2018年高考数学一轮复习第七章立体几何第40讲空间点直线平面之间的位置关系课件理
2019版高考数学一轮复习第七章立体几何第40讲空间点直线平面之间的位置关系学案2018050721
第40讲空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求考情分析命题趋势理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.2017·全国卷Ⅱ，102017·全国卷Ⅲ，162016·浙江卷，2空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力.分值：5分1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的__两点__在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过__不在一条直线上__的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有__一个__公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条__相交__直线有且只有一个平面；推论3：经过两条__平行__直线有且只有一个平面．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧__平行__，__相交__，异面直线：不同在__任何__一个平面内.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的__锐角(或直角)__叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：__⎝⎛⎦⎥⎤0，π2__.(3)平行公理：平行于__同一条直线__的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__. 3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)直线与平面的位置关系有__相交__、__平行__、__在平面内__三种情况． (2)平面与平面的位置关系有__平行__、__相交__两种情况．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( × )(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，并记作α∩β＝A ．( × ) (3)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC ．( × )(4)已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 不可能是平行直线．( √ ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) 解析 (1)错误．当两个平面平行时，把空间分成三部分． (2)错误．由公理3知应交于过点A 的一条直线． (3)错误．应相交于直线BC ，而非线段．(4)正确．因为若c ∥b ，则由已知可得a ∥b ，这与已知矛盾． (5)错误．异面或平行．2．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( D ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直解析 因为b ∥c ，a ⊥b ，所以a ⊥c ，即a 与c 垂直． 3．下列命题正确的个数为( C )①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析①错误，②③正确．4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( D)A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为__60°__.解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.一平面的基本性质及应用用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【例1】以下四个命题中，正确命题的个数是( B)①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b ，c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确，故选B ．【例2】 已知空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC ．求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)直线FH ，EG ，AC 共点． 解析 (1)连接EF ，GH ，∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD ． 又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC ．又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ，∴M ∈EG .∴FH ，EG ，AC 共点．二 空间两条直线的位置关系判断空间两条直线的位置关系的方法(1)异面直线，可采用直接法或反证法．(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理．(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．【例3】 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析(1)不是异面直线．理由如下：连接MN，A1C1，AC．∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B，C，C1∈α矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．三两条异面直线所成的角两异面直线所成角的作法及求解步骤(1)找异面直线所成的角的三种方法：①利用图中已有的平行线平移．②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．③补形平移．(2)求异面直线所成的角的三个步骤：①作：通过作平行线，得到相交直线．②证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角．③算：通过解三角形，求出该角．【例4】(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是__②③__(填写所有正确结论的编号)．解析由题意，AB是AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE ⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝2，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝2，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝2，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝2，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．∴正确的说法为②③.1．下列命题中正确的个数是( A)①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.A．0 B．1C．2 D．3解析对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图1所示的三棱锥P－ABC中，PB⊥面ABC，BA⊥BC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故②错误；对于③，在如图2所示的三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝AC＝PA＝2，PB＝PC＝3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥P－ABC不是正三棱锥，故③错误；对于④，直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α，β可以平行，故④错误．所以正确命题的个数为0，选A．2．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( C ) A ．两条相交直线 B ．