的探究精神是十分必要的。
这种探究精神能够帮助学生自主、主动的发掘问题的内部联系，创造性的构建自己的思维模型和解题思路。
1. 数学建模竞赛 - 数学建模竞赛是基于实际问题所开展的一种学术活动。
其中涉及到问题的分析过程、思维的抽象和建模过程等环节。
通过数学建模竞赛，可以培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题的能力以及组织和表达问题的能力。
2. 数学竞赛擂台赛 - 通过数学竞赛擂台赛的方式，可以培养学生的计算能力、逻辑推理能力和思维动态能力。
在擂台赛期间，学生需要用加速的思考速度来解决各种难度不等的数学问题。
“主元法”在高中数学中解题中的应用
龙源期刊网
“主元法”在高中数学中解题中的应用
作者：刘月品
来源：《读写算》2012年第29期
[摘要] 数学中解答多元问题时,如果把它们不分主次来研究,问题很难解决,所谓“主元”方法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题转化为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想. 通常情况下,有一些元素处于突出和主导的地位,可视之为主元;在有些情况下,为解决问题的需要,我们也可人为突出某个元素的地位作用,将之当作主元.确
立主元后,以此作为解题的主线,进而把握问题、促使问题转化,直至问题解决。
高中数学课堂教学中渗透数学思想的策略与方法
高中数学课堂教学中渗透数学思想的策略与方法高中数学课堂教学是培养学生数学思想的重要环节，如何在数学课堂教学中渗透数学思想成为了备受关注的问题。
数学思想是指在解决问题过程中的思考方式、逻辑推理和抽象思维能力，是学习数学、应用数学的重要基础。
本文将结合实际教学经验，分享一些关于高中数学课堂教学中渗透数学思想的策略与方法。
一、培养学生的问题意识在高中数学课堂教学中，首先要培养学生的问题意识。
数学思想是源于问题，通过解决问题可以培养学生的数学思维。
教师在教学过程中应该注重提出有启发性的问题，引导学生主动思考、探索。
在讲解平面向量的时候，可以给学生出一道生活中的问题，让他们用向量的概念去解答，从而培养学生发现问题、解决问题的能力。
二、引导学生建立数学模型在数学课堂教学中，引导学生建立数学模型是培养学生数学思想的重要手段。
通过实际问题的模型化，可以使学生了解数学的实际应用，激发学生学习数学的兴趣。
在讲解函数的时候，可以让学生通过实际问题去建立函数模型，从而使他们更加深入地理解函数的概念和应用。
三、注重培养学生的逻辑推理能力在高中数学课堂教学中，注重培养学生的逻辑推理能力是渗透数学思想的一种重要策略。
数学思想是包括逻辑思维在内的一系列思考方式，而逻辑推理是数学思想的基础。
在教学中可以通过讲解一些有趣的逻辑问题，来培养学生的逻辑推理能力。
可以通过讲解数学归纳法来引导学生学会使用归纳的思维方式解决问题。
四、注重培养学生的抽象思维能力在高中数学课堂教学中，注重培养学生的抽象思维能力也是非常重要的。
数学思想的核心之一就是抽象思维能力，而数学抽象思维是指用简单的概念和性质来描述复杂现象的能力。
在教学中可以通过引入一些抽象的数学概念，来培养学生的抽象思维能力。
在讲解集合论的时候，可以引导学生建立起对集合的抽象认识，从而培养他们的抽象思维能力。
六、引导学生进行合作学习在高中数学课堂教学中，引导学生进行合作学习是渗透数学思想的有效途径。
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高中数学主元思想在含参问题中的应用
余红丹
含参数问题通常含有两个或两个以上变元，我们在解题中可视其中一个为主元，其余视为参数，化多元问题为一元问题，常可降低思维难度。
1. 主元与次元互换
一般地，可把已知范围的那个量看作自变量，另一个看作常量。
例1. 对于04≤≤p 的一切实数，不等式x px x p 2
43+>+-恒成立，求x 的取值范围。
分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y ＝x p x p 243+-+-()，于是问题转化为当p ∈[]04，时，y >0恒成立，求x 的范围。
解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是比较复杂的。
若把x 与p 两个量互换一下角色，即将p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为关于p 的一次函数在[0，4]内大于0恒成立的问题。
解：设f p x p x x ()()=-+-+1432。
显然x =1时不满足题意，
由题设知当04≤≤p 时，f p ()>0恒成立，
所以只要f ()00>，且f ()40>
即x x 2430-+>且x 2
10->
解得x >3或x <-1
例2. 设方程x ax b a b R 222022++-=∈-∞-⋃+∞()()[)，在，，上有实根，求a b 22+的取值范围。
分析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a ，b 满足的条件，视a b 22