两条平行直线 C ．两个点D ．一条直线和直线外一点解析 如图，在正方体ABCD －EFGH 中，M ，N 分别为BF ，DH 的中点，连接MN ，DE ，CF ，EG .当异面直线为EG ，MN 所在直线时，它们在底面ABCD 内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE ，GF 所在直线时，它们在底面ABCD 内的射影分别为AD ，BC ，是两条平行直线；当异面直线为DE ，BF 所在直线时，它们在底面ABCD 内的射影分别为AD 和点B ，是一条直线和一个点，故选C ．3．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( C )A ．32 B ．155 C ．105D ．33解析 如图所示，将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，故选C ．4．如图，在直二面角E －AB －C 中，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3.(1)证明：FB ⊥平面PAC ；(2)求异面直线PC与AB 所成的角的余弦值． 解析 (1)证明：易得FB ＝4，cos ∠PFA ＝cos ∠BFA ＝32， 在△PAF 中，由余弦定理得PA ＝PF 2＋FA 2－2PF ·FA ·cos ∠PFA ＝9＋12－2×3×23×32＝ 3. ∵PA 2＋PF 2＝3＋9＝12＝AF 2，∴PA ⊥BF .∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面ABEF .∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC ⊥BF .∵PA ∩AC ＝A ，∴BF ⊥平面PAC ．(2)过P 作PM ∥AB ，PN ∥AF ，分别交BE ，BA 于M ，N ，∠MPC 或其补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC ．易得PN ＝MB ＝32，AN ＝32，NC ＝AN 2＋AC 2＝52，BC ＝22，PC ＝PN 2＋NC 2＝7，MC ＝MB 2＋BC 2＝352， cos ∠MPC ＝14＋7－3542×12×7＝－327＝－3714.∴异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为3714.易错点 忽视位置关系错因分析：考虑问题不全面，忽略元素存在的多种可能性，导致丢解．【例1】 设平面α，β满足α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若SA ＝18，SB ＝9，CD ＝34，求SC 的长度．解析 设相交直线AB ，CD 确定的平面γ，则γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，由α∥β，得AC ∥BD ．①当S 点在两平面的同侧时，如图1，因为AC ∥BD ，所以SB SA ＝SD SC ，即918＝SC －34SC，所以SC ＝68.②当S 点在两平面之间时，如图2，因为AC ∥BD ，所以SA SB ＝SC SD ＝SC CD －SC ，即189＝SC 34－SC，解得SC ＝683.综上知SC ＝68或SC ＝683.【跟踪训练1】 若一直线上有相异三个点A ，B ，C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( D )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交且不垂直D ．l ∥α或l ⊂α解析 由于l 上有三个相异点到平面α的距离相等，则l 与α可以平行，l ⊂α时也成立．课时达标 第40讲[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．设a ，b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l ⊥a ，l ⊥b ”是“l ⊥α”的( C )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 直线a ，b 平行时，由“l ⊥a ，l ⊥b ”⇒/ “l ⊥α”；“l ⊥α”⇒“l ⊥a ，l ⊥b ”，所以“l ⊥a ，l ⊥b ”是“l ⊥α”的必要不充分条件．2．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( A )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，C，A四点共面．∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．∴A，M，O三点共线．3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( A)A．相交B．异面C．平行D．垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．4．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( D)A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．5.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1＝1，则BD1与AF1所成角的余弦值为( A)A．3010B．12C．3015D．1510解析取BC的中点E，连接EF1，EA，则可知∠EF1A为BD1与AF1所成的角，在△AEF1中，可求得F1E＝62，AF1＝52，AE＝52，由余弦定理得，cos∠EF1A＝⎝⎛⎭⎪⎫622＋⎝⎛⎭⎪⎫522－⎝⎛⎭⎪⎫5222×62×52＝3010，故选A．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝13AB1，BN＝13 BC1.给出下列结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN.其中正确结论的个数是( B)A．1 B．2C．3 D．4解析在BB1上取一点P，使BP＝13BB1，连接PN，PM.∵点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝13AB1，BN＝13BC1，∴PN∥B1C1，PM∥A1B1.又∵PN∩PM＝P，B1C1∩A1B1＝B1，∴平面PMN∥平面A1B1C1D1.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面A1B1C1D1.又∵AA1⊥平面PMN，∴AA1⊥MN.故①③正确．分别作MM1∥BB1，NN1∥CC1，交A1B1，B1C1于点M1，N1，连接M1N1，则M1N1不平行于A1C1，∴MN与A1C1不平行．又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1与MN不垂直，故②④不正确．∴正确结论的个数是2，故选B．二、填空题7．下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是__①②③__.解析在④图中，可证Q点所在棱与平面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．8．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有__6__对．解析由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为__③④__(填所有正确结论的序号)．解析AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60°.三、解答题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M 与DN所成的角的大小．解析如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，∴DN⊥A1M，即异面直线A1M与DN所成的夹角为90°.11．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC 12AD，BE12FA，G，H分别为FA, FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH 12 AD．又BC 12AD，∴GH BC．∴四边形BCHG为平行四边形．(2)由BE 12AF，G为FA的中点知，BE FG，∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．12．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E 是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A －EBC 的体积．解析 (1)证明：假设AE 与PB 共面，设此平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α，所以平面α即为平面ABE ，所以P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线． (2)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成的角， 因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， 由余弦定理得cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.(3)因为E 是PC 的中点，所以点E 到平面ABC 的距离为12PA ＝1，V A －EBC ＝V E －ABC ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×32×1＝33.。
2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题40空间点、直线、平面之间的位置关系
专题 40 空间点直线平面之间的位置关系
高频考点二 判断空间两直线的位置关系 例 2、 (1)若直线 l 1 和 l 2 是异面直线， l 1 在平面 α内， l 2 在平面 β内， l 是平面 α与平面 β的交线，则下列命 题正确的是 ( ) A ． l 与 l 1， l 2 都不相交 B ． l 与 l 1， l2 都相交 C． l 至多与 l 1， l 2 中的一条相交 D ． l 至少与 l1，l 2 中的一条相交 (2) 如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D 1 中， M ， N 分别是 BC1， CD 1 的中点，则下列判断错误的是 ( )
【答案】（1）点 F、 G、 H 的位置如图所示 .
O 作直线 a′∥ a，b′∥ b，把 a′与 b′所成的锐角 ( 或直角 )
叫做异面直线 a 与 b 所成的角 ( 或夹角 )．
②范围：
π 0， 2
．
(3) 平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
A ． MN 与 CC1 垂直 B ． MN 与 AC 垂直 C． MN 与 BD 平行 D ． MN 与 A1B1 平行 (3) 在图中， G、 N、M 、 H 分别是正三棱柱 (两底面为正三角形的直棱柱 )的顶点或所在棱的中点，则表示直 线 GH、 MN 是异面直线的图形有 ________． (填上所有正确答案的序号 )
分别在 AD,CD 上， AE CF
5 ， EF 交 BD于点 H ．将 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置， OD
4
（Ⅰ）证明： D H 平面 ABCD ；
10 ．
（Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值．
2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第40讲 空间点、直线、平面之间的位置关系实战演练 理
2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第40讲 空间点、直线、平面之间的位置关系实战演练 理1．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( A )A ．32B ．22C ．33D ．13解析：如图，延长B 1A 1至A 2，使A 2A 1＝B 1A 1，延长D 1A 1至A 3，使A 3A 1＝D 1A 1，连接AA 2，AA 3，A 2A 3，A 1B ，A 1D .易证AA 2∥A 1B ∥D 1C ，AA 3∥A 1D ∥B 1C ．∴平面AA 2A 3∥平面CB 1D 1，即平面AA 2A 3为平面α.于是m ∥A 2A 3，直线AA 2即为直线n .显然有AA 2＝AA 3＝A 2A 3，于是m ，n 所成的角为60°，其正弦值为32.选A ． 2．(2016·山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为直线a 和直线b 相交，所以直线a 与直线b 有一个公共点，而直线a ，b 分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a 与直线b 可能相交、平行、异面．故选A ．3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1 ，AD ＝3，三棱锥P ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离． 解析：(1)证明：设BD 与AC 的交点为O .连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．(2)V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB .由V ＝34，可得AB ＝32. 作AH ⊥PB 交PB 于H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，又BC ∩BP ＝B ，故AH ⊥平面PBC ．又AH ＝PA ·AB PB ＝31313， 所以A 到平面PBC 的距离为31313. 4．(2015·广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB .(1)证明：PE ⊥FG ；(2)求二面角P AD C 的正切值；(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．解析：(1)证明：因为PD ＝PC ，点E 为DC 中点，所以PE ⊥DC ．又因为平面PDC ⊥平面ABCD ，交线为DC ，所以PE ⊥平面ABCD .又FG ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥FG .(2)由(1)可知，PE ⊥AD .因为四边形ABCD 为长方形，所以AD ⊥DC ．又因为PE ∩DC ＝E ，所以AD ⊥平面PDC ．而PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .由二面角的平面角的定义，可知∠PDC 为二面角P AD C 的一个平面角．在Rt △PDE 中，PE ＝PD 2－DE 2＝7，所以tan ∠PDC ＝PE DE ＝73. 从而二面角P AD C 的正切值为73.(3)连接AC ，因为FB AB ＝BG BC ＝13，所以FG ∥AC ．易求得AC ＝35，PA ＝PD 2＋DA 2＝5.所以直线PA 与直线FG 所成角等于直线PA 与直线AC 所成角，即∠PAC ，在△PAC 中，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝9525.所以直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525.。
新课改版高考数学一轮复习第七章立体几何7.2空间点直线平面之间的位置关系讲义含解析
新课改版高考数学一轮复习第二节空间点、直线、平面之间的位置关系突破点一平面的基本性质[基本知识]1．公理1～3明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．2．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( )(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.( )(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( )答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、填空题1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有________．答案：42．下列命题中，真命题是________．(1)空间不同三点确定一个平面；(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面；(3)两组对边相等的四边形是平行四边形；(4)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．