+为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合，亦可获解，但过程繁琐。
考虑到变量a ，b 是主变量，反客为主，视方程x ax b 2220++-=为aob 坐标平面上的一条直线l ：xa b x ++-=220，P （a ，b ）为直线上的点，则a b 22+即为|PO|2，设d 为点O 到直线l 的距离，由几何条件知 ||(||
)()PO d x x x x 2222222
221
131≥=-+=+-+ =+++-()x x 22191
6 因为x ∈-∞-⋃+∞()[)，，22，令t x =+21，
则t ∈+∞[5)，，
且易知函数t t
+9在[5)，+∞上为增函数。
所以||()PO x x 222191
6≥+++- =+-≥+-=t t 96595645
即a b 2245+≥。
2. 常元与变元互换
在一个含有变元的式子中，有时将常数视为变元，也即将主要变元视为常数，可产生出乎意料的解题效果。
例 3. 已知930c o s s i n t a n B A C ++=，sin cos tan 240A B C -=，求证tan cos C B =9。
证明：令3=x ，于是得到关于x 的方程x B x A C 20cos sin tan ++=①。
若cos B ≠0，由已知sin cos tan 240A B C -=，知方程①的判别式∆=0。
所以方程①有两个相等的实根，
所以33+=-sin cos A B
所以sin cos A B =-6
所以9360cos (cos )tan B B C +-+=
即tan cos C B =9
若cos B =0，则由题设两式易知sin A =0，tan C =0，可见tan cos C B =9也成立。
点评：本题若用三角公式证明，不仅代换复杂，而且很难找出A 、B 、C 之间的关系。
这里注意观察条件，发现x =3是方程x B x A 2cos sin +＋tan C =0的两个相等实数根，从而利用判别式和韦达定理的知识使本题获解。
例4. 已知二次方程ax a x a 222147+-+-()＝0中的a 为正整数，问a 取何值时，此方程至少有一个非负整数根。
分析：按常规，先求出方程的根x a a a
=-+1213±，再由此式讨论方程至少有一个非负整数根的条件，这是较为困难的。
若把a 视为主元，解法将变得易行。
解：把a 视为主元，则方程可改写为关于a 的一次方程()x x a x 24427++=+，于是a x x =++2722
()。
因为a 为正整数，所以
27212x x ++≥() 即x x 2
230++≤
解得 -≤≤31x 又x 是非负整数，所以x =0，或x =1，而当x ＝0时，a =74
；x ＝1时，a ＝1。
故当a ＝1时，此方程至少有一个非负整数根。
3. 多元问题确定主元
含多个参数的问题，可适时确立不同的主元，以达到求解之目的。
例5. 已知f x x a x x R ()()=
-+∈22
2，集合A ＝[－1，1]，设关于x 的方程f x x ()=1的两根为x x 12，，试问是否存在实数m ，使得不等式m tm x x 2121++≥-||对任意a A t A ∈∈及恒成立？若存在求出m 的取值范围，若不存在请说明理由。
分析：本题含有3个参数a ，m ，t ，可在不同解题阶段确立不同的主元，隐去另两个参
数，从而将问题解决。
解：由
2212x a x x
-+=得 x ax 220--=
因为∆=+>a 280
所以x x a x x 12122+==-， 又||()x x x x x x 12122124-=+- =+a 28
而a ∈-[]11，
所以||x x a 1228183-=
+≤+=
由不等式m tm x x a A t A 2121++≥-∈∈||对及恒成立
所以m tm x x 2121++≥-||max ， 即m tm 213++≥恒成立。
记g t mt m ()=+-22，
则g t t A ()≥∈0对恒成立
所以g g ()()1010≥-≥且
得m m ≥≤-22或
所以存在实数m 满足题意。
例6. 已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为1627
，求长方体的体积的最值。
解：设三条棱长分别为x ，y ，z ，则长方体的体积V ＝xyz 。
由题设有 x y z xy yz zx ++=++=
121627，() 所以yz xy zx x x =-+=-+827827
2() 故体积V （x ）==-+xyz x x x 32827
下面求x 的取值范围。
因为y z x yz x x +=-=
-+1827
2，， 所以y 、z 是方程t x t x x 221827
0--+-+=()的两个实根。
由∆≥≤≤01959
，得x 因为V x x x '()=-+32827
2 =--32949
()()x x 所以当x =49时，V x ()min =16729；
当x=2
9
时，V x()
max
=
20
729。
评析：解决本题的关键在于确定目标函数时，根据相关条件的特征，构造了二次方程，并由此得出定义域使问题得解。