解析：(1)是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；(2)是假命题，当三条直线共点时，不能确定一个平面；(3)是假命题，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；(4)是真命题．答案：(4)3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列三个命题，其中真命题是________．(填序号)①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α.答案：③[典例感悟]1．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段A Q的长为( )A.23B.12C.16D.13解析：选D 如图所示，过点A作AE∥BM交DD1于点E，则E是DD1的中点，过点N作NT∥AE交A1A于点T，此时NT∥BM，所以B，M，N，T四点共面，所以点Q与点T重合，易知A Q＝NE＝13，故选D.2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E ，F 分别是AB 和AA 1的中点，∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又∵A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1确定一个平面，即E ，C ，D 1，F 四点共面． (2)由(1)知EF ∥CD 1且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交， 设交点为P ，则P ∈CE ，且P ∈D 1F ， 又CE ⊂平面ABCD ，且D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1. 又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，∴P ∈AD ， ∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．[方法技巧]共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． (2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； ②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[集训冲关]1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )解析：选D A ，B ，C 图中四点一定共面，D 中四 点不共面．2.如图，ABCD A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：选A 连接A1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线．突破点二 空间中两直线的位置关系[基本知识]1．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)公理4和等角定理①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 不可能是平行直线．( )(2)没有公共点的两条直线是异面直线．( )(3)经过平面内一点的直线(不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线．( )(4)若两条直线共面，则这两条直线一定相交．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、填空题1．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是____________．答案：相交、平行或异面2．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，则异面直线BD 1与CC 1所成的角为________．答案：π43．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．答案：3[全析考法]考法一 空间两直线位置关系的判定[例1] (1)已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，有以下结论：①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；②若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ；③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)在下列四个图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填序号)[解析] (1)法一：在空间中，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立．法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH 与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案] (1)B (2)②④[方法技巧] 空间两直线位置关系的判定方法考法二异面直线所成的角平移直线线段法定义法求异面直线所成的角常用的平移方法有：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移；补形平移.[例2] (2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22[解析] 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBAE1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF ＝12＋＋2＝5，FB1＝12＋32＝2，DB1＝12＋12＋32＝ 5.在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FB21＋DB21－2FB1·DB1·cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2×5×cos∠DB1F，∴cos∠DB1F＝55.[答案] C[方法技巧] 平移法求异面直线所成角的步骤[集训冲关]1.[考法一]若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D 构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.2.[考法一]在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交 B．异面C．平行 D．垂直解析：选A 由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．3.[考法二]如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C 如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角．因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝2，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°，故选C.4.[考法二](2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155 C.105D.33解析：选 C 如图所示，将直三棱柱ABC A1B 1C 1补成直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3， 所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.。
新高考数学一轮复习第七章立体几何7.3空间点直线平面之间的位置关系课件
(3)以下四个命题中，正确命题的个数是( B )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，
C，D，E 共面；
③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0
B．1
C．2
D．3
(4)如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l ＝M，过 A，B，C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通过( D )
设 AB＝1，在△CFN 中，CN＝ 25，FN＝ 45，CF＝
17 4.
由余弦定理得 cosθ＝|cos∠CNF|＝CN2＋ 2CFNN·F2－N CF2＝25.
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 平面的基本性质
【例 1】 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中 点，则这四个点不共面的一个图是( D )
解析：A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．
2.如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC， AD，DC 分别与平面 α 相交于点 E，G，H，F，求证：E，F，G， H 四点必定共线．
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面
D．平行
解析：连接 D1E 并延长交 AD 于 M 点，因为 A1E＝2ED，可 得，M 为 AD 中点，连接 BF 并延长交 AD 于 N 点，因为 CF＝ 2FA，可得 N 为 AD 中点，所以 M，N 重合．且EMDE1＝12，MFBF＝12. 所以EMDE1＝MFBF，所以 EF∥BD1.
高考数学大一轮复习第七章立体几何第40讲空间点直线平面之间的位置关系课件理新人教A版
a∥α a⊂α
__0_个 __无__数__个
平
面
平行
与
平
相交
面
图形语言
符号语言 公共点
α∥β
_0__个
α∩β＝l _无__数___个
[对点检测] 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( ) (2)两个平面 α，β 有一个公共点 A，就说 α，β 相交于点 A， 并记作 α∩β＝A.( ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( ) (4)已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不可能是平行直线．( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(2)由(1)知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， 所以设 FH∩AC＝M， 所以 M∈平面 EFHG，M∈平面 ABC. 又因为平面 EFHG∩平面 ABC＝EG， 所以 M∈EG.所以 FH，EG，AC 三线共点．
考法二 空间两条直线的位置关系 解题技巧
判断空间两条直线的位置关系的方法 (1)异面直线，可采用直接法或反证法． (2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理． (3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
ABCD－A1B1C1D1，连接 AD1，B1D1，则 AD1∥BC1，所以∠B1AD1
或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角．因为∠ABC＝120°，
AB＝2，BC＝CC1＝1，所以 AB1＝ 5，AD1＝ 2.在△B1D1C1
中 ， ∠ B1C1D1 ＝ 60°， B1C1 ＝ 1 ， D1C1 ＝ 2 ， 所 以 B1D1 ＝
2．空间中两直线的位置关系
最新-2018高中数学系列一轮复习 空间点直线平面的位置关系课件 理 新人教B版 精品
题型四 异面直线所成的角 例 4 如图所示，A 是△BCD 所在平面外一点，AD＝BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点．
(1)若 EF＝ 22AD，求异面直线 AD 与 BC 所成的角； (2)若 EF＝ 23AD，求异面直线 AD 与 BC 所成的角．
解析 设 G 是 AC 的中点，连结 EG、FG.如图所示．
②证明空间两角相等可利用等角定理．在运用时必须抓住角的 两边分别平行两组直线所成的角或相等(方向相同)或互补(方向相 反)．
平行公理及等角定理其实质说明空间的线段和角，经过平移后， 线段的长度和角的大小都不发生改变．
4．异面直线 (1)异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线． (2)异面直线的判定方法： ①定义法——不同在任一平面内的两条直线． ②反证法——排除相交、平行两种位置关系． ③定理——过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经 过该点的直线是异面直线． 在证明两条直线是异面直线时，往往直接证明不容易，因此通 常应用反证法． (3)异面直线所成的角：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意 一点 O，作直线 a′，b′，使 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角．
()
A．不存在
B．有且只有两条
C．有且只有一条 D．有无数条
(2)在空间中，可以确定一个平面的条件是( )
A．两两相交的三条直线
B．三条直线中的一条与另外两条直线分别相交
2018高考数学一轮复习第7章立体几何第3节空间点直线平面之间的位置关系教师用书
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( )(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)如图731所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )图731A．30°B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．] 4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.] 5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________.【导学号：51062227】b与α相交或b⊂α或b∥α如图11111的中点．求证：图732(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.4分又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.6分(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.10分同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.15分[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． [变式训练1] 如图733所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．图733(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？[解] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，得GH 綊12AD .4分又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形.6分 (2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下： 由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知BE 綊GF ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .10分 由(1)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面.15分(1)1212内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交(2)(2017·绍兴模拟)在图734中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④图734(1)D(2)②④[(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH 与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．][规律方法] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练2] (2017·嘉兴质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( ) A．①④B．②③C．③④D．①②A[对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b ⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．](1)如图735，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• ③算：通过解三角形，求出该角．
• 【例4】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. • (1)求AC与A1D所成角的大小； • (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与 EF所成角的大小．
解析：(1)如图所示，连接 B1C，由 ABCDA1B1C1D1 是正方体， 易知 A1D∥B1C，从而∠B1CA(或其补角)就是 AC 与 A1D 所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60° . 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° .
• 5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是 AB ，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 60° _________.
• 解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求， 又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
•一 平面的基本性质及应用
的中点，连接 DP，则 DP＝1，所以点 P 在以 D 为球心，1 为半径的球面上，又因为 1 点 P 只能落在正方体上或其内部，所以点 P 的轨迹的面积等于该球面面积的8，故所 1 2 π 求面积 S＝8×4πR ＝2，选 D.
• 3．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 • A．两条相交直线 B．两条平行直线 C • C．两个点 D．一条直线和直线外一点
• 解析：对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一 条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故 ①错误；对于②，在如图1所示的三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC， BA⊥BC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直， 故②错误；对于③，在如图2所示的三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝AC＝ PA＝2，PB＝PC＝3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角 形，但三棱锥P-ABC不是正三棱锥，故③错误；对于④，直线a，b分别 在平面α，β内，且a⊥b，则α，β可以平行，故④错误．所以正确命题的 个数为0.选A．
• (2)异面直线所成的角 • ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 锐角(或直角 ) 把a′与b′所成的_____________________ 叫做异面直线 a与b所成的角(或夹 角) ． • 同一条直线 的两条直线互相平行． • (3)平行公理：平行于_______________ • (4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 __________ ． • 3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系 在平面内 三种情况． • (1)直线与平面的位置关系有______ ______、____________ 相交 、 平行 • (2)平面与平面的位置关系有______、______ 相交 两种情况．
(2)如图所示，连接 AC，BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AC⊥BD， AC∥A1C1， ∵E，F 分别为 AB，AD 的中点， ∴EF∥BD.∴EF⊥AC． ∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° .
• • • • • • •
1．下列命题中正确的个数是( A ) ①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行； ②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β. A．0B．1 C．2D．3
解析：如图，在正方体 ABCDEFGH 中，M，N 分别为 BF， DH 的中点，连接 MN，DE，CF，EG.当异面直线为 EG，MN 所在 直线时，它们在底面 ABCD 内的射影为两条相交直线；当异面直 线为 DE， GF 所在直线时， 它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD， BC，是两条平行直线；当异面直线为 DE，BF 所在直线时，它们
• 【例1】 以下四个命题中，正确命题的个数是( B ) • ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； • ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E 共面； • ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； • ④依次首尾相接的四条线段必共面． • A ．0 B．1 C．2 D．3
• 解析：(1)错误．当两个平面平行时，把空间 分成三部分． • (2)错误．由公理3知应交于过点A的一条直 线． • (3)错误．应相交于直线BC，而非线段． • (4)正确．因为若c∥b，则由已知可得a∥b， 这与已知矛盾． • (5)错误．异面或平行．
• 2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与 D c( ) • A．一定平行 B．一定相交 • C．一定是异面直线 D．一定垂直 • 解析：因为b∥c，a⊥b，所以a⊥c，即a与c垂直．
(
)
在底面 ABCD 内的射影分别为 AD 和点 B，是一条直线和一个点，故选 C．
4．如图，在直二面角 EABC 中，四边形 ABEF 是矩形，AB＝2，AF＝2 3，△ ABC 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，点 P 是线段 BF 上的一点，PF＝3. (1)证明：FB⊥平面 PAC； (2)求异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值．
• 用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法 • (1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或 点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条 件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． • (2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各 点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． • (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其 他直线经过该点．
解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若 A，B，C 三点共 线，则 A，B，C，D，E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图 显然 b，c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有 ①正确．故选 B.
【例 2】 已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E，F 分别是 AB， 1 1 AD 的中点，G，H 分别是 BC，CD 上的点，且 CG＝3BC，CH＝3 DC．求证： (1)E，F，G，H 四点共面； (2)直线 FH，EG，AC 共点．
分值：5分
栏目导 航
板 块 一 板 块 二
板 块 三
板 块 四
• 1．平面的基本性质 两点 在一个平面内，那么这条直线在此 • (1)公理1：如果一条直线上的______ 平面内． 不在一条直线上 • (2)公理2：过_____________________的三点，有且只有一个平面． • (3)公理3：如果两个不重合的平面有______ 一个 公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线．
•二 空间两条直线的位置关系
• 判断空间两条直线的位置关系的方法 • (1)异面直线，可采用直接法或反证法． • (2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的 性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定 理． • (3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解 决．
• 【例3】 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问： • (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； • (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
2．如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，长为 2 的线 段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1 上运动， 点 N 在正方体的底面 ABCD 内运动，则 MN 的中点 P 的轨迹的 面积是( D ) π A．4π B．π C．2π D． 2 解析：连接 DN，则△MDN 为直角三角形，在 Rt△MDN 中，MN＝2，P 为 MN
• • • •
(4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条______直线有且只有一个平面； 相交 直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条______ 平行
2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系
平行 ______ 共面直线 相交 ______ 异面直线：不同在______ 任何 一个平面内
• • • • • •
3．下列命题正确的个数为( C ) ①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：①错误，②③正确．
• 4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α， β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( ) D • A．相交或平行 B．相交或异面 • C．平行或异面 D．相交、平行或异面 • 解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异 面．
第 七 章 立体几何 第40讲 空间点、直线、平面16，全国卷Ⅰ，11T 空间点、线、面 理解空间直线、 2016，浙江卷，2T 的位置关系以位置关 平面位置关系的定义， 2015，福建卷，7T 系的判断为主要考查 并了解可以作为推理 2015，广东卷，18T 点，同时也考查逻辑 依据的公理和定理. 推理能力和空间想象 能力.
•三 两条异面直线所成的角
• 两异面直线所成角的作法及求解步骤 • (1)找异面直线所成的角的三种方法： • ①利用图中已有的平行线平移． • ②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移． • ③补形平移． • (2)求异面直线所成的角的三个步骤： • ①作：通过作平行线，得到相交直线． • ②证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角．
π 0， ②范围：___________. 2
平行
• 1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)． • (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( ) • (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并 记作α∩β＝A．( ) • (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC．( ) • (4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可 能是平行直线．( √ ) • (5)没有公共点的两条直线是异面直线．( )